自動(dòng)控制原理課后習(xí)題答案

1、【教材習(xí)題及解答】4-1 【答】所謂根軌跡，是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某一參量從零變化到無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上變化而形成的軌跡。根軌跡反映了閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的位置以及變化情況，所以應(yīng)用根軌跡可以直觀地分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響，以及要滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)要求，應(yīng)如何配置系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)，獲得期望的根軌跡走向與分布。4-2【答】運(yùn)用相角條件可以確定s平面上的點(diǎn)是否在根軌跡上；運(yùn)用幅值條件可以確定根軌跡上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。4-3【答】考察開環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益變化時(shí)得到的閉環(huán)特征根移動(dòng)軌跡稱為常規(guī)根軌跡。除開環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益變化之外的根軌跡稱為廣義根軌跡，如系統(tǒng)的參數(shù)

2、根軌跡、正反饋系統(tǒng)根軌跡和零度根軌跡等。繪制參數(shù)根軌跡須通過閉環(huán)特征方程式的等效變換，將要考察的參數(shù)變換到開環(huán)傳遞函數(shù)中開環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益的位置上，才可應(yīng)用根軌跡繪制規(guī)則繪制參數(shù)變化時(shí)的根軌跡圖。 正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程1G(s)H(s)=0與負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程1+G(s)H(s)=0存在一個(gè)符號(hào)差別。因此，正反饋系統(tǒng)的幅值條件與負(fù)反饋系統(tǒng)的幅值條件一致，而正反饋系統(tǒng)的相角條件與負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件反向。負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件（p+2kp）是180根軌跡，正反饋系統(tǒng)的相角條件（0+2kp）是0根軌跡。因此，繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡時(shí)，凡是與相角有關(guān)的繪制法則，如實(shí)軸上的根軌跡，根軌跡

3、漸近線與實(shí)軸的夾角，根軌跡出射角與入射角等，都要變p+2kp角度為0+2kp。4-4【答】由于開環(huán)零極點(diǎn)的分布直接影響閉環(huán)根軌跡的形狀和走向，所以增加開環(huán)零極點(diǎn)將使根軌跡的形狀和走向發(fā)生改變，從而使系統(tǒng)性能也隨之發(fā)生變化。一般來說，增加合適的開環(huán)零點(diǎn)，可使閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡產(chǎn)生向左變化的趨勢，從而改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。增加開環(huán)極點(diǎn)時(shí)，增加了根軌跡的條數(shù)，改變了根軌跡漸近線的方向，可使閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡產(chǎn)生向右變化的趨勢，削弱系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。增加開環(huán)零極點(diǎn)，都將改變根軌跡漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)與夾角，可能改變根軌跡在實(shí)軸上的分布。4-5 【解】(1) 將代入系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有：，滿足根軌跡的

4、相角條件，故是該根軌跡上的點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)在根軌跡上時(shí)，有。即于是，可得。(2) 系統(tǒng)的特征方程為，由勞斯表易得使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K*值的范圍為-8 K* 90。4-6【答案】(a) (b) (c) (d)(e) (f) (g) (h)圖4-10 開環(huán)傳遞函數(shù)根軌跡圖4-7 【解】(1) ，繪制步驟如下：1) 該系統(tǒng)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，無開環(huán)零點(diǎn)，分別為p1-0.2，p2-0.5，p3-1。2) 系統(tǒng)有3條根軌跡分支，均趨向于無窮遠(yuǎn)處。3) 實(shí)軸上(-,-1和-0.5,-0.2區(qū)域?yàn)楦壽E。4) 由于n-m3，故系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，其傾角和起點(diǎn)坐標(biāo)分別為：5) 確定根軌跡的分離點(diǎn)。根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式

5、，有，代入方程，整理得到求解上述方程，得到，由于s2在根軌跡-0.5, -0.2上，故取分離點(diǎn)坐標(biāo)為。6) 確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，可得對(duì)應(yīng)的閉環(huán)特征方程為將sj代入上式，整理得到分別令上式中的實(shí)部和虛部為零，即解得0.89，K*1.26。系統(tǒng)的完整根軌跡如圖4-11所示。圖4-11 題4-7(1)系統(tǒng)的根軌跡圖(2) ，繪制步驟如下：1) 該系統(tǒng)有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，分別為p1,2-1j3，z1-2。2) 系統(tǒng)有2條根軌跡分支，一條終止于有限開環(huán)零點(diǎn)z1-2，另一條趨向于無窮遠(yuǎn)處。3) 實(shí)軸上(-,-2區(qū)域?yàn)楦壽E。4) 由于n-m1，故系統(tǒng)只有1條根軌跡漸近線

6、，其傾角和起點(diǎn)坐標(biāo)分別為：5) 確定根軌跡的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式，有，代入方程，整理得到求解上述方程，得到，由于s1在根軌跡(-,-2上，故取分離點(diǎn)坐標(biāo)為。6) 確定根軌跡的出射角。由零、極點(diǎn)分布位置及出射角計(jì)算公式，得到點(diǎn)p1處的出射角為根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)p2處的出射角為-161.57。系統(tǒng)的完整根軌跡如圖4-12所示。圖4-12 題4-7(2)系統(tǒng)的根軌跡圖(3) ，繪制步驟如下：1) 該系統(tǒng)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，分別為p10，p2-2，p3-3，z1-5。2) 系統(tǒng)有3條根軌跡分支，其中一條終止于有限開環(huán)零點(diǎn)z1-5處，另兩條則趨向于無窮遠(yuǎn)處。3) 實(shí)軸上-5,-3

7、和-2,0區(qū)域?yàn)楦壽E。4) 由于n-m2，故系統(tǒng)有2條根軌跡漸近線，其與實(shí)軸的交角和交點(diǎn)分別為：5) 確定根軌跡的分離點(diǎn)。根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式，有，代入方程，整理得到求解上述方程，得到，由于s3在根軌跡-2,0上，故取分離點(diǎn)坐標(biāo)為。系統(tǒng)的完整根軌跡如圖4-13所示。圖4-13 題4-7(3)系統(tǒng)的根軌跡圖4-8【證】設(shè)s為系統(tǒng)根軌跡上的一點(diǎn)，則根據(jù)相角條件有然后，將sj代入上式，得到即移項(xiàng)，得對(duì)上式兩邊取正切，可得整理可得可見，這是一個(gè)以（-6,0）為圓心，以為半徑的圓方程。即證明該系統(tǒng)的復(fù)數(shù)根軌跡部分為一圓，其圓心坐標(biāo)為（-6,0），半徑為。4-9【解】K*1時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為即則

8、以T為參變量時(shí)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為以下繪制以T為參變量時(shí)的系統(tǒng)根軌跡：1) 等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，無開環(huán)零點(diǎn)，即p10，p2,3-1。2) 新系統(tǒng)具有3條根軌跡，均終止于無窮遠(yuǎn)處。3) 實(shí)軸上的(-,-1和-1,0均為根軌跡區(qū)域。4) 新系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，與實(shí)軸正方向的夾角分別為和，交點(diǎn)為5) 根軌跡的分離點(diǎn)根據(jù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式，有，于是解得s1-1，s2-1/3。顯然，分離點(diǎn)坐標(biāo)為d-1/3。6) 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)以T為參變量時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為將sj代入上式，并令實(shí)部和虛部分別為零，得到求解上述方程組，得到解為根據(jù)以上信息，繪制的根軌跡如圖4-14所示。圖4-

9、14 題4-9的參數(shù)根軌跡4-10圖4-15 題4-10的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖【解】系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為則以為參變量時(shí)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為以下繪制以為參變量時(shí)的系統(tǒng)根軌跡：1) 等效開環(huán)傳遞函數(shù)有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)和1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，即p1,2-1j3，z10。2) 新系統(tǒng)具有2條根軌跡，一條終止于z10，另一條終止于無窮遠(yuǎn)處。3) 實(shí)軸上的(-,0為根軌跡區(qū)域。4) 新系統(tǒng)有2條根軌跡漸近線，與實(shí)軸正方向的夾角分別為和，交點(diǎn)為5) 根軌跡的匯合點(diǎn)根據(jù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式，有，于是解得。顯然，匯合點(diǎn)坐標(biāo)為d-3.16。6) 根軌跡的出射角， 根據(jù)以上信息，繪制的參數(shù)根軌跡如圖4-16所示。

10、圖4-16 題4-10的系統(tǒng)根軌跡4-11【解】（1）確定滿足條件的極點(diǎn)容許區(qū)域。由題意，及關(guān)系式，可得。根據(jù)，可得阻尼角。又由，及（為極點(diǎn)實(shí)部），可知。因此，極點(diǎn)容許區(qū)域如圖4-17中的陰影區(qū)所示。圖4-17 極點(diǎn)容許區(qū)域（2）確定根軌跡與容許區(qū)域邊界交點(diǎn)處的K*值。用幅值條件不難確定實(shí)軸根軌跡與垂線s=-0.4375交點(diǎn)處的K*值為0.684；復(fù)平面上根軌跡與扇形區(qū)邊界交點(diǎn)1j1.046處的K*值為2.094，故滿足條件的K*值范圍為0.684 K* 2.0944-12 【解】（1）由于已知開環(huán)傳遞函數(shù)是由兩個(gè)有限極點(diǎn)和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的，故該系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分為一圓，其中圓心在有限零點(diǎn)

11、z1-6處，半徑為有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）的距離。由開環(huán)傳遞函數(shù)知：，。代入方程，整理得到：。解得s1-1.76，s2-10.24。由圖可知，s1為分離點(diǎn)坐標(biāo)，s2為會(huì)合點(diǎn)坐標(biāo)。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-18所示。圖4-18 題4-12系統(tǒng)增加開環(huán)零點(diǎn)后的根軌跡圖（2）根據(jù)幅值條件，可知：分離點(diǎn)s1-1.76對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益為會(huì)合點(diǎn)s2-10.24對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益為由根軌跡圖可知，當(dāng)0K*0.515時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)相異的負(fù)實(shí)根，此時(shí)系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程；當(dāng)0.515K*17.485時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，此時(shí)系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，單位階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程；當(dāng)K

12、*17.485時(shí)，系統(tǒng)又具有兩個(gè)相異的負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)回到過阻尼狀態(tài)；當(dāng)K*0.515或17.485時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程，響應(yīng)速度較過阻尼狀態(tài)快。（3）過坐標(biāo)原點(diǎn)作根軌跡圓的切線，切點(diǎn)為A，如圖4-18所示。由關(guān)系式可知，該切線與負(fù)實(shí)軸夾角的余弦就是所要求的系統(tǒng)最小阻尼比，此時(shí)相應(yīng)的A點(diǎn)坐標(biāo)為-3+3j。根據(jù)對(duì)稱性，系統(tǒng)最小阻尼比所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)為-33j。由幅值條件易知，A點(diǎn)處的開環(huán)根軌跡增益為因此，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為單位階躍輸入時(shí)，有，因此，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的拉氏變換為對(duì)上式求拉氏反變換，得到圖4-19為該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖可見

13、，在系統(tǒng)最小阻尼比時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有較好的平穩(wěn)性和快速性。圖4-19 題4-12系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線4-13 【解】（1）具體繪制步驟省略，得到的根軌跡如圖4-20所示。圖4-20 題4-13系統(tǒng)的根軌跡圖（2）經(jīng)計(jì)算根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)坐標(biāo)為d-0.423，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的臨界開環(huán)根軌跡增益為K*6。當(dāng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程為衰減振蕩形式時(shí)，說明系統(tǒng)處于欠阻尼工作狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)有一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。從根軌跡圖4-20可以看出，當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)位于從分離點(diǎn)到虛軸交點(diǎn)之間的根軌跡時(shí)，系統(tǒng)處于欠阻尼工作狀態(tài)。因此，只要求出分離點(diǎn)及虛軸交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益，就能得到滿足題意的K*

14、值范圍。由幅值條件，可得分離點(diǎn)d處對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益為因此，當(dāng)0.385 K*6時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程為衰減振蕩形式。（3）顯然，當(dāng)K*6時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)呈等幅振蕩形式，對(duì)應(yīng)的振蕩頻率為。（4）由題意，時(shí)，阻尼角。過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條與負(fù)實(shí)軸成60的射線，與根軌跡交于A、B兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)即為系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。于是，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為。由于系統(tǒng)的nm2，因此閉環(huán)極點(diǎn)之和應(yīng)等于開環(huán)極點(diǎn)之和，即由此可得第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為根據(jù)幅值條件，這三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益為由此可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為由于離虛軸的距離是離虛軸距離的7倍多，所以是系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。于是，可將此時(shí)的三階系統(tǒng)，即時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)

15、來處理。簡化后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為由此可得，。單位階躍信號(hào)作用下的性能指標(biāo)為由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)知該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，故其靜態(tài)速度誤差系數(shù)為因此，系統(tǒng)在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為4-14【解】（1）正反饋系統(tǒng)的根軌跡（此時(shí)應(yīng)按零度根軌跡規(guī)則繪制）1) 該系統(tǒng)有4個(gè)開環(huán)極點(diǎn)和1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，即p1,20，p3-2和p4-4，z1-1。2) 該系統(tǒng)有4條根軌跡分支，一條趨向于z1-1，其余三條均趨向于無窮遠(yuǎn)處。3) 實(shí)軸上-4,-2、-1,0和0,+)為根軌跡區(qū)域。4) 由于nm3，故系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，其與實(shí)軸的交角和交點(diǎn)分別為：5) 根軌跡的分離點(diǎn)。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式，可知，。代入方

16、程，整理得到求解上述方程，得到方程的根為s10，s23.0837，s3,41.1248j0.6814根據(jù)實(shí)軸上系統(tǒng)根軌跡的分布，所以分離點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)取d-3.0837。正反饋系統(tǒng)的根軌跡如圖4-21(a)所示。（2）負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡（此時(shí)應(yīng)按常規(guī)根軌跡規(guī)則繪制）1) 該系統(tǒng)有4個(gè)開環(huán)極點(diǎn)和1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，即p1,20，p3-2和p4-4，z1-1。2) 該系統(tǒng)有4條根軌跡分支，一條趨向于z1-1，其余三條均趨向于無窮遠(yuǎn)處。3) 實(shí)軸上(-,-4和-2,-1為根軌跡區(qū)域。4) 由于n-m3，故系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，其與實(shí)軸的交角和交點(diǎn)分別為：5) 根軌跡的分離點(diǎn)。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式，可知

17、，。代入方程，整理得到求解上述方程，得到方程的根為s10，s2-3.0837，s3,4-1.1248j0.6814根據(jù)實(shí)軸上系統(tǒng)根軌跡的分布，所以分離點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)取d0。6) 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為將sj代入上式，并令實(shí)部和虛部分別為零，得到求解上述方程組，得到解為負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡如圖4-21(b)所示。 (a)正反饋系統(tǒng)根軌跡 (b)負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡圖4-21 題4-14的系統(tǒng)根軌跡4-15 【解】(1) 當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為于是，以Kt為參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制以Kt為參變量的根軌跡，如圖4-23所示。圖4-23當(dāng)時(shí)的參數(shù)根軌跡圖根據(jù)參變量的等

18、效開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式，可知，。代入方程，整理得到分離點(diǎn)方程如下：求解得到根據(jù)實(shí)軸上系統(tǒng)根軌跡的分布，取分離點(diǎn)坐標(biāo)為d-6.28。此時(shí)，對(duì)應(yīng)的根軌跡增益為在這種情況下，可以在0 Kt 0.7886范圍內(nèi)，通過改變Kt的值使系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)具有的最佳阻尼比。(2) 當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為于是，以Ka為參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制以Ka為參變量的根軌跡，如圖4-24所示。圖4-24當(dāng)時(shí)的參數(shù)根軌跡圖這種情況下，由于Ka的值越大，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)就越靠近虛軸，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差，因此不能通過改變Ka的值來使系統(tǒng)的性能達(dá)到最佳。(3) 當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函

19、數(shù)為于是，以Ka為參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制以Ka為參變量的根軌跡，如圖4-25所示。圖4-25當(dāng)時(shí)的參數(shù)根軌跡圖這種情況下，也不能通過改變Ka的值來使系統(tǒng)的性能達(dá)到最佳。綜上所述，應(yīng)選取第一種傳遞函數(shù)，即。5-1 解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為則，閉環(huán)頻率特性為由線性系統(tǒng)頻率特性的特點(diǎn)和已知的輸入信號(hào)可得，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出分別為：(3) 根據(jù)線性系統(tǒng)疊加性有：5-2 解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為對(duì)應(yīng)的幅頻和相頻特性表達(dá)式分別為由題設(shè)條件知，。則：解之得：。5-3 解：奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為(，-90)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-180)，可知圖形位于第象限。如圖5-10(a)所示。由傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為典型型系統(tǒng)，

20、當(dāng)時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線分別如圖5-10(b)中的和所示。圖5-10 題5-3（1）解答圖奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為(，-180)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-180)系統(tǒng)相位可見，時(shí)奈氏曲線位于第象限，時(shí)時(shí)奈氏曲線位于第象限。如圖5-11(a)(b)所示。由傳遞函數(shù)知該系統(tǒng)為典型型系統(tǒng)，兩種情況下的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-11(c)(d)所示。圖5-11 題5-3（2）解答圖。奈氏曲線起點(diǎn)為(1,0)，終點(diǎn)為(,0)系統(tǒng)相位為可見，時(shí)奈氏曲線位于第象限，如圖5-12(a)中的所示；時(shí)奈氏曲線位于第象限，如圖5-12(a)中的所示。時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-12 (b) 中的所示；時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-1

21、2 (b) 中的所示。圖5-12 題5-3（3）解答圖 (4) 則，奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(1/T，-180)系統(tǒng)相位為可見，奈氏曲線位于第、象限，如圖5-13(a)所示。由傳遞函數(shù)知該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，Bode圖與第（3）題相同。和時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線分別如圖5-13 (b) 中的和所示。圖5-13 題5-3（4）解答圖奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為(，-90)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-270)因此，奈氏曲線位于第、象限，與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)。令：則，由此概略繪制奈氏圖如圖5-14(a)所示。對(duì)數(shù)幅頻特性圖如圖5-14 (b)所示。圖5-14 題5-3（5）解答圖奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為(，-180

22、)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-360)因此，奈氏曲線位于第、象限，與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)。令則，由此概略繪制奈氏圖如圖5-15(a)圖所示。由此概略繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖如圖5-15 (b)圖所示。圖5-15 題5-3（6）解答圖5-4 解： 令 則， 由此概略繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖如圖5-17(a)圖所示。令則，由此概略繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖如圖5-17(b)圖所示。 令則，令則，再設(shè)則有，由此概略繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖如圖5-17(c)圖所示。圖5-17 題5-4解答圖5-5 解：則，則且有兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)則，且在處有兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)則，則， 在處為振蕩環(huán)節(jié)，；在處為二階微分環(huán)節(jié)，則，由，在處有一振蕩環(huán)節(jié)由則，在有兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)，

23、在處有一個(gè)慣性環(huán)節(jié)則，5-6解：由奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為(，-180)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-270)令，可知，在時(shí)，奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)，位于第、象限。且此時(shí)，可判斷，奈氏圖如圖5-19(a)所示，作增補(bǔ)線，由奈氏判據(jù)可知系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。在時(shí)，奈氏圖與負(fù)實(shí)軸無交點(diǎn)，位于象限，如圖5-19(b)所示，作增補(bǔ)線，由奈氏判據(jù)可知系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。圖5-19 習(xí)題5-6解答圖5-7 解：奈氏判據(jù)的內(nèi)容是：如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有P個(gè)不穩(wěn)定的極點(diǎn)（即s右半平面的極點(diǎn)），則當(dāng)=0變化時(shí)，開環(huán)奈氏曲線逆時(shí)針方向包圍（-1, j0）點(diǎn)的圈數(shù)為N = P/2（即Z = 0）時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。對(duì)于(a)圖，P

24、 =1，N =1/2 = P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；對(duì)于(b)圖，P =1，N = -1/2 P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；對(duì)于(c)圖，P =1，N = -1/2 P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；對(duì)于(d)圖，P =0，需做輔助線如圖5-21(d)， 則N = 0 = P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；對(duì)于(e)圖，P =2，需做輔助線如圖5-21 (e)， 則 N = 1= P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；對(duì)于(f)圖，P =0，需做輔助線如圖5-21 (f )， 則N = -1 P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；對(duì)于(g)圖，P =1， 則N = 0.5 = P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；對(duì)于(h)圖， P =2， 則N = 1= P/2，系統(tǒng)

25、閉環(huán)穩(wěn)定；對(duì)于(i)圖，P =0，需做輔助線如圖5-21 (i)， 則N+ = N-=1，N = N+ =N- =0 = P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；對(duì)于(j)圖，P =1，需做輔助線如圖5-21(j)， 則N = -1P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；對(duì)于(k)圖，P =0，需做輔助線如圖5-21(k)， 則N = -1P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；對(duì)于(l)圖，P =2， 則N = 0 P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；圖5-21 習(xí)題5-7解答圖5-8 解：奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為(，-90)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-270)，曲線位于第、象限，與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)，如圖5-22所示。(1)T=2時(shí)，,根據(jù)奈氏判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲

26、線應(yīng)不包圍(-1, j0)點(diǎn)，即有：（2）時(shí), 根據(jù)奈氏判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線應(yīng)不包圍(-1, j0)點(diǎn)，即有：（3）同（2）方法可求出：,根據(jù)奈氏判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線應(yīng)不包圍(-1, j0)點(diǎn)，即有：或者圖5-22 習(xí)題5-8解答圖5-9 解：由圖知，開環(huán)奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)從左到右交點(diǎn)處相位截止頻率頻率分別為，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可寫為由題設(shè)條件知：當(dāng)取時(shí)，若令，可得對(duì)應(yīng)的K值分別為分別畫出時(shí)的奈氏圖，并作對(duì)應(yīng)的增補(bǔ)輔助線，如圖5-24所示。由奈氏判據(jù)可判斷：，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。由此可得，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍是。圖5-24 習(xí)題5-9解答圖5-10

27、解：（1）對(duì)于(a)圖有，則 對(duì)于(b)圖有，且低頻段延長線與軸的交點(diǎn)頻率為，則有對(duì)于(c)圖有，且低頻段與軸的交點(diǎn)頻率為則，（2）對(duì)于(a)圖，由對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù)知，相頻特性為可見，時(shí)，。由此可大致畫出相頻特性如圖5-26(a)所示。再由得，奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)（100,0），終點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-180)，由此可大致畫出系統(tǒng)奈氏圖如圖5-26(b)所示。圖5-26 習(xí)題5-10（a）解答圖對(duì)于(b)圖，由對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為典型型系統(tǒng)，相頻特性為，且時(shí)，由此可大致畫出其相頻特性如圖5-27(a)所示。再由，奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為（,-180），終點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-180)，且由相頻特性可知奈氏曲線位于第

28、象限。由此可大致畫出其奈氏圖如圖5-27(b)所示。圖5-27 習(xí)題5-10(b)解答圖對(duì)于(c)圖，有對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù)知，相頻特性為且，即從的幾何中心穿過軸。由此可大致畫出其相頻特性如圖5-28(a)所示。再由知時(shí)，奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為（0,90），終點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-90)，且由相頻特性可知奈氏曲線位于第、象限。由此可大致畫出其奈氏圖如圖5-28(b)所示。圖5-28 習(xí)題5-10(c)解答圖5-11 解：（1）由相位裕量定義得由 （2）由相位裕量定義得 由。 （3）由 令 由和得 5-12 解：（1）由低頻段延長線由圖有， （2）該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，且則，系統(tǒng)相位裕量為，可知系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。（3

29、）令則，系統(tǒng)幅值裕量為，。5-13解：由結(jié)構(gòu)圖得，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 第一種方法，用勞斯判據(jù)。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：因方程中，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。 第二種方法，用奈氏判據(jù)。由奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為（,-90），終點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-270)，曲線位于第、象限。由此可大致畫出其奈氏圖如圖5-31所示。令則，。可見，奈氏曲線包圍（-1,j0）點(diǎn)，而中不含s有半平面極點(diǎn)，即P =0，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖5-31 習(xí)題5-13解答圖5-14解：由教材5.3節(jié)圖5-29可知，延遲系統(tǒng)的奈氏曲線是一條繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則螺旋線應(yīng)不包圍(-1, j0)點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)于最小的相位穿越頻率 (離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的

30、穿越頻率) x處應(yīng)有。即又由可見，的減函數(shù)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)有。 5-15解：本系統(tǒng)含有延遲環(huán)節(jié)，奈氏曲線為螺旋線。由可得由可知，隨的增大幅值遞減，因此在系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)最小穿越頻率處 K 值最大。系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)，在最小的處應(yīng)有則，。5-16 解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 對(duì)應(yīng)的相位為 在穿越頻率x處，令 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)，其奈氏曲線必經(jīng)過(-1, j0)點(diǎn)，可令 將代入上式，可求得系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)Kh=1。5-17 解：（1）根據(jù)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性圖可知：K=10，=1。則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 （2）根據(jù)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性圖有： 則系統(tǒng)相位裕量為： 所以，系統(tǒng)穩(wěn)定。但由于相位裕量太小，系統(tǒng)仍不能穩(wěn)定工作

31、。將其對(duì)數(shù)幅頻特性向右平移10倍頻程后，各段斜率不變，幅值抬高，穩(wěn)態(tài)精度提高，抗干擾能力降低。中頻段c增大，快速性提高，但其斜率和中頻寬度都沒有改變，因此穩(wěn)定性沒有得到改善。5-18 解：（1）根據(jù)已知的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性圖可知：圖a為型系統(tǒng)，低頻段延長線與軸交點(diǎn)頻率值為，則有： 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的相位裕量為： 圖b為型系統(tǒng)，低頻段延長線與軸交點(diǎn)頻率值為K，則有： 。則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的相位裕量為： （2）根據(jù)求得的開環(huán)傳遞函數(shù)可知對(duì)(a)圖：則，在作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為 對(duì)(b)圖：則，在作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為 5-19 解：（1）根據(jù)的要求有： 由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)知：該系統(tǒng)為型系統(tǒng)

32、，且其幅頻Bode圖第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，所以有：。 （2）該系統(tǒng)為型系統(tǒng)，。5-20 解：（1）時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 根據(jù)穿越頻率的定義有 則，幅值裕量 （2）時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，按照各轉(zhuǎn)折頻率其幅值可近似表示為 根據(jù)幅值截止頻率的定義有 則，系統(tǒng)相位裕量為 5-21 解：由題意得： 由Bode圖得： 所以，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 本系統(tǒng)為典型型系統(tǒng)，系統(tǒng)的靜態(tài)位置、速度、加速度誤差系數(shù)分別為： 所以，系統(tǒng)對(duì)階躍信號(hào)、斜坡信號(hào)的輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為零；對(duì)單位加速度信號(hào)輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為： 本系統(tǒng)為三階型系統(tǒng)，時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為。不存在閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，故按高階系統(tǒng)估算超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。時(shí)

33、系統(tǒng)的相位裕量為：閉環(huán)諧振峰值為 對(duì)應(yīng)的超調(diào)量為 調(diào)節(jié)時(shí)間為則， 6-1 解：（1）由傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為型系統(tǒng)。令，可得，原系統(tǒng)的相位裕量為因此，可用串聯(lián)超前校正比較合適。（2）設(shè)，并取此時(shí)，近似有或者由校正原理圖6-14可知圖6-14 習(xí)題6-1圖則：， 故，校正裝置傳遞函數(shù)為。（3）校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為由此可求得校正后系統(tǒng)的相位裕量為滿足要求。6-2 解：（1）由傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為型系統(tǒng)。則由穩(wěn)態(tài)指標(biāo)要求有：故，滿足穩(wěn)態(tài)性能的未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為。令，可得，原系統(tǒng)的相位裕量為因此，選用串聯(lián)超前校正比較合適。（2）設(shè)，并取。根據(jù)，則有：，取=5 按超前校正原理，應(yīng)有，此時(shí)，近似有

34、或者根據(jù)超前校正原理圖6-15圖6-15 習(xí)題6-2解答圖有：則：， 故，校正裝置傳遞函數(shù)為。（3）校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為由此可求得校正后系統(tǒng)的相位裕量為滿足要求。6-3 解：(1) 滿足的原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為。其對(duì)數(shù)幅頻特性如圖6-16中所示。圖6-16 習(xí)題6-3解答圖由圖可見，則則校正前系統(tǒng)相位裕量為可見原系統(tǒng)不穩(wěn)定，故選用串聯(lián)滯后校正。(2) 設(shè)，并取則校正后系統(tǒng)的相位裕量應(yīng)為： 。令解之得：（即通過計(jì)算法求得）。原系統(tǒng)在處的幅值近似為：則其對(duì)數(shù)幅值近似為：或者由圖得：選擇校正裝置的轉(zhuǎn)折頻率，則。則，校正裝置的傳遞函數(shù)為繪制對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖如圖6-16中所示。(4) 指標(biāo)驗(yàn)算校正

35、后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為繪制對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖如圖6-16中所示。由此可求得校正后系統(tǒng)的相位裕量為 由圖可知，滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求。6-4 解：(1) ，滿足穩(wěn)態(tài)要求的原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為。其對(duì)數(shù)幅頻特性如圖6-17中所示。圖6-17 習(xí)題6-4解答圖由圖可見，則則校正前系統(tǒng)相位裕量為可見原系統(tǒng)不穩(wěn)定，故選用串聯(lián)滯后校正。(2) 設(shè)，取校正后系統(tǒng)截止頻率s-1原系統(tǒng)在處的幅值近似為：則，其對(duì)數(shù)幅值近似為：或由圖得：選取校正裝置的轉(zhuǎn)折頻率，則。則，校正裝置的傳遞函數(shù)為繪制對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖如圖6-17中所示。(4) 指標(biāo)驗(yàn)算校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為繪制對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖如圖6-17中所示。由此可

36、求得校正后系統(tǒng)的相位裕量為滿足要求。6-5 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若要求校正后系統(tǒng)的開環(huán)增益不小于12，超調(diào)量小于，調(diào)節(jié)時(shí)間小于3s，試確定串聯(lián)滯后校正裝置。參考答案：（方法同6-4）6-6 參考答案：（采用期望頻率特性法，方法同例6-5）6-7 解：（1）系統(tǒng)為標(biāo)準(zhǔn)型，取K=256，則用分段線性化法分析得，原系統(tǒng)相位裕量為系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）用期望頻率特性法設(shè)計(jì)校正裝置做原系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖6-18中的所示。根據(jù)題意取，過做-20dB/dec直線段作為的中頻段，為使校正后系統(tǒng)保持K=256，使預(yù)期開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性與原系統(tǒng)在低頻段重合；為使校正裝置及校正后系統(tǒng)簡單，可使此在后的高頻

37、段與平行或重合。再由題意選取，則，期望特性中頻段兩端轉(zhuǎn)折頻率為則，中頻寬度滿足一般設(shè)計(jì)要求。從開始向左做-40dB/dec直線段與相交于；從開始向右做-40dB/dec直線段到，從處向右做-60dB/dec的直線。從而得到預(yù)期開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖6-18中所示。對(duì)應(yīng)開環(huán)傳遞函數(shù)為圖6-18 題6-7解答圖由可得對(duì)應(yīng)開環(huán)傳遞函數(shù)為由可得到，校正裝置對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖6-18中的所示。則，校正裝置傳遞函數(shù)為（3）指標(biāo)校驗(yàn)由和表達(dá)式得，校正后系統(tǒng)相位裕量為滿足設(shè)計(jì)要求。6-8 解：(1) 原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，Kv=K=200滿足穩(wěn)態(tài)要求。其開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖6-20中所示，由圖得。圖6

38、-20 題6-8解答圖(2) 期望開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的設(shè)計(jì)把性能指標(biāo)，代入公式求校正后系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)，并?。?。為滿足指標(biāo)要求，必須使校正后系統(tǒng)中頻段以穿過0dB線。可認(rèn)為期望頻率特性的規(guī)律為：。為使校正裝置簡單，過作直線，交于，并取，使校正后系統(tǒng)中頻寬度。相應(yīng)的相位裕量為。過做的直線，交于。為使校正后系統(tǒng)簡單，且不影響原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度和抗干擾能力，使校正后系統(tǒng)的低、高頻段均與原系統(tǒng)重合。至此期望特性繪制完成，如圖6-20中所示。由圖可得校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 (3) 確定校正環(huán)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性由圖可見，反饋校正裝置只在的頻段內(nèi)起作用，此時(shí)由可得到此頻段內(nèi)校正環(huán)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖；而在的頻段內(nèi)不起作用，因此，為了使校正裝置盡可能簡單，一般要求曲線在這兩個(gè)頻段內(nèi)，保持穿越斜率不變。由此可得到校正環(huán)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，如圖6-20中所示。由可得到校正環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(4) 檢驗(yàn)校正環(huán)的穩(wěn)定性檢驗(yàn)校正環(huán)的穩(wěn)定性主要就是檢驗(yàn)在處的相位裕量?？梢娦Ｕh(huán)穩(wěn)定。在處的對(duì)數(shù)幅值基本滿足的要求，說明誤差在允許的范圍之內(nèi)。(5) 確定校正裝置傳遞函數(shù)由圖6-19得 則，(5) 驗(yàn)算有上述計(jì)算過程有則全部滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)要求。6-9 解：比例控制器，比例-微分（