一類非線性粘彈性方程解的整體存在性畢業(yè)論文

1、 學(xué)校代碼：11517 學(xué) 號(hào)：200911002104 henan institute of engineering_畢業(yè)論文題 目 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 學(xué)生姓名 專業(yè)班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué)0941班 學(xué) 號(hào) 200911002104 系 （部） 理學(xué)院 指導(dǎo)教師(職稱) 完成時(shí)間 2013年 5月20日 河南工程學(xué)院論文版權(quán)使用授權(quán)書本人完全了解河南工程學(xué)院關(guān)于收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意如下各項(xiàng)內(nèi)容：按照學(xué)校要求提交論文的印刷本和電子版本；學(xué)校有權(quán)保存論文的印刷本和電子版，并采用影印、縮印、掃描、數(shù)字化或其它手段保存論文；學(xué)校有權(quán)提供目錄檢索以及提供本論文全文或者部

2、分的閱覽服務(wù)；學(xué)校有權(quán)按有關(guān)規(guī)定向國家有關(guān)部門或者機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版；在不以贏利為目的的前提下，學(xué)?？梢赃m當(dāng)復(fù)制論文的部分或全部內(nèi)容用于學(xué)術(shù)活動(dòng)。論文作者簽名： 年 月 日 河南工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文，是本人在指導(dǎo)教師指導(dǎo)下，進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文的研究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、已公開發(fā)表或者沒有公開發(fā)表的作品的內(nèi)容。對(duì)本論文所涉及的研究工作做出貢獻(xiàn)的其他個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。 論文作者簽名： 年 月 日河南工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書 題目 一類非

3、線性粘彈性方程解的整體存在性 專業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 學(xué)號(hào) 200911002104 姓名 樊辰光 主要內(nèi)容：cavalcanti m m,domingos cavalcanti v n ,ferrira j已經(jīng)研究過方程， （1.1）具有初邊值，.他們得出松弛函數(shù)以指數(shù)形式衰減時(shí)，得到了能量的一致衰減。tater n,messaoudi s a研究過如下方程, （1.2）初邊值條件同（1.1），用改進(jìn)的位勢(shì)井方法得出了整體解的存在性且能量以指數(shù)形式衰減。吳舜堂研究了方程， （1.3）劉文俊研究了方程， （1.4）受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文擬研究如下方程 （1.5）具有初邊值 以sobolev空間基

4、礎(chǔ)知識(shí)為工具，利用衰減估計(jì)方法對(duì)非線性粘彈性方程解的存在性進(jìn)行了研究?；疽螅涸鷮?shí)的英語和數(shù)學(xué)功底，非常熟悉數(shù)學(xué)分析的知識(shí)，熟練掌握word,maple 等數(shù)學(xué)工具。主要參考資料：1cavalcanti m m,domingos cavalcanti v n ,ferrira j. existence and uniform decay for a nonlinear viscoalastic equation with strong damping m.2001 .2tater n,messaoudi s a. exponential and polynomial decay for a

5、quasilinear viscoelastic equationmnonlinear analysis,2008(68)785-7933韓小森，王明新，帶非線性阻尼的粘彈方程解的整體存在性和一致衰減性，m.20094shuntang wu.general decay of solutions for a viscoelastic equation with nonlinear damping and source terms m.2011.5xiaosen han,mingxin wang,general decay of energy for a viscoelastic equat io

6、n with nonlinear damping m.20096wenjun liu. exponential or polynomial decay of solutions to a viscoelastic equation with nonlinear localized damping m.2010.7同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，高等數(shù)學(xué)m.高等教育出版社，1979.8張全德，非線性波動(dòng)方程整體解的存在性與唯一性j.陜西師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),20(1992)8182.9messaoudi a,berrimi s. existence and decay of solutions of a

7、viscoalastic equ ation with a nonlinear sourcem.nonlinear analysis,2006,2314-233110tater n,messaoudi s a. global existence and uniform stability of solutions for a quasilinear viscoelastic problem. m.11苗長興 非線性波動(dòng)方程的現(xiàn)代方法m.2005.12lions j l,strauss w a. some nonlinear evolution equationsm. 1965(01).13pa

8、zy a. semigroups of linear operators and applications to partial differe ntial equations m.1983. 14谷超豪，李大潛，沈瑋熙，應(yīng)用偏微分方程m.高等教育出版社，1993.15陸啟韶，常微分方程的定性方法和分叉m.北京航天大學(xué)出版社，1989.16tater n,messaoudi s a.global existence and asymptotic behavior for a nonlinear viscoelastic problemm.17張芷芬，丁同仁，黃文灶，董鎮(zhèn)喜，微分方程定性理論m.

9、科學(xué)出版社，1985. 完 成 期 限： 指導(dǎo)教師簽名： 專業(yè)負(fù)責(zé)人簽名： 年 月 日 目 錄 中文摘要 i英文摘要ii1 序論1 1.1引言1 1.2 粘彈性方程的發(fā)展概述 12 假設(shè)和主要結(jié)果4 2.1假設(shè) 4 2.2主要結(jié)果 43 預(yù)備知識(shí)5 3.1基本定義 5 3.2一系列不等式 5 3.3引理 64 主要結(jié)論的證明8 4.1解的整體存在性 8 4.2能量的一致衰減性13致謝 19參考文獻(xiàn) 20一類非線性粘彈性方程解的整體存在性摘要在本文中，研究一類非線性粘彈性方程解的整體存在性和以指數(shù)形式的衰減性。 ， 文章共分為四小節(jié)：第一節(jié)，簡述研究一類非線性粘彈性方程的意義和近年來國際研究的現(xiàn)

10、狀，且基于本文的假設(shè)條件上研究這個(gè)問題。第二節(jié)，說明sobolev嵌入定理和多個(gè)與本文有關(guān)的不等式方程條件。第三節(jié)，運(yùn)用faedo-galerkin方法證明方程的整體存在性。第四節(jié)，我們采取下述的方法證明方程的衰減性。在此中，為正常數(shù)，引入兩個(gè)泛函：，廣義能量和泛函在特定意義下是等價(jià)的，為了得到的指數(shù)衰減，只需證明滿足指數(shù)衰減.關(guān)鍵詞 非線性粘彈性方程，faedo-galerkin方法，存在性，唯一性。existence of a class of nonlinear wave equationsabstactin this paper, we study a class of nonline

11、ar viscoelastic equations the global existence and decay.， the article is divided into four sections：in the first section，we briefly study a class of nonlinear viscoelastic equations significance and the status of international research in recent years，it based on this assumption and study this issu

12、e。in the second section，explain embedding theorem of sobolevand a plurality of documents related to inequality equation conditions.in the third section，we use faedo-galerkin to prove the global existence of the equation。in the fourth section，we show that the equation of attenuation。in this,is a posi

13、tive constant，and there is keywords nonlinear viscoelastic equations，faedo-galerkin way，existence，unique。1 緒論1.1 引言作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，在18世紀(jì)最早的系統(tǒng)的三個(gè)基本的數(shù)學(xué)物理偏微分方程分別為：波動(dòng)方程，熱傳導(dǎo)方程和調(diào)和方程，所運(yùn)用的方法是經(jīng)典分析。進(jìn)入了二十世紀(jì)以后，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和其他數(shù)學(xué)分支不斷發(fā)展的支撐下，對(duì)偏微分方程的研究已經(jīng)突破了經(jīng)典分析的局限，而在更一般的條件下討論問題成為可能且十分現(xiàn)實(shí)了。事實(shí)說明，物理學(xué)，生物學(xué)甚至金融學(xué)等眾多不同的領(lǐng)域中運(yùn)用的基本規(guī)律，都可以通過

14、微分方程進(jìn)行研究和證明。這不但能夠了解現(xiàn)象的本質(zhì)，特性特征，同時(shí)可以在此基礎(chǔ)上作出新的預(yù)測(cè)。將它運(yùn)用到不同的社會(huì)領(lǐng)域中，取得了巨大的科學(xué)成就和社會(huì)效益。伴隨著科學(xué)技術(shù)水平的不斷發(fā)展，各式各樣的非線性問題引起人們?nèi)找嫔钋械年P(guān)注，源自于應(yīng)用數(shù)學(xué)，物理學(xué)，等各種應(yīng)用學(xué)科中的非線性偏微分方程初邊值問題，是目前最受關(guān)注的非線性偏微分方程。固體力學(xué)有很多不同的研究分類，粘彈性理論就是其中之一。有多種類型的工程材料，如高聚合材料混凝土、某種生物組織以及在高速運(yùn)動(dòng)下發(fā)生變形的金屬材料，不僅有彈性特質(zhì)，而且還擁有粘性特征，這種兼?zhèn)鋬烧卟煌攸c(diǎn)的材料稱為粘彈性體。運(yùn)用彈性力學(xué)的辦法來研究粘彈性體并不能確切的反映真

15、實(shí)情況，這是因?yàn)樵谕饬ψ饔孟?，粘彈性體會(huì)隨著時(shí)間的變化而產(chǎn)生彈性變形，而且變形還會(huì)不斷的變化。彈性力學(xué)與粘彈性理論的主要區(qū)別在于應(yīng)變應(yīng)力不同關(guān)系。所以，粘彈性理論的重點(diǎn)研究對(duì)象就是粘彈性體的應(yīng)變應(yīng)力的關(guān)系。近些年來，在理論（包括斷裂理論，本構(gòu)理論）和應(yīng)用上，非線性粘彈性的研究都取得了重大的進(jìn)展。人們借助于非線性模型來充分研究年彈性固體的行為，隨著研究廣度和研究深度的進(jìn)步，不少學(xué)者推導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)方程是偏微分-積分方程，用經(jīng)典的galerkin方法可把它簡化為非線性積分-微分方程。在粘彈性力學(xué)方程的理論和應(yīng)用取得不斷進(jìn)展的情況下，粘彈性方程初邊植問題成為近些年來在數(shù)學(xué)領(lǐng)域討論的熱門課題。這其中一個(gè)重

16、點(diǎn)的研究方向就是含有記憶項(xiàng)的粘彈性方程。1.2 粘彈性方程的發(fā)展概述事實(shí)上，cavalcanti m m,domingos cavalcanti v n ,ferrira j等人在文獻(xiàn)1已經(jīng)研究過帶強(qiáng)阻尼的相關(guān)方程 （1.1）與本文研究的方程具有相同的初邊值 他們運(yùn)用galerkin逼近方法結(jié)合能量估計(jì)建立了解的存在性、唯一性等結(jié)果，假設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù).，為證明解的整體存在性時(shí)考慮，為得到能量的衰減速率時(shí)設(shè)定.在假定松弛函數(shù)以指數(shù)形式衰減時(shí)，得到了能量的一致衰減。tater n,messaoudi s a在文獻(xiàn)2研究過如下問題方程 （1.2）初邊值條件與（1.1）相同。用改進(jìn)的位勢(shì)井和全新泛函方法

17、得出了整體解的存在性且能量以指數(shù)形式的一致衰減性。將問題轉(zhuǎn)化到帶有非線性阻尼的情況下，韓小森和王明新在文獻(xiàn)3研究過 (1.3)在相同的初值條件下，設(shè)定，得到能量的一致衰減性.吳舜堂等人在文獻(xiàn)4研究過方程 （1.4）是在初邊值與上述相同的情況下，將韓小森和王明新的論證延伸到含有的情況。而當(dāng)以上的問題去掉色散項(xiàng)后，同樣引起了廣泛關(guān)注，相關(guān)的方程獲得研究，得出一批有關(guān)解的存在性、正則性、唯一性與穩(wěn)定性等結(jié)果。例如韓小森和王明新在文獻(xiàn)5還研究過如下方程 (1.5)在相同的初值條件下，設(shè)定,本文分別用galerkin方法和擾動(dòng)能量方法證明此問題解的整體存在性和能量的一致衰減性.劉文俊在文獻(xiàn)6研究了方程

18、（1.6）其中在有界區(qū)域中，是具有光滑的邊界,是一個(gè)指數(shù)衰減記憶項(xiàng)的正函數(shù)。存在正常數(shù)，在條件, ,可得出能量的指數(shù)衰減。受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本課題擬研究如下方程 結(jié)合young和gronwall等多種不等式，使用faedo-galerkin方法，即在適當(dāng)?shù)膕obolev空間中選取適當(dāng)基函數(shù)，在由任意有限個(gè)基函數(shù)所張成的有限維空間中求解逼近問題，用常微分方程組的局部存在性定理得到逼近問題解的局部存在性。然后得到近似問題解的緊性估計(jì)，即可保證近似問題解的整體存在性。再選取近似問題解的一個(gè)子序列，使其收斂于原問題的解，即驗(yàn)證近似問題解子序列的極限滿足方程和初值條件。本課題與（1.6）題目的區(qū)別是將改

19、為。其中的計(jì)算方法參考方程（1.1）-（1.5）.結(jié)合（1.6）的衰減估計(jì)得出（1.7）的衰減估計(jì)，預(yù)期結(jié)果是能量以指數(shù)形式衰減.2 假設(shè)和主要結(jié)果2.1 假設(shè) 當(dāng)且假設(shè)滿足，如果時(shí)，. 對(duì)于核函數(shù)，假設(shè)它滿足：是正函數(shù)且滿足存在正常數(shù)使得： 2.2 主要結(jié)果在以上假設(shè)的前提下，即設(shè)，假設(shè)（x1），（x2）成立，則問題必有唯一的弱解，滿足 (2.1)并且來說，假設(shè)是有界且為正的，那么對(duì)于任意的，存在和且二者都為正常數(shù)，使得能量泛函數(shù)滿足衰減估計(jì) (2.2)3 預(yù)備知識(shí)3.1 基本定義, (3.1), (3.2)當(dāng)時(shí)，為在上的本質(zhì)上界，記為，定義：. (3.3)3.2 重要的不等式minkows

20、ki不等式：如果則；hlder不等式：設(shè)若則且有 ；young不等式1：設(shè)且滿足若 ，則有在上幾乎處處存在，且；young不等式2：，則有；帶 的young不等式：，則特別地，當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)椋◣У腸auchy不等式） gronwall不等式（積分形式）（1） 設(shè)是0,t上的非負(fù)可積函數(shù)，,對(duì)某個(gè)成立，則；（2）如果，則. gronwall不等式（微分形式）是非負(fù)的，且為絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，在的區(qū)間上，且對(duì)任意情況下的滿足不等式 ，在此和是非負(fù)的，且為可積函數(shù)，在的區(qū)間上，則特殊情況下，在的區(qū)間上符合條件，則恒有. 3.3 引理引理1（sobolev嵌入定理）設(shè)為中的有界區(qū)域，其邊界是光滑的，如果，那

21、么（i） 并有 ，其中為常數(shù)（ii） ，并有 ，其中為常數(shù)引理2（aubin引理）設(shè)是三個(gè)banach空間，其中是自反的，且有連續(xù)的嵌入關(guān)系，到的嵌入映射是緊的記則緊嵌入.引理3設(shè)是hilbert空間或banach空間，是的對(duì)偶空間，.如果內(nèi)，內(nèi)，則在中引理（reen公式）4 主要結(jié)論的證明4.1 解的整體存在性令為的一個(gè)完備正交基，且是一個(gè)特征函數(shù)，其具備負(fù)laplace含有帶齊次dirichlet邊界條件，即：,經(jīng)過規(guī)范化后，存在，假設(shè)m是任意正整數(shù)，,并且記表示對(duì)t求一階導(dǎo),表示對(duì)t求二階導(dǎo).再由（1.1）兩邊同時(shí)乘以，知滿足：.且存在有：，則以上化簡成：,其中， .當(dāng)時(shí)，在中，. 因?yàn)?/p>

22、假設(shè)中是一個(gè)有意義的非線性項(xiàng).根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程理論，我們可知存在唯一的解在區(qū)間上，其中大于零.則求解方程，并由第一估計(jì)得，對(duì)，這個(gè)近似解可以延拓到上.現(xiàn)在驗(yàn)證估計(jì)一.方程兩邊分別乘以，并且關(guān)于求和，得到： .可化為： .繼而得： .通過計(jì)算得：.記作符號(hào)：,則聯(lián)系上面的計(jì)算可得： .在（0，t)區(qū)間上積分，并且運(yùn)用假設(shè)條件，該式可化為：,由于,又由,.因此，是與及有關(guān)的正常數(shù)，并由上述式子可得第一估計(jì)：,在此，是與，及l(fā)有關(guān)的正常數(shù).從而有下列結(jié)果： 現(xiàn)在驗(yàn)證估計(jì)二.方程兩邊分別乘以，并且關(guān)于k求和，得到：.可化為：.通過計(jì)算可得：,.計(jì)算得：在（0，t)區(qū)間上積分，并且運(yùn)用假設(shè)條件，該式

23、可化為：,因此，是及有關(guān)聯(lián)的正常數(shù)，并由上述式子可得第一估計(jì)：,在此，是與，及有關(guān)聯(lián)的正常數(shù).綜上所述，根據(jù)以上方程解得，存在子列，使得： 下面處理非線性項(xiàng). 意味著而（3) 進(jìn)一步而有： 利用aubin引理得： 相當(dāng)于，這意味著 下面驗(yàn)證初值，已知 在中，中， 且在中，其中表示與的對(duì)偶積注意到，上式可寫為因此可知又，故對(duì)任意有 因此在中，4.2 能量的一致衰減性在本文中，我們將證明此方程的解以指數(shù)形式衰減的定理.設(shè)是方程的解，由此可定義廣義能量方程滿足，其中為：,其中.并由此可知，.引入兩個(gè)泛函數(shù)，,并且設(shè)：.其中和是未知的正整數(shù).本文先證明下述引理，由此說明泛函數(shù)和廣義能量在下述問題的意義

24、中是等價(jià)的.引理：設(shè)是上述方程得到的解，則存在兩個(gè)正的常數(shù)項(xiàng)，使得其滿足下述不等式： .證 由的定義運(yùn)用young不等式，得到：由的定義，運(yùn)用young不等式，易得：運(yùn)用上述的公式，將選取適當(dāng)大的數(shù)，將選取適當(dāng)小的數(shù)，則一定會(huì)存在符合方程兩邊要求的和.我們?yōu)榱俗C明的衰減性，只需要將證明出其滿足指數(shù)衰減。因此，我們先計(jì)算的導(dǎo)數(shù).上式右端的第三項(xiàng)可計(jì)算得：.我們可以根據(jù)young不等式，得到：.繼續(xù)根據(jù)young不等式，可得式子最后一項(xiàng)：.綜上所述，.將，可得：.下面我們來根據(jù)的定義，直接估計(jì)可得：.當(dāng)時(shí)，首先估計(jì)式子右端第一項(xiàng)：.估計(jì)第二項(xiàng)：.估計(jì)第三項(xiàng)：.估計(jì)第四項(xiàng)：,其中，,綜上所述，.估計(jì)

25、第五項(xiàng)：通過sovolev嵌入定理,且，可以得出：.繼而得：.估計(jì)第六項(xiàng)：.綜上所述，且使得：整理以上，我們可得：.在此，我們讓,，則存在足夠小的，使得：.同理：.而對(duì)于任意存在的和，我們可以找出足夠大的，使其滿足.因此，在假設(shè)的條件下，對(duì)于些，可得：.由上述可知，存在正常數(shù)，可得， ，利用定理可推知， .最后將上述不等式積分，得到：，.因此也就證明了衰減性。致 謝首先我把這篇論文獻(xiàn)給我親愛的的父母親，感謝他們給了我生命，給了我一個(gè)完整的家庭，給了我深造的機(jī)會(huì)，他們教會(huì)我踏實(shí)做人本分做事一步一個(gè)腳印，也感謝他們給予我無保留的的愛和奉獻(xiàn)的精神，事實(shí)證明，這足以受用終生。我要感謝我大學(xué)四年來的所有

26、的老師，他們的兢兢業(yè)業(yè)的教誨共同鑄就了這篇論文，沒有他們孜孜矻矻的教化，難以想象這一切是如何開始又如何結(jié)尾的，尤其感謝我們的李文清老師，在我寫論文之伊始，李老師就傾注了大量心血，指點(diǎn)我如何選材，如何查詢必要的資料，如何深入淺出地分析案例，李老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、誨人不倦的精神、淵博的知識(shí)對(duì)我產(chǎn)生了無法估量的影響，在這里我要祝福李老師，身體健康，萬事通達(dá)。本文是對(duì)我大學(xué)四年的學(xué)習(xí)成果的總結(jié)，大家的閱讀是我至上的榮耀，如果大家能提出一些意見和建議，我更是求之不得，感激不盡。時(shí)光飛逝，在這四年里我經(jīng)歷了許許多多難以忘懷的時(shí)刻，在這生命最美麗的四年里和將近四年的學(xué)習(xí)生活中，我要感謝我的一些同學(xué)和朋友們，

27、你們的支持是我前進(jìn)的動(dòng)力，你們的幫助更是對(duì)我的激勵(lì)，感謝在最美麗的年華遇到所有的你們。 最后，感謝自己，曾經(jīng)的努力，造就一個(gè)更加自信，更加完美的自己，告訴自己，路一直都在，不拋棄，不放棄。參考文獻(xiàn)1cavalcanti m m,domingos cavalcanti v n ,ferrira j. existence and uniform decay for a nonlinear viscoalastic equation with strong damping m.2001 .2tater n,messaoudi s a. exponential and polynomial decay for a quasilinear viscoelastic equationmnonlinear analysis,2008(68)785-7933韓小森，王明新，帶非線性阻尼的粘彈方程解的整體存在性和一致衰減性，m.20094shuntang wu.general decay of solutions for a viscoelastic equation with nonlinear damping and source terms m.2011.5xiaosen han,mingxin wang,general decay of energy for a v