統(tǒng)計(jì)學(xué)第六章假設(shè)檢驗(yàn)

1、 第一節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念 第二節(jié) 單個總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 第三節(jié) 兩個總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 第四屆 非參數(shù)檢驗(yàn) 教學(xué)目的與要求： 1.掌握假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念及思路和步驟； 2.掌握單個總體的假設(shè)檢驗(yàn)方法； 3.了解兩個總體假設(shè)檢驗(yàn)方法； 4.了解非參數(shù)檢驗(yàn)的特點(diǎn)和方法。 一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念 （一）、假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間參數(shù)估計(jì)的區(qū)別和聯(lián)系 1、聯(lián)系:參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的兩個組 成部分，都是利用樣本對總體進(jìn)行某種推斷。 2、區(qū)別：推斷的角度不同，區(qū)間估計(jì)是用給定的大 概率推斷出總體參數(shù)的范圍，而假設(shè)檢驗(yàn)是以小 概率為標(biāo)準(zhǔn)，對總體的狀況所做出的假設(shè)進(jìn)行判 斷。假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)結(jié)合起來，

2、構(gòu)成完整的 統(tǒng)計(jì)推斷內(nèi)容。 （二）、假設(shè)檢驗(yàn)的兩大類別：一類是參數(shù)假設(shè)檢 驗(yàn)，另一類是非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)。本章分別討論這 兩類檢驗(yàn)方法。 大數(shù)定理表明：就大量觀察 而言，事件的發(fā)生具有一定 的規(guī)律性。 根據(jù)概率的大小，人們處理 的態(tài)度和方式很不一樣。 在日常生活中，人們往往習(xí) 慣于把概率很小的事件，當(dāng) 作一次觀察中是極不可能看 到的事件。例如，人們出門 做事就有可能遇到不測事故， 但卻很少人因此而不敢出門。 原因是：小概率事件極不可 能發(fā)生。 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的依據(jù)是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的依據(jù)是 小概率原理：一是認(rèn)為小概率原理：一是認(rèn)為 小概率事件在一次觀察小概率事件在一次觀察 中是極少出現(xiàn)的；二是中是極少出現(xiàn)的；二

3、是 如果在一次觀察中出現(xiàn)如果在一次觀察中出現(xiàn) 了小概率事件，那么應(yīng)了小概率事件，那么應(yīng) 該否定原有事件具有小該否定原有事件具有小 概率的說法或者假設(shè)。概率的說法或者假設(shè)。 二、單側(cè)檢驗(yàn)與雙側(cè)檢驗(yàn) （一）、雙側(cè)檢驗(yàn) /21/2 -Z/2 Z/2 雙側(cè)檢驗(yàn) 雙側(cè)檢驗(yàn)中拒絕域位于正態(tài) 分布的兩邊上，對于提出 的 ，只要 或 二者之中有一 個成立，就可以否定原假設(shè)， 這種假設(shè)有兩個拒絕域、兩 個臨界值，每個拒絕域的面 積為/2，臨界值為 -Z/2、Z/2。 00 :Huu 0 uu 0 uu 1、左單側(cè)檢驗(yàn)(下限檢驗(yàn)） 2、右單側(cè)檢驗(yàn)（上限檢驗(yàn)） 00 10 : : Huu Huu Z 0 0 Z 左

4、側(cè)檢驗(yàn) 右側(cè)檢驗(yàn) 假定： Z為臨界值 10 :Huu 00 :Huu 假定 Z為臨界值 （三）、用單側(cè)檢驗(yàn)還是雙側(cè)檢驗(yàn)，使用左 側(cè)檢驗(yàn)還是右側(cè)檢驗(yàn)，決定于備選假設(shè)中 的不等式形式與方向。與“不相等”對應(yīng) 的是雙側(cè)檢驗(yàn)，與“小于”相對應(yīng)的是左 側(cè)檢驗(yàn)，與“大于”相對應(yīng)的是右側(cè)檢驗(yàn)。 接受拒絕 真實(shí) 判斷正確 棄真錯誤(第一 類錯誤或錯誤) 不真實(shí) 取偽錯誤(第二類 錯誤或錯誤) 判斷正確 0 H 0 H 0 H 0 H 在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中，無論是拒絕或者接受原假設(shè)，都不在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中，無論是拒絕或者接受原假設(shè)，都不 可能做到百分之百的正確，都有一定的錯誤?？赡茏龅桨俜种俚恼_，都有一定的錯誤。 1）、

5、第一類錯誤：原假設(shè)是真實(shí)的，判斷結(jié)論是拒絕原假）、第一類錯誤：原假設(shè)是真實(shí)的，判斷結(jié)論是拒絕原假 設(shè)，這種錯誤叫著設(shè)，這種錯誤叫著“棄真錯誤棄真錯誤”，在原假設(shè)為真的情況，在原假設(shè)為真的情況 下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量剛好落入小概率的拒絕區(qū)域，使我們拒下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量剛好落入小概率的拒絕區(qū)域，使我們拒 絕原假設(shè)，因此犯第一類錯誤的概率大小等于顯著性水絕原假設(shè)，因此犯第一類錯誤的概率大小等于顯著性水 平平，我們可通過控制顯著性水平大小的方式來控制犯棄，我們可通過控制顯著性水平大小的方式來控制犯棄 真錯誤的概率。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上把第一類錯誤也叫著真錯誤的概率。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上把第一類錯誤也叫著錯誤。錯誤。 2）、第二類錯誤

6、：原假設(shè)不真實(shí)，結(jié)論是接受原假設(shè)，這）、第二類錯誤：原假設(shè)不真實(shí)，結(jié)論是接受原假設(shè)，這 種錯誤叫著種錯誤叫著“取偽錯誤取偽錯誤”，犯第二類錯誤的概率記為，犯第二類錯誤的概率記為 ， 因此，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱第二類錯誤為因此，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱第二類錯誤為 錯誤。錯誤。 3）、不管我們?nèi)绾芜x擇否定域，都不可能完全避免第一類）、不管我們?nèi)绾芜x擇否定域，都不可能完全避免第一類 錯誤和第二類錯誤，也不可能同時把犯兩類錯誤的危險錯誤和第二類錯誤，也不可能同時把犯兩類錯誤的危險 壓縮到最小。對任何一個給定的檢驗(yàn)而言，犯第一類錯壓縮到最小。對任何一個給定的檢驗(yàn)而言，犯第一類錯 誤的危險越小，犯第二類錯誤的概率就越大；反

7、之亦然。誤的危險越小，犯第二類錯誤的概率就越大；反之亦然。 一般來講，不可能具體估計(jì)出第二類錯誤的概率值。第一般來講，不可能具體估計(jì)出第二類錯誤的概率值。第 一類錯誤則不然，犯第一類錯誤的概率是否定域內(nèi)各種一類錯誤則不然，犯第一類錯誤的概率是否定域內(nèi)各種 結(jié)果的概率之和。結(jié)果的概率之和。 2、兩類錯誤及其關(guān)系、兩類錯誤及其關(guān)系 1、檢驗(yàn)功效或檢驗(yàn)力：在犯第一類錯誤的概率得到控制的 條件下，犯取偽錯誤的概率也要盡可能地小，或者說， 不取偽的概率1-應(yīng)盡可能增大。1-越大，意味著當(dāng)原假 設(shè)不真實(shí)時，檢驗(yàn)判斷出原假設(shè)不真實(shí)的概率越大，檢驗(yàn) 的判別能力就越好；1-越小，意味著當(dāng)原假設(shè)不真實(shí)時， 檢驗(yàn)結(jié)

8、論判斷出原假設(shè)不真實(shí)的概率越小，檢驗(yàn)的判別能 力就越差。可見1-是反映統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)判別能力大小的重要 標(biāo)志，我們稱之為檢驗(yàn)功效或檢驗(yàn)力。 2、影響檢驗(yàn)功效的因素 1）、 取值：大，檢驗(yàn)功效就大（1-） 2）、要滿足、都盡可能的小，只有增加樣本的容量，但 樣本容量都是有限的，因此在實(shí)際應(yīng)用中會先控制 原因如下： P P P P 五、 值 值是指在原假設(shè)為真的情況下，得到某一樣本觀察結(jié)果 或更為極端情形出現(xiàn)的概率。如果 值很小，說明小概率事 件發(fā)生了，從而有理由拒絕原假設(shè)， 值愈小則拒絕的理由愈 充分。與根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是否落入拒絕域的方法相比，利用 值檢驗(yàn)要更精確。在前一種方法中，在顯著性水平 確定后

9、， 拒絕域也就確定了，如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域，我們犯棄 真的錯誤就是 ，而不管得到這一樣本觀察結(jié)果或更為極端 情形出現(xiàn)的概率大小，根據(jù)這一方法的做出決策對決策錯誤 的風(fēng)險反映不夠。而 值在決策風(fēng)險度量上要更為精確。在 應(yīng)用中，通常先確定一個顯著性水平 ，然后用 值與 比 較，在雙側(cè)檢驗(yàn)中， 時拒絕原假設(shè)，在單側(cè)檢驗(yàn)中， 時拒絕原假設(shè)。P 2P P a a P a P (1)建立假設(shè)建立假設(shè) (2)確定統(tǒng)計(jì)量確定統(tǒng)計(jì)量 (4)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 (3)選擇顯著性選擇顯著性 水平和否定域水平和否定域 (5)判定判定 所所 包有 含統(tǒng) 的計(jì) 步檢 驟驗(yàn) 根據(jù)以往多年的統(tǒng)計(jì)表明，上海根據(jù)以

10、往多年的統(tǒng)計(jì)表明，上海 財大英語的平均成績?yōu)樨敶笥⒄Z的平均成績?yōu)?0分，隨機(jī)抽分，隨機(jī)抽 取取100個學(xué)生，其平均成績?yōu)閭€學(xué)生，其平均成績?yōu)?0分，問分，問 今年財大學(xué)生的英語成績是否下降？今年財大學(xué)生的英語成績是否下降？ 1）、原假設(shè)（null hypothesis)：需要通過樣本去推斷其正確 與否的命題稱為原假設(shè)。用 表示，即： 2）、）、備選假設(shè)(alternative hypothesis)：與原假設(shè)對立的是 假設(shè)，備選假設(shè)是在原假設(shè)被否定時另一種可能成立的結(jié) 論。備選假設(shè)比原假設(shè)還重要，這要由實(shí)際問題來確定， 一般把期望出現(xiàn)的結(jié)論作為備選假設(shè)。用 表示，備選假 設(shè)與原假設(shè)相對立，原假

11、設(shè)成立，則備選假設(shè)不真實(shí)，如 原假設(shè)不真實(shí)，則備選假設(shè)成立。 關(guān)于均值，原假設(shè)與備選假設(shè)有三種情況： 雙側(cè)檢驗(yàn) 左側(cè)檢驗(yàn) 右側(cè)檢驗(yàn) 0 :90Hu 1 H 10 10 10 : : : Huu Huu Huu 00 00 00 : : : Huu Huu Huu 0 H 確定適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，且能在原假設(shè)成立的條件下知其分布。 一般來說，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的基本形式可表示如下： 3、 選擇顯著性水平和否定域選擇顯著性水平和否定域 被我們事先選定的可以犯第一類錯誤的概率，叫做檢驗(yàn) 的顯著性水平(用表示)，它決定了否定域的大小。因此， 有人也把第一類錯誤稱之錯誤 。相應(yīng)地第二類錯誤被人 稱為 錯誤。 在原假設(shè)

12、成立的條件下，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中所規(guī)定的小概率 標(biāo)準(zhǔn)一般取為=0.05或=0.01。 由所決定的否定域與接 受域之間的分界值被稱為臨界值， 如Z 。 樣本統(tǒng)計(jì)量被假設(shè)參數(shù) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差 4 4計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 在完成了上述工作之后，接下來就是做一次與在完成了上述工作之后，接下來就是做一次與 理想試驗(yàn)盡量相同的實(shí)際抽樣理想試驗(yàn)盡量相同的實(shí)際抽樣(比如實(shí)際做一次重比如實(shí)際做一次重 復(fù)拋擲硬幣的試驗(yàn)復(fù)拋擲硬幣的試驗(yàn))，并從獲取的樣本資料算出檢，并從獲取的樣本資料算出檢 驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)顯著性水平確定統(tǒng)計(jì)量的否定域或驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)顯著性水平確定統(tǒng)計(jì)量的否定域或 臨界值，并注意是單側(cè)檢驗(yàn)

13、還是雙側(cè)檢驗(yàn)。臨界值，并注意是單側(cè)檢驗(yàn)還是雙側(cè)檢驗(yàn)。 5 5判定判定 假設(shè)檢驗(yàn)系指拒絕或保留原假設(shè)的判斷，又稱假設(shè)檢驗(yàn)系指拒絕或保留原假設(shè)的判斷，又稱 顯著性檢驗(yàn)。在選擇否定域并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量之后，顯著性檢驗(yàn)。在選擇否定域并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量之后， 我們完成最后一道手續(xù)，即根據(jù)計(jì)算結(jié)果決定假設(shè)我們完成最后一道手續(xù)，即根據(jù)計(jì)算結(jié)果決定假設(shè) 的取與舍。如果結(jié)果落在否定域內(nèi)，我們將在已知的取與舍。如果結(jié)果落在否定域內(nèi)，我們將在已知 犯第一類錯誤概率的條件下，否定零假設(shè)。反之，犯第一類錯誤概率的條件下，否定零假設(shè)。反之， 如果結(jié)果落在否定域外，則不否定零假設(shè)，與此同如果結(jié)果落在否定域外，則不否定零假設(shè)，與

14、此同 時，我們就有了犯第二類錯誤的危險。時，我們就有了犯第二類錯誤的危險。 1、提出原假設(shè)和備選假設(shè)、提出原假設(shè)和備選假設(shè) （有三種情況）（有三種情況） 雙側(cè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn) 左側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn) 右側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn) 2、確定統(tǒng)計(jì)量、確定統(tǒng)計(jì)量 3、確定顯著性水平及拒絕域、確定顯著性水平及拒絕域 00 00 00 : : : Huu Huu Huu （一）、總體（一）、總體已知，對總體均值的檢驗(yàn)已知，對總體均值的檢驗(yàn) 10 10 10 : : : Huu Huu Huu 0 X z n Z,即 Z時拒絕原假設(shè)，接受備選假設(shè)；右單側(cè)檢驗(yàn) 時，拒絕域?yàn)?1、根據(jù)長期經(jīng)驗(yàn)和資料的分析，某磚瓦廠生產(chǎn)的磚的“抗斷

15、 強(qiáng)度”服從正態(tài)分布，方差為1.21。從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 6塊，測得抗斷強(qiáng)度如下（單位：KG/ ):32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03 檢驗(yàn)這批磚的平均抗斷強(qiáng)度為32.50是否成立？（=0.05） 2、某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，原月產(chǎn)量服從平均值為u=75，方差為 14的正態(tài)分布，設(shè)備更新后，為了考察產(chǎn)量是否提高，抽 查了6個月產(chǎn)量，求得平均產(chǎn)量為78，假定方差不變，問在 顯著性水平=0.05下，設(shè)備更新后的月產(chǎn)量是否有顯著性 提高？ 3、某批發(fā)商欲從廠家購進(jìn)一批燈泡，根據(jù)合同規(guī)定燈泡的使 用壽命平均不能低于1000小時。已知燈泡燃燒壽命服從正 態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為2

16、00小時。在總體中隨機(jī)抽取了100個燈 泡，得知樣本均值為960小時，批發(fā)商是否應(yīng)購買這批燈泡？ 2 CM （二）、總體（二）、總體未知，對總體均值的檢驗(yàn)未知，對總體均值的檢驗(yàn) 總體方差未知時，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差與方差代替它們，總體方差未知時，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差與方差代替它們， 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)改為自由度為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)改為自由度為N-1的的T分布，即：分布，即： (1) X tt n Sn 1、提出原假設(shè)和備選假設(shè)、提出原假設(shè)和備選假設(shè) （有三種情況）（有三種情況） 雙側(cè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn) 左側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn) 右側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn) 2、確定統(tǒng)計(jì)量、確定統(tǒng)計(jì)量 3、確定顯著性水平及拒絕域、確定顯著性水平及拒絕域 1）、

17、確定顯著性水平 2）、雙側(cè)檢驗(yàn)時，拒絕域?yàn)椋?、雙側(cè)檢驗(yàn)時，拒絕域?yàn)閠 t/2,即在 t t/2時拒 絕原假設(shè)，接受備選假設(shè)，反之接受原假設(shè)，拒絕備選假設(shè)。 3）、單側(cè)檢驗(yàn)時，左單側(cè)檢驗(yàn)時，拒絕域?yàn)閠t,即t t，即t t時，拒 絕原假設(shè)，接 受備選假設(shè) 00 00 00 : : : Huu Huu Huu 10 10 10 : : : Huu Huu Huu (1) X tt n Sn 當(dāng)樣本容量較大時，下列統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分 布： 上式中，代表總體的成數(shù)，p代表樣本的成數(shù)。 以上的z統(tǒng)計(jì)量可以用作總體成數(shù)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì) 量。 檢驗(yàn)的步驟和總體均值的檢驗(yàn)步驟相同。 練習(xí)：一項(xiàng)調(diào)查結(jié)果表明某市

18、老年人口比重為 14.7%，該市老年人口研究會為了檢驗(yàn)該項(xiàng)調(diào)查 是否可靠，隨機(jī)抽選了400名居民，發(fā)現(xiàn)其中有 57人年齡在65歲以上，調(diào)查結(jié)果是否支持該市老 年人口比重為14.7%的看法？（顯著性水平為 0.05） 1 p z n 1、定義：p-值檢驗(yàn)就是通過計(jì)算p-值，再將它與顯 著性水平作比較，決定拒絕還是接受原假設(shè)。所 謂p-值就是拒絕原假設(shè)所需的最低顯著性水平。 2、p-值判斷的原則是：如果p-值小于給定的顯著性 水平，則拒絕原假設(shè)；否則，接受原假設(shè)?；蛘?， 更直觀來說就是：如果p-值很小，拒絕原假設(shè)， p-值很大，接受原假設(shè)。請大家注意的是這里的 p-值是指概率，不要與成數(shù)指標(biāo)相混淆

19、。 3、z檢驗(yàn)的p-值： 步驟1、2（作出假設(shè)、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量）同 Z檢驗(yàn)） 步驟3：計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量 步驟4：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為z統(tǒng)計(jì)量的p-值計(jì)算公式， 表示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的抽樣數(shù)據(jù)，則p-值的計(jì)算方法 如下： 如果： ， p-值=2 如果： ， p-值= 如果： ， p-值= 步驟五：作出決策，如果p-值顯著性水平， 接受原假設(shè)，反之拒絕原假設(shè)。 4、t檢驗(yàn)的p-值與z檢驗(yàn)類同。 0 z 1 H 1 H 1 H 0 0 0 0 p zz 0 p zz 0 p z z 原假設(shè)為： 或 或 1.總體均值 未知時 假設(shè) ，但總體均值 未知，此時可用樣 本方差 與 的比來構(gòu)造 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在原假設(shè)為真 時，

20、 統(tǒng)計(jì)量表達(dá)式為： 當(dāng)采用雙側(cè)檢驗(yàn)時，若 或 則拒 絕 ，反之接受 ；當(dāng)進(jìn)行右側(cè)檢驗(yàn)時， 時拒 絕 ，反之接受 ；當(dāng)進(jìn)行左側(cè)檢驗(yàn)時， 時拒 絕 ，反之接受 。 22 00 :H 22 0 22 0 2 ( ,)N X 2 s 2 0 2 2 2 2 2 0 (1)ns 2 (1)n 22 2( 1)n 22 12( 1)n 0 H 0 H 0 H0 H 0 H 0 H 22 (1)n 22 1 (1)n 假設(shè) ，則從總體中抽得的樣本 滿足 在原假設(shè)為真時，可以構(gòu)造統(tǒng) 計(jì)量： 進(jìn)而可以確定拒絕域。當(dāng)采用雙側(cè)檢驗(yàn)時， 或 時拒絕 ，反之接受 ；當(dāng)進(jìn)行右側(cè)檢驗(yàn) 時， 時拒絕 ，反之接受 ；當(dāng)進(jìn)行左側(cè)

21、檢驗(yàn) 時， 時拒絕 ，反之接受 。 X 2 ( ,)N i x i x (0,1)N 2 2 2 1 2 0 () n i i x 2 ( )n 22 2( ) n 22 12 ()n 22 ( )n 22 1 ( )n 0 H 0 H 0 H 0 H 0 H 0 H 第三節(jié) 兩個總體參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn) 一、兩個總體均值之差的檢驗(yàn) 原假設(shè) （ 或 ） 1. 已知時 由于 , ，且 相互 獨(dú)立，所以有： 所以可用Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)原假設(shè)成立與否。 210 :H 21 21 2 2 2 1 , 1 X),( 2 11 N 2 X),( 2 22 N21, X X 21 xx ),( 2 2 2 1 2

22、1 21 nn N 2 2 2 1 2 1 2121 )()( nn xx Z ) 1 , 0(N 2. 未知時 當(dāng) 未知但樣本量較大時，依然可以使用Z 統(tǒng)計(jì)量 進(jìn)行檢驗(yàn)，此時總體 分別用樣本方差 代替，公式 如下： 當(dāng) 未知且樣本量較小時，則不能用 代替 的 統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)，此時需要使用 t統(tǒng)計(jì)量。更具 體了又可以分為兩種情況，一種是根據(jù)以往的大量經(jīng)驗(yàn)或 者事先通過檢驗(yàn)知道有 ，另一種是 不相等或 無法判斷它們是否相等。 2 2 2 1 , 2 2 2 1 , 2 2 2 1 , 2 2 2 1 , 2 2 2 1 , 2 2 2 1 , 2 2 2 1 ,ss 2 2 2 1 ,ss 2 2

23、 2 1 2 1 2121 )()( n s n s xx Z ) 1 , 0(N 2 2 2 1 我們先討論第一種情況，此時可以得到 的標(biāo)準(zhǔn)差的 估計(jì)， ，其中 ，于是可以構(gòu)造 檢 驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 對于第二種情況，需要用 來估計(jì) ，可以 得到 ，我們?nèi)匀煌ㄟ^構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行檢驗(yàn) 其中， 注意，此時 統(tǒng)計(jì)量的自由度已不再是 ，而是近 似服從自由度為 的 分布。 21 xx 21 11 21 nn sp xx 2 ) 1() 1( 21 2 22 2 11 2 nn snsn sp t 21 2121 11 )()( nn s xx t p )2( 21 nnt 2 2 2 1 ,ss 21 xx

24、2 2 2 1 2 1 21 n s n s xx 2 2 2 1 2 1 2121 )()( n s n s xx t )( ft 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 11 n n s n n s n s n s f t 2 21 nn ft 二、兩個總體比例之差的檢驗(yàn) 實(shí)際中經(jīng)常要檢驗(yàn)兩個總體中具有某一特征單位數(shù)的比例 之差是否滿足某一條件。此時需要用到兩個總體比例之差的 檢驗(yàn)。設(shè)兩個總體都服從二項(xiàng)分布，兩個總體中具有某一特 征單位數(shù)的比例分別為 。從兩個總體中分別抽出樣本 容量為 的兩個樣本，樣本比例分別用 表示。 1.檢驗(yàn)兩個總體比例之差為零的假設(shè) 設(shè)所

25、要檢驗(yàn)的問題的原假設(shè)為： （或 、 ） 在原假設(shè)成立時，可以得到兩個樣本合并后得到的比例估 計(jì)量 ，其中 分別表示兩個樣本中具有該 特征的單位數(shù)。 在大樣本條件下，可以構(gòu)造 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn) 21, 21,n n 21, p p 0: 210 H 0 21 0 21 21 2211 21 21 nn npnp nn xx p 21,x x Z ) 11 )(1 ( 21 21 nn pp pp Z ) 1 ,0(N 2.檢驗(yàn)兩個總體比例之差不為零的假設(shè) 設(shè)所要檢驗(yàn)的問題的原假設(shè)為 （或 、 ） 其中 為不等于零的常數(shù)。在大樣本條件下，依舊 構(gòu)造Z統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，但此時Z統(tǒng)計(jì)量的形式稍有變化。 2

26、10 :H 21 21 ) )1 ()1 ( ( )()( 2 22 1 11 2121 n pp n pp pp Z ) 1 ,0(N 三、兩個總體方差比的檢驗(yàn) 兩總體方差是否相等的檢驗(yàn)又稱為方差齊性檢驗(yàn)。實(shí)際中 常常需要對兩個總體方差是否相等進(jìn)行檢驗(yàn)，比如比較兩 種資產(chǎn)的波動，比較生產(chǎn)工藝的穩(wěn)定性，等等。在前面介 紹的方差未知且小樣本的兩總體均值之差檢驗(yàn)中，曾假定 兩總體的方差相等或不相等。而實(shí)際中往往需要通過方差 齊性檢驗(yàn)才能知道兩總體的方差是否相等。 四、配對樣本的檢驗(yàn) 在實(shí)際中，經(jīng)常會碰到檢驗(yàn)兩個相關(guān)樣本或配對樣本的平 均數(shù)間是否有顯著差異的問題，比如檢驗(yàn)一組肥胖者參加 減肥訓(xùn)練班后

27、體重是否有明顯的變化，車間工人在培訓(xùn)前 后生產(chǎn)效率是否有明顯的差異，等等。對于這類兩個樣本 之間存在相關(guān)性的問題，采用匹配樣本的檢驗(yàn)，可以提高 效率。這里通過一個例子介紹配對樣本的均值之差的檢驗(yàn) 例6-13某工廠為工人組織了一次技術(shù)培訓(xùn)，為檢驗(yàn)這次 培訓(xùn)是否有效果，隨機(jī)抽取了10名工人進(jìn)行調(diào)查，測得他 們的培訓(xùn)前后每小時平均生產(chǎn)零件數(shù)，如表6-2所示。 非參數(shù)檢驗(yàn)是對總體的分布不作任何限制的統(tǒng)計(jì) 檢驗(yàn)。故非參數(shù)檢驗(yàn)又稱為自由分布檢驗(yàn)。非參 數(shù)檢驗(yàn)，無需做出經(jīng)典統(tǒng)計(jì)所必要的關(guān)于分布的 任何假設(shè)。唯一需要的假設(shè)是：全部數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù) 對都出自相同的基本總體，且取樣是隨機(jī)的、相 互獨(dú)立的。基于這種原因，

28、非參數(shù)檢驗(yàn)又稱為分 布自由(或無分布)檢驗(yàn)?！盁o分布”不是指總體真 的無分布，而是指雖有時對總體分布一無所知， 但仍可以進(jìn)行分析。不僅如此，這些很容易理解 的方法還可以用于處理等級的資料和定性的信息。 正因?yàn)槿绱?，非參?shù)檢驗(yàn)成為管理科學(xué)中應(yīng)用較 為廣泛的一種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法。 1、自由分布檢驗(yàn)概念：又稱為非參數(shù)檢驗(yàn)，對總體 分布未加限制的檢驗(yàn)。 2、自由分布檢驗(yàn)對比參數(shù)檢驗(yàn)，具有以下優(yōu)點(diǎn)： 首先，檢驗(yàn)條件比較寬松，適應(yīng)性強(qiáng)。 其次，自由分布檢驗(yàn)的方法比較靈活，用途廣泛。 對于那些不能進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算的定類數(shù) 據(jù)與定序數(shù)據(jù)，可使用符號檢驗(yàn)、秩和檢驗(yàn)等方 法進(jìn)行檢驗(yàn)。 再次，自由分布檢驗(yàn)的計(jì)算相

29、對簡單。由于自由 分布的檢驗(yàn)方法不用復(fù)雜計(jì)算，一般使用計(jì)數(shù)方 法就可以了，它的計(jì)數(shù)過程與結(jié)果都比較簡單、 直觀與明顯。 由于它對原始數(shù)據(jù)中包含的信息利用得不夠 充分，檢驗(yàn)的功效相對較弱。當(dāng)總體的分 布形式已知時，基于這種分布類型的參數(shù) 方法，一般說來比非參數(shù)方法為佳。例如， 對于一批資料，可同時適用于參數(shù)的t-檢驗(yàn)、 非參數(shù)的符秩檢驗(yàn)和符號檢驗(yàn)。其檢驗(yàn)功 效是，t-檢驗(yàn)的最好，符秩檢驗(yàn)次之，符號 檢驗(yàn)最差。這主要是由于符號檢驗(yàn)對信息 的利用最不充分。 該方法是建立在以正、負(fù)號表示樣本數(shù)據(jù) 與假設(shè)參數(shù)值差異關(guān)系基礎(chǔ)上的，因此稱 之為符號檢驗(yàn)。該方法既適用于單樣本場 合，也適用于配對樣本場合。 中

30、位數(shù)檢驗(yàn) : ： =A 樣本每個數(shù)據(jù)都減去A，只記錄其差數(shù)的符 號。n+與n-分別是正、負(fù)符號的個數(shù)，當(dāng) 原假設(shè)為真是時 ，n+與n-應(yīng)該很接近；若 兩者相差太遠(yuǎn)，就有有理由拒絕原假設(shè)。 0 H e M 例4：設(shè)有20個工人，他們一天生產(chǎn)的產(chǎn)品 件數(shù)，抽樣結(jié)果如下： 168，163，160，172，162，168，152， 153，167，165，164，142，173，166， 160，165，171，186，167，170。 試以=0.10的檢驗(yàn)水平，判定總體中位數(shù) 是否是160。 解：第一步：作出假設(shè)。 ： =160， ： 160 由備選假設(shè)知，這個檢驗(yàn)是雙側(cè)的。 第二步：計(jì)數(shù)。 對樣本

31、數(shù)據(jù)，大于160的記下“+”，小于160的記 下“-”，等于160的，予以剔除(以0記之)，結(jié)果如 下： + + 0 + + + - - + + + - + + 0 + + + + + 計(jì)數(shù)以上“+”的個數(shù)是n+=15,“-”的個數(shù)n-=3，剔 除數(shù)據(jù)2個。最后有效的樣本個數(shù)為 n=n+n-=18 。 0 H e M 1 H e M 第三步：確定拒絕域。 顯著水平= 0.10，由于進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)，拒絕域分 布在兩邊，每側(cè)概率/2=0.05，查二項(xiàng)分布臨界 值表，得到拒絕域的臨界值是13。 第四步：選擇n+、n-較大者，再與臨界值比較。 結(jié)果是1513。 第五步：判斷。 由于上一步的比較結(jié)果可知，

32、樣本落入拒絕域， 所以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)不能證明總體中 位數(shù)等于160件。 樣本配對場合與單樣本場合的符號檢驗(yàn)， 基本原理是一致的。設(shè)從兩個總體中分別 抽出一個容量相等的樣本，然后將兩樣本 的數(shù)據(jù)進(jìn)行一一配對，得到一組配對值。 再將各對配對值相減，記錄下差數(shù)的符號， 計(jì)算出“+”的個數(shù)n+與“-”的個數(shù)n-。如果 兩個樣本的總體差異不顯著，配對值之差 的正負(fù)號出現(xiàn)的概率各是1/2，則n+與n-應(yīng) 當(dāng)非常接近；如果n+、n-相差太大的話， 說明兩總體存在顯著差異。例子見書上的。 秩和檢驗(yàn)也稱Wilcoxon-Man-Whitney檢驗(yàn)。 該檢驗(yàn)方法可用于檢驗(yàn)兩個獨(dú)立的樣本是 否來自同一個總

33、體，或判斷總體間是否存 在顯著性的差異。它和符號檢驗(yàn)最主要的 區(qū)別是，符號檢驗(yàn)只考慮樣本間差數(shù)的符 號，而秩和檢驗(yàn)還要考慮差數(shù)的順序，比 符號檢驗(yàn)利用數(shù)據(jù)信息更加充分，因此， 檢驗(yàn)功效就更強(qiáng)。 秩和檢驗(yàn)原理： 1、設(shè)分別從兩個未知的總體獨(dú)立、隨機(jī)地抽取容量 為n1和n2的樣本，把樣本容量較小的總體稱為總 體。如果兩樣本容量相等，就把任意一個總體 稱作總體，另一個總體稱作總體，這里不妨 設(shè)n1n2。 2、現(xiàn)將兩個樣本混合起來，并按數(shù)據(jù)的大小，從小 到大排列編號，每個數(shù)值的編號就是它的秩次。 如果混合樣本中有若干個相同的數(shù)值，則把它們 的秩次進(jìn)行簡單算術(shù)平均，用此平均值作為這些 數(shù)值的秩次，計(jì)算來

34、自總體的n1個數(shù)據(jù)在混合 樣本中的秩次之和，記為T。 3、顯然T最小的可能值是: T1=1+2+3+n1=n1(n1+1)/2 ； 最大的可能值是 T2=(n2+1)+(n2+2)+(n2+n1)=n1(n2+1)+(n2+ n1)/2。 如果兩個總體分布無顯著差異，則T值不應(yīng)太大或 太小，等于中間值(T1+T2)/2；如果總體分布于 總體的右邊，T將接近其最大值T2；如果總體 位于總體的左邊，T將接近于它的最小值T1。 因此，我們可以用秩和T作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量。 4、第一種方法，當(dāng)n1和n2都不超過10時， 查“秩和檢驗(yàn)表”確定臨界值； 第二種方法，當(dāng)n1和n2都超過10時，秩和T 服從正態(tài)分

35、布： 先對T進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換，再利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分 布表，確定檢驗(yàn)的臨界值。 1121212 1 /2,1 /12TN nnnn nnn 練習(xí)：有A、B兩家廠商供應(yīng)同一種商品， 兩家商品價格與性能一致，但使用壽命是 否一致有待檢驗(yàn)。今分別從兩家生產(chǎn)產(chǎn)品 中抽出樣本，測定產(chǎn)品使用壽命(見下表， 單位：小時)： 試以0.05的顯著性水平，檢驗(yàn)兩廠商產(chǎn)品壽 命是否有差異？ 解：第一步：作出假設(shè)。 H0：MA=MB，H1： 原假設(shè)是兩廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品沒有差異，平 均壽命相同，備選假設(shè)是平均壽命不相同， 是雙側(cè)檢驗(yàn)。 AB MM 第二步：求秩和。 將樣本混合、排列： 以上數(shù)據(jù)下面劃橫線的為B廠商產(chǎn)品壽命。 B廠商產(chǎn)品樣本容量小，看做總體，n1=5。 A廠商產(chǎn)品是總體，n2=6。總體的秩和 T=2.5+4.5+6.5+6.5+9.5=29.5。 第三步：確定拒絕域。 顯著水平=0.05，進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)，查“秩 和檢驗(yàn)表”，n1=5，n2=6，得臨界值 T1()=20，T2( )=40。 第四步：比較秩和與臨界值大小。 結(jié)果是：2029.540，即 T1() T T2( ) 。 第五步：判斷。 樣本落入接受域，所以接受原假設(shè)，樣本 數(shù)據(jù)證明A、B兩廠商產(chǎn)品的壽命也是一