2021-2021版高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)提升學(xué)案蘇教版選修2-1

1、第3章 空間向量與立體幾何章未復(fù)習(xí)提升h知識網(wǎng)絡(luò)整休構(gòu)建廠要點(diǎn)歸納主十擁理1空間向量的運(yùn)算及運(yùn)算律空間向量加法、減法、數(shù)乘、向量的意義及運(yùn)算律與平面向量類似，空間任意兩個向量都可 以通過平移轉(zhuǎn)化為平面向量，兩個向量相加的三角形法那么與平行四邊形法那么仍然成立.2兩個向量的數(shù)量積的計算向量的數(shù)量積運(yùn)算要遵循數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，常用于有關(guān)向量相等、兩向量垂直、射影、夾角等問題中.3空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，然后再利用有關(guān)公式計算求 解.常用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題，利用向量的夾角公式和距離公式求解空間角與空間距離的問題.4空間向量的根本定理說明： 用三個

2、不共面的向量a, b, c可以線性表示出空間任意 一個向量，而且表示的結(jié)果是惟一的.5利用向量解決幾何問題具有快捷、有效的特征一般方法如下：先將原問題轉(zhuǎn)化為等價的向量問題，即將條件中的角轉(zhuǎn)化為向量的夾角，線段長度轉(zhuǎn)化為向量的模，并用向量表示出未知向量，然后利用向量的運(yùn)算解決該向量問題，從而原問題得解.6.禾U用向量坐標(biāo)解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)位置，建立適當(dāng)、正確的空間直角坐標(biāo)系，難點(diǎn)是在已建好的坐標(biāo)系中表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，只有正確表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，才能通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)幾何問題的代數(shù)化解法.m方法總結(jié)患想構(gòu)建1數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合來思索，抽象思維和形

3、象思維結(jié)合，通過“以形助數(shù)和“以數(shù)解形使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題過程的目的.空間向量是既有大小又有方向的量，空間向量本身就具有數(shù)形兼?zhèn)涞奶攸c(diǎn)，因此將立體幾何中的“形與代數(shù)中的“數(shù)有機(jī)地結(jié)合在一起，使解答過程順暢、簡捷、有效，提高解題速度.例1 某幾何體 ABC- ABC的三視圖和直觀圖如下圖.(1) 求證：AC丄平面ABC; 求二面角C AB- C的余弦值.(1) 證明由三視圖可知，在三棱柱 ABC- ABC中，AA丄底面 AB C, B C丄AQ,且 AA = AC= 4, BC= 3.以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以 CA CB CC所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)

4、系, 如下圖.由可得 A(4,0,0) , B(0,3,0) , qO,O,O) , A(4,0,4) , B(0,3,4) , C(0,0,4), CA= (4,0,4), CA= (4,0 , - 4) , CB= (0,3,0),CA CA= 0, CA gBi = 0, CA丄GA, CA丄G Bi,又 CAP C B = C, C A?平面 ABC,CB ?平面 ABC, Ai C丄平面ABC.解 由(1 )得，CA= (4,0,0) , CB= (0,3,4),設(shè)平面ABC的法向量為n= (x, y, z), Cain, CB丄n,.CA n= 0,CB n= 0,即 X= 0,3

5、y + 4z = 0,3令 y=,那么 z=- 4, n= (0,1，- |),4n CA又由(1 )知，平面 ABC的一個法向量為 CA= (4,0,4), cos n CA=5丨n I 丨CA| 4羽 5.面角C - AB - C的余弦值為0.跟蹤訓(xùn)練1 正方體 ABCDA1 C D的棱長為2, E、F分別是BB、DD的中點(diǎn)，求證:(1) FC/平面 ADE平面AD/平面B CF.證明(1 )建立如下圖空間直角坐標(biāo)系D-xyz,貝U有 D0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0) ,C (0,2,2)，曰2,2,1 ) , F(0,0,1 )B (2 , 2,2),所以 FC= (0

6、,2,1 ),Ba= (2,0,0) , XE= (0,2,1 ).設(shè)ni = (Xi, yi, zi )是平面ADE的法向量,那么ni丄6A ni丄AEni即ni AE= 2yi+ 乙=0 ,x i = 0 , zi = - 2yi ,令 zi = 2,那么 yi = - 1，所以 ni=(0，- 1,2).因為 FC n i=-2 + 2 = 0,所以 FC 丄 ni.又因為FG?平面ADE所以FG /平面ADE因為GB = (2,0,0),設(shè)n2= (X2, y2, Z2)是平面BGF的一個法向量.由壓丄FC, m丄Gfe,X2= 0, 得Z2=- 2y2.n2 FG= 2y2+ Z2=

7、 0,n2 GBi= 2x2= 0,令 Z2 = 2,得 y2=- 1，所以 n2= (0，- 1,2),因為n1 = n2，所以n1/壓，所以平面 AD曰平面BGF.2. 轉(zhuǎn)化和化歸思想轉(zhuǎn)化和化歸思想是指在解決數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得到解決的一種解題策略.其本質(zhì)含義是：在解決一個問題時人們的眼光并不落在結(jié)論上， 而是去尋覓、追溯一些熟知的結(jié)論，由此將問題化繁為簡，化大為小，各個擊破，到達(dá)最終 解決問題的目的.例2如下圖，多面體 EABGD的底面ABGDI邊長為2的正方形,1EAL底面ABGD FD/ EA且FD=已心1.(1) 求多面體 EABGD的體積；(

8、2) 求直線EB與平面EGF所成角的正弦值；(3) 記線段BC的中點(diǎn)為K,在平面ABC吶過點(diǎn)K作一條直線與平面 EGF平行，要求保存作 圖痕跡，但不要求證明.解(1)如下圖，連結(jié)ED/ EA丄底面 ABCDt FD/ EA FD丄底面ABCD FD丄 ADDC!AD FDA CD= D,FD?平面FDC CD?平面FDC AD丄平面FDC11 12 I VE- FCD= ：XT：X 1X 2X 2=-33 23VE-ABC= EAABC= 3 x 2X 2X 2=多面體EABCD的體積V 多面體=Ve- fcd+ Ve -ABCD=103 . 以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線

9、為y軸，AE所在的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖.由可得 A(0,0,0),日0,0,2), B(2,0,0) , Q2,2,0) , F(0,2,1), EC- (2,2 , - 2) , EB= (2,0 , - 2) , EF= (0,2 , - 1),設(shè)平面ECF的法向量為n = (x, y，z),那么“ 4 0，n EF= 0,2x+ 2y 2z= 0,2y z = 0,取y= 1，得平面ECF的一個法向量為n= (1,1,2),設(shè)直線EB與平面ECF所成角為0 , sin 0 = |cos n, Eb | = |I n| 丨 EBn EB21 =砸=走=6 如下圖，取線段 C

10、D的中點(diǎn)Q連結(jié)KQ直線KQ即為所求.跟蹤訓(xùn)練2如圖，四棱錐 FABC啲底面ABCD是菱形，其對角線 AC= 2, BD=2. CF與平面 ABCDt直，CF= 2.求二面角 BAFD勺大小.解 過點(diǎn)A作AE!平面ABCD以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD AC、AE方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建 立空間直角坐標(biāo)系如圖于是 B , 1, 0 ,2Dy, 1, 0 , F(0,2,2)設(shè)平面ABF的法向量m = (x, y, z),n1那么由n1-Xb= 0,-AF= 0,令z= 1，得2y + 2z = 0.x = 2,y= 1.所以 n1= ( . 2, 1,1) 同理，可求得平面 ADF的法向量n2

11、= C,2, 1,1 n所以二面角BAFD勺大小等于牙3. 方程思想方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型方程、不等式，然后通過解方程組或不等式組來使問題獲解.用空間向量解決立體幾何問題 屬于用代數(shù)方法求解，很多時候需引入未知量.例3如下圖，在四棱錐P ABC中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PAL底面ABCDAB= .3 , BC= 1, PA= 2, E為 PD的中點(diǎn).求直線AC與 PB所成角的余弦值；在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N,使NEL平面PAC并求出點(diǎn)N到AB的距離和點(diǎn)N 到AP的距離.解1以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，那么 *,0,0 , B ;3,

12、 0,0 , C ；3, 1,0 , P0,0,2, D0,1,01),從而 AC= ( ：3 , 1,0) , PB= ( ：3 , 0, 2).設(shè)ac與 PB勺夾角為e ,那么 cos eI AC. PB _3_ 口 |AC| ABT2 14所以AC與 PB所成角的余弦值為3.、7右.由于點(diǎn)N在側(cè)面PAB內(nèi) ,故可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為x, 0 , z,A 1那么 NE= x , 2 , 1 z.由題意知 AP= (0,0,2) , XC= ( ：3 , 1,0),NE- AP= 0 ,由NE!平面PAC得NE- AC= 0 ,x , 1 , 1 z -0 , 0 , 2= 0 ,z = 1,z

13、1 = 0,化簡得.3x + 2= 0,即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，0,1), 所以點(diǎn)N到AB的距離為1,點(diǎn)N到AP的距離為七3跟蹤訓(xùn)練3如圖，在直三棱柱 ABC-ABC中，AB= 4, AC= BC= 3, D為AB的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)C到平面AABB的距離; 假設(shè)AB丄AC,求二面角 A-CD-C的平面角的余弦值.解 由AC= BC D為AB的中點(diǎn)，得CDL AB又CDL AA, AAA AB以 芳丹=A, AA?平面AABB, AB?平面A ABB,故CDL平面 AABB,所以點(diǎn) C到平面 AABB的距 離為 CD= . bC bD= 5. 如圖，過點(diǎn)D作DD/ AA交AB于D,在直三棱柱中，易知D

14、BDC DD兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，射線 DB DC, DD分別為x軸，y右軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D- xyz.弋 以/設(shè)直三棱柱的高為 h，那么 A 2,0,0) , A( 2,0 , h) , B(2,0 , h) ,:廠廠TT廠XX-XC(0 , /5 , 0) , C(0, /5 , h),從而 AB= (4,0 , h) , AC= (2 , 5,片 _h),由AB丄Afc,有 8 h2 = 0 , h= 2 2.故DA= ( 2,0,2 2) , CC= (0,0,22) , DC= (0 , , 5 , 0).設(shè)平面AQD的法向量為mi= (X1 , y1, Z1),.

15、5y1= 0 ,2x1 + 22z1 = 0 ,取 Z1 = 1，得 m= ( 2 , 0,1).設(shè)平面CiCD的法向量為n=(X2 , y2 , Z2),取 X2 = 1,得 n= (1,0,0),所以 cos m, n所以二面角AQDC勺平面角的余弦值為課堂那結(jié)空間向量的引入為立體幾何問題的解決提供了新的思路，作為解決空間幾何問題的重要工 具，對空間向量的考查往往滲透于立體幾何問題解決的過程之中，成為高考必考的熱點(diǎn)之一.(1) 對本章的考查的重點(diǎn)是空間線面之間的位置關(guān)系的證明與探究；空間中的線線角、線面角以及二面角的求解； 空間中簡單的點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)面距的求解.給出位置關(guān)系、角度或距離探求點(diǎn)的存在性問題在近幾年考查中已有表達(dá).題目主要以解答題的形式給出，兼顧傳統(tǒng)的立體幾何的求解方法，主要考查空間向量在解決立體幾何中的應(yīng)用，滲透空間向量的根本概念和運(yùn)算.(2) 空間向量的引入使空間幾何體也具備了 “數(shù)字化的特征，從而把空間線面關(guān)系的邏輯推理證明與空間角、 距離的求解變成了純粹的數(shù)字運(yùn)算問題，降低了思維的難度， 成為高考必