24.4.1解直角三角形及一般應用

1、第二十四章第二十四章 解直角三角形解直角三角形24.4 24.4 解直角三角形解直角三角形第第1 1課時課時 解直角三角形解直角三角形 及一般應用及一般應用1課堂講解課堂講解已知兩邊解直角三角形已知兩邊解直角三角形 已知一邊及一已知一邊及一銳角解直角三角形銳角解直角三角形 已知一邊及一銳角已知一邊及一銳角的三角函數(shù)值解直角三角形的三角函數(shù)值解直角三角形 方位角方位角2課時流程課時流程逐點逐點導講練導講練課堂課堂小結小結作業(yè)作業(yè)提升提升 如圖所示，一棵大樹在一次強烈的地震中于離地如圖所示，一棵大樹在一次強烈的地震中于離地面面1010米處折斷倒下，樹頂落在離樹根米處折斷倒下，樹頂落在離樹根2424

2、米處米處. .大樹在折大樹在折斷之前高多少？斷之前高多少？ 1知識點知識點已知兩邊解直角三角形已知兩邊解直角三角形1.1.問：在三角形中共有幾個元素？問：在三角形中共有幾個元素？2.2.問：直角三角形問：直角三角形ABC中，中， C=90=90，a、b、c、A、 B這五個元素間有哪些等量關系呢？這五個元素間有哪些等量關系呢？ 答：答：1.1.三個角，三條邊，共六個元素。三個角，三條邊，共六個元素。知知1 1導導2.(1)2.(1)三邊之間關系：三邊之間關系：a2 2 + +b2 2 = =c2 2 ( (勾股定理勾股定理) ) (2) (2)銳角之間關系銳角之間關系A+B=90=90 (3)(

3、3)邊角之間關系邊角之間關系 知知1 1導導sincostanAAAAAAA 的的對對邊邊正正弦弦函函數(shù)數(shù)： 斜斜邊邊的的鄰鄰邊邊余余弦弦函函數(shù)數(shù)： 斜斜邊邊的的對對邊邊正正切切函函數(shù)數(shù)： 的的鄰鄰邊邊1. 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程， 叫做解直角三角形叫做解直角三角形2.直角三角形中的邊角關系：在直角三角形中的邊角關系：在RtABC中，中，a，b，c 分分 別是別是A，B，C的對邊，的對邊，C90.(1)三邊關系：三邊關系：a2b2c2；(2)兩銳角關系：兩銳角關系：AB90；(3)邊角關系：邊角關系：sin A ，cos A

4、， tan A ，sin B ，cos B ，tan B . 知知1 1講講（來自（來自點撥點撥）cacbbaabcbca3. 易錯警示易錯警示：解直角三角形除直角外共有：解直角三角形除直角外共有5個元素，已個元素，已 知其中的兩個元素知其中的兩個元素(至少有一邊至少有一邊)求另外的三個元素時，求另外的三個元素時， 要盡可能地運用所給出的原始數(shù)據(jù)，以減少誤差要盡可能地運用所給出的原始數(shù)據(jù)，以減少誤差 知知1 1講講（來自（來自點撥點撥）【例例1 1】在在RtABC中，中，a，b，c分別是分別是A，B，C 的對邊，的對邊，C90，a6，b ，解這個，解這個 直角三角形直角三角形知知1 1講講（來

5、自（來自點撥點撥）32導引：導引：先畫出先畫出RtABC，標注已知量，根據(jù)勾股定理，標注已知量，根據(jù)勾股定理 求出斜邊長，然后根據(jù)正切的定義求出求出斜邊長，然后根據(jù)正切的定義求出A的的 度數(shù)，再利用度數(shù)，再利用B90A求出求出B的度數(shù)的度數(shù)解：解：如圖所示，在如圖所示，在RtABC中，中， C90，a6，b A60， B90A906030.知知1 1講講（來自（來自點撥點撥）22226(2 3)4 3.cab23，6tan3,2 3aAb總總 結結知知1 1講講 本題運用本題運用數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想和和定義法定義法解題已知兩條解題已知兩條直角邊，解直角三角形的一般步驟是：直角邊，解直角三角

6、形的一般步驟是：(1)根據(jù)根據(jù) 求出斜邊的長；求出斜邊的長；(2)根據(jù)根據(jù) 求出求出A的度數(shù)；的度數(shù)；(3)利用利用B90A求出求出B的度數(shù)的度數(shù)22cabtanaAb 1 1如圖，如圖，ABC中，中，B90，BC2AB，則，則cos A()A B. C D知知1 1練練（來自（來自典中點典中點）52122 55552知識點知識點已知一邊及一銳角解直角三角形已知一邊及一銳角解直角三角形 知知2 2講講【例例2 2】如圖如圖24. 4. 2,在相距在相距2 000米的東、西兩座炮臺米的東、西兩座炮臺A、 B處同時發(fā)現(xiàn)入侵敵艦處同時發(fā)現(xiàn)入侵敵艦C，在炮臺在炮臺A處測得敵艦處測得敵艦 C 在它的南偏

7、東在它的南偏東40的方向，在炮臺的方向，在炮臺B處測得敵艦處測得敵艦C 在它的正南方在它的正南方.試求敵艦與兩炮臺的距離試求敵艦與兩炮臺的距離.（精確精確 到到1米）米）（來自教材）（來自教材）知知2 2講講解：解：在在RtABC中，中， CAB90- - DAC=50 答：答：敵艦與敵艦與A、B兩炮臺的距離分別約為兩炮臺的距離分別約為3111米和米和2384米米.ABACcos50。， tan,BCCABAB（來自教材）（來自教材）tan,BCABCAB 2000 tan502384 。（米米）20003111cos50cos50ABAC 。（米米）. .總總 結結知知2 2講講本題運用本題

8、運用數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想和和定義法定義法解題解題. .已知斜邊和一銳角已知斜邊和一銳角解直角三角形的一般步驟是：解直角三角形的一般步驟是：（1 1）根據(jù)）根據(jù)A+B=90=90求出另一銳角；求出另一銳角；（2 2）根據(jù)）根據(jù) 求出求出a的值；的值；（3 3）根據(jù)）根據(jù) 求出求出b的值或根據(jù)勾股定理求出的值或根據(jù)勾股定理求出b的值的值. .caA sincbA cos3知識點知識點已知一邊及一銳角三角函數(shù)值解直角三角形已知一邊及一銳角三角函數(shù)值解直角三角形 知知3 3講講【例例3 3】 如圖，在如圖，在ABC中，中，AD是是BC邊上的邊上的 高高，AE是是BC邊上的中線，邊上的中線，C45，

9、sin B ， AD1. 求求BC的長的長.13知知3 3講講解：解：在在ABC中，中，AD是是BC邊上的高，邊上的高， ADBADC90. 在在ADC中，中， ADC90，C45，AD1， DCAD1. 在在ADB中，中， ADB90，sin B ，AD1， BCBDDC 1.133,sinADABB 2222B DA BA D 2 24知識點知識點方位角方位角知知4 4講講【例例3 3】浙江溫州浙江溫州某海濱浴場東西走向的海岸線可近似看成直線某海濱浴場東西走向的海岸線可近似看成直線l (如圖如圖)救生員甲在救生員甲在A處的瞭望臺上觀察海面情況，發(fā)現(xiàn)其正處的瞭望臺上觀察海面情況，發(fā)現(xiàn)其正 北

10、方向的北方向的B處有人發(fā)出求救信號他立即沿處有人發(fā)出求救信號他立即沿AB方向徑直前往方向徑直前往 救援，同時通知正在海岸線上巡邏的救生員乙乙馬上從救援，同時通知正在海岸線上巡邏的救生員乙乙馬上從C處處 入海，徑直向入海，徑直向B處游去甲在乙入海處游去甲在乙入海10 s后趕到海后趕到海 岸線上的岸線上的D處處，再向再向B處游去若處游去若CD40 m，B在在 C的北偏東的北偏東35方向上，甲方向上，甲、乙的游泳速度都是乙的游泳速度都是2 m/s.誰先到達誰先到達B處？請說明理由處？請說明理由(參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：sin 550.82，cos 550.57，tan 551.43)知知4 4講講（來自

11、（來自典中點典中點）導引：導引：在在RtBCD中，求出中，求出BC與與BD的長，再求出甲、乙所的長，再求出甲、乙所 用的時間，比較其大小即可知道誰先到達用的時間，比較其大小即可知道誰先到達B處處解：解：乙先到達乙先到達B處理由：由題意得處理由：由題意得BCD55， BDC90， tanBCD BDCDtanBCD40tan 5557.2(m)， 又又cosBCD BC 70.2(m)， 40coscos 55CDBCD 。,BDCD,CDBC知知4 4講講（來自（來自典中點典中點）t甲甲 1038.6(s)，t乙乙 35.1(s)，t甲甲t乙乙，乙先到達乙先到達B處處57.2270.22總總

12、結結知知4 4講講 本題是利用解直角三角形解決實際問題中的方向本題是利用解直角三角形解決實際問題中的方向角問題，運用角問題，運用建模思想建模思想和和數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想解題解答的解題解答的關鍵是在直角三角形中根據(jù)已知條件選擇恰當?shù)娜顷P鍵是在直角三角形中根據(jù)已知條件選擇恰當?shù)娜呛瘮?shù)關系式解題，同時對于方向角問題，還運用了函數(shù)關系式解題，同時對于方向角問題，還運用了轉轉化思想化思想，即利用互余關系將方向角轉化為直角三角形，即利用互余關系將方向角轉化為直角三角形的內角的內角知知4 4練練（來自（來自典中點典中點）如圖，一艘海輪位于燈塔如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東的北偏東55方向，距離燈方

13、向，距離燈塔塔2海里的海里的A處如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正處如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東位置，則海輪航行的距離東位置，則海輪航行的距離AB是是()A2海里海里 B2sin 55海里海里 C2cos 55海里海里 D2tan 55海里海里1 1知知4 4練練（來自（來自典中點典中點）如圖，一只船以每小時如圖，一只船以每小時20千米的速度向正東航行，起千米的速度向正東航行，起初船在初船在A處看見一燈塔處看見一燈塔B在船的北偏東在船的北偏東60方向上，方向上，2小時后，船在小時后，船在C處看見這個燈塔在船的北偏東處看見這個燈塔在船的北偏東45方方向上，則燈塔向上，則燈塔B到船所在的航線到船所在的航線AC的距離是的距離是()A(1816 )千米千米 B(1918 )千米千米C(2020 )千米千米 D(2122 )千米千米2 23333解直角三