清華大學(xué)微積分定積分的應(yīng)用一PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1清華大學(xué)微積分定積分的應(yīng)用一清華大學(xué)微積分定積分的應(yīng)用一2021-8-92 第十九講 定積分的應(yīng)用（一）二、幾何應(yīng)用一、微元分析法第1頁/共37頁2021-8-93.,)1(baxA的的某某個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間自自變變量量依依賴賴于于不不均均勻勻變變化化的的整整體體量量 niiAA1,.)2( 即即具具有有可可加加性性iiiixfAA )()3(求求得得近近似似值值可可“以以不不變變代代變變”部部分分量量可以應(yīng)用定積分計(jì)算的量有如下特點(diǎn):一、微元分析法第2頁/共37頁2021-8-94x)(xAxx A xyab)(xfy o xadttfxA)()(dxxfAd)( )()(xfxA ,)(

2、baCxf dxxfAdA)( )0()()( xxodxxfA 關(guān)鍵是部分量的近似)()(bAdttfba 第3頁/共37頁2021-8-95局局部部量量的的近近似似值值寫寫出出“不不變變代代變變”的的小小區(qū)區(qū)間間取取具具有有代代表表性性第第一一步步：分分割割區(qū)區(qū)間間,xxxba xxfA )(得得定定積積分分就就是是整整體體量量無無限限積積累累上上微微元元在在區(qū)區(qū)間間第第二二步步：令令, 0bax badxxfA)(微分近似)()(xxxfA 要要求求：微元分析法第4頁/共37頁2021-8-96二、幾何應(yīng)用（一）平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算Axfyxbxax所所圍圍

3、曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積曲曲線線軸軸和和連連續(xù)續(xù)及及由由直直線線)(,)1( 根據(jù)定積分的定義和幾何意義知 badxxfA)(第5頁/共37頁2021-8-97,)()(,baxxfxg 先先看看Abxaxxgyxfy所所圍圍成成的的面面積積和和直直線線由由曲曲線線 ,)(),()2( badxxgxfA)()(面積微元xdxx dxxgxfdA)()( badxxgxfA)()(xabyo)(xfy )(xgy 第6頁/共37頁2021-8-98xyxy 1 xy2 xo21)1, 1(.2,11Axxyxy所所圍圍成成的的面面積積及及直直線線求求由由曲曲線線例例 xyyx1解解方方程程

4、組組 1121xx解 21)1(dxxxA2ln23)ln2(|212 xx第7頁/共37頁2021-8-99滿滿足足設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(),(yy ,)()(0dcyyy Adycyyxyx所所圍圍成成的的面面積積和和直直線線求求由由曲曲線線 ,),(),( 面面積積公公式式： dcdyyyA)()( x)(yx cd)(yx yoydyy 第8頁/共37頁2021-8-910.1,5222Ayxyx的的面面積積所所圍圍成成求求由由曲曲線線例例 2215yxyx 212121yy解解方方程程組組解oxy21yx 25yx 210221)51(22dyyyAA32)34(2|2103 yy

5、211A 2102)41(2dyy第9頁/共37頁2021-8-911面面積積微微元元：小小圓圓扇扇形形 ddA)(212 d面積微元 )( o2. 極坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算.,)(所所圍圍成成的的面面積積及及射射線線求求曲曲線線 dA)(212第10頁/共37頁2021-8-912.)cos1(3Aa的的面面積積所所圍圍成成求求心心臟臟線線例例 利利用用對對稱稱性性12AA 0422cos4dao 2042cos8 tdta解 02)cos1(da223a 02)(212d第11頁/共37頁2021-8-913所所圍圍面面積積。求求星星形形線線：例例2, 0sincos433 ttayt

6、axa3.參數(shù)方程下求圖形面積第12頁/共37頁2021-8-914解利利用用對對稱稱性性14AA aydx04dtttata)sin(cos3sin42023 20242)sin1(sin12 dxtta)221436522143(122 a283a 第13頁/共37頁2021-8-915體體積積 badxxAV)(xbaxdxx A(x)（二）空間立體的體積1. 已知平行截面面積立體的體積第14頁/共37頁2021-8-916xab babadxxfdxyV)(22 xdxx 2. 旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxA o)(xfy y第15頁/共37頁2021-8-917xo)(yx cd2)(xy

7、A dcdcdyydyxV)(22 yyy+dy第16頁/共37頁2021-8-918.152222Vxbyax旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成繞繞求求橢橢圓圓例例 xa上上半半橢橢圓圓方方程程為為22xaaby )(axa o得得到到利利用用對對稱稱性性 , adxyVV02122 adxxaab02222)(2 |03222)3(2axxaab 解234ab y第17頁/共37頁2021-8-919旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積？軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成繞繞軸軸所所圍圍圖圖形形和和直直線線怎怎樣樣求求由由曲曲線線例例yxxxy,2,6 2o2, 0.的的變變化化區(qū)區(qū)間間分分即即為為積積分

8、分變變量量取取yy 202222dyxV 20424dyy 251625424 解法一y+dyy第18頁/共37頁2021-8-9202 , 0.的的變變化化區(qū)區(qū)間間分分即即為為積積分分變變量量取取xx體體積積微微元元是是什什麼麼？xdxx 2o薄薄壁壁圓圓桶桶dxyxdV 2 202dxxxV 為為積積分分變變量量？何何時(shí)時(shí)選選擇擇為為積積分分變變量量？何何時(shí)時(shí)選選擇擇思思考考：yx解法二 2516522|2025 x第19頁/共37頁2021-8-921 niiiMM11iiniMM11max 0lim lABxyoiixx ix（三）平面曲線的弧長何謂曲線的長 ？內(nèi)接折線長的極限1M1

9、iMiM0M nM 第20頁/共37頁2021-8-922設(shè)設(shè)曲曲線線段段方方程程為為)1()()(bxaxfy 上上連連續(xù)續(xù)在在即即曲曲線線是是光光滑滑的的,)(,baxf ), 2, 1()()(221niyxMMiiii 中中值值定定理理得得到到由由Lagrangeiiiiixfxfxfy )()()(1)(1iiixx ), 2, 1()(121nixfMMiiii niiiniiixfMM1211)(1 第21頁/共37頁2021-8-923iiniMM11max 記記 inix 1max iiiMMx1從從而而得得到到有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)故故. 0,0, baniiiniiidxxfxfM

10、Ml2120110)(1)(1limlim 弧弧長長： babadxydxxfl221)(1第22頁/共37頁2021-8-924出出設(shè)設(shè)曲曲線線段段由由參參數(shù)數(shù)方方程程給給)2( )()(tyytxx)( t且且不不同同時(shí)時(shí)為為零零,)(),( Ctytx 0,0,;, dldtBtAt有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)即即對對應(yīng)應(yīng)終終點(diǎn)點(diǎn)對對應(yīng)應(yīng)起起點(diǎn)點(diǎn) dttytxl)()(22弧弧長長公公式式：第23頁/共37頁2021-8-925給給出出設(shè)設(shè)曲曲線線段段由由極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程)3()()( 上上連連續(xù)續(xù)在在,)( 作作為為參參數(shù)數(shù)選選 )(sin)(cos)( yx弧弧長長公公式式： dl)()(22第

11、24頁/共37頁2021-8-926第25頁/共37頁2021-8-927則則有有的的弧弧長長為為對對應(yīng)應(yīng)于于變變動動區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)光光滑滑曲曲線線),(,),()(xlxabxaxfy xadxdxdyxl2)(1)(存存在在定定理理得得到到由由原原函函數(shù)數(shù)上上連連續(xù)續(xù)在在因因?yàn)闉?)(baxf 2)(1)(dxdydxxdl 第26頁/共37頁2021-8-928dxxydl2)(1 弧弧微微分分公公式式：從從而而有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), 0,0 dxdldxdxdydl2)(1 即即dttytxdl22)()( ddl22)()( 第27頁/共37頁2021-8-929yxyBNTdxMAdxx x

12、adyb第28頁/共37頁2021-8-930求求懸懸鏈鏈線線例例 7xyoaa )0()(2 aaxacheeayaxaxlaxax一一段段的的弧弧長長到到從從 aadxaxshdxyl0202)(1212)(1222100| eeaashaxashdxaxchaa解第29頁/共37頁2021-8-931求求旋旋輪輪線線例例 8)0()cos1()sin( atayttaxl第第一一拱拱的的弧弧長長a 2ot解)cos1 ()(tatx tatysin)( dttadttadttytxdl2sin2)cos1(2)()(22 adttadttal82sin22sin22020 第30頁/共3

13、7頁2021-8-932（四）曲率與曲率半徑曲率問題就是研究曲線的彎曲程度問題0MM 0TTlMM 之間的弧長為之間的弧長為設(shè)設(shè),0之之間間的的為為MMl,0 處的曲率處的曲率為曲線在為曲線在則稱則稱存在存在定義：若定義：若000lim,limMlklll 平均曲率第31頁/共37頁2021-8-933lkl 0lim dld y tany arctan dxyyd 211 dxydl21 而232)1(yyk 曲率公式二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)設(shè)曲線設(shè)曲線)(xfy 的曲率半徑的曲率半徑處處在在稱為曲線稱為曲線0)(Mxfy kR1 第32頁/共37頁2021-8-934xdxx MTxabyo)(xfy （五）旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積用切線MT繞x軸旋轉(zhuǎn)所得圓臺的側(cè)面積近似第33頁/共37頁2021-8-935dldyydldldyyy 2)(圓圓臺臺側(cè)側(cè)面面積積得得側(cè)側(cè)面面積積微微元元：略略去去！時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(,0dxodldydx dxyyydldS2122 badxyyS212 側(cè)側(cè)面面積積第34頁/共37頁2021-8-936)0(.)()()(9222baSxabyx 面積面積表表的的環(huán)體環(huán)體旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體軸旋轉(zhuǎn)所得軸旋轉(zhuǎn)所得繞繞求圓求圓例例xya ao