中線倍長(zhǎng)法及截長(zhǎng)補(bǔ)短經(jīng)典講義

1、 幾何證明中常用輔助線(一)中線倍長(zhǎng)法:例1 、求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半。已知：如圖，ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：AD (AB+AC)小結(jié)：涉及三角形中線問(wèn)題時(shí)，常采用延長(zhǎng)中線一倍的辦法，即中線倍長(zhǎng)法。它可以將分居中線兩旁的兩條邊AB、AC和兩個(gè)角BAD和CAD集中于同一個(gè)三角形中，以利于問(wèn)題的獲解。例2、中線一倍輔助線作法 ABC中 方式1： 延長(zhǎng)AD到E， AD是BC邊中線 使DE=AD， 連接BE 方式2：間接倍長(zhǎng) 方式3：作CFAD于F， 延長(zhǎng)MD到N， 作BEAD的延長(zhǎng)線于E 使DN=MD，連接BE 連接CD例3、ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD

2、的取值范圍例4、 已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE課堂練習(xí)：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中線，求證：C=BAE作業(yè)：1、在四邊形ABCD中，ABDC，E為BC邊的中點(diǎn)，BAE=EAF，AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論2、已知：如圖，DABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，過(guò)D作DE/AB交BC于E，求證：CT=BE.3：已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF

3、=EF圖1-1（二）截長(zhǎng)補(bǔ)短法教八年級(jí)上冊(cè)課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問(wèn)題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”又是解決這一類問(wèn)題的一種特殊方法，在無(wú)法進(jìn)行直接證明的情形下，利用此種方法?？墒顾悸坊砣婚_(kāi)朗.請(qǐng)看幾例.例1. 已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求證：BAD+BCD=180.圖1-2分析：因?yàn)槠浇堑扔?80，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的通過(guò)全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過(guò)“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”來(lái)實(shí)現(xiàn).證明：過(guò)點(diǎn)D作DE垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作DFBC于點(diǎn)F，如圖1-2B

4、D平分ABC，DE=DF，在RtADE與RtCDF中，RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180，即BAD+BCD=180.例2. 如圖2-1，ADBC，點(diǎn)E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求證：CD=AD+BC.圖2-2分析：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”中的“截長(zhǎng)”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問(wèn)題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的.證明：在CD上截取CF=BC，如圖2-2在FCE與BCE中，F(xiàn)CEBCE（SAS）,2=1.又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CD

5、E=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例3. 已知，如圖3-1，1=2，P為BN上一點(diǎn)，且PDBC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD.求證：BAP+BCP=180.圖3-1分析：與例1相類似，證兩個(gè)角的和是180，可把它們移到一起，讓它們是鄰補(bǔ)角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造.證明：過(guò)點(diǎn)P作PE垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖3-21=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE與RtBPD中，圖3-2RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+D

6、C=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中,圖4-1RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180例4. 已知：如圖4-1，在ABC中，C2B，12.求證：AB=AC+CD.分析：從結(jié)論分析，“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即延長(zhǎng)AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.圖4-2證明：方法一（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC到E，使DC=CE，則CDECED，如圖4-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD與AED中,圖4-3ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC

7、.方法二（截長(zhǎng)法）在AB上截取AF=AC，如圖4-3在AFD與ACD中,AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，F(xiàn)DBB，F(xiàn)D=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD. 上述兩種方法在實(shí)際應(yīng)用中，時(shí)常是互為補(bǔ)充，但應(yīng)結(jié)合具體題目恰當(dāng)選擇合適思路進(jìn)行分析。讓掌握學(xué)生掌握好“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”對(duì)于更好的理解數(shù)學(xué)中的化歸思想有較大的幫助。作業(yè)：1、已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE. 求證：BE+DF=AE.2、五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求證：AD平分CDE（三）其它幾種常見(jiàn)的形式：1、有角平分線時(shí)，通常在角的

8、兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。例1、如圖1：已知AD為ABC的中線，且12,34,求證：BECFEF.2、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖2：AD為ABC的中線，且12，34，求證：BECFEF. 練習(xí)：已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖4， 求證EF2AD。 3、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖6：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B，求證：ADBC4、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。例如：如圖7：ABCD，ADBC 求證：AB=CD。5、有和角平分線垂直的線段

9、時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖8：在RtABC中，ABAC，BAC90，12，CEBD的延長(zhǎng)于E 。求證：BD2CE. 6、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖9；AC、BD相交于O點(diǎn)，且ABDC，ACBD，求證AD.8、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖10：ABDC，AD 求證：ABCDCB.截長(zhǎng)補(bǔ)短專題訓(xùn)練作業(yè)：1、如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，E為AD中點(diǎn)，連接BE，CE（1）求證：BE=CE；（2）若BEC=90，過(guò)點(diǎn)B作BFCD，垂足為點(diǎn)F，交CE于點(diǎn)G，連接DG，求證：BG=DG+CDBD2題圖EAFC2如圖，ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE

10、，F(xiàn)為CD邊上一點(diǎn)，且滿足DFA=2BAE（1）若D=105，DAF=35求FAE的度數(shù)；（2）求證：AF=CD+CF3、如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，D=45（1）若AB=6cm，求梯形ABCD的面積；（2）若E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點(diǎn)，且滿足EF=GH，EFH=FHG，求證：HD=BE+BF 4、如圖，梯形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E在BC上，AE=BE，且AFAB，連接EF（1）若EFAF，AF=4，AB=6，求 AE的長(zhǎng)（2）若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：CE=BEAD5.在中，對(duì)角線，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且為等邊三角形，、的平分線相交于點(diǎn)，連接交于，連接.（1）若的面積為，求的長(zhǎng)；（2）求證：.6. 已知：如圖，在矩形中，是對(duì)角線.點(diǎn)為矩形外一點(diǎn)且滿足，.交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于.（1）：若，求矩形的面積； （2）：若，求證：.7、如圖，在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接。（1）若，求的長(zhǎng)；（2