初中數(shù)學(xué)背景知識(shí)29 圓錐曲線漫談素材 人教新課標(biāo)版

1、圓錐曲線漫談圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過(guò)直角坐標(biāo)系，它們又與二次方程對(duì)應(yīng)，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。圓錐曲線一直是幾何學(xué)研究的重要課題之一，在我們的實(shí)際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線。我們生活的地球每時(shí)每刻都在環(huán)繞太陽(yáng)的橢圓軌跡上運(yùn)行，太陽(yáng)系其他行星也如此，太陽(yáng)則位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。如果這些行星運(yùn)行速度增大到某種程度，它們就會(huì)沿拋物線或雙曲線運(yùn)行。人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個(gè)原理。相對(duì)于一個(gè)物體，按萬(wàn)有引力定律受它吸引的另一物體的運(yùn)動(dòng)，不可能有任何其他的軌道了。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式。由拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn)，可得到一個(gè)叫做旋轉(zhuǎn)物

2、面的曲面。它也有一條軸，即拋物線的軸。在這個(gè)軸上有一個(gè)具有奇妙性質(zhì)的焦點(diǎn)，任何一條過(guò)焦點(diǎn)的直線由拋物面反射出來(lái)以后，都成為平行于軸的直線。這就是我們?yōu)槭裁匆烟秸諢舴垂忡R做成旋轉(zhuǎn)拋物面的道理。由雙曲線繞其虛軸旋轉(zhuǎn)，可以得到單葉雙曲面，它又是一種直紋曲面，由兩組母直線族組成，各組內(nèi)母直線互不相交，而與另一組母直線卻相交。人們?cè)谠O(shè)計(jì)高大的立塔時(shí)，就采取單葉雙曲面的體形，既輕巧又堅(jiān)固。由此可見(jiàn)，對(duì)于圓錐曲線的價(jià)值，無(wú)論如何也不會(huì)估計(jì)過(guò)高。對(duì)于圓錐曲線的最早發(fā)現(xiàn)，眾說(shuō)紛法。有人說(shuō)，古希臘數(shù)學(xué)家在求解“立方倍積”問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線：設(shè)x、y為a和2a的比例中項(xiàng)，即。a：xx：yy：2a，則x=ay,

3、 y22ax，xy2a2，從而求得x22a3。又有人說(shuō)，古希臘數(shù)學(xué)家在研究平面與圓錐面相截時(shí)發(fā)現(xiàn)了與“立方倍積”問(wèn)題中一致的結(jié)果。還有認(rèn)為，古代天文學(xué)家在制作日晷時(shí)發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。日晷是一個(gè)傾斜放置的圓盤，中央垂直于圓盤面立一桿。當(dāng)太陽(yáng)光照在日晷上，桿影的移動(dòng)可以計(jì)時(shí)。而在不同緯度的地方，桿頂尖繪成不同的圓錐曲線。然而，日晷的發(fā)明在古代就已失傳。早期對(duì)圓錐曲線進(jìn)行系統(tǒng)研究成就最突出的可以說(shuō)是古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼（Apollonius,前262前190）。他與歐幾里得是同時(shí)代人，其巨著圓錐曲線與歐幾里得的幾何原本同被譽(yù)為古代希臘幾何的登峰造極之作。在圓錐曲線中，阿波羅總結(jié)了前人的工作，尤其是歐幾

4、里得的工作，并對(duì)前人的成果進(jìn)行去粗存精、歸納提煉并使之系統(tǒng)化的工作，在此基礎(chǔ)上，又提出許多自己的創(chuàng)見(jiàn)。全書8篇，共487個(gè)命題，將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，以致后代學(xué)者幾科沒(méi)有插足的余地達(dá)千余年?，F(xiàn)在，我們都知道，用一個(gè)平面去截一個(gè)雙圓錐面，會(huì)得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線以及它們的退化形式：兩相交直線，一條直線和一個(gè)點(diǎn)，如圖1，所示。在此，我們僅介紹阿波羅尼關(guān)于圓錐曲線的定義。如圖2，給定圓BC及其所在平面外一點(diǎn)A，則過(guò)A且沿圓周移動(dòng)的一條直線生成一個(gè)雙錐面。這個(gè)圓叫圓錐的底，A到圓心的直線叫圓錐的軸（未畫出），軸未必垂直于底。設(shè)錐的一個(gè)截面與底交于直線DE，取底圓的垂直于DE的一條直徑BC，于

5、是含圓錐軸的ABC叫軸三角形.軸三角形與圓錐曲線交于P、P,PP未必是圓錐曲線的軸，PPM是由軸三角形與截面相交而定的直線，PM也未必垂直于DE。設(shè)QQ是圓錐曲線平行于DE的弦，同樣QQ被PP平分，即VQ=QQ?，F(xiàn)作AFPM，交BM于F，再在截面上作PLPM。如圖3，PLPP對(duì)于橢圓、雙曲線，取L滿足，而拋物線，則滿足，對(duì)于橢圓、雙曲線有QV2=PVVR，對(duì)于拋物線有QV2=PVPL，這是可以證明的兩個(gè)結(jié)論。在這兩個(gè)結(jié)論中，把QV稱為圓錐曲線的一個(gè)縱坐標(biāo)線，那么其結(jié)論表明，縱坐標(biāo)線的平方等于PL上作一個(gè)矩形的面積。對(duì)于橢圓來(lái)講，矩形PSRV尚未填滿矩形PLJV；而雙曲線的情形是VRPL，矩形P

6、SRV超出矩形PLJV；而拋物線，短形PLJV恰好填滿。故而，橢圓、雙曲線、拋物線的原名分別叫“虧曲線”、“超曲線”和“齊曲線”。這就是阿波羅尼引入的圓錐曲線的定義。阿波羅尼所給出的兩個(gè)結(jié)論，也很容易用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示：趨向無(wú)窮大時(shí)，LS=0，即拋物線，亦即橢圓或雙曲線的極限形式。在阿波羅尼的圓錐曲線問(wèn)世后的13個(gè)世紀(jì)里，整個(gè)數(shù)學(xué)界對(duì)圓錐曲線的研究一直沒(méi)有什么新進(jìn)展。11世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾利用圓錐曲線來(lái)解三次代數(shù)方程，12世紀(jì)起，圓錐曲線經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，但當(dāng)時(shí)對(duì)圓錐曲線的研究仍然沒(méi)有突破。直到16世紀(jì)，有兩年事促使了人們對(duì)圓錐曲線作進(jìn)一步研究。一是德國(guó)天文學(xué)家開普勒（Kepler,157

7、11630）繼承了哥白尼的日心說(shuō)，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)行的事實(shí)；二是意大利物理學(xué)家伽利略（Galileo,15641642）得出物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌道是拋物線。人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，而且是自然界物體運(yùn)動(dòng)的普遍形式。于是，對(duì)圓錐曲線的處理方法開始有了一些小變動(dòng)。譬如，1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,15451607）橢圓定義為：到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。從而改變了過(guò)去對(duì)圓錐曲線的定義。不過(guò)，這對(duì)圓錐曲線性質(zhì)的研究推進(jìn)并不大，也沒(méi)有提出更多新的定理或新的證明方法。17世紀(jì)初，在當(dāng)時(shí)關(guān)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象能從一個(gè)形狀連續(xù)地變到另一形狀的

8、新思想的影響下，開普勒對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述。他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點(diǎn)和離心率，并指出拋物線還有一個(gè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的焦點(diǎn)，直線是圓心在無(wú)窮遠(yuǎn)處的圓。從而他第一個(gè)掌握了這樣的事實(shí)：橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線，都可以從其中一個(gè)連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€(gè)，只須考慮焦點(diǎn)的各種移動(dòng)方式。譬如，橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，如圖4，若F1固定，考慮F2的移動(dòng)，當(dāng)F2向左移動(dòng)，橢圓逐漸趨向于圓，F(xiàn)2與F2重合時(shí)即為圓；當(dāng)F2向右移動(dòng)，橢圓逐漸趨向于拋物線，F(xiàn)2到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)即為拋物線；當(dāng)F2從無(wú)窮遠(yuǎn)處由左邊回到圓錐曲線的軸上來(lái)，即為雙曲線；當(dāng)F2繼續(xù)向右移動(dòng)，F(xiàn)2又與F1重合時(shí)即為兩相交直線，

9、亦即退化的圓錐曲線。這為圓錐曲線現(xiàn)代的統(tǒng)一定義提供了一個(gè)合乎邏輯的直觀基礎(chǔ)。隨著射影幾何的創(chuàng)始，原本為畫家提供幫助的投射、截影的方法，可能由于它與錐面有著天然的聯(lián)系，也被用于圓錐曲線的研究。在這方面法國(guó)的三位數(shù)學(xué)家笛沙格（Desargue1591 1661）、帕斯卡（Pascal，1623 1662）和拉伊爾（Phailippe de La Hire，16401718）得出了一些關(guān)于圓錐曲線的特殊的定理，可謂別開生面。而當(dāng)法國(guó)另外兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)馬創(chuàng)立了解析幾何，人們對(duì)圓錐曲線的認(rèn)識(shí)進(jìn)入了一個(gè)新階段，對(duì)圓錐曲線的研究方法既不同于阿波羅尼，又不同于投射和截影法，而是朝著解析法的方向發(fā)展，即通過(guò)建立坐標(biāo)系，得到圓錐曲線的方程，進(jìn)而利用方程來(lái)研究圓錐曲線，以期擺脫幾何直觀而達(dá)到抽象化的目標(biāo)，也可求得對(duì)圓錐曲線研究高度的概括和統(tǒng)一。 到18世紀(jì)，人們廣泛地探討了解析幾何，除直角坐標(biāo)系之外又建立極坐標(biāo)系，并能把這兩種坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換。在這種情況下表示圓錐曲線的二次方程也被化為幾種標(biāo)準(zhǔn)形式，或者引進(jìn)曲線的參數(shù)方程。1745年歐拉發(fā)表了分析引論，這是解析幾何發(fā)展史上的一部重要著作，也是圓錐曲線研究的經(jīng)典之作。在這部著作中，歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述，從一般二次方程。出發(fā)，圓錐曲線的各種情形，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，總可以化以下標(biāo)準(zhǔn)形式之一：繼歐拉之后，三維