高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：數(shù)形結(jié)合思想教師用

1、數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對應(yīng)的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結(jié)合起來，是解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。它能使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。具體地說，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學(xué)生創(chuàng)造了靈活運用

2、數(shù)形結(jié)合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運用數(shù)形結(jié)合思想時，要注意輔之以嚴(yán)格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴(yán)密的。1高考試題對數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及的幾個方面： （1）集合問題中venn圖（韋恩圖）的運用；（2）數(shù)軸及直角坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用；（3）函數(shù)圖象的應(yīng)用；（4）數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達式幾何意義的應(yīng)用；（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合。2運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則： （1）等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來的負面效應(yīng)；（2）雙方性原則。既要進行幾何直觀分析，又要進行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易出錯；（3）簡單性原則。不要為

3、了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利； 二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變 量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線為佳。3進行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個途徑： （1）建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動，以動求解，如解析幾何；（2）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；（3）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。4常見的“以形助數(shù)”的方法有： （1）借助于數(shù)軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；（2）借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景；（3）借助于方程的曲線，由方程代

4、數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點，直線，斜率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關(guān)系等，對解決代數(shù)問題都有重要作用，應(yīng)充分予以重視。5常見的把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合： 主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.經(jīng)典例題透析類型一：利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題例1：（1）已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：f(x+1)=f(x-1);當(dāng)x-1,1時，f(x)=x2,則方程f(x)=lgx解的個數(shù)是（ ） (a)5 (b)7 (c)9 (d)10解析：畫出f(x)的圖象畫出y=lgx的圖象數(shù)出交點個數(shù)（1）選c由題間可知，f(x)是以2為周期，值域為0，1的函數(shù)又f(x)

5、 =lgx，則x（0，10，畫出兩函數(shù)圖象，則交點個數(shù)即為解的個數(shù)由圖象可知共9個交點例2：若方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)內(nèi)有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍。【分析】將對數(shù)方程進行等價變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個范圍內(nèi)有實解的問題，再利用二次函數(shù)的圖像進行解決。【解】 原方程變形為 即：設(shè)曲線y(x2) , x(0,3)和直線y1m，圖像如圖所示。由圖可知： 當(dāng)1m0時，有唯一解，m1; 當(dāng)11m4時，有唯一解，即3m0, m1或3m0此題也可設(shè)曲線y(x2)1 , x(0,3)和直線ym后畫出圖像求解。例3：已知函數(shù)，若，且，則a+2b的取值范圍是a b c d解析：畫出的示

6、意圖.由題設(shè)有 ， ，令 ，則 ， ， . 在上是增函數(shù). .選c.舉一反三：【變式1】已知函數(shù)在0x1時有最大值2，求a的值。解析：，拋物線的開口向下，對稱軸是，如圖所示： （1） （2） （3）（1）當(dāng)a0時，如圖（1）所示， 當(dāng)x=0時，y有最大值，即。 1a=2。即a=1，適合a0。（2）當(dāng)0a1時，如圖（2）所示， 當(dāng)x=a時，y有最大值，即。 a2a+1=2，解得。 0a1，不合題意。（3）當(dāng)a1時，如圖（3）所示。 當(dāng)x=1時，y有最大值，即。a=2。綜合（1）（2）（3）可知，a的值是1或2【變式2】已知函數(shù)。（）寫出的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，求在0，a上的最大值。解析：如圖：（1）

7、的單調(diào)增區(qū)間：，；單調(diào)減區(qū)間：（1，2）（2）當(dāng)a1時， 當(dāng)時， 當(dāng)，?！咀兪?】已知()（1）若，在上的最大值為，最小值為，求證：；（2）當(dāng)，時，對于給定的負數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使得x0, 時，都有|f(x)|5，問a為何值時，m(a)最大？并求出這個最大值。解析：（1）若a=0，則c=0，f(x)=2bx 當(dāng)-2x2時，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數(shù)，與題意不符合，a0； 若a0，假設(shè)， 區(qū)間-2,2在對稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)， f(x)在-2，2上是單調(diào)函數(shù)， （這是不可能的） （2）當(dāng)，時， ，所以， （圖1） （圖2） (1)當(dāng)即，時（如圖1），則所以是方程的較小根，即 (2

8、)當(dāng)即，時（如圖2），則所以是方程的較大根，即（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），由于，因此當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值類型二：利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程中的參數(shù)問題例1：若關(guān)于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍。思路點撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解，可簡化運算。解析：畫出和的圖象，當(dāng)直線過點，即時，兩圖象有兩個交點。又由當(dāng)曲線與曲線相切時，二者只有一個交點，設(shè)切點，則，即，解得切點，又直線過切點，得，當(dāng)時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根。誤區(qū)警示：作圖時，圖形的相對位置關(guān)系不準(zhǔn)確，易造成結(jié)果錯誤。總結(jié)升華：1解決這類問題時要準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，

9、注意函數(shù)的定義域。2用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把 方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式（有時可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩 個函數(shù)的圖象，由圖求解。3在運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點： 要準(zhǔn)確理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征； 要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化； 要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏； 精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，便于問題求解.舉一反三：【變式1】若關(guān)于x的方程在（1，1）內(nèi)有1個實根，則k的取值范圍是 。解析：把方

10、程左、右兩側(cè)看作兩個函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點的個數(shù)來確定方程根的個數(shù)。設(shè)（x1，1）如圖：當(dāng)或時，關(guān)于x的方程在（1，1）內(nèi)有1個實根。 【變式2】若02，且方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍及這兩個實根的和。解析：將原方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點時，求a的范圍及+的值。設(shè)，在同一坐標(biāo)中作出這兩個函數(shù)的圖象由圖可知，當(dāng)或時，y1與y2的圖象有兩個不同交點，即對應(yīng)方程有兩個不同的實數(shù)根，若，設(shè)原方程的一個根為，則另一個根為.若，設(shè)原方程的一個根為，則另一個根為，.所以這兩個實根的和為或.且由對稱性可知，這兩個實根的和為或。類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，

11、數(shù)形結(jié)合解答例2：如圖放置的邊長為1的正方形pabc沿x軸滾動，設(shè)頂點的軌跡方程是，則函數(shù)的最小正周期為_；在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸所圍成的區(qū)域的面積為_.解析：為便于觀察，不妨先將正方形pabc向負方向滾動，使p點落在x軸上的點，此點即是函數(shù)的一個零點（圖1）.（一）以a為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90，此時頂點b位于x軸上，頂點p畫出了a為圓心，1為半徑的個圓周（圖2）；（二）繼續(xù)以b為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90，此時頂點c位于x軸上，頂點p畫出b為圓心，為半徑的個圓周（圖3）；（三）繼續(xù)以c為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90，此時，頂點p位于x軸上，為點，它畫出了c為

12、圓心，1為半徑的個圓周（圖4）.為又一個零點. 函數(shù)的周期為4.相鄰兩個零點間的圖形與x軸圍成的圖形由兩個半徑為1的圓、半徑為的圓和兩個直角邊長為1的直角三角形，其面積是.舉一反三：【變式1】已知圓c：(x+2)2+y2=1，p（x，y）為圓c上任一點。（1）求的最大、最小值；（2）求的最大、最小值；（3）求x2y的最大、最小值。解析：聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結(jié)合圖象求解。（1）表示點（x，y）與原點的距離， 由題意知p（x，y）在圓c上，又c（2，0），半徑r=1。 |oc|=2。 的最大值為2+r=2+1=3， 的最小值為2r=21=1。（2）表示點（x，y）與定點（1，2）

13、兩點連線的斜率， 設(shè)q（1，2），過q點作圓c的兩條切線，如圖： 將整理得kxy+2k=0。 ，解得， 所以的最大值為，最小值為。（3）令x2y=u，則可視為一組平行線系， 當(dāng)直線與圓c有公共點時，可求得u的范圍， 最值必在直線與圓c相切時取得。這時， 。 x2y的最大值為，最小值為?！咀兪?】求函數(shù)的最小值。解析：則y看作點p（x，0）到點a（1，1）與b（3，2）距離之和如圖，點a（1，1）關(guān)于x軸的對稱點a（1，1），則即為p到a，b距離之和的最小值，【變式3】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則的取值范圍是（ ）a b或cd或解析：如圖由題知方程

14、的根，一個在（0，1）之間，一個在（1，2）之間，則 ，即下面利用線性規(guī)劃的知識，則可看作可行域內(nèi)的點與原點o（0，0）連線的斜率則 ，選c?！靖櫮M訓(xùn)練】一、選擇題（每小題6分，共36分）1.方程lgx=sinx的根的個數(shù)( )(a)1個(b)2個(c)3個(d)4個2已知全集u=r，集合a=x|x2-3x-103,則右圖中陰影部分表示的集合為( )a(3,5) b(-2,+) c(-2,5) d(5,+ )3在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知平面區(qū)域a=(x,y)|x+y1,且x0,y0，則平面區(qū)域b=(x+y,x-y)|(x,y)a的面積為（ ） (a)2 (b)1 (c) (d) 4函數(shù)

15、圖象如圖，則函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）23yx0ab cd5不等式組有解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）abcd6已知f(x)是定義在（-3，3）上的奇函數(shù)，當(dāng)0x3時，f(x)的圖象如圖所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是 （ ） 二、填空題（每小題6分，共18分）7復(fù)數(shù)(x-2)+yi，其中x、y均為實數(shù)，當(dāng)此虛數(shù)的模為1時，的取值范圍是 8.已知關(guān)于x的方程x2-4|x|+5=m有四個不相等的實根，則實數(shù)m的范圍是_.9.設(shè)a=(x,y)|x2+(y-1)2=1,b=(x,y)|x+y+m0，則使ab成立的實數(shù)m的取值范圍是_.三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分

16、）10如圖，已知四棱錐的底面是正方形，底面，且，點、分別在側(cè)棱、上，且 （）求證：平面；（）若，求平面與平面的所成銳二面角的大小 11如圖，是通過某市開發(fā)區(qū)中心0的兩條南北和東西走向的道路，連接m、n兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關(guān)于直線l1對稱m到l1、l2的距離分別是2 km、4km，n到l1、l2的距離分別是3 km、9 kin （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線弧mn的方程； （）該市擬在點0的正北方向建設(shè)一座工廠，考慮到環(huán)境問題，要求廠址到點0的距離大于5km而不超過8km，并且鐵路上任意一點到工廠的距離不能小于km求 此廠離點0的最近距離（注：工廠視為一個點）12已知函數(shù)f

17、(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.(1)求f(x)在區(qū)間t,t+1上的最大值h(t);(2)是否存在實數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.參考答案1【解析】選c.在同一坐標(biāo)系中作出y=lgx與y=sinx的圖象，如圖.其交點數(shù)為3.2答案：b3作出不等式組表示的平面區(qū)域b，如圖所示，根據(jù)圖形可知該區(qū)域為等腰直角三角形，可求出面積，所以平面區(qū)域b的面積為14答案：d5答案：a6【解析】選b.根據(jù)對稱性畫出f(x)在（-3,0）上的圖象如圖，結(jié)合y=cosx在(-3,0), (0,3)上函數(shù)值的正負,易知

18、不等式f(x)cosx0的解集是7【解析】由題意知，設(shè)，則k為過圓(x-2)2+y2=1上的點及原點的直線斜率，作圖如下：又由對稱性，可得答案：答案：8【解析】令f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1，其圖象如圖. 畫直線y=m,由圖象知當(dāng)1m5時，方程有四個不相等的實根.答案：（1，5）9【解析】由于集合a，b都是點的集合,故可結(jié)合圖形進行分析、求解.集合a是一個圓x2+(y-1)2=1上的點的集合,集合b是一個不等式x+y+m0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點的集合, 要使ab，則應(yīng)使圓被平面區(qū)域所包含（如圖），即直線x+y+m=0應(yīng)與圓相切或相離(在圓的下方)，而當(dāng)直線與圓相切時有故m的

19、取值范圍是m-1.答案：m-110解：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系又pa=ad=2，則有p（0，0，2），d（0，2，0） 3分（）又7分（）設(shè)則有同理可得即得9分由而平面pab的法向量可為故所求平面amn與pab所成銳二面角的大小為12分11解析：（1）分別以、為軸、軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則m（2，4），n（3，9）設(shè)mn所在拋物線的方程為，則有，解得所求方程為（23）5分 （說明：若建系后直接射拋物線方程為，代入一個點坐標(biāo)求對方程，本問扣2分） （2）設(shè)拋物線弧上任意一點p（，）（23）廠址為點a（0，）（5t8，由題意得07分令，23，49對于任意的，不等式0恒成立（*）8

20、分設(shè)，8.要使（*）恒成立，需0，即010分解得，的最小值為所以，該廠距離點o的最近距離為6.25km12分12【解析】（1）f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.當(dāng)t+14即t4時，f(x)在t,t+1上單調(diào)遞減（如圖），h(t)=f(t)=-t2+8t.(2)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，即函數(shù)(x)=g(x)-f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點.(x)=x2-8x+6lnx+m,當(dāng)x(0,1)時(x)0,(x)是增函數(shù);當(dāng)x(1,3)時,(x)0,(x)是增函數(shù);當(dāng)x=1或x=3時，（x）=0.(x)極大值=（1）=m-7,(x)極小值=（3）=m+6ln3-15.當(dāng)x充分接近0時，（x）0,要使(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，即7mc (b)bc或bc中至少有一個正確 (c)bc (d)不能確定【解析】選c.f(x)=|x2+2