一種分段曲線擬合方法研究畢業(yè)論文

1、種分段曲線擬合方法研究摘 要： 分段曲線擬合是一種常用的數(shù)據(jù)處理方法，但在分段點(diǎn)處往往不能滿足連續(xù)與光滑.針對(duì)這一問題，本文給出了一種能使分段點(diǎn)處連續(xù)的方法.該方法首先利用分段曲線擬合對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理；然后在相鄰兩段曲線采用兩點(diǎn)三次Hermite插值的方法，構(gòu)造一條連結(jié)兩條分段曲線的插值曲線，從而使分段點(diǎn)處滿足一階連續(xù) .最后通過幾個(gè)實(shí)例表明該方法簡(jiǎn)單、實(shí)用、效果較好.關(guān)鍵詞： 分段曲線擬合 Hermite 插值 分段點(diǎn) 連續(xù)Study on A Method of Sub-Curve FittingAbstract： Sub-curve fitting is a commonly used p

2、rocessing method of data, but at sub-points it often does not meet the continuation and smooth, in allusion to to solve this problem, this paper presents a way for making sub-point method continuous. Firstly, this method of sub-curve fitting deals with the data; and then uses the way of t wo points

3、cubic Hermite interpolation in the adjacent, structures a interpolation curve that links the two sub-curves, so the sub-point meets first-order continuation; lastly, gives several examples shows that this method is simple, practical and effective.Key words: sub-curve fitting Hermite interpolation su

4、b-point continuous10前言數(shù)據(jù)擬合是一種重要的數(shù)據(jù)處理方法,其中最常用的是多項(xiàng)式曲線擬合 .然而當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)較多時(shí) ,多項(xiàng)式階數(shù)太低 ,擬合精度和效果不太理想，要提高擬合精度和效果就需要 提高曲線階數(shù) ,但階數(shù)太高又帶來計(jì)算上的復(fù)雜性及其他方面的不利.因此 ,如果只采用一種多項(xiàng)式曲線函數(shù)擬合較多的數(shù)據(jù)點(diǎn) ,難以取得較好的擬合精度和效果 .為有效地解決上 述問題 ,一般采用分段曲線擬合 .以往的分段曲線擬合方法主要是針對(duì)在自然科學(xué)領(lǐng)域中 測(cè)量的數(shù)據(jù)而使用的擬合方法 ,這些數(shù)據(jù)的變化一般都遵循一定的規(guī)律 .因此 ,在對(duì)這些測(cè) 量數(shù)據(jù)擬合時(shí) ,傳統(tǒng)的分段曲線擬合方法一般是先根據(jù)主觀經(jīng)驗(yàn)

5、對(duì)數(shù)據(jù)分段, 然后進(jìn)行擬合 .但是對(duì)于有些實(shí)際問題的數(shù)據(jù) ,比如社會(huì)、經(jīng)濟(jì)生活中的大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù) ,這些數(shù)據(jù)變 化的機(jī)理一般非常復(fù)雜 ,往往不像物理定律那樣有著嚴(yán)格的規(guī)律 ,所以變化的不確定性很 強(qiáng).因此,傳統(tǒng)的分段曲線擬合根據(jù)主觀經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段的做法就顯現(xiàn)出明顯地不足 針對(duì)這種不足 ,國(guó)內(nèi)外許多文獻(xiàn)也討論過，文獻(xiàn) 1 研究的是最小二乘法在曲線擬合中的 實(shí)現(xiàn)，給出了最小二乘法在多元正交基函數(shù)擬合中的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)方法，以常見的二次曲 線擬合為例說明了程序編制的要點(diǎn)， 在實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理中具有實(shí)用價(jià)值； 文獻(xiàn)2 討論分 段最小二乘曲線擬合方法， 本文在一般最小二乘的基礎(chǔ)上提出分段最小二乘曲線擬合的

6、方案，討論了連接分段擬合曲線的方法， 并且給出分段最小二乘多項(xiàng)式擬合的計(jì)算方法； 文獻(xiàn) 4主要介紹基于最小二乘原理的分段曲線擬合法， 在最小二乘的基礎(chǔ)上， 運(yùn)用實(shí)測(cè) 數(shù)據(jù)點(diǎn)的分段曲線擬合法， 探討相應(yīng)的模型以及用不同類型的曲線擬合同時(shí)擬合數(shù)據(jù)點(diǎn) 的具體應(yīng)用，對(duì)一實(shí)例 ,應(yīng)用 MATLAB 編程設(shè)計(jì)，完成模型的求解、顯著性檢驗(yàn)等，可 以得到擬合精度比較高的擬合曲線，該方法原理簡(jiǎn)便，其模型易用 MATLAB 編程求解； 文獻(xiàn) 5研究的是基于最小二乘法的分段三次曲線擬合方法研究， 多項(xiàng)式曲線擬合是一種 較常用的數(shù)據(jù)處理方法，但當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)較多時(shí)，只采用一種多項(xiàng)式曲線函數(shù)擬合所有數(shù)據(jù) 點(diǎn)難以得到較好的擬合

7、效果， 針對(duì)傳統(tǒng)分段曲線擬合方法中對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)分段時(shí)經(jīng)驗(yàn)成分較 多的不足，提出了一種基于最小二乘法原理的分段三次曲線擬合方法，建立三次擬合曲 線方程，通過實(shí)際數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法的擬合效果；文獻(xiàn) 6,7,8 主要研究基于分 段三次曲線擬合的廣州周發(fā)案量預(yù)測(cè)， 隨著城市化進(jìn)程的不斷加快， 城市人口不斷增多， 廣州市未來治安形勢(shì)預(yù)警，支持政府部門和政法部門關(guān)于治安工作的決策，首先需要對(duì) 未來時(shí)期的發(fā)案量做出比較精確的預(yù)測(cè)，由于目前廣州市方案量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)比較少，且發(fā) 案量受農(nóng)歷春節(jié)影響較明顯，針對(duì)傳統(tǒng)時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法在此情況下應(yīng)用不足，提出了 基于分段三次曲線擬合的周發(fā)案量預(yù)測(cè)模型，并給出了具體的建模

8、、計(jì)算步驟，最后通 過實(shí)際數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)， 證明了方法預(yù)測(cè)效果較好； 文獻(xiàn) 9提出了分段函數(shù)的光滑方法及其 在曲線擬合中的應(yīng)用，在分析復(fù)雜實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，采用分段曲線擬合方法，利用此方法在 段內(nèi)可以實(shí)現(xiàn)最佳逼近，但在段邊界上卻可能不滿足連續(xù)性與可導(dǎo)性 .為了克服這種現(xiàn)象，本文主要研究一種能使段邊界連續(xù)的方法，具有一定的理論和 實(shí)際意義.在前人的基礎(chǔ)上， 本文總結(jié)分段曲線擬合的方法與步驟， 介紹了分段三次曲線 的擬合方法和兩點(diǎn)三次Hermite插值，然后討論如何利用Hermite插值方法使得分段擬合 曲線在連接點(diǎn)處滿足連續(xù)方法，最后通過一些實(shí)例應(yīng)用，表明本文所介紹的方法具有一 定的應(yīng)用價(jià)值 .1最小二乘

9、曲線擬合1.1最小二乘法令待求的未知量為a1,a2,川,at，它們可由n(n t)個(gè)直接測(cè)量y1,y2,川，yn通過下列函 數(shù)關(guān)系求得：力=f1(a1,a2|,at)y2 = f2(a1,a2,川,at)W = f3(a1,a2,川,at)IHIIIHIyn = fn(a1,a2,川，at)若aj為真值，由上述已知函數(shù)求出真值yj，若其測(cè)量值為y*，則對(duì)應(yīng)的誤差為bj =yj-yj，(j i，2,Hin).最小二乘法可定量表示為：n(1.1.1)Z b2 =minj4對(duì)不等精度的測(cè)量，應(yīng)加上各測(cè)量值的權(quán)重因子Pj，即：n(1.1.2)Z PjO2 = minjrn最小二乘法是在隨機(jī)誤差為正態(tài)分

10、布時(shí)，由最大似然法推出的這個(gè)結(jié)論.它可使測(cè)量誤差的平方和最小，因此被視為從一組測(cè)量值中求出一組未知量的最可信賴的方法.1.2最小二乘多項(xiàng)式曲線擬合的基本原理1.2.1線性擬合原理將擬合函數(shù)取線性函數(shù)是一種簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)擬合方法，將數(shù)據(jù)點(diǎn)(X1, f (X1),( X2, f(X2),川,(Xm, f(Xm)(1.2.1.1)(1.2.1.2)確定線性擬合函數(shù)(x) = a + bx稱為對(duì)數(shù)據(jù)的線性擬合。對(duì)于線性擬合問題，需要求函數(shù)mS(a,br 送(a 中 bx) yk呂的最小值點(diǎn)，該問題的幾何背景是尋求一條直線，使該直線與數(shù)據(jù)表所確定的平面散點(diǎn) 的縱向距離的平方和最小，如圖1.2.1-1所示.由

11、函數(shù)對(duì)兩個(gè)變量求導(dǎo)得:點(diǎn)sdam=2瓦a+ bXk k=1m=2藝a +bx4yk ,(121.3)cbk 4)y x ,(121.4)其余等于零，得正規(guī)方程組mmI ma +2 Xkb!7kA myk(121.5)1送 Xka +2 Xkb =送 Xkyk lk7kA也可將其矩陣形式寫出來即:fm芒m、mzk4Xkh-zk4ykm送Ximz2Xklb丿mzXkykk)y_k=i7即可得到擬合線性函數(shù).解得a,b的值，將其代入(1.2.1.1)1.2.2多項(xiàng)式擬合原理 為了確定數(shù)據(jù)擬合問題，選用幕函數(shù)W(x) =a0 +a X +a 這就是多項(xiàng)式擬合函數(shù).為了確定擬合函數(shù)申(x)=a0+a1x

12、+a1,x, x2Hxn作為函數(shù)類，則ri|+anXn (n +1m)(1.221)22Xm+川+anXn的系數(shù)，需要求解正規(guī)方程組mmma。+送Xka1中川中藝xaS gk=ik=1k=1mmmZ XkSo +2 xid +iH +2 X：十krn心krnIIIHHOmzk=imn 丄 p n +Xkao+X Xk k=ianm=2xkykkd：(1.2.2.2)印卄|2 x2nak=im=2 Xk=1也可以用矩陣形式表示為fmmm無XkIIIznXkkrnk =1mmm送Xk2 x2IIIzn*hxkk壬A+A+ik三r+m+mmI-PnZ Xkpn十Z XkIIIz2nXkIk =1kz

13、1kz1印an丿fa。-m2 ykk 1m2 XkYkmZnXk yk、k#丿解得aoaJILan即可，將其代入(1.2.2.1)J即可得到擬合多項(xiàng)式.2分段曲線擬合2.1分段曲線擬合的基本原理 先根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn)，確定分段數(shù)目以及相應(yīng)擬合曲線類型.擬合函數(shù)一般可選為多項(xiàng)式函數(shù)，因?yàn)樵谝欢ǚ秶鷥?nèi)，連續(xù)函數(shù)可用多項(xiàng)式任意逼近，然后再應(yīng)用最 小二乘法原理求得各分段擬合方程的系數(shù).基本步驟為：第一步：將數(shù)據(jù)點(diǎn)分段，確定基函數(shù) （X）Wi（X），川Wn（X），第二步：根據(jù)題目要求，建立正規(guī)方程組，第三步：解正規(guī)方程組，求出待定系數(shù)，第四步：寫出擬合函數(shù).下面以分段線性擬合與分段三次曲線擬合為例討

14、論分段擬合的基本過程.2.1.1分段線性擬合我們把給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)分成k組N1,N2i, Nk，即（Ni,y；i）,（Xi2,y；2）,ll（,（NNi，y；Ni）（X21,y2i）,（X22,y22）,川,（X2N2，y2N2）川川川（Xki, yki）,（Xk2, 丫；2）,川（XkNk ,ykNk）其中Ni,N2,川，Nk為每組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).(Xii X CXinJ (XiNi 蘭 X C X2N2)首先考慮線性擬合這種簡(jiǎn)單的情形，對(duì) k組數(shù)據(jù)點(diǎn)分別應(yīng)用最小二乘線性擬合，得 到各組數(shù)據(jù)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的近似線性函數(shù)，gi（x） =ai + bXg2（x） =a 2+b Xgk(x) =ak +bkX（

15、XkNk丄蘭 XXkNk）而在整個(gè)考慮的擬合區(qū)間上就得到了 k-1條直線段，現(xiàn)在就這k-1條直線段所在各 區(qū)間的左端點(diǎn)定義gXiNi） =9宀（細(xì)），該函數(shù)就成為整個(gè)區(qū)間上的數(shù)據(jù)擬合函數(shù).這就是 分段最小二乘線性擬合問題.然而有些數(shù)據(jù)組并不是每段都呈線性關(guān)系，如數(shù)據(jù) （Xi，yji =12川，n，根據(jù)其散點(diǎn) 圖卻發(fā)現(xiàn)其前m個(gè)點(diǎn)較接近直線，后n-m個(gè)點(diǎn)呈現(xiàn)非線性關(guān)系，則可分兩段擬合.分別 以一次多項(xiàng)式Y(jié)和n次多項(xiàng)式丫2進(jìn)行擬合，即(2.1.1.1)Y1 =kX + b 為了說明具體的方法，不妨選丫2的階數(shù)為2,即2(2.1.1.2)Y2 =a0X + aix + a2 要保證在邊界點(diǎn)（Xm，ym

16、）連續(xù)光滑，所以存在兩個(gè)約束條件2kXm+b =a0Xm+aiXm+a2和 k=2a0Xm+ai，因此，式（2.1.1.1 ）和（2.1.1.2）的系數(shù) 是相關(guān)的.解得b=a2-a0Xm，故式（2.1.1.1）為2Y =（2a0Xm +ai）x-a0X m +a2令S為最小二乘估計(jì)量，則mn2 2 2 2S=2 (2a0Xm +a1)Xi+a2-a0Xm-yi + (aoX + a/ +a2-yi)i 4i田屮通過模型 =0 ; i =0,1,2 ,可求得最小方差S的a0, a1,a2的值，從而確定出式(2.1.1.1) 田與( 2.1.1.2)中的回歸系數(shù).最后，通過JmnS ( -52 +

17、2： (Yzi -y)2nZJyi-y)2對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，式中和F檢驗(yàn)值F = (n2)21 -r22 2Yi =( 2a0 xm + a) X- a mx+ ；2並匚=a0X +a1x + a2.當(dāng)然，根據(jù)不同的數(shù)據(jù)，可分三段進(jìn)行擬合，或根據(jù)不同的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，采用多次曲 線擬合方式.2.1.2分段三次曲線擬合4,5設(shè)有N個(gè)數(shù)據(jù)乙,Z2,Z3I|Zn .因?yàn)樗膫€(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)可確定一條三次曲線，但在選取分段 點(diǎn)時(shí)，必須考慮分段后相鄰曲線必須連續(xù)，即邊界點(diǎn)連續(xù)，因此用五個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合一條三次曲線.擬合方法：首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的分段，將第一到第五數(shù)據(jù)分為第一段，再將第五到第九個(gè)數(shù)據(jù)分為第二段，將第九

18、到第十三個(gè)數(shù)據(jù)分為第三段，依次類推進(jìn)行分組，即前一段末尾的數(shù)據(jù)為下一段數(shù)據(jù)的首位，這樣便保證了數(shù)據(jù)分段的連續(xù)性.然后再對(duì)個(gè)23Wt = a +bt +ct + dt (t = 2, -1,0,1,2)可以將此Vt =bt+dt3和偶函數(shù)Ut =a中Ct2.下面應(yīng)用最小二 ,由于在每段數(shù)據(jù)中第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)均兩次,求方差分段數(shù)據(jù)進(jìn)行三次曲線擬合即可.令某段數(shù)據(jù)的三次擬合曲線函數(shù)為：曲線函數(shù)分解為奇偶兩個(gè)函數(shù)：奇函數(shù)乘法的基本原理求三次擬合曲線的系數(shù) 參與擬合，因此，在求一段曲線的擬合方差時(shí)需要加權(quán).按照平均分配的原則1的權(quán)值幾=，=血= 1，得到該段曲線擬合的方差2(2.121)(2.122)S

19、S 兀t(Wt - Zt)2t=2曲線表示為奇偶函數(shù)的形式如下Wt =Ut +Vt,U_t =Ut,V_t =-Vt由(2.1.2.2)可以推導(dǎo)出下式1 丄Ut =-(Wt +w_t),Vt2令 Zt =Xt=Xp =yt 貝 U1x-(Zt +ZJ, yt1匚(WW(2.1.2.3)(2.1.2.4)因此擬合方差為2 2S2=2 打(WZt)2= At(Ut +Vt-Xt-yt)2t=2ty(2.125)22=2 扎t(ut Xt)2譏Vt yt)2t=2t=2=s奇+ s偶即Wt對(duì)乙的平滑可以看作是奇函數(shù)和偶函數(shù)分別平滑的疊加 .從(2.1.2.5)式中可 知奇函數(shù)擬合的方差.2Si)臥x

20、t-yt)2t=2(2.126)2 =Z 2Zt(bt-dt3-yt)2 t =1= 2(b +d -yy+Rb+Bd -y2)2b+d =02b + 8d - y2 = 0 解出fb = (y2-2y1)/6d = (8y1 - 丫2)/6因此Si = 0，即奇函數(shù)的擬合方差為0,達(dá)到最佳逼近.同樣，從(2.1.2.5)式中可 知偶函數(shù)擬合方差為2S偶=2 6(Ut Xt)2= ( a 0x)+ 28C1X) +(a4q x)(2.1.2.7)t=2由(2.1.2.3)式得知在邊界點(diǎn)上1考慮到邊界點(diǎn)連續(xù)這一約束條件,U2 = (W2 +w_2)= a + 4c . 2(2.328)(2.1.

21、2.9)令e = a +4c因此由式(2.3.2.7)可令S2 =S； -(a + 4C-X2)2 =(a-X0)2 +2(a +C-X1)22312= (a-X0)2 +2(a +-e-X1)244於231解令旦=0 , 有 2(a-X0)+ 3(-a +-0-%)=0，得(2.1.2.10) 從(2.1.2.10)式可知三次曲線函數(shù)的系數(shù)a,c的取值與邊界點(diǎn)值有關(guān)，將(2.1.2.10) 式代入(2.1.2.9)式中可得S2 = S偶 -(a +4C-X2)2 =5偶-(e-X2)2 =(3x0 +e-4人)2 .17da44a =(12x1 +8x0 -3e)/17所以得出 S偶 =（e

22、-X2）2 +丄（3x0 +e-4x1）2，再令竺偶=0，有17ce2(e-X2)+ (3x 0 + e) = 0,17解得4x，- 3 0+ 1 X 2 e =.18聯(lián)立式(2.1.2.8)、式(2.1.2.10)、式(2.1.2.11)，解得a = (3x0 +4X1 Xz 6C = (3x0 -Zxj + 5x2)/18最后得到三次擬合曲線表達(dá)式為(3X0+4X1-X2)丄(丫2 -2) (-3X0-2X1+5X2)2 丄(8%-2)43Wt =十1 十1 十16 618(2.1.2.11)0113基于兩點(diǎn)三次Hermite插值的分段曲線擬合3.1插值的定義定義3.1.1設(shè)函數(shù)y = f

23、（x）在區(qū)間a,b上有定義，且已知在點(diǎn) a X0 C X1 V X2 111 V Xn b處的函數(shù)值yj = f（Xj）,（ j =0,1,2，川，n）,若存在n次多項(xiàng)式(3.1.1)p n（x） =a 0 +a1x + a2X2 + 川+ anXn使得(3.1.2)Pn（Xj） =yj,（j =0,1,2,川，n）成立，則稱Pn（X）為f（X）的插值多項(xiàng)式，Xo,X1,X2|,Xn為插值結(jié)點(diǎn)，f（X）為插值函數(shù). 3.2 Hermite插值方法Hermite插值方法可以處理插值條件中合導(dǎo)數(shù)值的插值問題，即知道插值結(jié)點(diǎn)處的 函數(shù)值以及導(dǎo)數(shù)值，求插值多項(xiàng)式的插值問題.3.2.1三次Hermite

24、插值考慮兩個(gè)插值結(jié)點(diǎn)的情形，設(shè)aX0X1b，函數(shù)f（x）忘c(diǎn)a,b且已知f（x0）=丫0, f（x1）=y1, f（X0） =m0, f（X1） = 0， 在區(qū)間a, b上求三次插值函數(shù)23(3.2.1.1)H（X）=a0+a1x + a2X +a3X使其滿足插值條件H（x）=yj,H（x 寧 m,B 0 ,（ 3.2.1.2）定理3.2.1.1滿足插值條件（3.2.1.2）的三次Hermite插值多項(xiàng)式是存在且唯一的. 證明：由插值條件得線性方程組：110xX111X2X122Xo2x100 a11a2m01i1Aa3丿1Irn丿x；X133x23X12(3.2.1.3)考慮系數(shù)矩陣行列式，

25、利用行列式的拉普拉斯展開定理，可得241100XoX1112Xo2X12xo2X1故系數(shù)矩陣非奇異，線性方程組(3Xo3X13x23x23.1.2.3)有唯一解，從而三次多項(xiàng)式存在且唯一.=(X Xo)(321.4)例1求滿足插值條件 叭滄)=1g(x0) =0,口(為)=0,a (xj =0的三次插值多項(xiàng)式 a(x)，以及滿足插值條件 P(X0)= 0,P X1 = 0P X0 =) 1： X1(=)的三次插值多項(xiàng)式 P(x).解：由于X1是三次多項(xiàng)式a (X)的二重零點(diǎn)，故可設(shè)2a(x) = (Gx+C2)(xX1)a(X0) =1a 00)=0得2(GX0 +q)(X0 -X1)=1，2

26、C1(X0-X1)+291X0 *2)(X0 -X1) =0由插值條件求解得21+2X0(x。一X1)3 2 (X0 X1)2 (X0 X1)3其中代入整理得現(xiàn)求P(X)，由插值條件求解得所以2a(x) =(C1X +C2)(x X1)訶=(1+2上知(止兀)2X1 -Xo X1 Xo由于X1是三次多項(xiàng)式P(x)的二重零點(diǎn)，Xo是一重零點(diǎn)，故可設(shè)P(x) =C(X-Xo)(x-X1)2P (Xo) =1 得2C(Xo -X1)+2(Xo -Xo)(Xo -X1) =11c=2(X, X0)X1 -Xo注：例題中的兩個(gè)特殊的插值函數(shù)實(shí)際上是兩點(diǎn)Hermite插值的基函數(shù).定理3.2.1.29兩點(diǎn)

27、Hermite插值函數(shù)可以用基函數(shù)的方法表示為H(x) =丫0叫&) + 川1(刈中口。%/ +m01(x)，X X0,X1(321.5)叫(X)=(1+2X X0X1-X0X1-X0)(斗X1 X0 X1 X0p0(X)=(X X0)(比必)2X1 -X0p1(x) =(x xJG)2Xi -Xo注：定理3.2.1.2中的a0(x),a1(x), %&), Px)為Hermite插值基函數(shù)，其中i = j.Pi(Xj) = 0 ；i H jj2叫(Xj)=0i H J-卩i0臥Xj)例 2 給定 f(1) =0, f (1) = 4, f(-1) =2, f(1)=0 ,求 Hermite

28、插值多項(xiàng)式. 解：H3(x) =0h0(x) +4h1(x) +2g0(x) +0g1(x).顯然本題不必計(jì)算h0(x), g1 (X).(X -1) fx-(-1)-1-1 八1-(-1)丿f X -1 彳hi(x) =/1+2=(2 -x)(x+1)2/4g0(x)=(x-(-1)|=(x+1)(x-1)2/41-1-1 丿H3(x) =4hi(x) +2g0(x)212H3(x) =(2-x)(x+1) + (x + 1)(x-1)23.3基于Hermite插值的分段曲線擬合基本原理的主要步驟第一步：第二步：第三步：第四步：根據(jù)給出的數(shù)據(jù)做出其散點(diǎn)圖，分析散點(diǎn)圖的特點(diǎn)，通過擬合試驗(yàn)確定分

29、段擬合函數(shù), 采用MATLAB編程求得分段擬合函數(shù)的表達(dá)式， 利用Hermite插值求出分段邊界點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，第五步：將插值多項(xiàng)式與分段擬合函數(shù)連接成連續(xù)的擬合曲線磷施肥(公 斤/公頃)024497398147196245294342土豆產(chǎn)量(公斤)33.4632.4736.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.734實(shí)例應(yīng)用例3在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)試驗(yàn)研究中，對(duì)某地區(qū)土豆的產(chǎn)量與化肥的關(guān)系做了一實(shí)驗(yàn), 得到磷肥的施肥量與土豆產(chǎn)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表4-1所示.表4-1磷肥的施肥量與土豆產(chǎn)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系根據(jù)上表的數(shù)據(jù)給出土豆產(chǎn)量與磷肥的關(guān)系做出其散點(diǎn)圖，如圖4-1所示.土豆產(chǎn)量

30、（公斤）I 土豆產(chǎn)量（公斤）圖4-1磷肥的施肥量與土豆產(chǎn)量對(duì)應(yīng)關(guān)系的散點(diǎn)圖從圖可看出從0到98、從98到342之間分別呈明顯的線性關(guān)系， 由此 可選取所求擬合函數(shù)為一分段的線性函數(shù)作擬合試驗(yàn)， 換言之，用前5點(diǎn)作一線 性擬合函數(shù)，再用后5個(gè)點(diǎn)也作一線性擬合函數(shù).采用MATLAB編程（見附錄1）求得，對(duì)磷肥的分段擬合函數(shù)0.0844X+32.0771|0.0090x+39.1303分段擬合圖如圖4-2所示.圖4-2磷肥的施肥量與土豆產(chǎn)量分段擬合曲線圖考慮到邊界點(diǎn)不連續(xù)，采用兩點(diǎn)三次Hermite插值使邊界點(diǎn)連續(xù)的方法，由于y(98) =40.3483, y(147) =40.4533, y(98

31、) = 0.0844, y(147) =0.0090，故可以設(shè)其 Hermite 插值多項(xiàng)式為H3(x) = 40.3483h0(x) +40.45330( X)+ 0.0844 g0( x) + 0.0090g1 (x)40.3483(147 -x)2(2x-147) +40.4533(x-98)2(343-2x)H3(x)=經(jīng)計(jì)算得1176492 2+ 0.0844(147 -x)2(x-98)+0.0090(x-98)2(x-147)2401即32H3（x） =0.0000371155X3 -0.0144093294X2 +1.8392571429x-36.444499972將插值多項(xiàng)式

32、與分段邊界點(diǎn)連接便可以得到連續(xù)的擬合曲線圖，達(dá)到較好的擬合效果.擬合曲線圖如圖4-3所示（程序見附錄2）.例4彈簧受力F的作用伸長(zhǎng)x,F與x在一定范圍內(nèi)服從虎克定律：F=kx （ x為 彈性系數(shù)），呈線性關(guān)系；但當(dāng)F增加到一定值后，不再服從虎克定律.一次試驗(yàn)測(cè)得的 數(shù)據(jù)如表4-2所示，其散點(diǎn)圖如圖4-4所示.表4-2彈簧受力與伸長(zhǎng)量的關(guān)系x(cm)135791112141618F(N)1.95.38.612.115.716.819.220.721.421.8(N)圖4-4彈簧受力與伸長(zhǎng)量的關(guān)系的散點(diǎn)圖通過散點(diǎn)圖先擬合試驗(yàn)，得出前5個(gè)點(diǎn)可用線性擬合，后5個(gè)點(diǎn)可作二次函數(shù)擬合；同樣采用分段擬合的方

33、法，方法同例3 (可設(shè)yi =kxi+b, y2 =a2+aiX2+a0X22).運(yùn)行程序(見附錄 3)可得 a0 = -0.1350;印=4.5518;a2 =-16.5508; k =1.7200; b = 0.1200.同樣將 擬合函數(shù)的邊界點(diǎn)采用兩點(diǎn)三次 Hermite插值.由 y(9) =15.6000, y(11)=17.1840, y(9) =1.7200, y(11) = 1.5818，采用 MATLAB 編程 (見附錄4)求得插值多項(xiàng)式為32Hs =0.4294499999999997 X -12.91805000000000 x +129.8885499999999 x -

34、420.1039499999994再用插值多項(xiàng)式連接分段擬合曲線的邊界點(diǎn)便可得到較好的擬合圖形，擬合曲線如圖4-5所示(程序見附錄5).圖4-5彈簧受力與伸長(zhǎng)量的Hermite插值分段擬合曲線圖例5在油頁高溫分解的過程中，一種苯有機(jī)分解成瀝青及其他物質(zhì)，要了解瀝青在一定溫度下隨時(shí)間t (分鐘)變化的相對(duì)濃度y (%)之間的關(guān)系.試驗(yàn)如表4-3所示,散點(diǎn)圖如圖4-6所示.表4-3瀝青的相對(duì)濃度與時(shí)間變化的關(guān)系t515 1 20506580100 120160180y08.015.120.120.522.020.9 1 18.211.55.5圖4-6瀝青的相對(duì)濃度與時(shí)間變化的關(guān)系的散點(diǎn)圖同樣通過散

35、點(diǎn)圖先作擬合試驗(yàn)，得出前5個(gè)點(diǎn)可采用三次多項(xiàng)式擬合，后5個(gè)點(diǎn)可 采用二次多項(xiàng)式擬合，可設(shè)分段擬合函數(shù)為yi =aiXi +82X1+83X1+84, 丫2 =biX2 中2X2 +b3運(yùn)行程序(見附錄6)得出=0.0002砂=-0.0285蹟=1.5456;印= -7.4491E = -0.0013; =0.1747;b3 =16.2750再將擬合函數(shù)的邊界點(diǎn)采用兩點(diǎn)三次Hermite插值，由y(65) =20.4974, y(80) =22.2531, y(65) =0.3756, y(80) = 0.3827采用MATLAB編程(見附錄7)計(jì)算求得插值多項(xiàng)式為Hs =0.002329807

36、407407407 x3 -0.5064964444444440 x2 + 36.68982888888888 x -864.2173592592588將插值多項(xiàng)式連接分段擬合曲線的邊界點(diǎn)后得到的擬合曲線圖，擬合曲線見圖4-7(程序見附錄8).圖4-7瀝青的相對(duì)濃度與時(shí)間變化的關(guān)系的Hermite插值分段擬合圖5結(jié)束語本文介紹最小二乘多項(xiàng)式曲線擬合的基本原理，在具體介紹線性擬合、多項(xiàng)式擬合 的基本及方法的基礎(chǔ)上，給出了分段曲線擬合的方法與步驟.分段曲線擬合是一種常用 的數(shù)據(jù)處理方法，但是在分段點(diǎn)處往往不能滿足連續(xù)與光滑，針對(duì)這一問題，本文進(jìn)一 步給出了 Hermite插值的基本原理，并采用兩點(diǎn)

37、三次 Hermite插值連接分段曲線，從而 使分段點(diǎn)處滿足一階連續(xù)，最后通過三個(gè)實(shí)例表明該方法的擬合效果較好.另外，本文僅討論了使用Hermite插值連接分段線性、分段多項(xiàng)式曲線擬合的方法， 對(duì)其他種類的曲線未作討論.事實(shí)上，兩點(diǎn)三次Hermite插值的方法連接其他種類的擬合 曲線同樣適用.參考文獻(xiàn)聶翔, 張瑞林. 最小二乘法在曲線擬合中的實(shí)現(xiàn) J. 陜西工學(xué)院學(xué)報(bào) , 2000, 3: 79-82. 張東林 . 分段最小二乘曲線擬合 J. 沈陽大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 ), 1994, 2: 80-83.劉曉莉 , 陳春梅 . 基于最小二乘原理的分段曲線擬合法 J. 伊犁教育學(xué)院學(xué)報(bào) , 20

38、04, 17(3): 131-136.蔡山 , 張浩 , 陳洪輝 , 等 . 基于最小二乘法的分段三次曲線擬合方法研究 2007, 7(3): 352-355.1234J. 科學(xué)技術(shù)與工程 ,張浩, 任義廣, 沙基昌. 基于分段三次曲線擬合的廣州周發(fā)案量預(yù)測(cè) J. 計(jì)算機(jī)仿真 , 2008, 25(6): 257-260.6 Roychowdhury S. Fuzzy curve fitting using least square principlesJ. IEEE International Conference on Systems, Man and Cybemetics, 1998,

39、4: 4022-4027. 高偉 , 姜水生 . 分段曲線擬合與離散度加權(quán)的數(shù)據(jù)誤差處理方法 55-56.張興元 . 分段函數(shù)的光滑方法及其在曲線擬合中的應(yīng)用 版),2007, 33(3): 486-490.578J. 中國(guó)測(cè)試技術(shù) , 2005, 11:J. 西南民族大學(xué)學(xué)報(bào) ( 自然科學(xué)鐘爾杰 , 黃延祝 . 數(shù)值分析 (第四版) M. 北京 : 高等教育出版社 , 2004. 10 韓中庚 . 數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用 M. 北京 : 高等教育出版社 , 2005. 11 劉衛(wèi)國(guó). MATLAB 程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用 (第二版 ) M. 北京: 高等教育出版社 , 2006.9附錄磷肥的施肥量與土

40、豆產(chǎn)量的分段擬合函數(shù)程序 x=0,24,49,73,98,147,196,245,294,342; y=33.46,32.47,36.06,37.96,41.04,40.09,41.26,42.17,40.36,42.73; plot(x,y,r+)a1=polyfit(x(1:5),y(1:5),1) a2=polyfit(x(6:10),y(6:10),1) xx1=0:98; yy1=a1(1)*xx1+a1(2);xx2=147:342; yy2=a2(1)*xx2+a2(2);plot(x,y,r+,xx1,yy1,xx2,yy2)附錄磷肥的施肥量與土豆產(chǎn)量的 Hermite 插值的

41、分段擬合曲線圖程序 x=0,24,49,73,98,147,196,245,294,342; y=33.46,32.47,36.06,37.96,41.04,40.09,41.26,42.17,40.36,42.73; plot(x,y,r+)a1=polyfit(x(1:5),y(1:5),1) a2=polyfit(x(6:10),y(6:10),1) xx1=0:0.01:98; yy1=a1(1)*xx1+a1(2);xx2=147:0.01:342; yy2=a2(1)*xx2+a2(2);xx3=98:0.01:147;yy3=0.0000371155*xx3A3-0.014409

42、3294*xx3A2+1.8392571429*xx3-36.444499972;附錄plot(x,y,r+,xx1,yy1,xx2,yy2,xx3,yy3) 彈簧受力與伸長(zhǎng)量的關(guān)系的分段擬合函數(shù)程序 x=1,3,5,7,9,11,12,14,16,18;y=1.9,5.3,8.6,12.1,15.7,16.8,19.2,20.7,21.4,21.8;plot(x,y,r+)a1=polyfit(x(1:5),y(1:5),1) a2=polyfit(x(6:10),y(6:10),2) xx1=1:0.01:9; yy1=a1(1)*xx1+a1(2);xx2=11:0.01:18; yy2

43、=a2(1)*xx2A2+a2 (2)*xx2+a2(3); plot(x,y,r+,xx1,yy1,xx2,yy2)附錄彈簧受力與伸長(zhǎng)量的關(guān)系的兩點(diǎn)三次 Hermite 插值多項(xiàng)式程序 format long e clf,clear,x0=9;x1=11;y0=15.6000;y1=17.1840;m0=1.7200;m1=1.5818; x=linspace(9,11,100);y=linspace(15.6000,17.1840,100); m=2*(y0-y1)+(m0+m1)*(x1-x0); n=3*(x0+x1)*y1-3*(x0+x1)*y0-(2*x1+x0)*m0*(x1-

44、x0)-(2*x0+x1)*(x1-x0)*m1; k=6*x0*x1*(y0-y1)+(x1-x0)*(m0*x1A2+m1*x0A2)+2*x1*x0*(m0+m1); q=x1A2*(x1-3*x0)*y0+x0A2*(3*x1-x0)*y1-x0*x1*(x1-x0)*(x1*m0+x0*m1);p=(x1-x0).A3;a=m/pb=n/pc=k/pd=q/py=a*x.A3+b*x.A2+c*x+d;plot(x,y,r-)附錄 5彈簧受力與伸長(zhǎng)量的 Hermite 插值的分段擬合曲線圖程序 x=1,3,5,7,9,11,12,14,16,18; y=1.9,5.3,8.6,12.1,15.7,16.8,19.2,20.7,21.4,21.8;plot(x,y,r+) a1=polyfit(x(1:5),y(1:5),1) a2=polyfit(x(6:10),y