2021年高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)：5.4.2《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》精品學(xué)案（含答案）

1、【新教材】5.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（人教A版）1.了解周期函數(shù)與最小正周期的意義;2.了解三角函數(shù)的周期性和奇偶性;3.會(huì)利用周期性定義和誘導(dǎo)公式求簡(jiǎn)單三角函數(shù)的周期;4.借助圖象直觀理解正、余弦函數(shù)在0,2上的性質(zhì)(單調(diào)性、最值、圖象與x軸的交點(diǎn)等);5.能利用性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題. 1.數(shù)學(xué)抽象：理解周期函數(shù)、周期、最小正周期等的含義； 2.邏輯推理： 求正弦、余弦形函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用性質(zhì)求周期、比較大小、最值、值域及判斷奇偶性.4.數(shù)學(xué)建模：讓學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖像探究正、余弦函數(shù)的性質(zhì).重點(diǎn)：通過正弦曲線、余弦曲線這兩種曲線探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的

2、性質(zhì)； 難點(diǎn)：應(yīng)用正、余弦函數(shù)的性質(zhì)來求含有cosx,sinx的函數(shù)的單調(diào)性、最值、值域及對(duì)稱性. 一、 預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本201-205頁，填寫。1.定義域正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是_.2.值域(1)值域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是_.(2)最值正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí),取得最大值當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí),取得最小值余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí),取得最大值當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí),取得最小值3.周期性定義：對(duì)于函數(shù),如果存在一個(gè)_,使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有_,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)_叫做這個(gè)函數(shù)的周期.對(duì)于一個(gè)周期函數(shù),如果在它所有的周期中存在一個(gè)_,那么這個(gè)_就叫做的最小正周期.根據(jù)上述定義,可知：正

3、弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性()為_,其圖象_對(duì)稱()為_,其圖象_對(duì)稱5.對(duì)稱性正弦函數(shù)的對(duì)稱中心是_,對(duì)稱軸是直線_;余弦函數(shù)的對(duì)稱中心是_,對(duì)稱軸是直線_.(正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與軸(中軸線)的交點(diǎn)).6.單調(diào)性正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間_上都是增函數(shù),其值從增大到;在每一個(gè)閉區(qū)間_上都是減函數(shù),其值從減小到.余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間_上都是增函數(shù),其值從增加到;余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間_上都是減函數(shù),其值從減小到.1判斷正誤(1)存在xR滿足sin x.()(2)函數(shù)ycos 2x在上是減函數(shù)()(3

4、)在區(qū)間0,2上，函數(shù)ycos x僅在x0時(shí)取得最大值1. ()2設(shè)函數(shù)f(x)sin，xR，則f(x)是()A最小正周期為的奇函數(shù)B最小正周期為的偶函數(shù)C最小正周期為的奇函數(shù)D最小正周期為的偶函數(shù)3函數(shù)ysin x和ycos x都是減函數(shù)的區(qū)間是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)4已知函數(shù)f(x)sin(xR)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A函數(shù)f(x)的最小正周期為B函數(shù)f(x)是偶函數(shù)C函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱D函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)題型一 正、余弦函數(shù)的周期性例1 求下列三角函數(shù)的最小正周期: (1)y=3cos x,xR; (2)y=sin 2x,xR; (3

5、)y=2sin(),xR; (4)y=|cos x|,xR.跟蹤訓(xùn)練一1.（1）函數(shù)y=2sin (3x+),xR的最小正周期是()(A)(B)(C)(D)(2)函數(shù)y=|sin 2x|(xR)的最小正周期為. 題型二 化簡(jiǎn)、求值例2判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=sin 2x;(2)f(x)=sin(+);(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=+.跟蹤訓(xùn)練二1.下列函數(shù)中,最小正周期為的奇函數(shù)是()(A)y=sin(2x+) (B)y=cos(2x+)(C)y=sin(2x+) (D)y=sin(x+)2.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周

6、期為，且當(dāng)x時(shí)，f(x)sin x，則f 等于 ()A B1 C D題型三 正、余弦函數(shù)的單調(diào)性例3 求函數(shù)y=sin(x+)的單調(diào)區(qū)間.跟蹤訓(xùn)練三1求函數(shù)y2sin的單調(diào)增區(qū)間題型四 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例4 比較下列各組中函數(shù)值的大?。?（1）cos與cos；(2)sin 194與cos 160.跟蹤訓(xùn)練四1下列結(jié)論正確的是 ()Asin 400sin 50Bsin 220cos 200 Dcos(40)cos 310題型五 正、余弦函數(shù)的值域與最值問題例5 求下列函數(shù)的值域:(1)y=cos(x+),x0,;(2)y=cos2x-4cos x+5. 跟蹤訓(xùn)練五1. 函數(shù)y=2c

7、os2x+5sin x-4的值域?yàn)? 2.設(shè)f(x)=acos x+b的最大值是1,最小值是-3,則g(x)=bsin(ax+)的最大值為.1若函數(shù)（）是上的偶函數(shù)，則的值是（ ）A.0B.C.D.2若函數(shù)（）的最小正周期為,則（ ）A.5B.10C.15D.203已知，關(guān)于的下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）A.的一個(gè)周期為B.在單調(diào)遞減C.的一個(gè)零點(diǎn)為D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱4求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（1）；（2）5比較下列各組數(shù)的大?。?）與；（2）；（3）與答案小試牛刀1(1)(2)(3)2B.3A.4. C.自主探究例1 【答案】(1) 2；(2)；(3) 4；(4).【解析】:(1)因?yàn)?co

8、s(x+2)=3cos x,所以由周期函數(shù)的定義知,y=3cos x的最小正周期為2.(2)因?yàn)閟in2(x+)=sin(2x+2)=sin2x,所以由周期函數(shù)的定義知,y=sin2x的最小正周期為.(3)因?yàn)?所以由周期函數(shù)的定義知,的最小正周期為4.(4)y=|cos x|的圖象如圖(實(shí)線部分)所示.由圖象可知,y=|cos x|的最小正周期為. 跟蹤訓(xùn)練一1.【答案】(1)B；(2) 【解析】(2)作出y=|sin 2x|(xR)的圖象(如圖所示).由圖象可知,函數(shù)y=|sin 2x|(xR)的最小正周期為.例2【答案】(1) 奇函數(shù);(2) 偶函數(shù);(3) 偶函數(shù);(4) 既是奇函數(shù)又

9、是偶函數(shù).【解析】(1)顯然xR,f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)=sin 2x是奇函數(shù).(2)因?yàn)閤R,f(x)=sin(+)=-cos,所以f(-x)=-cos(-)=-cos=f(x),所以函數(shù)f(x)=sin(+)是偶函數(shù).(3)顯然xR,f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x),所以函數(shù)f(x)=sin |x|是偶函數(shù). (4)由得cos x=1,所以x=2k(kZ),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,此時(shí)f(x)=0,故該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).跟蹤訓(xùn)練二1.【答案】B【解析】A中,y=sin(2x+),即y=cos 2x,為偶函數(shù);C,D中,函數(shù)

10、為非奇非偶函數(shù);B中,y=cos(2x+)=-sin 2x,是奇函數(shù),T=,故選B.2.【答案】D【解析】因?yàn)閒(x)的最小正周期為T，所以f f f ，又yf(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)所以f f f sin.例3【答案】略.【解析】當(dāng)-+2kx+2k(kZ)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為-+,+(kZ).當(dāng)+2kx+2k(kZ)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為+,+(kZ).跟蹤訓(xùn)練三1【答案】略.【解析】y2sin2sin，令zx，則y2sin z，求y2sin z的增區(qū)間，即求ysin z的減區(qū)間，所以2kz2k(kZ)，即2kx2k(kZ)，解得2kx2k(

11、kZ)，所以y2sin的單調(diào)增區(qū)間是(kZ)例4 【答案】（1）coscos；（2）sin 194cos 160.【解析】（1）coscoscos，coscoscos，2，且函數(shù)ycos x在，2上單調(diào)遞增，coscos，即coscos.(2)sin 194sin(18014)sin 14，cos 160cos(18020)cos 20sin 70.0147090，且函數(shù)ysin x在0x90時(shí)單調(diào)遞增，sin 14sin 70.從而sin 14sin 70，即sin 194cos 160.跟蹤訓(xùn)練四1【答案】C.【解析】由cos 130cos(18050)cos 50，cos 200cos(

12、18020)cos 20，因?yàn)楫?dāng)0x90時(shí)，函數(shù)ycos x是減函數(shù)，所以cos 50cos 20，即cos 130cos 200.例5 【答案】（1）-, ；（2）2,10.【解析】(1)由x0,可得x+,函數(shù)y=cos x在區(qū)間,上單調(diào)遞減,所以函數(shù)的值域?yàn)?,. (2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,則-1t1.y=t2-4t+5=(, 當(dāng)t=-1時(shí),函數(shù)取得t-2)2+1最大值10;t=1時(shí),函數(shù)取得最小值2,所以函數(shù)的值域?yàn)?,10. 跟蹤訓(xùn)練五1.【答案】-9,1.【解析】(1)y=2cos2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2=-2(sin x-)2+.故當(dāng)sin x=1時(shí),ymax=1;當(dāng)sin x=-1時(shí),ymin=-9,故y=2cos2x+5sin x-4的值域?yàn)?9,1.2.【答案】1.【解析】由題意a0,當(dāng)a0時(shí),所以此時(shí)g(x)=-sin(2x+),其最大值為1.當(dāng)a0時(shí),所以此時(shí)g(x)=-sin(-2x+),其最大值為1.綜上知,g(x)的最大值為1.當(dāng)堂檢測(cè)1-3CBB4【答案】（1）（）；