數(shù)學論文正定矩陣集上的凹性定理1

1、正定矩陣集上的凹性定理（孝感學院 數(shù)學系021113132，湖北 孝感432100）摘 要：本文將數(shù)學分析中的凹（凸）函數(shù)概念拓廣到正定矩陣集上，給出了minkovski不等式的一種簡單證法，進而證明了本文的主要結(jié)果：對任意正定矩陣、及，有.關鍵詞：正定矩陣；凹性定理；minkovski不等式a concavity theorem of positivedefinite matrix setlu lan-qiu (dept.math.,xiaogan university 021113132,xiaogan 432100,hubei)abstract:in this paper,we gene

2、ralize the concave functions conception of mathematical analysis to the positive definite matrix set,we also give a simple proof of minkovski inequality,and then prove the major conclusion: for any positive definite matrix 、and，we have .key words:positive definite matrix; concavity theorem;minkovski

3、 inequality.0 引言矩陣的行列式是矩陣中的一個重要概念，它在線性方程組和矩陣的特征值等方面有相當重要的地位，人們對于有關矩陣的行列式不等式已經(jīng)得到了一些漂亮的結(jié)果，比如minkovski不等式1： （1）本文將給出這個不等式的一種新證法，適用于更廣泛的一類矩陣，還有fanky凹性定： （2）利用不等式的一個重要性質(zhì)：幾何平均值不小于算術平均值，由不等式（1），可得，進一步化為 （3） 對（3）兩邊取對數(shù)，得到 （4）能否將（4）推廣到更一般的結(jié)果，即若、為正定矩陣，對任意的，是否有 （5）本文將證明這一結(jié)論，同時將數(shù)學分析中的凹（凸）函數(shù)概念進行推廣，定義正定矩陣集上的凹（凸）函數(shù)

4、，最后考慮了給出正定矩陣集上的凹函數(shù)的一些應用本文將建立關于正定矩陣的幾個引理，借助這些結(jié)論，用一種較為初等的方法證明正定矩陣的minkovski不等式，最后證明我們的主要結(jié)果，即：定理對任意正定矩陣、及，有 （6）本文用表示實數(shù)域，用、分別表示是矩陣的轉(zhuǎn)置和行列式，用表示所有矩陣構(gòu)成的線性空間基本概念定義13設是實對稱矩陣，如果對所有非零的，有則稱為正定二次型，而稱為正定矩陣.實對稱矩陣是正定矩陣有多種等價定義形式，幾種常見的等價命題是3：引理13設為級實對稱矩陣，則下列命題等價：()為正定矩陣；()合同于單位矩陣；()的所有順序主子式全大于零；()的正慣性指數(shù)為；()的的所有特征值全大于零

5、；定義24 設在上有定義，如果對,及0，成立不等式則稱是上的凹函數(shù).如果不等號反向，則稱是上的凸函數(shù).下面，我們把數(shù)學分析的凹（凸）函數(shù)概念推廣為定義3 設為在一個定義在上的實函數(shù)，如果對任意的正定矩陣、及任意，都有 （7）稱是正定矩陣集上的凹函數(shù). 如果不等號反向，則稱是正定矩陣集上的凸函數(shù).比較根據(jù)定義2與定義3可知，正定矩陣集上的凹（凸）函數(shù)與通常的凹（凸）函數(shù)相比較，它實際上是一種強凹（凸）函數(shù).當是正定矩陣集上的凹（凸）函數(shù)時，它一定也是(0,)上的凹（凸）函數(shù)，這可以從正定矩陣、都取矩陣，即都取正實數(shù)看出；反之，對一般的凹（凸）函數(shù)，它們未必一定是正定矩陣集上的凹（凸）函數(shù). 對于

6、，由，可知是上的凹函數(shù)，本文的主要結(jié)果說明了同時還是是正定矩陣集上的凹函數(shù).定義45 任意，若存在可逆矩陣，使得、同時為(主對角元素為非負實數(shù))的上三角矩陣，則稱、為可廣義同時(非負)上三角化，當時，則稱、可同時(非負)上三角化.根據(jù)文獻5及6中的結(jié)果，有對，若、滿足下列條件之一，則它們可廣義同時上三角化：() 或；() 、為正定矩陣；() 的特征根為非負實數(shù)；() ,且、的特征根為非負實數(shù)引理與定理的證明 為證明主要結(jié)果及討論正定矩陣集上的凹（凸）函數(shù)，下面，我們給出一些引論.引理1設、是實對稱陣，是正定陣，則存在實可逆陣，使為對角陣.證明由于是正定陣，從而合同于，即存在實可逆陣，使,而仍為

7、實對稱陣，從而存在正交陣，使 （8）其中是的特征值，令，則，于是，有 （9）注:利用本證明方法，可以得出正定矩陣的一個重要結(jié)果：引理2設、都是正定矩陣，則存在實可逆陣，使，這里，.證明仿照引理1的證明，只需注意到為正定矩陣，引理得證.引理37對任意正定矩陣、，都有.引理45 (赫爾特不等式)設，則證明當時，不等式顯然成立，當或時等式成立；當時，記，則有所以，即得，令則有引理2成立.結(jié)合引理1、引理2、引理3，我們給出著名的minkovski不等式的一個簡單證法，即下面的命題：命題（minkovski不等式）設、是正定矩陣，則證明由引理2，存在實可逆陣，使 ， （10）因此，有 （11）這里，.

8、對（10）、（11）取行列式，得，注意到，則得到，于是再由引理3的結(jié)論：，故有命題得證最后，我們來證明本文的主要結(jié)果定理的證明要證，即證 (12)由引理1，可逆矩陣，使得，同理，有則 即化簡為即證由引理4中赫爾特不等式的特例(的情形)：，則有從而，證得.推論1 若、可同時非負上三角化，即存在可逆實矩陣，使得與成立，這里都是非負實數(shù)，.則.證明類似于定理1的方法可證，這里從略.推論2 對，若、滿足下列條件之一：() 或；() 、為正定矩陣；() 的特征根為非負實數(shù)；() ,且、的特征根為非負實數(shù)則.證明根據(jù)文獻5及6中的結(jié)果，當、滿足上述條件之一時，、可同時非負上三角化，由推論1即得本推論結(jié)論成

9、立.致謝：感謝數(shù)學系胡付高副教授的悉心指導.參考文獻1 bellman r. inepoductonto matrix analysism.new youk:mcgrawhill,1970.2 beckenbahef.inepualitiesm.springer,19613 北京大學數(shù)學系.高等代數(shù)(第三版)m. 北京: 高等教育出版社，20034 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊)（第三版)m. 北京: 高等教育出版社，20015 程學翰，王明輝.類矩陣行列式不等式j.數(shù)學研究與評論，2005，25（2）363-3686 胡付高.矩陣的弱相似性及其應用j.信陽師范學院學報（自然科學報），2003，16（1）：4-67 li guiqing,hu fugao,zheng mingjun. an elementary proof tobasic inequalityj.孝感學院學報 ，2004，24（3）：55-578 張慶成，張朝風.定矩陣的凹性不等式的推廣j.長春郵電學院學報，1994,12（2）：52-559 謝