3平均值不等式

1、書 山 有 路 勤 為 徑，學 海 無 崖 苦 作 舟少 小 不 學 習，老 來 徒 傷 悲 成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奮，努 力 才 能 成 功！教師：教師： 金燕金燕課前自主學案課前自主學案課堂互動講練課堂互動講練知能優(yōu)化訓練知能優(yōu)化訓練3三個正數(shù)的算術(shù)三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式幾何平均不等式學習目標學習目標1會利用公式求函數(shù)的最值，證明不等式。會利用公式求函數(shù)的最值，證明不等式。 掌握理解三個正數(shù)的算術(shù)掌握理解三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均值不等式定幾何平均值不等式定理，并掌握等式成立的條件；理，并掌握等式成立的條件；

2、2學習目標學習目標指出定理適用范圍：指出定理適用范圍： Rba,強調(diào)取強調(diào)取“=”的條件：的條件： ba 定理定理2.如果如果 那么那么 ba,是正數(shù)，是正數(shù)， abba2（當且僅當（當且僅當ba 時取時取“=”號）號）注意：注意：1這個定理適用的范圍這個定理適用的范圍： ,a bR 2語言表述語言表述：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。何平均數(shù)。復習：復習：12定理定理1.如果如果Rba,，那么，那么abba222（當且僅當當且僅當ba 時取時取“=”）注意注意利用算術(shù)平均數(shù)和幾利用算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)定理時，一何平均數(shù)定理時，一定要注意定理的條

3、件定要注意定理的條件一正一正;二定二定;三相等三相等。有一個條件達不有一個條件達不到就不能取得最值。到就不能取得最值。注意注意22222222(1)2( ,)(2)( ,)21(3)2()2(4)()( ,)22(5)+(0)1.ababa bababa bababxbaxabababa babcab+bc+ca a,RRb,cRR（x0）基本不等式及其常用變式課前自主學案課前自主學案 1210,( )312(2)0,( )3xf xxxxf xxx若求的最小值；若的最大值。 sin232sinxyx求（0 x）的最小值。 自測題自測題19(4),1,x yRxyxy已知:且求的最小值.思考思

4、考 基本不等式給出了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾基本不等式給出了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系，這個不等式能否推廣呢？例何平均數(shù)的關(guān)系，這個不等式能否推廣呢？例如，對于如，對于3個正數(shù)，會有怎樣的不等式成立呢？個正數(shù)，會有怎樣的不等式成立呢？3, .,3a b cRabcabcabc類比、猜想：若那么當且僅當時，等號成立。類比類比 、猜想：、猜想：33332233322222222222223()333()333() ()()3()()23()()1() ()() +()0,2abcabcaba babcabcabca bababcabcabab ccab abcabcaabbacbcca

5、babc abcabbccaabcabbcca 333, ,3a b cRabcabc如果那么等號當且僅當時成立等號當且僅當時成立3, .,3abca bcRabcabc若那么當且僅當時，等號成立。語言表述語言表述：三個正數(shù)的算術(shù)平三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。均不小于它們的幾何平均。定理定理3推論推論推論推論:),(33Rcbaabccba33 abccba.,等號成立時當且僅當cba為定值時abc) 1 (為定值時cba)2(3)3(cbaabc.,等號成立時當且僅當cba1如果 *12,1na aaRnnN且 則： naaan21 叫做這叫做這n個正數(shù)的個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。算術(shù)

6、平均數(shù)。nnaaa21叫做這叫做這n個正數(shù)的個正數(shù)的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)。2.基本不等式：基本不等式： naaan21 nnaaa21niRaNni1 ,*語言表述語言表述：n n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，當且僅當?shù)膸缀纹骄鶖?shù)，當且僅當1 1a a2 2=a=an n時，時，等號成立等號成立推廣推廣關(guān)于關(guān)于“平均數(shù)平均數(shù)”的概念：的概念：27Rxyz+3例1、已知x，y，z，求證：（x+y+z）。33xyzxyz證明：因為，所以327xyz即（x+y+z）考點一利用公式證明不等式利用公式證明不等式課堂互動講練課堂互動講練3xyz（x+y+z），27“

7、注意注意=號取不到號取不到”例例:.)1 (,10) 1 (2的最大值求函數(shù)時當xxyx解解:, 10 x, 01x.274,32,12maxyxxx時當274)3122(43xxx)1 (224)1 (2xxxxxy構(gòu)造三個構(gòu)造三個數(shù)相加等數(shù)相加等于定值于定值.考點二利用公式求函數(shù)的最值利用公式求函數(shù)的最值.)1 (,10)2(2的最大值求函數(shù)時當xxyx練習練習:解解:, 10 x, 012x得由),1 (2xxy2222)1 (xxy)1)(1 (221222xxx274)3112(213222xxx. 392,274,33,12maxmax222yyxxx時當構(gòu)造三個構(gòu)造三個數(shù)相加等數(shù)

8、相加等于定值于定值.例將一塊邊長為例將一塊邊長為a的正方形鐵皮，剪去四個角的正方形鐵皮，剪去四個角（四個全等的正方形），作成一個無蓋的鐵盒，（四個全等的正方形），作成一個無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容積是多少？最大容積是多少？解解:設(shè)剪去的小正方形的邊長為設(shè)剪去的小正方形的邊長為xx)20( ,)2(2axxaxV則其容積為則其容積為 :)2()2(441xaxaxV2723)2()2(44133axaxax272,6,243maxaVaxxax時當且僅當.272,63aa積是合的最大容鐵時長為小正方形邊即當剪去的ax

9、a2232,(0).yxxx求函數(shù)的最小值練習練習:3322243212321232xxxxxxxxy解解:3min43y(錯解錯解:原因是取不到等號原因是取不到等號)正解正解: 構(gòu)造三個數(shù)積為定值時要均分構(gòu)造三個數(shù)積為定值時要均分33322236232932323232323232xxxxxxxxy.3623,23,2323min2yxxx時當且僅當261.3 (0)_.yx xx 函函數(shù)數(shù)的的最最小小值值為為222162.4_(1)yxx 函函數(shù)數(shù)的的最最小小值值是是13.,_( - )a bRabaa b b 若若且且則則最最小小值值為為424.(2)(02)yxxx 函函數(shù)數(shù)的的最最大

10、大值值是是A、0B、1C、D、（）（）27162732知能優(yōu)化訓練知能優(yōu)化訓練補充作業(yè)補充作業(yè)2361.( ) (1).1xxf xxx 求求函函數(shù)數(shù)的的最最大大值值2242.( ) (0).4xxf xxxx 求求函函數(shù)數(shù)的的最最小小值值2222223., ,:2()a b cabbccaabc 已已知知都都是是非非負負實實數(shù)數(shù) 求求證證24.21,0,0,.xyxyxyxy 已已知知求求的的最最小小值值若若n個正數(shù)的積是一個常數(shù)個正數(shù)的積是一個常數(shù),那么當且僅那么當且僅當這當這n個正數(shù)相等時個正數(shù)相等時,它們的和有最小值它們的和有最小值. 簡稱：簡稱：積定和最小積定和最小若若n個正數(shù)的和是一個常數(shù)個正數(shù)的和是一個常數(shù),那么當且僅那么當且僅當這當這n個正數(shù)相等時個正數(shù)相等時,它們的積有最大值它們的積有最大值.簡稱：簡稱：和定積最大和定積最大應(yīng)用