論文函數(shù)的極值問題在實際中的應用

1、函數(shù)的極值問題在實際中的應用一、函數(shù)求極值方法的介紹利用函數(shù)求極值問題，是微積分學中基本且重要的內(nèi)容之一，函數(shù)求極值的方法很多，但主要可分為初等方法和微積分中的導數(shù)方法等。用初等方法求最值問題，主要是利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)，二次函數(shù)非負的性質(zhì)，算術平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)。正弦，余弦函數(shù)的最值性質(zhì)討論問題。一般而言，他需要較強技巧，在解決某些問題時，其解法讓人賞心悅目，但這些方法通用性較差，利用高等數(shù)學的導數(shù)等工具求解極值問題，通用性較強，應用也較強，應用也較廣泛，下面給出用導數(shù)求極值最值得一些定理和方法。1、一元函數(shù)極值的判定及求法定理1（必要條件）設函數(shù)在點處可導，且在處取得極值，那么。使導

2、數(shù)為零的點，即為函數(shù)的駐點，可導函數(shù)的極值點必定是它的駐點，但反過來，函數(shù)的駐點卻不一定是極值點。當求出駐點后，還需進一步判定求得駐點是不是極值點，下面給出判斷極值點的兩個充分性條件。定理2（極值的第一充分條件）設在連續(xù)，在某領域內(nèi)可導。（1）若當時，當時，則在點取得最小值。（2）若當時，當時，則在點取得最大值。定理3（極值的第二充分條件）設在連續(xù)，在某領域內(nèi)可導，在處二階可導，在處二階可導，且，。（1） 若，則在取得極大值。（2）若，則在取得極小值。由連續(xù)函數(shù)在上的性質(zhì)，若函數(shù)在上一定有最大、最小值。這就為我們求連續(xù)函數(shù)的最大、最小值提供了理論保證，本段將討論怎樣求出最大（小）值。在一個區(qū)間

3、上，一個函數(shù)的最值可能在不可導點取得，也可能在區(qū)間的端點取得，除去這兩種情況之外，必然在區(qū)間內(nèi)部的可導點取得，根據(jù)上面的必要條件，在這些點的導數(shù)為0，即為駐點。因此，我們?nèi)绻笠粋€函數(shù)在一個區(qū)間的最值，只要列舉出不可導的點，區(qū)間端點以及駐點，然后比較函數(shù)在這些點的最值，即可求出最值。下面我們給出用導數(shù)方法求函數(shù)最大、最小值的方法，步驟：（1） 求函數(shù)的導數(shù)；（2） 令，求出在內(nèi)的駐點和導數(shù)不存在的點；（3） 計算函數(shù)值；（4） 比較上述函數(shù)值的大小，最大者就是在區(qū)間上的最大值，最小者就是在閉區(qū)間上的最小值。2、多元函數(shù)極值的判定在實際問題中，往往會遇到多元函數(shù)的最大值最小值問題。與一元函數(shù)相

4、類似，多元函數(shù)的最大值，最小值與極大值極小值有密切聯(lián)系，因此我們以二元函數(shù)為例，先來討論多元函數(shù)的極值問題。定義 設函數(shù)的定義域為。為的內(nèi)點。若存在的某個鄰域，使得對于該鄰域異于的任何內(nèi)點，都有則稱函數(shù)在點，點稱為函數(shù)的極大值點；若對于該領域內(nèi)異于的任何點，都有則稱函數(shù)在點有極小值，點稱為函數(shù)的極小值點，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，使得函數(shù)取得極值的點稱為極值點。關于二元函數(shù)的極值概念，可推廣到元函數(shù)，設元函數(shù)的定義域為。為的內(nèi)點，若存在的某個領域，使得該鄰域內(nèi)異于的任何點，都有（或）則稱函數(shù)在點有極大值（或極小值）。二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導數(shù)來解決，下面兩個定理就是關于這問題的結論

5、。定理1（必要條件）設函數(shù)在點具有偏導數(shù)，且在點處有極值，則有怎樣判定一個駐點是否是極值點呢？下面的定理回答了這個問題。定理2（充分條件）設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又，令則在處是否取得極值的條件如下： （1）時具有極值，且當時有極大值，當時有極小值；（2）時沒有極值。對于多元函數(shù)中有條件約束的這類問題，可采用拉格朗日乘數(shù)法。拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點，可以先做拉格朗日函數(shù)其中為參數(shù)，求其對與的一階偏導數(shù)并使之為零，然后與方程（2）聯(lián)立起來：由這方程組解出及，這樣得到的就是函數(shù)在附加條件下的可能極值點。這方法還可以推廣到自變量多于兩個條件多于一個的

6、情形。至于如何確定所求得的點是否極值點，在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來確定。有了上面的基礎，下面將重點介紹函數(shù)的極值問題在實際中的應用。二、函數(shù)極值問題的應用在實際問題中為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟效益，往往要求在一定條件下，提高生產(chǎn)效率，降低成本，節(jié)省原材料，解決這一類問題，就需要用到函數(shù)的最大值最小值知識，這一節(jié)講重點看一些這方面的例子。1、 合理密植設每畝中50株葡萄藤，每株葡萄藤將產(chǎn)出葡萄，若每畝再多種一株葡萄藤（最多20株），每株產(chǎn)量平均下降。試問每畝種多少株葡萄藤才能使產(chǎn)量達到最高？解：設每株多種株，則產(chǎn)量為問題歸結為求目標函數(shù)在上的最大值令，解得由二階微商檢驗法，當時，有極大值，而

7、是內(nèi)唯一極大值點，根據(jù)實際，取整體株時，取得最大值，即每畝種株時，產(chǎn)量可達最高。 2、環(huán)境污染某經(jīng)濟開發(fā)區(qū)的項目建設，對釋放到空氣中的污染要進行控制，設對污染的測定要求與污染源的距離至少要，在污染源相對集中的情況下，空氣受污染的成都與釋放的污染量成正比，與到污染源的距離成反比（設比例系數(shù)為1），先有兩個相距的工廠區(qū)與，分別釋放的污染為與，若想在，間建造一個居民小區(qū)，試問居民小區(qū)建在何處所受污染最小？解：設為居民小區(qū)受到污染最小時到工廠區(qū)的距離，居民小區(qū)受工廠區(qū)的污染為，居民小區(qū)受工廠區(qū)的污染為，居民小區(qū)受到的總污染為，這就是要尋找的目標函數(shù)，令即解得再與區(qū)間的端點的值作比較，得（最?。┚用裥^(qū)

8、建在離工廠區(qū)處所受污染最小。3、用料最省市場上裝飲料的易拉罐是用鋁合金制造的，罐身（側面和底部）用整塊材料拉制而成頂蓋的厚度是罐身厚度的3倍。以容積為的易拉罐為例，問如何設計一拉罐的底面直徑和高才能使用料最??？解：記易拉罐的容積（常數(shù)）設罐身的厚度為，頂蓋為，底面直徑為，高，于是，罐身用料（體積）為頂蓋用料（體積）為易拉罐的用料因此，問題化為求目標函數(shù)在內(nèi)的最小值。對求微商，得令得是在內(nèi)的惟一駐點。這是實際問題。最小值肯定存在，因此是的最小值點。而高。4、最快速度設一輛水陸兩用汽艇在水上的速度為，在陸地上的速度為?，F(xiàn)因需要，要求汽艇最快地從水中的的到達陸地上的點（圖），試問兩用汽艇應按怎樣的路

9、線走？解：由常識知道，汽艇在水中或陸地上都應該走直線，所以，汽艇實際走的路程為兩直線組成的折線，如圖3所示，汽艇的行駛時間為。問題歸結為求在上的最小值，即滿足什么條件，取得最小值。對求微商，得由于可知在內(nèi)的零點必為的極小值點，從而是在上的最小值點。滿足，即記，則如果將汽艇換成一束光線，水與陸地換成兩種不同的介質(zhì)，這就是光學中著名的折射定律，其中，分別是光線的入射角與折射角。定律告訴我們：光線總是沿著最省時間的路線傳播的。5、庫存成本模型庫存成本模型是存貯論的一個確定性模型，而存貯論則是運籌學的一個分支。工廠要保證生產(chǎn)，需要定期的訂購各種原材料存在倉庫里，大公司也需要成批的購進各種商品，放在庫房

10、里以備銷售，不論是原材料還是商品，都遇到一個庫存多少的問題，庫存太多，庫存費用就高；庫存太少，要保證供應，勢必增多進貨次數(shù)，這樣一來，定貨費高了，因此，必須研究如何合理地安排進貨的批量、次數(shù)，才能使總費用（庫存費+定貨費）最省的問題。這里討論的模型是：需求恒定，不允許缺貨，要成批進貨，且只考慮庫存費與定貨兩種費用。由于在每一進貨周期內(nèi)，都是初始時進貨，即貨物的初始庫存量等于每批的進貨量，以后均勻消耗，在周期末存量為0，故平均庫存量為。為了弄清庫存-成本模型的運作過程，下面舉一例。例 公司每月需要某種商品2500件，每件金額150元，每年每件商品的庫存成本為金額的16%，每次定貨費100元，試求

11、最優(yōu)批量及最底成本（即庫存量與訂貨費之后最?。＝猓涸O批量為，則平均庫存量為（庫存量）（時間），訂貨次數(shù)為。這是時間問題，最小值一定存在，因此，最底成本，這就是說，最優(yōu)批量為每次500件，每月訂貨次數(shù)為，最低庫存成為1000元。6、最大利潤問題設某產(chǎn)品的成本函數(shù)和價格函數(shù)分別為決定產(chǎn)品的生產(chǎn)量，以使利潤達到最大。解：銷售額函數(shù)為求得，又因為所以生產(chǎn)量為2500單位時，利潤達到最大。7、化學問題在萃取過程中，若用毫升的萃取劑分兩次萃取，證明，當每次的萃取劑用量為毫升時，其萃取效果最好。解：設有毫升含有克溶質(zhì)的水溶液，若在第一次萃取時加入毫升萃取劑，則由第二章可知在水溶液中所剩余的溶質(zhì)為第二次萃取

12、時，再把剩下的毫升萃取劑加到含有克溶質(zhì)的毫升水溶液中，可得第二次萃取后在水溶液中所剩余的溶質(zhì)為要求萃取效果最好，也就是要選擇適當?shù)氖箖纱屋腿『笤谒芤褐兴Ｓ嗟娜苜|(zhì)最少。求函數(shù)對的導數(shù)得解方程即。得。由此可見，函數(shù)有一個駐點。在這個實際問題中，駐點就是函數(shù)的最小值點，因此當兩次的萃取劑用量都是毫升時萃取劑效果最好。上面的離子都是函數(shù)極值問題在實際中的應用，函數(shù)求極值方法的研究已是較成熟的一門學問，極值問題在經(jīng)濟生活及工程技術等方面應用廣泛，這里只選取了幾個典型的方法加以說明。極值方法是解決現(xiàn)實中使產(chǎn)品最多、用料最省、成本最低等問題的最基本的方法，隨著科學技術的發(fā)展社會的進步，這樣的現(xiàn)實問題不僅

13、越來越多而且越來越復雜，解決這些問題的極值方法迅速發(fā)展，形成了以最優(yōu)化問題為研究內(nèi)容的一個重要數(shù)學分支最優(yōu)化理論。由于電子計算機的日益廣泛應用，最優(yōu)化理論和算法有機結合起來，得到了迅速發(fā)展，在實踐中正在發(fā)揮著越來越大的作用。參考文獻：1 謝季堅、李啟文 大學數(shù)學微積分及其在生命科學、經(jīng)濟管理中的應用 第二版 高等教育出版社2 上海交通大學 高等數(shù)學 科學出版社 2004年3月3 林真棋 微積分在多元函數(shù)最值問題中的應用 閩江學報 2004年3月4 華東師范大學數(shù)學系 數(shù)學分析（上）第三版 高等教育出版社5 何炳生 （南京大學數(shù)學系）楊振華（南京郵電大學物理系）6 王文豐 一個多元函數(shù)的最值 高

14、等數(shù)學研究所（2000年3月function minimum problem in actual center applicationliu ya-hao abstract: in the daily life, the production practice, the regular meeting meetsa such kind of question, how many causes the product under the certaincondition, the cost to be lowest and so on in mathematics, is under the c

15、ertain condition, asks a objective function the maximum value orthe minimum problem 17 the century fluxionary calculus birth, provided through the establishment mathematical model, the application fluxionary calculus principle has solved these questions many methods. this article summaried the function from theory angle to ask theextreme value method, then used these methods to discuss actual problem and so on in rational close planting issue, environmental pollution qu