估計(jì)總體的分布

1、 北師大版必修北師大版必修3 3第一章第一章 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)5 用樣本估計(jì)總體用樣本估計(jì)總體 5.1 估計(jì)總體的分布估計(jì)總體的分布11 1、學(xué)會用樣本的頻率分布估計(jì)總體、學(xué)會用樣本的頻率分布估計(jì)總體. .2 2、會根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出頻率分布直方圖及頻、會根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出頻率分布直方圖及頻率分布折線圖率分布折線圖. .21.1.什么叫平均數(shù)？有什么意義？什么叫平均數(shù)？有什么意義？2.2.什么叫中位數(shù)？有什么意義？什么叫中位數(shù)？有什么意義？3.3.什么叫眾數(shù)？有什么意義？什么叫眾數(shù)？有什么意義？4.4.什么叫極差？有什么意義？什么叫極差？有什么意義？5.5.什么叫方差？有什么意義？什么叫方差？有什么意義？

2、6.6.什么叫標(biāo)準(zhǔn)差？有什么意義？什么叫標(biāo)準(zhǔn)差？有什么意義？復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)3平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差奇數(shù)奇數(shù)個數(shù)時，中位數(shù)有個數(shù)時，中位數(shù)有1個個;偶數(shù)偶數(shù)個數(shù)時，中位數(shù)有個數(shù)時，中位數(shù)有2個個注：注：中位數(shù)可能在所給數(shù)據(jù)中中位數(shù)可能在所給數(shù)據(jù)中,也可能不在所給數(shù)據(jù)中也可能不在所給數(shù)據(jù)中4標(biāo)準(zhǔn)差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散，穩(wěn)定性就越差；標(biāo)準(zhǔn)差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散，穩(wěn)定性就越差；標(biāo)準(zhǔn)差越小離散程度越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍，標(biāo)準(zhǔn)差越小離散程度越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍，穩(wěn)定性就越好穩(wěn)定性就越好.5的平均數(shù)為的平均數(shù)為 ，12,nax

3、 axaxax（2）新數(shù)據(jù)）新數(shù)據(jù)方差為方差為 22a s，方差仍為，方差仍為 12,nxb xbxbxb2s（1）新數(shù)據(jù)）新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為，方差為，方差為 12,naxb axbaxbaxb22a s的平均數(shù)為的平均數(shù)為（3）新數(shù)據(jù)）新數(shù)據(jù)12,nx xxx2s如果數(shù)據(jù)如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為 ，方差為方差為，則，則方差的運(yùn)算性質(zhì)：方差的運(yùn)算性質(zhì)：6（2）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：我們把數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)：我們把數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的重要的個用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的重要的量。量。222121(

4、)()() nsxxxxxxn7S3 算出算出 （i=1，2，n）；）；2()ixxS4 算出算出 （i=1，2，n）這）這n個個數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差s2；2()ixxS5 算出方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)算出方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)差s。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法：計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法：（以下五步）（以下五步） S2 算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差 （i=1，2，n）；）；ixxS1 算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x；8 如何通過樣本來估計(jì)總體的分布情況呢？如何通過樣本來估計(jì)總體的分布情況呢？這就需要我們先將樣本的分

5、布情況表示出來這就需要我們先將樣本的分布情況表示出來.l 從前面的分析可以知道，當(dāng)研究一個對象時，從前面的分析可以知道，當(dāng)研究一個對象時，如果能得到它們的全部數(shù)據(jù)（可以看作是總體），如果能得到它們的全部數(shù)據(jù)（可以看作是總體），我們就可以直接從中分析總體的各種信息我們就可以直接從中分析總體的各種信息.如人口如人口普查得到的數(shù)據(jù)較為全面，從中可以很好地反映普查得到的數(shù)據(jù)較為全面，從中可以很好地反映對象的重要信息對象的重要信息. l 但是，在實(shí)際問題中，總體的信息往往不能但是，在實(shí)際問題中，總體的信息往往不能全部得到，因此我們需要進(jìn)行抽樣調(diào)查，從總體全部得到，因此我們需要進(jìn)行抽樣調(diào)查，從總體中抽取一

6、部分作為樣本，并用樣本的各種信息來中抽取一部分作為樣本，并用樣本的各種信息來估計(jì)總體的情況，包括它的分布和基本數(shù)字特征估計(jì)總體的情況，包括它的分布和基本數(shù)字特征.9例例 18951895年，在英國倫敦有年，在英國倫敦有106106塊男性頭蓋骨被挖掘出塊男性頭蓋骨被挖掘出. .經(jīng)經(jīng)考證，這些頭蓋骨的主人死于考證，這些頭蓋骨的主人死于1665166516661666年之間的大瘟疫年之間的大瘟疫. .人類學(xué)家分別測量了這些頭蓋骨的寬度，數(shù)據(jù)如下所示人類學(xué)家分別測量了這些頭蓋骨的寬度，數(shù)據(jù)如下所示（單位：（單位：mmmm），請你估計(jì)在），請你估計(jì)在1665166516661666年之間，英國男性年之間

7、，英國男性頭蓋骨寬度的分布情況頭蓋骨寬度的分布情況. .10解：解：如果把總體看作如果把總體看作是是1665166516661666年之間年之間的英國男性頭蓋骨的的英國男性頭蓋骨的寬度，那么我們就是寬度，那么我們就是通過上面挖掘出土得通過上面挖掘出土得到的樣本信息，來估到的樣本信息，來估計(jì)總體的分布情況計(jì)總體的分布情況. .但從上面的數(shù)據(jù)很難但從上面的數(shù)據(jù)很難直接估計(jì)出總體的分直接估計(jì)出總體的分布情況，為此，我們布情況，為此，我們可以先將以上數(shù)據(jù)按可以先將以上數(shù)據(jù)按每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)和頻率匯成表和頻率匯成表: :11l從表從表1-6中，我們就能估計(jì)出總體大致的分布中，我們就能

8、估計(jì)出總體大致的分布情況了，情況了，l如在如在16651666年之間，英國男性頭蓋骨寬年之間，英國男性頭蓋骨寬度主要在度主要在136149mm之間，之間，l135mm以下以及以下以及140mm以上所占的比例相以上所占的比例相對較小等對較小等.l但是，這些關(guān)于分布情況的描述仍不夠形象但是，這些關(guān)于分布情況的描述仍不夠形象.l為了得到更為直觀的信息，我們可以將表中為了得到更為直觀的信息，我們可以將表中的數(shù)據(jù)按照下面的方式分組（如表的數(shù)據(jù)按照下面的方式分組（如表1-7），），12 當(dāng)數(shù)據(jù)在當(dāng)數(shù)據(jù)在120120個以內(nèi)時，通常按照數(shù)據(jù)的多少分成個以內(nèi)時，通常按照數(shù)據(jù)的多少分成5 5到到1212組組. .

9、在實(shí)際操作中，一般要求各組的組距相等在實(shí)際操作中，一般要求各組的組距相等. . 13l再畫頻數(shù)分布直方圖（如圖再畫頻數(shù)分布直方圖（如圖1-23），用圖中矩形的），用圖中矩形的l高度來反映頻數(shù)高度來反映頻數(shù).50 40 30 20 10 0 120 125 130 135 140 145 150 155 160頻數(shù)頻數(shù)寬度寬度/mm圖圖1-23頻數(shù)直方圖頻數(shù)直方圖14 我們也可以用區(qū)間上矩形的面積來反映頻率我們也可以用區(qū)間上矩形的面積來反映頻率, ,得得到下圖（圖到下圖（圖1-241-24）. .圖圖1-24頻率分布直方圖頻率分布直方圖iixf1550 40 30 20 10 0 120 125

10、 130 135 140 145 150 155 160頻數(shù)頻數(shù)寬度寬度/mm圖圖1-23圖圖1-24頻數(shù)直方圖頻數(shù)直方圖圖圖1-24頻率分布直方圖頻率分布直方圖iixf16思考：思考：頻率分布直方圖中，頻率分布直方圖中，小長方形的面積表示什么？小長方形的面積表示什么？小長方形的面積表示什么？小長方形的面積表示什么？所有小長方形的面積和？所有小長方形的面積和？ 小長方形的高小長方形的高組距組距頻率頻率小長方形的面積表示該組的頻率小長方形的面積表示該組的頻率所有小長方形的面積和所有小長方形的面積和117討論討論(1)頭蓋骨的寬度位于哪個區(qū)間的數(shù)據(jù)最頭蓋骨的寬度位于哪個區(qū)間的數(shù)據(jù)最多？多？ (2)

11、 頭蓋骨的寬度位于頭蓋骨的寬度位于140145 mm的頻的頻率約是多少？率約是多少？(3) 頭蓋骨的寬度小于頭蓋骨的寬度小于140 mm的頻率約是的頻率約是多少？多少？(4） 頭蓋骨的寬度位于頭蓋骨的寬度位于137142 mm的的頻率約是多少？頻率約是多少？14014543.4%28.3%0.2083/5+0.4342/5=0.298 4,即即29.84% 18l從頻率分布表可以看出從頻率分布表可以看出:l該樣本寬度在該樣本寬度在140145mm之間的頭蓋骨之間的頭蓋骨所占的頻率為所占的頻率為l寬度在寬度在137142mm之間的頭蓋骨所占的之間的頭蓋骨所占的頻率為頻率為 ，l由此估計(jì)，在由此估

12、計(jì)，在16651666年之間，英國男年之間，英國男性頭蓋骨寬度在性頭蓋骨寬度在140145mm之間的約為之間的約為l寬度在寬度在137142mm之間的約為之間的約為 .作出估計(jì)作出估計(jì)l43.4%,29.8%43.4%,29.8%19抽象概括抽象概括從頻率分布直方圖可以看到，每個頻率的值就是該從頻率分布直方圖可以看到，每個頻率的值就是該寬度區(qū)間所對對應(yīng)的頻率直方圖的面積，圖中所有寬度區(qū)間所對對應(yīng)的頻率直方圖的面積，圖中所有小矩形的面積之和，也就是頭蓋骨的寬度落在各個小矩形的面積之和，也就是頭蓋骨的寬度落在各個區(qū)間內(nèi)的頻率之和等于區(qū)間內(nèi)的頻率之和等于1當(dāng)樣本容量較大時，樣本中落在每個區(qū)間上的當(dāng)樣

13、本容量較大時，樣本中落在每個區(qū)間上的樣本數(shù)的頻率會樣本數(shù)的頻率會穩(wěn)定穩(wěn)定于總體的相應(yīng)區(qū)間內(nèi)取值于總體的相應(yīng)區(qū)間內(nèi)取值的的概率概率，因此，我們可以用樣本的頻率分布去，因此，我們可以用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布另外，當(dāng)估計(jì)總體的分布另外，當(dāng)樣本量增大樣本量增大時，時，用用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布就越樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布就越精確精確20制作頻率直方圖的一般步驟：制作頻率直方圖的一般步驟：1計(jì)算極差計(jì)算極差2確定組數(shù)及組距確定組數(shù)及組距3決定分點(diǎn)，適當(dāng)增大極差決定分點(diǎn)，適當(dāng)增大極差4列出頻率分布表列出頻率分布表5繪圖繪圖211 1、求極差、求極差( (即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差

14、即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差) )2 2、決定組距與組數(shù)、決定組距與組數(shù)3 3、確定分點(diǎn)，將數(shù)據(jù)分組、確定分點(diǎn)，將數(shù)據(jù)分組:.:.畫頻率分布直方圖的步驟：畫頻率分布直方圖的步驟：4 4、列出列出頻率分布表頻率分布表. .5 5、畫出畫出頻率分布直方圖頻率分布直方圖. .組距組距: :指每個小組的兩個端點(diǎn)的距離指每個小組的兩個端點(diǎn)的距離. .組數(shù)：組數(shù)：將數(shù)據(jù)分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在將數(shù)據(jù)分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在1 12020個以內(nèi)時，按數(shù)個以內(nèi)時，按數(shù)據(jù)多少常分據(jù)多少常分5-125-12組組. .22在頻率直方圖中，按照分組原則，再在左右兩邊各加在頻率直方圖中，按照分組原則，再在左右兩邊各加一個區(qū)間，從所得的各

15、個區(qū)間的中點(diǎn)開始，用線段依一個區(qū)間，從所得的各個區(qū)間的中點(diǎn)開始，用線段依次連接各個矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中次連接各個矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn)，就可以得到一條折線，我們稱之為點(diǎn)，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖頻率折線圖，有時用它來評估總體的分布情況有時用它來評估總體的分布情況23當(dāng)樣本量增大時，為使所得的頻率分布當(dāng)樣本量增大時，為使所得的頻率分布直方圖更好地反映總體的分布情況，我直方圖更好地反映總體的分布情況，我們往往將劃分的區(qū)間數(shù)相應(yīng)增多，每個們往往將劃分的區(qū)間數(shù)相應(yīng)增多，每個區(qū)間的長度則會相應(yīng)減小，這樣得到的區(qū)間的長度則會相應(yīng)減小，這樣得到的頻率折線圖也就

16、會越來越接近于一條頻率折線圖也就會越來越接近于一條光光滑曲線滑曲線 24當(dāng)樣本量較大時，可以用樣本的頻率當(dāng)樣本量較大時，可以用樣本的頻率分布（頻率分布表、頻率分布直方圖、分布（頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖）來估計(jì)總體的分布。頻率折線圖）來估計(jì)總體的分布。當(dāng)當(dāng)樣本量發(fā)生變化時，估計(jì)的結(jié)果會有哪些樣本量發(fā)生變化時，估計(jì)的結(jié)果會有哪些變化變化 ？ 課堂討論課堂討論一般地，樣本容量越大，用樣本的頻率分一般地，樣本容量越大，用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布就越精確布去估計(jì)總體的分布就越精確.25總體分布總體分布樣本分布樣本分布頻數(shù)分布表頻數(shù)分布表頻率分布表頻率分布表頻率直方圖頻率直方圖頻率折線

17、圖頻率折線圖26幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)點(diǎn)和不足：幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)點(diǎn)和不足：1.頻率分布表：頻率分布表：反映具體數(shù)據(jù)在各個不同區(qū)反映具體數(shù)據(jù)在各個不同區(qū)間的取值頻率，但不夠直觀、形象，對分析間的取值頻率，但不夠直觀、形象，對分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不太方便。數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不太方便。2.頻率分布直方圖：頻率分布直方圖：能夠非常直觀的表明數(shù)據(jù)能夠非常直觀的表明數(shù)據(jù)分布的形狀，一般是中間高、兩端低、左右分布的形狀，一般是中間高、兩端低、左右對稱的對稱的峰狀結(jié)構(gòu)峰狀結(jié)構(gòu)。但是從直觀圖把原有的具。但是從直觀圖把原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了。體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了。273.頻率分布折線圖：頻率

18、分布折線圖：反映了數(shù)據(jù)的變化趨反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢，如果樣本容量不斷增大，分組的組勢，如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，那么折線圖就趨向于總體距不斷縮小，那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線。分布的密度曲線。4.莖葉圖：莖葉圖：由所有的樣本數(shù)據(jù)組成，沒有損由所有的樣本數(shù)據(jù)組成，沒有損失任何樣本信息，也可以在抽樣時隨時記錄，失任何樣本信息，也可以在抽樣時隨時記錄，但在樣本數(shù)據(jù)但在樣本數(shù)據(jù)個數(shù)較多個數(shù)較多或或位數(shù)較多位數(shù)較多時就不適時就不適用了，況且只能記錄用了，況且只能記錄左右左右兩組數(shù)據(jù)，分析也兩組數(shù)據(jù)，分析也比較粗略。比較粗略。28 例題：例題： 我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市

19、我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出缺水問題較為突出. .某市政府為了節(jié)約用水，計(jì)劃在本市某市政府為了節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理?xiàng)l例，即確定一個居民月用試行居民生活用水定額管理?xiàng)l例，即確定一個居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)水量標(biāo)準(zhǔn),用水量不超過用水量不超過 的按平價(jià)收費(fèi)，超過的按平價(jià)收費(fèi)，超過 的按議的按議價(jià)收費(fèi)價(jià)收費(fèi). .如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那么如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那么標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn) 定為多少比較合理？你認(rèn)為為了較為合理地確定出定為多少比較合理？你認(rèn)為為了較為合理地確定出這個標(biāo)準(zhǔn)，需要做什么工作？這個標(biāo)準(zhǔn)，需要做什么工作？29根據(jù)這些數(shù)據(jù)你根

20、據(jù)這些數(shù)據(jù)你能得出用水量其能得出用水量其他信息嗎他信息嗎? 由于城市住戶較多，通常采用抽樣調(diào)查的方式，通過分析由于城市住戶較多，通常采用抽樣調(diào)查的方式，通過分析樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全市居民用水量的分布情況樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全市居民用水量的分布情況. .假設(shè)通過抽樣，假設(shè)通過抽樣，我們獲得了我們獲得了100100位居民某年的月均用水量位居民某年的月均用水量( (單位：單位：t)t)：30表表21 100位居民的月均用水量位居民的月均用水量 （單位（單位 ：t ) 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.63.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0

21、.3 0.43.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.13.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.32.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.42.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.42.8 2.5 2.2 2.0 1.

22、5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.231 從上面這些數(shù)字，我們很容易發(fā)現(xiàn)居民的月均用水量從上面這些數(shù)字，我們很容易發(fā)現(xiàn)居民的月均用水量的最小值是的最小值是0.2t,0.2t,最大值是最大值是4.3t.4.3t.其他在其他在0.20.2至至4.34.3之間之間. .很很難再發(fā)現(xiàn)其他信息難再發(fā)現(xiàn)其他信息. .我們很難從隨意記錄的數(shù)據(jù)中直接看我們很難從隨意記錄的數(shù)據(jù)中直接看出規(guī)律出規(guī)律. .為此，我們需要對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理與分析為此，我們需要對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理與分析. .這就用到了我們今天要學(xué)習(xí)的頻率分布直方圖這就用到了我們今天要學(xué)習(xí)的頻率分布直方圖.321 1、求極差、求極差( (即一組數(shù)據(jù)

23、中最大值與最小值的差即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差) )知道這組數(shù)據(jù)的變動范圍知道這組數(shù)據(jù)的變動范圍4.3-0.2=4.14.3-0.2=4.1（t t）. .2 2、決定組距與組數(shù)（將數(shù)據(jù)分組）、決定組距與組數(shù)（將數(shù)據(jù)分組）3 3、將數(shù)據(jù)、將數(shù)據(jù)分組分組.(8.2.(8.2取整取整, ,分為分為9 9組組) )畫頻率分布直方圖的步驟：畫頻率分布直方圖的步驟：4 4、列出列出頻率分布表頻率分布表. .5 5、畫出畫出頻率分布直方圖頻率分布直方圖. .組距組距: :指每個小組的兩個端點(diǎn)的距離指每個小組的兩個端點(diǎn)的距離. .組數(shù)：組數(shù)：將數(shù)據(jù)分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在將數(shù)據(jù)分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在1 12020個以內(nèi)時

24、，按數(shù)個以內(nèi)時，按數(shù)據(jù)多少常分據(jù)多少常分5-125-12組組. .4.18.20.5極差組數(shù)=組距33注意注意第幾組頻數(shù)(1)第幾組頻率樣本容量(2)(2)縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為: :頻 率組 距34 表表22 100位居民月均用水量的位居民月均用水量的 頻率分布表頻率分布表 分組分組 頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)累計(jì) 頻數(shù)頻數(shù) 頻率頻率 0 , 0.5) 4 0.04 0.5 , 1) 8 0.08 1 , 1.5) 15 0.15 1.5 , 2) 22 0.22 2 , 2.5) 25 0.25 2.5 , 3) 14 0.14 3 , 3.5) 6 0.06 3.5 , 4) 4 0.04 4 , 4.5) 2 0.02 合計(jì)合計(jì) 100 1.0035頻率分布直方圖頻率分布直方圖月均用水量月均用水量/t頻率頻率組距組距0.100.200.300.400.500.511.5 22.533.544.5小長方形的面積小長方形的面積=?36月均用水量月均用水量/t頻率頻率組距組距0.100.200.300.400.500.511.5 22.533.544.5頻率分布直方圖頻率分布直方圖各小長方形的面各小長方形的面積總和積總和=?注：小長方形的面積組距注：小長方形的面積組距頻率頻率/ /組距頻率組距