雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、96雙曲線1雙曲線的概念平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2(|F1F2|2c0)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a (2a0，c0：(1)當(dāng)_時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)ac時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是_；(3)當(dāng)_時(shí)，P點(diǎn)不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1 (a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中c實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|2b；a叫做雙曲線的半實(shí)

2、軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的半虛軸長(zhǎng)a、b、c的關(guān)系c2a2b2 (ca0，cb0) 難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1雙曲線中a，b，c的關(guān)系雙曲線中有一個(gè)重要的RtOAB(如右圖)，它的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c易見(jiàn)c2a2b2，若記AOB，則e2雙曲線的定義用代數(shù)式表示為|MF1|MF2|2a，其中2a|F1F2|，這里要注意兩點(diǎn)：(1)距離之差的絕對(duì)值(2)2a|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在3漸近線與離心率1 (a0，b0)的一條漸近線的斜率為可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大小1已知點(diǎn)F1(4,0)和F2(4,0)，一曲線上的動(dòng)點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2距離之差為6，該曲線方程是_2雙曲線mx2y

3、21的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m_3已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60，則雙曲線C的離心率為_(kāi)4(2011山東)已知雙曲線1 (a0，b0)和橢圓1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為_(kāi)5若雙曲線1 (a0，b0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為 () A B5 CD2 題型一雙曲線的定義例1已知定點(diǎn)A(0,7)、B(0，7)、C(12,2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A、B的橢圓，求另一焦點(diǎn)F的軌跡方程探究提高雙曲線的定義理解到位是解題的關(guān)鍵應(yīng)注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”，弄清所求軌跡是雙曲線的兩支，還是雙

4、曲線的一支若是一支，是哪一支，以確保解答的正確性 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC的頂點(diǎn)A(6，0)和C(6,0)，若頂點(diǎn)B在雙曲線1的左支上，則_題型二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：(1)與雙曲線1有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)(3,2)；(2)與雙曲線1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3，2) 探究提高求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求a、b，在解題過(guò)程中應(yīng)熟悉各元素(a、b、c、e)之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用若已知雙曲線的漸近線方程為axby0，可設(shè)雙曲線方程為a2x2b2y2 (0) (1)若雙曲線的漸近線方程為y3x，它的一個(gè)焦點(diǎn)是(，0)，求雙曲線的方程；(2)已知雙曲線的漸近線方程

5、為yx，并且焦點(diǎn)都在圓x2y2100上，求雙曲線的方程題型三雙曲線的幾何性質(zhì)例3中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|F1F2|2，橢圓的長(zhǎng)半軸與雙曲線半實(shí)軸之差為4，離心率之比為37(1)求這兩曲線方程；(2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求cosF1PF2的值探究提高在研究雙曲線的性質(zhì)時(shí)，半實(shí)軸、半虛軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個(gè)重要內(nèi)容；雙曲線的離心率涉及的也比較多由于e是一個(gè)比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a、b、c的一個(gè)關(guān)系式，利用b2c2a2消去b，然后變形求e，并且需注意e1 如圖，已知F1、F2為雙曲線1 (a0，b0)的焦點(diǎn)，過(guò)F2作垂直于x軸的

6、直線交雙曲線于點(diǎn)P，且PF1F230，求：(1)雙曲線的離心率； (2)雙曲線的漸近線方程題型四直線與雙曲線的位置關(guān)系例4過(guò)雙曲線1的右焦點(diǎn)F2，傾斜角為30的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)(1)求|AB|；(2)求AOB的面積；(3)求證：|AF2|BF2|AF1|BF1|探究提高雙曲線的綜合問(wèn)題主要為直線與雙曲線的位置關(guān)系解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題設(shè)直線與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，直線的斜率為k，則|AB

7、|x1x2| 直線l：ykx1與雙曲線C：2x2y21的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由10忽視直線與雙曲線相交的 判斷致誤試題：(14分)已知雙曲線x21，過(guò)點(diǎn)P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？學(xué)生解答展示審題視角(1)本題屬探索性問(wèn)題若存在，可用點(diǎn)差法求出AB的斜率，進(jìn)而求方程；也可以設(shè)斜率k，利用待定系數(shù)法求方程(2)求得的方程是否符合要求，一定要注意檢驗(yàn)規(guī)范解答解設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段

8、AB的中點(diǎn)為(x0，y0)，若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意2分設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線l的方程為y1k(x1)，即ykx1k 3分由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220 (2k20)7分 x0由題意，得1，解得k29分當(dāng)k2時(shí)，方程成為2x24x30162480，b0)的漸近線方程是yx，1 (a0，b0)的漸近線方程是yx4若利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，在設(shè)直線斜率時(shí)要注意說(shuō)明斜率不存在的情況5直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，不一定相切，例如：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，但不是相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練 (時(shí)間：60分鐘)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)

9、訓(xùn)練題組一、選擇題1雙曲線中心在原點(diǎn)，且一個(gè)焦點(diǎn)為F1(，0)，點(diǎn)P位于該雙曲線上，線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則該雙曲線的方程是() A.y21 Bx21C.1 D.12設(shè)F1、F2分別是雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在雙曲線上，且0，則|等于()A. B2 C. D23若雙曲線1 (a0，b0)的實(shí)軸長(zhǎng)是焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是()Ayx ByxCyx Dy2x4(2011課標(biāo)全國(guó))設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為 ()A. B.C2 D3二、填空題5已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C，過(guò)點(diǎn)P(2，

10、)且離心率為2，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)6如圖，點(diǎn)P是雙曲線1上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，c為半焦距，PF1F2的內(nèi)切圓與F1F2切于點(diǎn)M，則|F1M|F2M|_.7已知雙曲線1 (a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2的直線交雙曲線右支于A，B兩點(diǎn)若ABF1是以B為頂點(diǎn)的等腰三角形，且AF1F2，BF1F2的面積之比SAF1F2SBF1F221，則雙曲線的離心率為_(kāi)三、解答題8已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)P(4，)(1)求雙曲線方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：0；(3)求F1MF2的面積B組專項(xiàng)能力提升題組一

11、、選擇題1已知點(diǎn)F1(，0)、F2(，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF2|PF1|2，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是()A. B. C. D22已知點(diǎn)F是雙曲線1 (a0，b0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若ABE是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2，)3若點(diǎn)O和點(diǎn)F(2,0)分別為雙曲線y21 (a0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為()A32，) B32，)C. D.二、填空題4設(shè)雙曲線C：1 (a0，b0)的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若以F為圓心，F(xiàn)O

12、為半徑的圓與雙曲線C的漸近線yx交于點(diǎn)A(不同于O點(diǎn))，則OAF的面積為_(kāi)5設(shè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2是雙曲線x21的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，若3|PF1|4|PF2|，則PF1F2的面積為_(kāi)6已知雙曲線1 (a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為_(kāi)三、解答題7設(shè)A，B分別為雙曲線1 (a0，b0)的左，右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線yx2與雙曲線的右支交于M、N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D，使t，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)8已知橢圓C1的方程為y21，雙曲線C2的

13、左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且2 (其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍答案要點(diǎn)梳理1雙曲線焦點(diǎn)焦距(1)ac基礎(chǔ)自測(cè)1.1 (x3)2.3.4.15.A題型分類(lèi)深度剖析例1解設(shè)F(x，y)為軌跡上的任意一點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在以C、F為焦點(diǎn)的橢圓上，|FA|CA|2a，|FB|CB|2a(其中a表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng))，|FA|CA|FB|CB|，|FA|FB|CB|CA|2，|FA|FB|214.由雙曲線的定義知，F(xiàn)點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的下支上，點(diǎn)F的軌跡方

14、程是y21 (y1)變式訓(xùn)練1例2解(1)設(shè)所求雙曲線方程為 (0)，將點(diǎn)(3,2)代入得，所求雙曲線方程為，即1.(2)設(shè)雙曲線方程為1，將點(diǎn)(3，2)代入得k4，(k14舍去)所求雙曲線方程為1.變式訓(xùn)練2(1)x21(2)1或1例3解(1)由已知：c，設(shè)橢圓長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別為a、b，雙曲線半實(shí)、虛軸長(zhǎng)分別為m、n，則，解得a7，m3.b6，n2.橢圓方程為1，雙曲線方程為1.(2)不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.變式訓(xùn)練3(1)(2)yx例4(1

15、)解由雙曲線的方程得a，b，c3，F(xiàn)1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)直線AB的方程為y(x3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x26x270.x1x2，x1x2.|AB|x1x2|.(2)解直線AB的方程變形為x3y30.原點(diǎn)O到直線AB的距離為d.SAOB|AB|d.(3)證明如圖，由雙曲線的定義得|AF2|AF1|2，|BF1|BF2|2，|AF2|AF1|BF1|BF2|，即|AF2|BF2|AF1|BF1|.變式訓(xùn)練4解(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故解得

16、k的取值范圍是2k.(2)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則由式得假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F(c,0)則由FAFB得：(x1c)(x2c)y1y20.即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0.整理得(k21)x1x2(kc)(x1x2)c210. 把式及c代入式化簡(jiǎn)得5k22k60.解得k或k(2，)(舍去)，可知存在k使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組1B2.B3.C4.B5.1或16.b27.8(1)解e，可設(shè)雙曲線方程為x2y2.過(guò)點(diǎn)(4，)，1610，即6.雙曲線方程為x2y26.(2)證明方法一由(1)可知，雙曲線中ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2， kMF1kMF2.點(diǎn)(3，m)在雙曲線上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2，0.方法二(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2.M點(diǎn)在雙曲線上，9m26，即m230，0.(3)解F1MF2的底|F1F2|4，由(2)知m.F1MF2的高h(yuǎn)|m|，SF1MF246.B組1A2.D3.B4.ab5.36.7解(1)由題意知a2，一條漸近線為yx，