概率論34節(jié)兩個隨機(jī)變量函數(shù)分布

1、二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 四、小結(jié)四、小結(jié)一、問題的引入一、問題的引入第第3.43.4節(jié)兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布節(jié)兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 .,),(,的的分分布布分分布布確確定定的的如如何何通通過過的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與并并且且已已知知表表示示該該人人的的血血壓壓年年齡齡和和體體重重分分別別表表示示一一個個人人的的和和令令有有一一大大群群人人ZYXYXfZYXZZYX 為了解決類似的問題為了解決類似的問題,下面下面我們討論兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布我們討論兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布.一、問題的引入一、問題的引入

2、二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律為為設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量),(YX例例1.)2(,)1(的的分分布布律律求求YXYX 概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121) 0 , 1( 123 221,122 121,121)2, 3( 122)0 , 3(122XY012 1 21312312112101211221220122解解等價于等價于概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121)0 , 1( 123 2,21122 1,21121)2, 3( 12

3、2)0 , 3(122YX 3 2 1 23 21 13YX 101252353YX P3 2 1 23 21 13121121123122121122122YX P01252353124121122121122122的的分分布布律律分分別別為為所所以以YXYX ,結(jié)論結(jié)論的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律為為若若二二維維離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量, 2 , 1, jipyYxXPijji的分布律為的分布律為則隨機(jī)變量函數(shù)則隨機(jī)變量函數(shù)),( YXfZ ),(kkzYXfPzZP ., 2 , 1),( kpjikyxfzij例例2 設(shè)兩個獨立的隨機(jī)變量設(shè)兩個獨立的隨機(jī)變量X 與與Y 的分布律為的分布

4、律為XXP317 . 03 . 0YYP424 . 06 . 0求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的分布律的分布律.,jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318. 012. 042. 028. 0因為因為 X 與與 Y 相互獨立相互獨立, 所以所以解解可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18. 012. 042. 028. 0YXZ 3557所以所以YXZ P35718. 054. 028. 0YX421318. 012. 042. 028. 0例例3 設(shè)相互獨立的兩個隨機(jī)變量設(shè)相互獨立的兩個隨機(jī)變量 X, Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律

5、為的分布律為XP105 . 05 . 0.),max(:的的分分布布律律試試求求YXZ ,jYPiXPjYiXP 所所以以于是于是XY1010221221221221解解,相相互互獨獨立立與與因因為為YX),max(iYXP ,iYiXP ,iYiXP 0),max( YXP0 , 0P ,212 1),max( YXP1 , 11 , 00 , 1PPP 222212121 .232 的的分分布布律律為為故故),max(YXZ ZP104341XY1010221221221221的分布函數(shù)為則的概率密度為設(shè)YXZyxpYX ),(),()(zZPzFZ yxyxpzyxdd),( xyOzy

6、x yxyxpyzdd),( yux yuyyupzdd),( .dd),(uyyyupz 三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 1. Z=X+Y 的分布的分布由此可得概率密度函數(shù)為由此可得概率密度函數(shù)為.d),()( yyyzpzpZ.d),()(xxzxpzpZ 由于由于X 與與Y 對稱對稱, 當(dāng)當(dāng) X, Y 獨立時獨立時,也也可可表表示示為為)(zpZ,d)()()( yypyzpzpYXZ.d)()()(xxzpxpzpYXZ 或,21)(22 yeypyY例例4 設(shè)兩個獨立的隨機(jī)變量設(shè)兩個獨立的隨機(jī)變量 X 與與Y 都服從標(biāo)準(zhǔn)正都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布態(tài)分布,求求 Z=

7、X+Y 的概率密度的概率密度.221( ),2xXpxex 解 由于解 由于.d)()()(xxzpxpzpYXZ 由公式.)2 , 0(分布分布服從服從即即NZ2zxt teetzd21242 .2142ze 22()221( )d2xzxZpzeex xeezxzd212242 得得說明說明).,(,).,(),(,222121222211NZYXZNYNXYX 且有且有仍然服從正態(tài)分布仍然服從正態(tài)分布則則相互獨立且相互獨立且設(shè)設(shè)一般一般 有限個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合有限個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布仍然服從正態(tài)分布. 例如，設(shè)例如，設(shè)X、Y獨立，都具有正態(tài)分

8、布，則獨立，都具有正態(tài)分布，則 3X+4Y+1也具有正態(tài)分布也具有正態(tài)分布.為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 例例5 若若X和和Y 獨立獨立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 . 其它其它,)(0101xxp dxxzpxpzpYXZ)()()(解解: 由卷積公式由卷積公式 1010 xzx也即也即 zxzx110為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 其它其它,)(021210110zzZzzdxzzdxzp如圖示如圖示:1010 xzx也即也即zxzx110于是于

9、是 dxxzpxpzpYXZ)()()(. .的概率密度的概率密度求電阻求電阻其它其它它們的概率密度均為它們的概率密度均為相互獨立相互獨立設(shè)設(shè)串聯(lián)聯(lián)接串聯(lián)聯(lián)接和和兩電阻兩電阻在一簡單電路中在一簡單電路中212121., 0,100,5010)(,RRRxxxpRRRR 解解的的概概率率密密度度為為由由題題意意知知 R.d)()()( xxzpxpzpR例例6 ,100,100 xzx當(dāng)當(dāng),10,100時時即即 zxzxO1020zx10 zxzx 10 x.d)()()(中被積函數(shù)不為零 xxzpxpzpR) 1 (., 0,2010,d)()(,100,d)()()(10100 其它zzRz

10、xxzpxpzxxzpxpzp ., 0,100,5010)(其它將xxxp此時此時2.極值分布極值分布),min(),max(YXNYXM 及及令令),()(,yFxFYXYX和和的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為它們它們變量變量是兩個相互獨立的隨機(jī)是兩個相互獨立的隨機(jī)設(shè)設(shè)則有則有)(maxzMPzF ,zYzXP zYPzXP ).()(zFzFYX )(minzNPzF 1zNP ,1zYzXP 1zYPzXP 1 1 1zYPzXP ).(1)(11zFzFYX ),min(),max(YXNYXM 及及令令故有故有),()()(maxzFzFzFYX ).(1)(11)(minzFzF

11、zFYX 00()()2.25( ),( ),0,0,min(, ).( )1(0)( )1(0)( )1 1( )1( )1(0)( )()(0)xuxXyvyYzZXYzZXExpYExpXYZX YFxeduexFyedveyZFzFzFzezP zezZEx 例已知與 相互獨立 求的分布密度解 由題設(shè)知則 的分布函數(shù)為則說明().p解解),max(54321XXXXXD 設(shè)設(shè)例例2.4),max(:., 0, 0,1)(:,55432182543212的概率的概率試求試求其它其它且都服從同一分布且都服從同一分布機(jī)變量機(jī)變量設(shè)它們是相互獨立的隨設(shè)它們是相互獨立的隨察值為察值為得到的觀得到

12、的觀次次測量了測量了對某種電子裝置的輸出對某種電子裝置的輸出 XXXXXzezFXXXXXze,)()(5maxzFzF 因因為為41 DP.)1(152ee )4(1maxF 5)4(1F 4 DP所以所以.),(iii),(ii),(i),2121圖所示圖所示如如開始工作開始工作系統(tǒng)系統(tǒng)損壞時損壞時當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)備用備用并聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)串聯(lián)連接的方式分別為連接的方式分別為聯(lián)接而成聯(lián)接而成統(tǒng)統(tǒng)由兩個相互獨立的子系由兩個相互獨立的子系設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例例3度分別為度分別為已知它們的概率密已知它們的概率密的壽命分別為的壽命分別為設(shè)設(shè),21YXLL , 0, 0, 0,)(xxexfxX由由解解串聯(lián)情況串聯(lián)情況(i),21就就停停止止工工作作系系統(tǒng)統(tǒng)中中有有一一個個損損壞壞時時由由于于當(dāng)當(dāng)LLL的的壽壽命命為為所所以以這這時時 L).,min(YXZ .0, 0的的概概率率密密度度的的壽壽命命接接方方式式寫寫出出試試分分別別就就以以上上三三種種聯(lián)聯(lián)且且其其中中ZL , 0, 0, 0,1)(xxexFxX , 0, 0, 0,)(xxexfxX , 0, 0, 0,)(yyeyfyY ; 0, 0, 0,)(yyeyfyY由由 . 0, 0, 0,1)(yyeyFyY)(1)(11)(minzFzFzFYX . 0, 0, 0,1)