數(shù)學(xué)論文三級方陣的平方根問題

1、三級方陣的平方根問題 (孝感學(xué)院數(shù)學(xué)系021114121,湖北 孝感432100)摘要：本文研究了三級方陣的平方根問題，指出了并修正了現(xiàn)行一些文獻(xiàn)中的錯(cuò)誤，尋求一種新的研究方法，本方法對一般的級方陣的平方根研究有著某些啟發(fā)作用。關(guān)鍵詞：矩陣；平方根；jordan標(biāo)準(zhǔn)形three grade matrix of the square root problemliu juan(department mathematics of xiaogan university 021114121, xiaogan hubei 432100 china)abstract: this article resear

2、ches the square root of three grade matrix, and points out that some of the existing literature mistakes and seek a new research method, the general method for the square root level phalanx some research has inspired.keywords: matrix; square root ;jordan- standards .引言及定義矩陣方程是矩陣研究領(lǐng)域的一個(gè)重要方向。一些研究者研究了矩

3、陣的開平方問題，如n.mackinnon給出了4種求可對角化矩陣平方根方法1，d.sullvan研究了22矩陣平方根的存在性問題及一般求法2，比較完整地解決了一般22矩陣的平方根問題，有關(guān)詳細(xì)結(jié)果可參見文獻(xiàn)2或其譯文3；朱德高就含有1個(gè)和2個(gè)jordan塊的jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的平方根問題進(jìn)行了研究45；吳小明就一般情形下jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的平方根的某些問題進(jìn)行了討論6。定義14若，那么方陣就稱為的平方根。一般而言，對任意級方陣的平方根的兩個(gè)主要問題，即判斷其存在性及如何求平方根問題，至今還未完全解決，許多文獻(xiàn)僅就某些特殊情形如可逆陣，可對角化陣進(jìn)行了討論，文獻(xiàn)4-6對jordan塊，文

4、獻(xiàn)10對三角形托普勒茲矩陣等類型方陣的平方根問題進(jìn)行了研究。另外文獻(xiàn)9討論了三角平方根問題，得到了一個(gè)一般性結(jié)論，經(jīng)過分析，我們發(fā)現(xiàn)其結(jié)論是錯(cuò)誤的，實(shí)際上7、8等文獻(xiàn)中的結(jié)論也是錯(cuò)誤的，下文中我們將構(gòu)造反例否定其結(jié)論。關(guān)于方陣的平方根問題，完全獲得解決的是關(guān)于正定陣及半正定陣的平方根問題，一般方陣的平方根問題是現(xiàn)階段矩陣論研究中為許多人比較關(guān)注的一個(gè)方向，至今未見比較好的結(jié)果。加強(qiáng)本問題的研究具有一定的理論意義及應(yīng)用價(jià)值。本文將重點(diǎn)研究三級方陣的平方根問題，一種原因是現(xiàn)有的22矩陣平方根研究手段并不適合于三級方陣，需要尋求一種新的研究方法，而且該方法對一般的級方陣的平方根研究有著某些啟發(fā)作用，

5、另一原因是現(xiàn)行文獻(xiàn)中的某些結(jié)論僅對二級方陣成立，但對三級及更高級方陣并不成立，通過對三級方陣的平方根問題的討論，分析其錯(cuò)誤原因，據(jù)此構(gòu)造一些反例。2定理與證明下面引理將指出，對任一方陣的平方根的討論都可以轉(zhuǎn)化為jordan標(biāo)準(zhǔn)形的討論。引理1設(shè)方陣的jordan標(biāo)準(zhǔn)形為diag，這里（）均為jordan塊，則存在平方根的充分必要條件為diag存在平方根。證明設(shè)，若存在平方根，即，則反之，若diag有平方根，即則，從而得到引理得證。如何判斷jordan塊的平方根的存在性，以及在存在時(shí)求出其所有平方根，我們以下例說明本文所用的方法：例 證明（）存在平方根，并求出其所有的平方根。證明設(shè)，（），使得，

6、記則， 于是，由，得，即得，比較兩矩陣的對應(yīng)元素，得 （）于是，故有 解之得：或代入（）式一定有平方根，且僅有兩個(gè)平方根。引理24 設(shè)是一個(gè)特征值為的m階jordan塊，其中為復(fù)數(shù)，則能開平方的充要條件是，或當(dāng)時(shí)，且有 i)當(dāng)時(shí)，若，則之平方根矩陣恰有一個(gè)；若，時(shí)，則之平方根矩陣恰有兩個(gè)，這里；ii)當(dāng)時(shí)，若中，則的平方根矩陣恰有兩個(gè)： 定理1 若級方陣可逆，則一定存在平方根。證明設(shè)方陣的jordan標(biāo)準(zhǔn)形為diag，由于可逆，所以，由引理2，得均有平方根，故diag有平方根，從而由引理1可得，一定存在平方根。定理28 若級方陣可以對角化，則一定存在平方根。證明 設(shè)可對角化，則存在可逆矩陣使得

7、 令則，再令，從而，即有平方根。推論若級方陣有個(gè)不同的特征值，則一定存在平方根。證明因?yàn)榧壏疥囉袀€(gè)不同的特征值，所以可以對角化，由定理2得，一定存在平方根。對一般的三級方陣，是否存在三級方陣，使得。由引理1知，對任一矩陣的平方根的討論，可以轉(zhuǎn)化為對所有三級jordan標(biāo)準(zhǔn)形的平方根的討論，除上述幾種存在平方根的情形外，其余三級jordan標(biāo)準(zhǔn)形的可能形式有（1） （2）（3） （） （4） （）下面我們分別討論（1）（4）是否存在平方根：（1） 設(shè)若有 其中則 即即通過比較得 ，即 不存在平方根。（2）設(shè)，若有，其中，則，即 ，又由，則=，即有平方根，且為，其中。（3）用類似方法由 計(jì)算得 ，

8、又，即 ，矛盾。即不存在平方根。（4）用前面的方法可求出此種情況有平方根，且有如下兩個(gè)平方根：或者3 應(yīng)用首先，我們利用以上結(jié)果或方法，指出現(xiàn)行文獻(xiàn)中一些結(jié)論的錯(cuò)誤，為方便起見，對原文獻(xiàn)中相關(guān)結(jié)論以命題的形式給出：命題17 任何上（下）三角方陣存在上（下）三角方陣的平方根。（文獻(xiàn)7中的定理2）此結(jié)論對二級矩陣成立，但對三級方陣結(jié)論不真，見如下反例：反例jordan塊矩陣是一個(gè)上三角方陣，下面證明它沒有平方根。證明設(shè)=，若有=，其中=，則 ，即 =即=，= ，=，=即得=因此，不存在平方根，即命題1不真.命題28 設(shè)，若且，則為的平方根。 （文獻(xiàn)8中的定理）本命題也是一個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論，我們構(gòu)造如下反

9、例：反例設(shè)， 則，于是，且，即矩陣滿足命題中的條件，但，而即結(jié)論不真。產(chǎn)生錯(cuò)誤的主要原因在于，證明中由，得，然后推出這一步不能成立。文獻(xiàn)10中討論了三角形托普勒茲矩陣的平方根問題，證明了它一定存在平方根，證明較為煩瑣。下面用我們的方法給出一種簡單證明，并提供求這類矩陣的平方根的一種實(shí)用方法。 所謂上三角形托普勒茲矩陣，是指形如的上三角矩陣。由于上三角形托普勒茲矩陣的行列式為1，故矩陣可逆，由前面的定理1即得存在平方根。我們引入則任何上三角形托普勒茲矩陣可以表為形式：。由此可知上三角形托普勒茲矩陣之積還是上三角形托普勒茲矩陣，下面以例子的形式說明它有唯一的一個(gè)仍是托普勒茲矩陣的平方根及求法。例1

10、 已知，求其上三角托普勒茲平方根.解 ，設(shè)，使得，即即=由于線性無關(guān)，因此，有方程組有唯一解為：，于是致謝：非常感謝我的指導(dǎo)老師胡付高老師，在我的論文選題、論文撰寫整個(gè)過程中，胡老師都給予我極大幫助。在此我非常感謝胡老師給予的真誠關(guān)心與幫助!同時(shí)感謝在百忙中審稿和答辯的各位老師們！參考文獻(xiàn)1 mackinnon n.four routes to matricj.math gaz,1989,73: 135-136.2 sullvan d.on square-rooting matrices of 22 matrices j.math gaz,1993,77: 42-43.3 劉漢忠. 22矩陣的平方根j. 數(shù)學(xué)通報(bào),1996,4: 42-434 朱德高. 一個(gè) jordan塊的平方根矩陣j. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),1999,19(3): 318-327.5 朱德高.具有兩個(gè)jordan塊的jordan標(biāo)準(zhǔn)形的平方根矩陣j. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2000,20(4):451-4606 吳小明. 關(guān)于一般情形的jordan標(biāo)準(zhǔn)形的平方根矩陣j. 中南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004,35 (2):345-3477 胡結(jié)梅. 二階方陣的平方根和三角方陣的三角平方根j. 數(shù)學(xué)通報(bào),1997,11: 35-368 侯識忠.一個(gè)方陣有平方根的充分條件j. 煙臺師范學(xué)院學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版),1994,1