最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的實際應(yīng)用

1、最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)基礎(chǔ)知識與實際應(yīng)用相關(guān)基礎(chǔ)知識幾個數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的性質(zhì)（1）兩個數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，所得的商一定是互質(zhì)數(shù)。（2）兩個數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)，都是這兩個數(shù)的公因數(shù)，（3）兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：（a，b）a，b=ab。6是12和18的最大公因數(shù)，記作（12，18）=6。36是12和18的最小公倍數(shù)，記作12，18=36。這樣，求兩個數(shù)

2、的最小公倍數(shù)的問題，即可轉(zhuǎn)化成先求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，再用最大公因數(shù)除兩個數(shù)的積，其結(jié)果就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。兩個數(shù)a，b，如果a是b的倍數(shù)，那么最大公因數(shù)就是b，最小公倍數(shù)是a；如果ab互質(zhì)，那么最大公因數(shù)就是1，最小公倍數(shù)是a*b；歐幾里得用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公因數(shù)。 如果（a,b）來表示a和b的最大公因數(shù)。有定理： 已知a,b,c為正整數(shù)，若a除以b余c，則（a,b）=(b,c)。輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法） 定義： 所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對于給定的兩個數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)。若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時較小的數(shù)就是

3、原來兩個數(shù)的最大公因數(shù)。步驟：s1，用大數(shù)除以小數(shù) s2，除數(shù)變成被除數(shù)，余數(shù)變成除數(shù) s3，重復(fù)s1，直到余數(shù)為0 時，較小的數(shù)就是原來兩個數(shù)的最大公因數(shù)。例1：求 15750 與27216的最大公因數(shù)。解： 27216=157501+11466 （15750，27216）=（15750，11466）15750=114661+4284 （15750，11466）=(11466,4284)11466=42842+2898 (11466,4284)=（4284，2898）4284=28981+1386 （4284，2898）=（2898，1386）2898=13862+126 （2898，138

4、6）=（1386，126）1386=12611（1386，126）=126所以（15750，27216）=126例2.求（1397，2413）2413=1397*1+1016，1397=1016*1+381，1016=381*2+254，381=254*1+127，254=127*2+0，所以（1397，2413）=127。九章算術(shù)更相減損術(shù)找最大公因數(shù)九章算術(shù)是中國古代的數(shù)學專著，其中的“更相減損術(shù)”可以用來求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之。”翻譯成現(xiàn)代語言如下： 第一步：任意給定兩個正整數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是

5、，則用2約簡；若不是則執(zhí)行第二步。第二步：以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止。則第一步中約掉的若干個2與第二步中等數(shù)的乘積就是所求的最大公因數(shù)。其中所說的“等數(shù)”，就是最大公因數(shù)。求“等數(shù)”的辦法是“更相減損”法。例1、用更相減損術(shù)求98與63的最大公因數(shù)。解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減：98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以，98和63的最大公因數(shù)等于7。例2、用更相減損術(shù)求260和104的最大公因數(shù)。解：由于260和104均為偶數(shù)，首先用

6、2約簡得到130和52，再用2約簡得到65和26。此時65是奇數(shù)而26不是奇數(shù)，故把65和26輾轉(zhuǎn)相減：65-26=3939-26=1326-13=13所以，260與104的最大公因數(shù)等于13乘以第一步中約掉的兩個2，即13*2*2=52。短除法找最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)短除符號就是除號倒過來。短除就是在除法中寫除數(shù)的地方寫兩個數(shù)共有的質(zhì)因數(shù)，然后落下兩個數(shù)被公有質(zhì)因數(shù)整除的商，之后再除，以此類推，直到結(jié)果互質(zhì)為止（兩個數(shù)互質(zhì)，最大公因數(shù)是1的兩個數(shù)叫互質(zhì)數(shù)，如8和9）。而在用短除計算多個數(shù)時，對其中任意兩個數(shù)存在的因數(shù)都要算出，其它沒有這個因數(shù)的數(shù)則原樣落下。直到剩下每兩個都是互質(zhì)關(guān)系。求最大

7、公因數(shù)便乘一邊，求最小公倍數(shù)便乘一圈。（公因數(shù)：如果一個整數(shù)同時是幾個整數(shù)的因數(shù)，稱這個整數(shù)為它們的“公因數(shù)”；公因數(shù)中最大的稱為最大公因數(shù)。）實際應(yīng)用例：有一個長方體的木頭，長3.25米，寬1.75米，厚0.75米。如果把這塊木頭截成許多相等的小立方體，并使每個小立方體盡可能大，小立方體的棱長及個數(shù)各是多少？解：根據(jù)題意，小立方體一條棱長應(yīng)是長方體長、寬、厚各數(shù)的最大公因數(shù)。即：（325、175、75）=25（厘米）因為32525=13； 17525=7 ； 7525=3所以1373=273（個）或（32517575）（252525）=273例：有一個兩位數(shù)，除50余2，除63余3，除73余

8、1。求這個兩位數(shù)是多少？解：這個兩位數(shù)除50余2，則用他除48（522）恰好整除。也就是說，這個兩位數(shù)是48的因數(shù)。同理，這個兩位數(shù)也是60、72的因數(shù)。所以，這個兩位數(shù)只可能是48、60、72的公因數(shù)1、2、3、4、6、12，而滿足條件的只有公因數(shù)12，即（48、60、72）=12。練 習1.新年聯(lián)歡會上，張老師把42個打氣球和30個小氣球平均分給幾個小組，正好分完。最多可以分給幾個小組？每個小組分的大、小氣球各多少個？2.雨辰小學五年二班有54人，五年三班有63人，兩班決定分小組去博物館參觀，兩班每組人數(shù)相等并且沒有剩余每小組最多有多少人？每個班可以分多少個小組？3.同學們買了24朵百合花

9、的18朵玫瑰花送個老師，兩種花混在一起扎成一束，想要扎成每束百合花、玫瑰花朵數(shù)相同，最多扎幾束？每束幾朵百合花，幾朵玫瑰花？4.明明有一張長84厘米，寬60厘米的長方形紙板，剪成邊長相等的小正方形，邊長最長是多少？可以剪幾塊？解答公因數(shù)或公倍數(shù)問題的關(guān)鍵是：從因數(shù)和倍數(shù)的意義入手來分析，把原題歸結(jié)為求幾個數(shù)的公因數(shù)或公倍數(shù)問題。例：有三根鐵絲，一根長18米，一根長24米，一根長30米?，F(xiàn)在要把它們截成同樣長的小段。每段最長可以有幾米？一共可以截成多少段？分析：截成的小段一定是18、24、30的最大公因數(shù)。先求這三個數(shù)的最大公因數(shù)，再求一共可以截成多少段。（18、24、30）6 （18+24+3

10、0）612段例：一張長方形紙，長60厘米，寬36厘米，要把它截成同樣大小的長方形，并使它們的面積盡可能大，截完后又正好沒有剩余，正方形的邊長可以是多少厘米？能截多少個正方形？分析：要使截成的正方形面積盡可能大，也就是說，正方形的邊長要盡可能大，截完后又正好沒有剩余，這樣正方形邊長一定是60和36的最大公因數(shù)。（36、60）12 （6012）（3612）15個例：用96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每個花束里的紅玫瑰花的朵數(shù)相同，白玫瑰花的朵數(shù)也相同，最多可以做多少個花束？每個花束里至少要有幾朵花？分析：要把96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的紅白花朵數(shù)同樣多，那么做成花束的

11、個數(shù)一定是96和72的公因數(shù)，又要求花束的個數(shù)要最多，所以花束的個數(shù)應(yīng)是96和72的最大公因數(shù)。（1）最多可以做多少個花束？ （96、72）24（2）每個花束里有幾朵紅玫瑰花？ 96244朵（3）每個花束里有幾朵白玫瑰花？ 72243朵（4）每個花束里最少有幾朵花？ 4+37朵練 習1、有一堆西瓜與一堆木瓜,分別為24個與36個,將其各分成若干小堆,各小堆的個數(shù)要相等,則每小堆最多幾個？這時候西瓜分成多少小堆？木瓜分成多少小堆 ？2、甲、乙兩隊學生,甲隊有121人,乙隊有143人,各分成若干組,各組人數(shù)要相等,則每組最多有幾人 ？這時候甲隊可分成多少組？ 乙隊可分成多少組？ 3、今有梨320個

12、,糖果240個,餅干200個,將這些東西分成相同的禮品包送給兒童,但包數(shù)要最多,則每包有多少個梨？ 有多少個糖果？ 有多少個餅干？4、有一張長6公分,寬4公分的長方形色紙,將它剪成最大的正方形而不浪費紙,此正方形邊長為幾公分 ？ 例：公共汽車站有三路汽車通往不同的地方。第一路車每隔5分鐘發(fā)車一次，第二路車每隔10分鐘發(fā)車一次，第三路車每隔6分鐘發(fā)車一次。三路汽車在同一時間發(fā)車以后，最少過多少分鐘再同時發(fā)車？分析：這個時間一定是5的倍數(shù)、10的倍數(shù)、6的倍數(shù)，也就是說是5、10和6的公倍數(shù)，“最少多少時間”，那么，一定是5、10、6的最小公倍數(shù)。5、10、630練 習1、利用每一小塊長6公分,寬

13、4公分的長方形彩色瓷磚在墻壁上貼成正方形的圖案.問:拼成的正方形的邊長可能是多少？2、王伯伯有三個小孩,老大3天回家一次,老二4天回家一次,老三6天回家一次,這次10月1日一起回家,則下一次是幾月幾日一起回家？3、美美客運有a,b兩種車,a車每45分發(fā)車一次,b車每1小時發(fā)車一次,兩車同時由上午6點發(fā)車,下一次同時發(fā)車是什麼時候 ？例：某廠加工一種零件要經(jīng)過三道工序。第一道工序每個工人每小時可完成3個；第二道工序每個工人每小時可完成12個；第三道工序每個工人每小時可完成5個。要使流水線能正常生產(chǎn)，各道工序每小時至少安排幾個工人最合理？分析：安排每道工序人力時，應(yīng)使每道工序在相同的時間內(nèi)完成同樣

14、多的零件個數(shù)。這個零件個數(shù)一定是每道工序每人每小時完成零件個數(shù)的公倍數(shù)。至少安排的人數(shù)，一定是每道工序每人每小時完成零件個數(shù)的最小公倍數(shù)。（1）在相同的時間內(nèi)，每道工序完成相等的零件個數(shù)至少是多少？ 3、12、560（2）第一道工序應(yīng)安排多少人？ 60320人（3）第二道工序應(yīng)安排多少人？ 60125人（4）第三道工序應(yīng)安排多少人？ 60512人例：有一批機器零件。每12個放一盒，就多出11個；每18個放一盒，就少1個；每15個放一盒，就有7盒各多2個。這些零件總數(shù)在300至400之間。這批零件共有多少個？分析：每12個放一盒，就多出11個，就是說，這批零件的個數(shù)被12除少1個；每18個放一盒

15、，就少1個，就是說，這批零件的個數(shù)被18除少1；每15個放一盒，就有7盒各多2個，多了2714個，應(yīng)是少1個。也就是說，這批零件的個數(shù)被15除也少1個。如果這批零件的個數(shù)增加1，恰好是12、18和15的公倍數(shù)。 剛好能12個、18個或15個放一盒的零件最少是多少個？12、18、15180 在300至400之間的180的倍數(shù)是多少？ 1802360 這批零件共有多少個？ 360-1359個例：有一批水果，總數(shù)在1000個以內(nèi)。如果每24個裝一箱，最后一箱差2個；如果每28個裝一箱，最后一箱還差2個；如果每32個裝一箱，最后一箱只有30個。這批水果共有多少個？分析：根據(jù)題意可知，這批水果再增加2個

16、后，每24個裝一箱，每28個裝一箱或每32個裝一箱都能裝整箱數(shù)，也就是說，只要把這批水果增加2個，就正好是24、28和32的公倍數(shù)。我們可以先求出24、28和32的最小公倍數(shù)672，再根據(jù)“總數(shù)在1000以內(nèi)”確定水果總數(shù)。24，28，32=6726722=670（個）即：這批水果共有670個。練 習1，一所學校的同學排隊做操，排成14行、16行、18行都正好能成長方形，這所學校至少有多少人？2，有一批乒乓球，總數(shù)在1000個以內(nèi)。4個裝一袋、5個裝一袋或6個、7個、8個裝一袋最后都剩下一個。這批乒乓球到底有多少個？3，食堂買回一些油，用甲種桶裝最后一桶少3千克，用乙種桶裝最后一桶只裝了半桶油

17、，用丙種桶裝最后一桶少7千克。如果甲種桶每桶能裝8千克，乙種桶每桶能裝10千克，丙種桶每桶能裝12千克，那么，食堂至少買回多少千克油？例題： 一盒圍棋子，4顆4顆數(shù)多3顆，6顆6顆數(shù)多5顆，15顆15顆數(shù)多14顆，這盒棋子在150至200顆之間，問共有多少顆？分析：由已知條件可知：這盒棋子只要增加1顆，就正好是4、6、15的公倍數(shù)。換句話說，這盒棋子比4、6、15的最小公倍數(shù)少1。我們可以先求4、6、15的最小公倍數(shù)，然后再根據(jù)“這盒棋子在150至200顆之間”這一條件找出這盒棋子數(shù)。4、6、15的最小公倍數(shù)是60。6031=179顆，即這盒棋子共179顆。練 習1，有一批樹苗，9棵一捆多7棵

18、，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。這批樹苗數(shù)在150至200之間，求共有多少棵樹苗。2，五（1）班的五十多位同學去大掃除，平均分成4組多2人，平均分成5組多3人。請你算一算，五（1）班有多少位同學？3，有一批水果，每箱放30個則多20個，每箱放35個則少10個。這批水果至少有多少個？例：公路上一排電線桿，共25根。每相鄰兩根間的距離原來都是45米，現(xiàn)在要改成60米，可以有幾根不需要移動？分析：不需要移動的電線桿，一定既是45的倍數(shù)又是60的倍數(shù)。要先求45和60的最小公倍數(shù)和這條公路的全長，再求可以有幾根不需要移動。 從第一根起至少相隔多少米的一根電線桿不需移動？ 45、60180（米）

19、 公路全長多少米？ 45（25-1）1080（米） 可以有幾根不需要移動？ 1080180+17（根）例：從學校到少年宮的這段公路上，一共有37根電線桿，原來每兩根電線桿之間相距50米，現(xiàn)在要改成每兩根之間相距60米，除兩端兩根不需移動外，中途還有多少根不必移動？分析：從學校到少年宮的這段路長50（371）=1800米，從路的一端開始，是50和60的公倍數(shù)處的那一根就不必移動。因為50和60的最小公倍數(shù)是300，所以，從第一根開始，每隔300米就有一根不必移動。1800300=6，就是6根不必移動。去掉最后一根，中途共有5根不必移動。練 習1，插一排紅旗共26面。原來每兩面之間的距離是4米，現(xiàn)

20、在改為5米。如果起點一面不移動，還可以有幾面不移動？2，一行小樹苗，從第一棵到最后一棵的距離是90米。原來每隔2米植一棵樹，由于小樹長大了，必須改為每隔5米植一棵。如果兩端不算，中間有幾棵不必移動？3，學校開運動會，在400米環(huán)形跑道邊每隔16米插一面彩旗，一共插了25面。后來增加了一些彩旗，就把彩旗間隔縮短了，起點彩旗不動，重新插完后發(fā)現(xiàn)一共有5面彩旗沒動。問：現(xiàn)在彩旗的間隔是多少米？例：甲、乙、丙三人是朋友，他們每隔不同天數(shù)到圖書館去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他們?nèi)饲『迷趫D書館相會，問至少再過多少天他們?nèi)擞衷趫D書館相會？ 分析：從第一次三人在圖書館相會到下

21、一次再次相會，相隔的天數(shù)應(yīng)該是3、4、5的最小公倍數(shù)。因為3、4、5的最小公倍數(shù)是60，所以至少再過60天他們?nèi)擞衷趫D書館相會。 練 習 1、1路、2路和5路車都從東站發(fā)車，1路車每隔10分鐘發(fā)一輛，2路車每隔15分鐘發(fā)一輛，而5路車每隔20分鐘發(fā)一輛。當這三種路線的車同時發(fā)車后，至少要過多少分鐘又這三種路線的車同時發(fā)車？ 2、甲、乙、丙從同一起點出發(fā)沿同一方向在圓形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。問：再過多少時間三人第二次同時從起點出發(fā)？ 3、五年級一班的同學每周一都要去看軍屬張爺爺，二班的同學每6天去看一次，三班的同學每兩周去看一次。如果“六一”兒童

22、節(jié)三個班的同學同一天去看張爺爺，那么，再過多少天他們?nèi)齻€班的同學再次同一天去張爺爺家？ 例：一塊磚長20厘米，寬12厘米，厚6厘米。要堆成正方體至少需要這樣的磚頭多少塊？ 分析：把若干個長方體疊成正方體，它的棱長應(yīng)是長方體長、寬、高的公倍數(shù)?，F(xiàn)在要求長方體磚塊最少，它的棱長應(yīng)是長方體長、寬、高的最小公倍數(shù)，求出正方體棱長后，再根據(jù)正方體與長方體體積之間的關(guān)系就能求出長方體磚的塊數(shù)。 練 習 1、用長9厘米、寬6厘米、高7厘米的長方體木塊疊成一個正方體，至少需要用這樣的長方體多少塊？ 2、有200塊長6厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體木塊，要把這些木塊堆成一個盡可能大的正方體，這個正方體的體積是

23、多少立方厘米？ 3、一個長方體長2.7米、寬1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的正方體小塊，不許有剩余，這些小正方體的棱長最多是多少分米？ 例：甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的環(huán)形跑道從同一地點同時同方向跑步，經(jīng)過多少時間三人又同時從出發(fā)點出發(fā)？ 分析：甲跑一圈需要6003=200秒，乙跑一圈需要6004=150秒，丙跑一圈需要6002=300秒。要使三人再次從出發(fā)點一齊出發(fā)，經(jīng)過的時間一定是200、150和300的最小公倍數(shù)。200、150和300的最小公倍數(shù)是600，所以，經(jīng)過600秒后三人又同時從出發(fā)點出發(fā)。 練 習 1、有一條長400米的環(huán)形跑道，甲

24、、乙二人同時同地出發(fā)，反向而行，1分鐘后第一次相遇；若二人同時同地出發(fā)，同向而行，則10分鐘后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。 2、一環(huán)形跑道長240米，甲、乙、丙從同一處同方向騎車而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米。至少經(jīng)過幾分鐘，三人再次從原出發(fā)點同時出發(fā)？ 3、甲、乙、丙三人在一條長240米的跑道上來回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米。若三人同時從一端出發(fā)，再經(jīng)過多少時間三人又從此處同時出發(fā)？例：有一個自然數(shù)，被10除余7，被7除余4，被4除余1。這個自然數(shù)最小是多少？分析：根據(jù)已知條件可知，假如把這個自然數(shù)增加3，所得的數(shù)就正好能被10、7和4這三個數(shù)

25、整除，即10、7和4的最小公倍數(shù)，然后再減去3就能得到所求的數(shù)了。所以這個自然數(shù)最小是137。練 習1、學校六年級有若干個同學排隊做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年級最少多少人？2、一個數(shù)能被3、5、7整除，但被11除余1。這個數(shù)最小是多少？3、一袋糖，平均分給15個小朋友或20個小朋友后，最后都余下5塊。這袋糖至少有多少塊？例：在一根長木棍上用紅、黃、藍三種顏色做標記，分別將木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。如果沿這三種標記把木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？分析 因為10、12和15的最小公倍數(shù)是60，所以，設(shè)這根木棍長60厘米。三種顏色的標記分別把

26、木棍分成的小段長是6010=厘米，6012=5厘米，6015=4厘米。因為5和6的最小公倍數(shù)是30，所以紅黃兩種標記重復(fù)的地方有60301=1處，另兩種情況分別有2處和4處。因此，木棍總共被鋸成（1012152）124=28段。練 習1，用紅筆在一根木棍上做了三次記號，第一次把木棍分成12等份，第二次把棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿著這些紅記號把木棍鋸開，一共鋸成多少小段？2，父子二人在雪地散步，父親在前，每步80厘米，兒子在后，每步60厘米。在120米內(nèi)一共留下多少個腳??？3，在96米長的距離內(nèi)掛紅、綠、黃三種顏色的氣球，綠氣球每隔6米掛一個，黃氣球每隔4米掛一個，。如果綠

27、氣球和黃氣球重疊的地方就改掛一個紅氣球，那么，除兩端外，中間掛有多少個紅氣球？3. 五（1）班學生參加跳繩比賽，進行分組。按每組6人或每組8人，都能恰好分成若干組，參加跳繩比賽的至少有多少人？解答：6，8=24 所以參加跳繩比賽的學生至少有24人。4. 把47根跳繩和36個毽子分別平均分給一個組的同學，結(jié)果跳繩剩2根，毽子剩1個，你知道這個組最多有幾名同學嗎？解答：（45，35）=5 所以這個組最多有5名同學。5. 一條72米長的路，原來從一端起，每隔9米有一盞路燈。現(xiàn)在重新安裝，要從一端起每隔6米裝一盞。為節(jié)省施工成本，有些位置的路燈是不需要重新安裝的。不需要重新安裝的路燈至少有多少盞？解答

28、：6，9=18 ； 0， 18、36、54、72 答：不需要重新安裝的燈至少有5盞。6. 五（1）班學生數(shù)不超過50人，小組合作學習時，根據(jù)教學內(nèi)容不同可以分為每組3人，每組4人，每組6人，每組8人，各種分法都剛好分完。這個班可能有學生（ 24）人或（ 48 ）人。解答：3，4，6，8=24 所以這個班可能有學生24或48人。練 習1、24的因數(shù)共有多少個？36的因數(shù)共有多少個？24和36的公因數(shù)是哪幾個？其中最大的一個是？答：24的因數(shù)共有8個，36的因數(shù)共有9個，24和36的公因數(shù)是1、2、3、4、6、12。其中最大的一個是12。2、一個長方形的面積是323平方厘米，這個長方形的長和寬各是

29、多少厘米？（長和寬都是素數(shù)）答：長方形的長是19厘米，寬是17厘米。3、兩個自然數(shù)的乘積是420，它們的最大公因數(shù)是12，求它們的最小公倍數(shù)。答：它們的最小公倍數(shù)是35。4、兩個自然數(shù)相乘的積是960，它們的最大公因數(shù)是8，這兩個數(shù)各是多少？答：這兩個數(shù)分別是24和40。5、兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是126，最大公因數(shù)是6，已知兩個數(shù)中的一個數(shù)是18，求另一個數(shù)。答：另一個數(shù)是42。6、有一種長51厘米，寬39厘米的水泥板，用這種水泥板鋪成一塊正方形地，至少需要多少塊水泥板？答：至少需要221塊水泥板。7、有三根鐵絲長度分別為120厘米、90厘米、150厘米，現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根無剩余，

30、每段最長多少厘米？一共可以截成多少段？答：每段最長30厘米，一共可以截成12段。8、有兩個不同的自然數(shù)，它們的和是48，它們的最大公因數(shù)是6，求這兩個數(shù)。答：這兩個數(shù)是42和6或18和30。9、同學們參加野餐活動準備了若干個碗，如果每人分得3個碗或4個碗或5個碗，都正好分完，這些碗最少有多少個？答：這些碗最少有60個。10、有a、b兩個兩位數(shù)，它們的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是90，則a、b兩個自然數(shù)的和是多少？答：a、b兩個自然數(shù)的和是48。例：兩個數(shù)的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是90，求這兩個數(shù)分別是多少？ 分析：根據(jù)“兩個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積”可先求出這兩

31、個數(shù)的乘積，再把這個積分解成兩個數(shù)，且這兩個數(shù)一定是最大公因數(shù)的倍數(shù)，這兩個數(shù)除以最大公因數(shù)得到的商互素。根據(jù)題意： 當a1b1分別是1和6時，a、b分別為151=15，156=90；當a1b1分別是2和3時，a、b分別為152=30，153=45。所以，這兩個數(shù)是15和90或者30和45。 練 習 1、兩個數(shù)的最大公因數(shù)是9，最小公倍數(shù)是90，求這兩個數(shù)分別是多少？ 2、兩個數(shù)的最大公因數(shù)是12，最小公倍數(shù)是60，求這兩個數(shù)的和是多少？ 3、兩個數(shù)的最大公因數(shù)是60，最小公倍數(shù)是720，其中一個數(shù)是180，另一個數(shù)是多少？ 例：兩個自然數(shù)的積是360，最小公倍數(shù)是120，這兩個數(shù)各是多少？

32、分析：我們把這兩個自然數(shù)稱為甲數(shù)和乙數(shù)。因為甲、乙兩數(shù)的積一定等于甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的積。根據(jù)這一規(guī)律，我們可以求出這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是360120=3。又因為（甲3=a，乙3=b）中，3ab=120，a和b一定是互質(zhì)數(shù)，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。當a和b是1和40時，所求的數(shù)是31=3和340=120；當a和b是5和8時，所求的數(shù)是35=15和38=24。 練 習 1、求36和24的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。 2、已知兩個數(shù)的積是3072，最大公因數(shù)是16，求這兩個數(shù)。 3、已知兩個數(shù)的最大公因數(shù)是13，最小公倍數(shù)是78，求這兩個數(shù)的差。例：兩個數(shù)的最

33、大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個數(shù)是28，另一個數(shù)是多少？分析：根據(jù)“兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積?！毕惹蟪?與252的乘積，再用積去除以28即可。425228=100828=361、某農(nóng)場周圍360公尺，原本每隔10公尺立一根木樁，后來改為12公尺立一根木樁，則不必移動的木樁有幾根?2.三項國小有男生540人，女生612人，校方規(guī)定每輛游覽車所坐的人要一樣多，且車輛盡量減少，則共需要多少輛游覽車?3.一籃芒果，6顆一數(shù)剩下4顆，10顆一數(shù)剩下8顆，15顆一數(shù)剩下13顆，這籃芒果最少有多少顆?4.一長方形池塘長95公尺，寬85公尺，甲乙丙三人同時同地同方

34、向沿著池塘邊競走，每分鐘甲走45公尺、乙走60公尺、丙走40公尺，經(jīng)過幾分鐘后三人又在起點相遇?5.大明和珍珍在7月15日兩人同一天放假，已知大明每工作5天放假1天，珍珍每工作7天放假1天，下次兩人同一天放假是幾月幾日?(提示:每工作7天放假一天表示每6天放假一天)6.在下列兩行數(shù)中同時出現(xiàn)的第15個數(shù)是多少?第一列:1、7、13、19、997第二列:1、10、19、28、1000 7.一隊童子軍人數(shù)在400500人之間，每16人、20人或30人一組，都多出15人，問這隊童子軍有幾人?8.清靜農(nóng)場里有4百多只羊，14只一數(shù)或20只一數(shù)都剛好剩5只，清靜農(nóng)場里有幾只羊?9.一盒巧克力約有7008

35、00粒，每18粒、24粒或30粒裝1袋都不足7粒，求這盒巧克力有幾粒?10.90除以某數(shù)余2，50除以某數(shù)也是余2，請問某數(shù)最大是多少?11.1020中與30互質(zhì)的數(shù)，總和是多少?答 案1. 10，12最小公倍數(shù)60360606不必移動的木樁有6根2. (540，612)最大公因數(shù)365403615； 6123617每輛游覽車坐36人，男生的專車有15輛，女生的專車有17輛3. 6顆一數(shù)剩下4 顆，用6除剩下4顆，即用6除不足2顆10顆一數(shù)剩下8顆，用10除剩下8顆，即用10除不足2顆15顆一數(shù)剩下13顆，用15除剩下13顆，即用15除不足2顆6，10，15最大公倍數(shù)30一籃芒果的數(shù)量是30的

36、倍數(shù)減2，所以最小有301228顆4. 長方形池塘長95公尺，寬85公尺，周長2(9585)360公尺甲走一圈要360458分鐘乙走一圈要360606分鐘丙走一圈要360409分鐘8，6，972要72分鐘后三人再起點相遇5. 5，7的最小公倍數(shù)357月15日35日8月19日6. 第一列：1、7、13、19、997，后數(shù)和前數(shù)差6第二列：1、10、19、28、1000，后數(shù)和前數(shù)差96，9的最小公倍數(shù)18 更多：同時出現(xiàn)的第1個數(shù)是1，第二個數(shù)是19，第三個數(shù)是37，第15個數(shù)是118142537. 每16人、20人或30人一組，16，20，30的最小公倍數(shù)240童子軍人數(shù)240的倍數(shù)再加155

37、002402.08240215495童子軍有495人8. 14，20最小公倍數(shù)140羊的數(shù)量140的倍數(shù)再加54001402.86； 14035425清靜農(nóng)場里有425只羊9. 18，24，30最小公倍數(shù)360巧克力的數(shù)量360的倍數(shù)再減78003602.22； 36027713巧克力有713粒10. 90288； 5024888，48最小公倍數(shù)8某數(shù)是811. 1020 中與30互質(zhì)的數(shù)有11、13、17、191113171960練習1. 有餅干30塊，橙36個，分給若干個兒童，每人所得的相等，最多可分給兒童多少人？ a 6 b 5 c 8 d 180 2. 上米50公斤，中米60公斤，下米

38、90公斤，分別裝成重量相等的若干袋，各種米恰好裝完，每袋的重量最多是多少公斤？ a 20 b 10 c 30 d 1803. 用某數(shù)去除218，170，290都余2，問某數(shù)最大是多少？ a 26 b 28 c 24 d 224.一個長方形銅片長18厘米，闊24厘米，要剪成為面積相等的小正方形，每個正方形的面積是多少平方厘米？ a 6 b 36 c 144 d 4325.客廳長600厘米，寬690厘米，如果鋪上正方形瓷磚，每塊瓷磚的邊長最大是多少厘米？ a 100 b 120 c 60 d 306.把一個長24厘米，闊36厘米，高16厘米的長方體，分割成大小相同的小正方體，問共可分割成多少個？

39、a 216 b 108 c 432 d 864最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)應(yīng)用題1、有一些糖果，分給8個人或分給10個人，正好分完，這些糖果最少有多少粒？解：【8，10】=402、有一包糖，不論分給8個人，還是分給10個人，都能正好分完。這包糖至少有多少塊？ 解：【8，10】=40（人）3、一個數(shù)被2除余1，被3除余2，被4除余4，被6除余5，此數(shù)最小是幾？解：【2，3，4，6】=12 12-1=114、五年級學生參加植樹活動，人數(shù)在3050之間。如果分成3人一組，4人一組，6人一組或者8人一組，都恰好分完。五年級參加植樹活動的學生有多少人？解：【3，4，6，8】=24（人） 242=48（人）5、

40、利用每一小塊長6公分，寬4公分的長方形彩色瓷磚在墻壁上貼成正方形的圖案。問：拼成的正方形的面積最小是多少？解：【6，4】=12（公分） 1212=144（cm2)6、有一堆蘋果 ，每8千克一份，9千克一份，或10千克一份，都會多出3千克，這堆蘋果至少有多少千克？解：【8，9，10】=360 360+3=363kg7、學校合唱隊排練時，如果7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱隊至少有多少人？解：【7，8】=56（人） 56-2=54（人）8、把37支鋼筆和38本書，平均獎給幾個學習成績優(yōu)秀的學生，結(jié)果鋼筆多出一支，書還缺2本，最多有幾個學習成績優(yōu)秀的同學？解：37-1=36（本） 38+2=

41、40（本） （36，40）=4（人）9、有24個蘋果，32個梨，要分裝在盤子里，每盤的蘋果和梨的個數(shù)相同，最多可以裝多少盤？每個盤子里蘋果和梨各多少？解：（24，32）=8（盤）248=3（個） 328=4（個）10、阜沙市場是20路和21路汽車的起點站。20路汽車每3分鐘發(fā)車一次，21路汽車每5分鐘發(fā)車一次。這兩路汽車同時發(fā)車以后，至少再過多少分鐘又同時發(fā)車？ 解：【3，5】=15（分鐘）11、中心小學五年級學生，分為6人一組，8人一組或9人一組排隊做早操，都剛好分完。這個年級至少有學生多少人？解：【6，8，9】=72（人）12、有一盤水果，3個3個地數(shù)余2個，4個4個數(shù)余3，5個5個數(shù)余4

42、個，問個盤子里最少有多少個水果？解：【3，4，5】=60 60-1=5913、有一個電子表，每走9分鐘亮一次燈，每到整點響一次鈴，中午12點整，電子表既響鈴又亮燈，請問下一次既響鈴又亮燈的是幾點鐘？解：【9，60】=180（分鐘）8060=3（小時）=下午3點14、數(shù)學興趣小組有24個男同學，20個女同學，現(xiàn)要分成小組，每個小組男、女同學人數(shù)分別相同，最多可以分成多少個小組？每組至少有多少個男同學？多少個女同學？ 解：（24，20）=4（組） 244=8（個） 204=5（個）15、有38支鉛筆和41本練習本平均獎給若干個好少年，結(jié)果鉛筆多出3支，練習本還缺1本。得獎的好少年有多少人？ 解：3

43、8-3=35（本） 41+1=42（本） （35，42）=7（人）16、兩個整數(shù)的最小公倍數(shù)為140，最大公因數(shù)為4，且小數(shù)不能整除大數(shù)，求這兩個數(shù)。 解：1404=35 35=5745=20 47=3517、已知a與b的最大公因數(shù)為6，最小公倍數(shù)為84，且a=42，求b？解：ab=684=504 b=aba=50442=1218、兩個數(shù)的最大公因數(shù)為12，最小公倍數(shù)為180，且這兩個數(shù)不是倍數(shù)，求這兩個數(shù)？ 解：18012=15 15=35 123=36 125=6019、有一個數(shù)是4、 5、 6的倍數(shù)，這個數(shù)最小是多少？解：【4，5，6】=6020、甲、乙、丙三人早晨在體育場跑步，甲跑完一

44、圈要3分鐘，乙跑完一圈要7分鐘，丙跑完一圈要6分鐘，三人同時從起點出發(fā)，經(jīng)過多長時間三人再次在起點處相遇？解：【3，6，7】=42（分鐘）21、美美客運有a、b兩種車，a車每45分發(fā)車一次，b車每1小時發(fā)車一次，兩車同時由上午6點發(fā)車，下一次同時發(fā)車是什么時候？解：【45,60】=180（分鐘）=2小時=30分鐘 6點+2小時30分鐘=8點3022、上一次9月18號五年級一班去劃船，他們算一下，如果增加一條船，正好每船坐6個，如果減少一條船，正好每船坐9人，這個班有多少人？解：【6，9】=18（人）182=36(人）23、有一塊長方形紙板，長24厘米，寬15厘米，將這塊紙板裁成同樣大小的正方形

45、，不能有剩余，每塊小正方形的邊長是最長是多少？可以裁成多少塊？解：(1)（24，15)=3cm(2)243=8cm 153=5 8x5=40（塊）24、一張長方形紙，長96厘米 ，寬60厘米，如果把它裁成同樣大小且邊長為整厘米的最大正方形，且保持紙張沒有剩余，每個正方形的邊長是幾厘米？每個正方形的面積是多少？可以裁多少個這樣的正方形？解：(1)（96，60）=12cm (2) 1212=144cm2 (3) 9612=8cm 6012=5cm 85=40cm 25、甲乙兩數(shù)公因數(shù)為15，720為公倍數(shù)為，當這兩個數(shù)為何值時，它們的差最小。 解：72015=48 48=22341523=90 1

46、525=15026、已知a和b的最大公因數(shù)是31，且ab=5766,求a和b。解：最小公倍數(shù)：576631=186 18631=6（兩種答案）27、五（1）班和五（2）班兩個班的同學去野炊，吃飯時，他們3人一個菜碗，4人一個湯碗，他們共用了28個碗，這兩個班參加野炊的同學共有多少人？解：【3，4】=12 123=4 124=34+3=7 287=4124=4828、一盒鉛筆，可以平均分給4,5,6個小朋友，都沒有剩余，這盒鉛筆最少有多少只？解：【4，5，6】=6029、王伯伯有三個小孩，老大3天回家一次，老二4天回家一次，老三6天回家一次，這次10月1日一起回家，則上一次是幾月幾日一起回家？解

47、：【3，4，6】=12 30-12=1830、有一包奶糖，無論分給6個小朋友，8個小朋友，還是10個小朋友，都正好分完，這包糖至少有多少塊？解：【6，8，10】=120（塊）31、某公共汽車站有三條不同線路，1路車每隔6分鐘發(fā)一輛，2路車每隔10分鐘發(fā)一輛，3路車每隔12分鐘發(fā)一輛，三路車在早上8點同時發(fā)車后，至少再到什么時候又可以同時發(fā)車？解：【6，10，12】=60（分鐘）8點+1小時=9點32、王師傅找到一塊長72厘米，寬60厘米，高48厘米的長方體木料，王師傅把它鋸成同樣大小的正方體木塊，木塊的體積最大，不能有剩余，算一算，可以鋸成多少塊？解：（72，60，48）=12cm 7212=

48、6cm 6012=5cm 4812=4cm 654=120（塊）33、一個班90-100人，上體育課站隊時，無論每行站16人，還是每行站24人，都正好是整行，這個班有多少人？解：【16，24】=48（人） 482=96（人）34、用一個數(shù)去除52,余4,再用這個數(shù)去除40,也余4,這個數(shù)最大是多少？解：52-4=48 40-4=36 （48，36）=1235、把19支鋼筆和23個軟面抄平均獎給幾個三好學生，結(jié)果鋼筆多出了3支，軟面抄也多出了3個，得獎的學生最多有幾人？解：19-3=16 23-3=20 （16，20）=4（人）36、一次聚餐提供三種飲料，餐后統(tǒng)計三種飲料共用65瓶，平均每2個人

49、飲用一瓶a飲料，每3人用一瓶b飲料，每4人飲用一瓶c飲料，請問參加聚餐的有多少人？解：【2，3，4】=12（人） 122=6（瓶） 123=4（瓶） 124=3(瓶） 6+4+3=13（瓶） 6513=5 125=60（人）37、張林、李強都愛在圖書館看書，張林每4天去一次，李強每6天去一次，有一次他們兩人在圖書館相遇，至少再過多少天他們又可以在圖書館相遇？解：【4,6】=12（天）38、一個自然數(shù)，去除22少2,去除34也少2,這個自然數(shù)最大是幾？解：22+2=24 34+2=36 (24,36)=1239、一個數(shù)除73余1,除98余2,除147余3,這個數(shù)最大應(yīng)是多少？解：73-1=72 98-2=96 147-3=144 (72,96,144)=2440、有一批作業(yè)本，無論是平均分給10個人，還是12個人，都剩余4本，這批作業(yè)本至少有多少本？解：【10，12】=60 60+4=64（個）41、有一箱卡通書，把它平均分給6個小朋友，多出1本；平均分給8個小朋友，也多出1本；平均分給9個小朋友，還是多1本，這箱卡通書最少有多少本？解：【6，8，9】=72 72+1=73（本）42、