一元二次方程根與系數(shù)的關系教案-人教版(優(yōu)秀教案)7頁

1、一元二次方程根與系數(shù)的關系現(xiàn)行初中數(shù)學教材主要要求學生掌握一元二次方程的概念、解法及應用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應用本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關系進行闡述一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：() 當時，右端是正數(shù)因此，方程有兩個不相等的實數(shù)根：() 當時，右端是零因此，方程有兩個相等的實數(shù)根：() 當時，右端是負數(shù)因此，方程沒有實數(shù)根由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：【例】不解方程，判斷下列方程的實數(shù)根的個數(shù)：() (

2、) () 解：() ， 原方程有兩個不相等的實數(shù)根() 原方程可化為：， 原方程有兩個相等的實數(shù)根() 原方程可化為：， 原方程沒有實數(shù)根說明：在求判斷式時，務必先把方程變形為一元二次方程的一般形式【例】已知關于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍：() 方程有兩個不相等的實數(shù)根；() 方程有兩個相等的實數(shù)根()方程有實數(shù)根；() 方程無實數(shù)根解：() ；() ；() ；() 【例】已知實數(shù)、滿足，試求、的值解：可以把所給方程看作為關于的方程，整理得：由于是實數(shù)，所以上述方程有實數(shù)根，因此：，代入原方程得：綜上知：二、一元二次方程的根與系數(shù)的關系一元二次方程的兩個根為：所以：，定理：如

3、果一元二次方程的兩個根為，那么：說明：一元二次方程根與系數(shù)的關系由十六世紀的法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達定理”上述定理成立的前提是【例】若是方程的兩個根，試求下列各式的值：() ；() ；() ；() 分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現(xiàn)復雜的計算這里，可以利用韋達定理來解答解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關系得：() () () () 說明：利用根與系數(shù)的關系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等韋達定理體現(xiàn)了整體思想【例】已知關于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值() 方程兩實根的積為；() 方程的兩實根滿足分析：() 由韋達定理即可求之；() 有兩種可

4、能，一是，二是，所以要分類討論解：() 方程兩實根的積為所以，當時，方程兩實根的積為() 由得知：當時，所以方程有兩相等實數(shù)根，故；當時，由于，故不合題意，舍去綜上可得，時，方程的兩實根滿足說明：根據(jù)一元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值，務必要注意方程有兩實根的條件，即所求的字母應滿足【例】已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根() 是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請您說明理由() 求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值解：() 假設存在實數(shù)，使成立一元二次方程的兩個實數(shù)根， 又是一元二次方程的兩個實數(shù)根，但不存在實數(shù)，使成立 () 要使其值是整數(shù)，只需能被整除，故，注意到，要使的值為

5、整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值為說明：() 存在性問題的題型，通常是先假設存在，然后推導其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在 () 本題綜合性較強，要學會對為整數(shù)的分析方法練 習 組一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是()若是方程的兩個根，則的值為()已知菱形的邊長為，兩條對角線交于點，且、的長分別是關于的方程的根，則等于()若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關系是()大小關系不能確定若實數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為()如果方程的兩根相等，則之間的關系是 已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是 若方程的兩根之差為，則的值是 設是方程的兩實根，

6、是關于的方程的兩實根，則 ， 已知實數(shù)滿足，則 ， ， 對于二次三項式，小明得出如下結論：無論取什么實數(shù)，其值都不可能等于您是否同意他的看法？請您說明理由若，關于的方程有兩個相等的的正實數(shù)根，求的值已知關于的一元二次方程() 求證：不論為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；() 若方程的兩根為，且滿足，求的值已知關于的方程的兩根是一個矩形兩邊的長() 取何值時，方程存在兩個正實數(shù)根？() 當矩形的對角線長是時，求的值 組已知關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根() 求的取值范圍；() 是否存在實數(shù)，使方程的兩實根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請您說明理由已知關于的方程的兩個實數(shù)根的平

7、方和等于求證：關于的方程有實數(shù)根若是關于的方程的兩個實數(shù)根，且都大于() 求實數(shù)的取值范圍； () 若，求的值第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關系習題答案組 或正確 組() 不存在()當時，方程為，有實根；() 當時，也有實根() ；() 學習是一件增長知識的工作，在茫茫的學海中，或許我們困苦過，在艱難的競爭中，或許我們疲勞過，在失敗的陰影中，或許我們失望過。但我們發(fā)現(xiàn)自己的知識在慢慢的增長，從啞啞學語的嬰兒到無所不能的青年時，這種奇妙而巨大的變化怎能不讓我們感到驕傲而自豪呢？當我們在學習中遇到困難而艱難的戰(zhàn)勝時，當我們在漫長的奮斗后成功時，那種無與倫比的感受又有誰能表達出來呢？因此學習更是一件愉快的事情，只要我們用另一種心態(tài)去體會，就會發(fā)現(xiàn)有學習的日子真好！ 如果你熱愛讀書，那你就會從書籍中得到靈魂的慰藉；從書中找到生活的榜樣；從書中找到自己生活的樂