要教會學生多角度地認識數(shù)學公式

1、要教會學生多角度地認識數(shù)學公式“公式”是數(shù)學的重要組成部分，公式教學對訓練思維、培養(yǎng)能力有著重要的作用，這也是顯見的事實。本文著重談一下在公式教學中引導學生多角度地“認識”公式，以深化知識與技能，滲透思想方法，提高數(shù)學素養(yǎng)的一些做法，供同行參考。1用函數(shù)觀點認識公式公式教學中引導學生分析公式中各量之間的制約關系，能幫助學生建立起函數(shù)觀念，形成函數(shù)思想。如講等差數(shù)列的通項公式a,n=a,1+(n-1)d時，首先通過特例由已知和d，分別對變化著的n，求a,n，使學生感受到a,n與n之間的函數(shù)關系；再讓學生作出該數(shù)列的圖象（根據(jù)通項公式）：一些間斷著的點構成的圖形，使學生從直觀上認識數(shù)列這種特殊函數(shù)

2、；進而讓學生討論這種函數(shù)的單調(diào)性（d0時遞增，d0時遞減，d=0時為常數(shù)列），從而進一步地深化對等差數(shù)列的認識。2用方程觀點認識公式公式是反映量與量之間關系的等式，因此，對滲透方程思想有很重要的作用。如果說上文中的函數(shù)觀點反映的是量與量之間的依存關系、主次關系的話，那么，如果將其中的變量所處地位完全平等地對待，這就是一種相互的依賴關系了，此即方程的觀點。比如，對異面直線上兩點間的距離公式（見立體幾何（必修）p42）：，狹隘地看，它是用于求異面直線上兩點之間的距離的，但當我們用方程觀點加以認識時，就可以看到，這個公式反映了兩條異面直線間的距離d、所成角、m、n及ef之間的關系，在這些量中只要知道

3、其中四個，就可以求出第五個。如果有了這種認識，此公式的應用功能就大大地增強了：可以用來求異面直線間的距離、夾角，還可用于求二面角。又如，用方程思想認識錐體體積公式，就可將其用于求點到平面的距離、直線到平面的距離和兩平行平面間的距離了，這就是等體積法。3用基本量觀點認識公式得到公式后，要引導學生分析公式中所含變量的個數(shù)，從而確定自由變量的個數(shù)，滲透基本量思想。如講過等差數(shù)列的通項公式、求和公式后，讓學生總結：這些公式中出現(xiàn)了幾個量？(a,1,d,a,nn,s,n)；它們由哪幾個關系聯(lián)系？；這些量中有幾個可自由變化？（三個）。從而了解到：只要知道其中任意三個就可以求另外兩個了。再如，講“萬能公式”

4、時，為了說明“為什么要學習萬能公式？萬能公式為什么有那么多的應用功能？”要引導學生對幾個公式進行“基本量分析”：萬能公式能將角的各種三角函數(shù)統(tǒng)一地用tg/2表示出來，這樣就可用tg/2這個基本量將其“同化”，實質起到了簡單化和代數(shù)化的功效。4用整體觀點認識公式固然數(shù)學公式反映的是量與量之間的關系，但在某些特殊情境下也可體現(xiàn)出某些整體量所具有的性質，這正好為滲透整體思想提供了契機。如公式“sin2x+cos2x=1”不僅反映了sinx、cosx之間的關系，由于“平方和”的特征，可使我們想到它們的和（差）與積的關系：（sinxcosx）2=12sinxcosx。這是一個很有用的公式，如1990年高

5、考（理）第19題：求y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值，用此關系，令sinx+cosx=t，則認識公式是非常重要的。5用辯證觀點認識公式現(xiàn)實世界中，正與反、數(shù)與形、虛與實、分與合、構成了一對對矛盾。辯證法認為，這些矛盾的雙方既是互相對立的，又是相互聯(lián)系的，還可以相互轉化。數(shù)學公式也是如此。如公式，y表示點（x，x2）到p，1（3，2）和p，2（0，1）的距離之差，而點（x，x2）在拋物線y=x2上，用圖形易于解決）。這就要求我們在公式教學中注意從正與反、形與數(shù)等方面對公式進行辯證的認識，只有這樣，才能有效地培養(yǎng)思維的靈活性，增強思維的辯證性。1994年文科高考最后一題：數(shù)列a,n對任意自然數(shù)n均滿足是常數(shù)，命題得證。原命題求和，逆命題作差，是何等自然的思路，但高考中本題得分率卻低得驚人，這不能不說是公式教學的失誤。公式的靈活運用固然重要，而公式的發(fā)現(xiàn)過程和透徹的認識也必不可少，這一教訓是值得吸取的。6用運動觀點認識公式公式不是靜止地、機械地反映其中各量之間的關系的，我們要讓學生用運動、變化的觀點來認識公式，使公式變得“活”起來。如復數(shù)乘法運算公式另，若公共點為a或b時均不滿足。另外，用分類觀點認識公式（如等比數(shù)列前n項和公式）、從應用功能的角度認識公式（即公式的