數(shù)學(xué)分析反常積分PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1數(shù)學(xué)分析反常積分?jǐn)?shù)學(xué)分析反常積分定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間), a上連續(xù)，取上連續(xù)，取ab ，如果極限，如果極限 babdxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間), a上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)極限存在時，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在當(dāng)極限存在時，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在時，稱廣義積分發(fā)散時，稱廣義積分發(fā)散. .第1頁/共22頁類似地，設(shè)函數(shù)類似地，設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(b上連續(xù)，取上連續(xù)，取ba ，如果極限，如果極限 baa

2、dxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間,(b上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .第2頁/共22頁 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間),( 上上連連續(xù)續(xù), ,如如果果廣廣義義積積分分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都都收收斂斂，則則稱稱上上述述兩兩廣廣義義積積分分之之和和為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間),( 上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 dxx

3、f)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim極限存在稱廣義積分收斂；否則稱廣義積分發(fā)散極限存在稱廣義積分收斂；否則稱廣義積分發(fā)散. .第3頁/共22頁例例1 1 計算廣義積分計算廣義積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 第4頁/共22頁例例2 2 計算廣義積分計算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxd

4、x bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 第5頁/共22頁例例 3 3 證明廣義積分證明廣義積分 11dxxp當(dāng)當(dāng)1 p時收斂，時收斂，當(dāng)當(dāng)1 p時發(fā)散時發(fā)散.證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此當(dāng)因此當(dāng)1 p時廣義積分收斂，其值為時廣義積分收斂，其值為11 p；當(dāng)當(dāng)1 p時廣義積分發(fā)散時廣義積分發(fā)散.第6頁/共22頁例例 4 4 證證明明廣廣義義積積分分 apxdxe當(dāng)當(dāng)0 p時時收收斂斂，當(dāng)當(dāng)0 p時時發(fā)發(fā)散散.證證 apxdxe bapxbdx

5、elimbapxbpe lim pepepbpablim 0,0,pppeap即即當(dāng)當(dāng)0 p時時收收斂斂，當(dāng)當(dāng)0 p時時發(fā)發(fā)散散.第7頁/共22頁定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上連續(xù)，而在上連續(xù)，而在點(diǎn)點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無界取的右鄰域內(nèi)無界取0 ，如果極限，如果極限 badxxf )(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分

6、分發(fā)發(fā)散散. .第8頁/共22頁類似地，設(shè)函數(shù)類似地，設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上連續(xù)，上連續(xù)，而在點(diǎn)而在點(diǎn)b的左鄰域內(nèi)無界的左鄰域內(nèi)無界. .取取0 ，如果極限，如果極限 badxxf)(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上的廣義積分，上的廣義積分，記作記作 badxxf)( badxxf)(lim0. .當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .第9頁/共22頁設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上除除點(diǎn)點(diǎn))(bcac 外外連連續(xù)續(xù)，而而在在點(diǎn)點(diǎn)c的的鄰鄰

7、域域內(nèi)內(nèi)無無界界. .如如果果兩兩個個廣廣義義積積分分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都都收收斂斂，則則定定義義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否則則，就就稱稱廣廣義義積積分分 badxxf)(發(fā)發(fā)散散. .定義中定義中C為為瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)，以上積分稱為，以上積分稱為瑕積分瑕積分.第10頁/共22頁例例5 5 計算廣義積分計算廣義積分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim

8、 0arcsinlim0aa .2 第11頁/共22頁例例 6 6 證證明明廣廣義義積積分分 101dxxq當(dāng)當(dāng)1 q時時收收斂斂，當(dāng)當(dāng)1 q時時發(fā)發(fā)散散.證證, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此當(dāng)因此當(dāng)1 q時廣義積分收斂，其值為時廣義積分收斂，其值為q 11；當(dāng)當(dāng)1 q時廣義積分發(fā)散時廣義積分發(fā)散. 101dxxq第12頁/共22頁例例7 7 計算廣義積分計算廣義積分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )

9、1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原廣義積分發(fā)散故原廣義積分發(fā)散.第13頁/共22頁例例8 8 計算廣義積分計算廣義積分解解.)1(3032 xdx1 x瑕瑕點(diǎn)點(diǎn) 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 第14頁/共22頁無界函數(shù)的廣義積分（無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分瑕積分）無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意注意：不能忽略

10、內(nèi)部的瑕點(diǎn)）：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)） badxxf)(第15頁/共22頁思考題思考題積分積分 的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？ 101lndxxx第16頁/共22頁思考題解答思考題解答積分積分 可能的瑕點(diǎn)是可能的瑕點(diǎn)是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕點(diǎn)不是瑕點(diǎn), 101lndxxx的瑕點(diǎn)是的瑕點(diǎn)是. 0 x第17頁/共22頁一、一、 填空題：填空題：1 1、 廣義積分廣義積分 1pxdx當(dāng)當(dāng)_時收斂；當(dāng)時收斂；當(dāng)_時時發(fā)散；發(fā)散；2 2、 廣義積分廣義積分 10qxdx當(dāng)當(dāng)_時收斂；當(dāng)時收斂；當(dāng)_時發(fā)時發(fā)散；散；3 3、 廣義積分廣義積分

11、 2)(lnkxxdx在在_時收斂； 在時收斂； 在_ 時發(fā)散；時發(fā)散； 4 4、廣廣義義積積分分 dxxx21= =_ _ _ _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題第18頁/共22頁5 5、 廣廣義義積積分分 1021xxdx_ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 廣廣義義積積分分 xdttf)(的的幾幾何何意意義義是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 判判別別下下列列各各廣廣義義積積分分的的收收斂斂性性，如如果果收收斂斂，則則計計算算廣廣義義積積分分的的值值：

12、1 1、 0coshtdtept )1( p； 2 2、 222xxdx ；3 3、 0dxexxn（為為自自然然數(shù)數(shù)n） ；4 4、 202)1(xdx；第19頁/共22頁5 5、 211xxdx； 6 6、 022)1(lndxxxx；7 7、 10ln xdxn. .三、三、 求當(dāng)求當(dāng)為何值時為何值時k，廣義積分，廣義積分)()(abaxdxbak 收斂？又收斂？又為何值時為何值時k，這廣義積分發(fā)散？，這廣義積分發(fā)散？四、四、 已知已知 xxxxxf2,120,210,0)(，試用分段函數(shù)表示，試用分段函數(shù)表示 xdttf)(. .第20頁/共22頁一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、發(fā)散；、發(fā)散； 5 5、1 1； 6 6、過點(diǎn)、過點(diǎn)軸軸平行于平行于 yx的直的直線左邊線左邊, ,曲線曲線)(xfy