3-1 平面立體

1、2021-6-141第三章第三章 立體的投影立體的投影本章教學(xué)目的與要求本章教學(xué)目的與要求 1、掌握平面立體（底面平行于投影面的棱柱、棱錐）三視圖的畫法；、掌握平面立體（底面平行于投影面的棱柱、棱錐）三視圖的畫法； 2、掌握曲面立體（軸線、掌握曲面立體（軸線投影面的圓柱、圓錐、球）三視圖的畫法；投影面的圓柱、圓錐、球）三視圖的畫法； 3、熟悉立體表面上作點、線的基本作圖方法；、熟悉立體表面上作點、線的基本作圖方法； 4、掌握根據(jù)已知兩視圖求第三視圖的方法；、掌握根據(jù)已知兩視圖求第三視圖的方法； 基本立體基本立體 平面立體平面立體 曲面立體曲面立體 。 平面立體：平面立體： 表面全部由平面圍成的

2、立體表面全部由平面圍成的立體 ； 曲面立體：曲面立體： 表面由平面和曲面圍成表面由平面和曲面圍成,或全部由曲面圍成的立體或全部由曲面圍成的立體 。 注意：注意：1、任何復(fù)雜的形體（組合體）由基本體（完整、不完整）、任何復(fù)雜的形體（組合體）由基本體（完整、不完整） （疊加或挖切）而形成。（疊加或挖切）而形成。 2、基本體的投影很重要，熟練掌握可提高看圖速度。、基本體的投影很重要，熟練掌握可提高看圖速度。 2021-6-142VWH 立體的投影，實質(zhì)上是構(gòu)成該體的所立體的投影，實質(zhì)上是構(gòu)成該體的所有表面的投影總和。有表面的投影總和。斜 四 棱 柱直 五 棱 柱正 三 棱 柱五 棱 柱正 六 棱 柱

3、正 八 面 體常見的平面立體：常見的平面立體：2021-6-144基本體的形成及其投影基本體的形成及其投影 常見的基本幾何體常見的基本幾何體平面基本體平面基本體曲面基本體曲面基本體2021-6-1453.1 平面立體平面立體一、一、 平面立體的投影平面立體的投影 繪制平面立體的投影可歸結(jié)為繪制它的所有棱線及各棱線交點的繪制平面立體的投影可歸結(jié)為繪制它的所有棱線及各棱線交點的投影，然后判斷可見性，將可見的棱線投影畫成投影，然后判斷可見性，將可見的棱線投影畫成粗實線粗實線；不可見的棱；不可見的棱線投影則畫成線投影則畫成虛線虛線；當粗實線與虛線重合時，應(yīng)畫粗實線。；當粗實線與虛線重合時，應(yīng)畫粗實線。

4、常見的平面立體是常見的平面立體是棱柱棱柱和和棱錐。棱錐。1棱柱的投影棱柱的投影(以六棱柱為例分析投影）以六棱柱為例分析投影）2021-6-146棱線可見性判別原則及注意點：棱線可見性判別原則及注意點： （1）兩面均不可見，交線不可見，一面可見，交線可見；）兩面均不可見，交線不可見，一面可見，交線可見； （2）底面）底面 H面，反映形體特征（特征視圖）面，反映形體特征（特征視圖） （3）面的投影不是積聚一條線，就為類似形）面的投影不是積聚一條線，就為類似形 （或?qū)嵭危ɑ驅(qū)嵭危├旆ㄏ肓Ⅲw：拉伸法想立體：把特征視圖拉一高度就得立體。（把特征視圖拉一高度就得立體。（有積聚性才行有積聚性才行） 20

5、21-6-147 1取棱柱取棱柱表面表面上的點上的點棱柱體表面上取點和平面上取點的方法相同，先要確定點所在的平面并棱柱體表面上取點和平面上取點的方法相同，先要確定點所在的平面并分析平面的投影分析平面的投影 （有積聚性優(yōu)先找點）（如下圖）（有積聚性優(yōu)先找點）（如下圖）【例一】已知五棱柱表面上點例一】已知五棱柱表面上點F的正面的正面 投影投影f、G點的正面投影點的正面投影g和和H點點 的正面投影的正面投影h，求作其它兩個投影。，求作其它兩個投影。2021-6-148【例二】例二】 已知六棱柱表面上點已知六棱柱表面上點M的正面投影的正面投影m和和N點的水平投影點的水平投影n，求作其它兩個投影。求作其

6、它兩個投影。2021-6-1492021-6-14102棱錐的投影（以為例三棱錐為例分析投影）棱錐的投影（以為例三棱錐為例分析投影）分析：正三棱錐底面分析：正三棱錐底面ABC是一水平面，水平投影反映實形。左、右棱是一水平面，水平投影反映實形。左、右棱面面 面為一般位置平面，它們各個投影為類似形，后棱面為一個側(cè)垂面。面為一般位置平面，它們各個投影為類似形，后棱面為一個側(cè)垂面。作圖：先畫底面作圖：先畫底面ABC的各個投影，再作出錐頂?shù)母鱾€投影，然后連的各個投影，再作出錐頂?shù)母鱾€投影，然后連 接各棱線即得正三棱錐的三面投影。接各棱線即得正三棱錐的三面投影?？梢娦裕喝齻€棱面的水平投影都可見，底面的水平

7、投影不可見；左、右可見性：三個棱面的水平投影都可見，底面的水平投影不可見；左、右 棱面的正面投影可見，后棱面的正面投影不可見，左棱面的側(cè)棱面的正面投影可見，后棱面的正面投影不可見，左棱面的側(cè) 面投影可見，右棱面的側(cè)面投影不可見。面投影可見，右棱面的側(cè)面投影不可見。 2021-6-1411R111rr二、三棱錐表面上取點2021-6-1412222三棱錐表面上取點2021-6-1413333三棱錐表面上取點2021-6-14142取棱錐取棱錐表面表面上的點上的點（方法：（方法：素線法素線法和和平行線法平行線法） 【例一】已知三棱錐上的點例一】已知三棱錐上的點E和點和點F的正面投影的正面投影e（f

8、），），求其水平投求其水平投 影影e、f。 分析：點分析：點E在前棱面在前棱面SAB上，上，F(xiàn)在后棱面在后棱面SAC上，實際上也就是已知三上，實際上也就是已知三 角形平面上一點的正面投影求其水平投影的問題角形平面上一點的正面投影求其水平投影的問題 方法一：平行線法方法一：平行線法2021-6-1415【方法二】素線法素線法【方法三】作棱面上的任意直線作棱面上的任意直線2021-6-1416點的可見性規(guī)定：點的可見性規(guī)定： 若點所在的平面的投影若點所在的平面的投影可見，點的投影也可見；若可見，點的投影也可見；若平面的投影積聚成直線，點平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。的投影也可見。 由于棱柱

9、的表面都是平由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取面，所以在棱柱的表面上取點與在平面上取點的方法相點與在平面上取點的方法相同。同。第一節(jié)第一節(jié) 平面立體平面立體 一、平面立體一、平面立體 1.1.棱柱棱柱 棱柱的三面投影圖棱柱的三面投影圖 棱柱面上取點棱柱面上取點 a a a (b ) b 棱柱的組成棱柱的組成 b 由由兩個底面和幾個側(cè)棱面兩個底面和幾個側(cè)棱面組成。組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫棱線，側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫棱線，棱棱線相互平行線相互平行。 在圖示位置時，六棱柱的兩在圖示位置時，六棱柱的兩底面為水平面，其水平投影反映底面為水平面，其水平投影反映實形。前后兩側(cè)棱面是正平面，實形

10、。前后兩側(cè)棱面是正平面，其余四個側(cè)棱面是鉛垂面，它們其余四個側(cè)棱面是鉛垂面，它們的水平投影都積聚成直線，與六的水平投影都積聚成直線，與六邊形的邊重合。邊形的邊重合。2021-6-1417( ) s s 2.2.棱錐棱錐 棱錐的三面投影圖棱錐的三面投影圖 在棱錐面上取點在棱錐面上取點 k k k b a c abc a (c )b s n n 棱錐的組成棱錐的組成 n 由由一個底面和幾個一個底面和幾個側(cè)棱面?zhèn)壤饷娼M成。組成。側(cè)棱線交側(cè)棱線交于有限遠的一點于有限遠的一點錐錐頂頂。同樣采用平面上取點法。同樣采用平面上取點法。 棱錐處于圖示位置時，棱錐處于圖示位置時，其底面其底面ABC是水平面，其是水

11、平面，其水平投影反映實形。側(cè)棱水平投影反映實形。側(cè)棱面面SAC為側(cè)垂面，另兩個為側(cè)垂面，另兩個側(cè)棱面為一般位置平。側(cè)棱面為一般位置平。2021-6-14183.2 曲面立體（回轉(zhuǎn)體）曲面立體（回轉(zhuǎn)體）一、概述一、概述 曲面立體：由曲面或曲面和平面所圍成。曲面立體：由曲面或曲面和平面所圍成。 某些曲面可以看作由一條線按一定的規(guī)律運動所形成，這條運動某些曲面可以看作由一條線按一定的規(guī)律運動所形成，這條運動的線稱為的線稱為母線母線，而曲面上任意位置的母線稱為，而曲面上任意位置的母線稱為素線素線。母線繞軸線旋轉(zhuǎn)，。母線繞軸線旋轉(zhuǎn)，形成形成回轉(zhuǎn)面回轉(zhuǎn)面。母線上的各點繞軸線旋轉(zhuǎn)時，形成回轉(zhuǎn)面上垂直于軸線。

12、母線上的各點繞軸線旋轉(zhuǎn)時，形成回轉(zhuǎn)面上垂直于軸線的的緯圓緯圓。 回轉(zhuǎn)體分類：回轉(zhuǎn)體分類： 圓柱體（由直線繞與它平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成圓柱體（由直線繞與它平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成 ） 圓錐體（由一直線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成圓錐體（由一直線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成 ） 圓圓 球（由一圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)而成）球（由一圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)而成） 圓圓 環(huán)（一圓母線繞與其共面但不通過圓心的軸線旋轉(zhuǎn)而成環(huán)（一圓母線繞與其共面但不通過圓心的軸線旋轉(zhuǎn)而成 ）2021-6-1419 二、常見回轉(zhuǎn)體的投影二、常見回轉(zhuǎn)體的投影圓柱體的投影圓柱體的投影（圓柱體是由圓柱面、頂面和底面圍成）（圓柱體是由圓柱面、頂面和底面圍成）圓柱面的形成

13、：由直線繞與它平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。圓柱面的形成：由直線繞與它平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。 M2021-6-1420圓柱的投影：圓柱的投影：俯視圖為圓（積聚性），主、左視圖為矩形（曲面俯視圖為圓（積聚性），主、左視圖為矩形（曲面 投影），（矩形左右邊為轉(zhuǎn)向輪廓線）投影），（矩形左右邊為轉(zhuǎn)向輪廓線）轉(zhuǎn)向輪廓線：轉(zhuǎn)向輪廓線：虛實分界線，在它之前曲面可見，之后曲面不可見虛實分界線，在它之前曲面可見，之后曲面不可見畫圓柱投影：畫圓柱投影：先畫出軸線和底圓中心線，后畫上、下底圓的投影先畫出軸線和底圓中心線，后畫上、下底圓的投影 和圓和圓 柱面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線。柱面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線。 正視轉(zhuǎn)向輪廓線（另兩視圖不表達

14、）正視轉(zhuǎn)向輪廓線（另兩視圖不表達）俯視轉(zhuǎn)向輪廓線（另兩視圖不表達）俯視轉(zhuǎn)向輪廓線（另兩視圖不表達）側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線（另兩視圖不表達）側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線（另兩視圖不表達）2021-6-1421五、圓柱表面上取點( )( )A(D)CB2021-6-1422圓錐體的投影：圓錐體的投影：俯視圖為圓（沒有積聚性），主、左視圖為等腰俯視圖為圓（沒有積聚性），主、左視圖為等腰 三角形三角形 （曲面投影）。（曲面投影）。 （等腰三角形兩腰為轉(zhuǎn)向輪廓線）（等腰三角形兩腰為轉(zhuǎn)向輪廓線）畫圓錐體投影：畫圓錐體投影：先畫出軸線和底圓中心線，后畫出底圓的投影及先畫出軸線和底圓中心線，后畫出底圓的投影及 圓錐面的投影轉(zhuǎn)向輪廓

15、線。圓錐面的投影轉(zhuǎn)向輪廓線。2圓錐體的投影（由圓錐面和底面所圍成）圓錐體的投影（由圓錐面和底面所圍成）圓錐面的形成圓錐面的形成：由一直線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。：由一直線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。 2021-6-1423五、圓錐表面上取點2021-6-1424（2）圓錐體表面上的點）圓錐體表面上的點 圓錐面在三個投影面上的投影都沒有積聚性，所以必須用作輔助圓錐面在三個投影面上的投影都沒有積聚性，所以必須用作輔助線的方法實現(xiàn)在圓錐表面上取點。方法有兩種：線的方法實現(xiàn)在圓錐表面上取點。方法有兩種：素線法素線法和和緯圓法緯圓法【例二】如下圖示，已知圓錐表面上點例二】如下圖示，已知圓錐表面上點A的正

16、面投影的正面投影a，求作其水求作其水 平投影平投影a和側(cè)面投影和側(cè)面投影a?！痉椒ㄒ弧克鼐€法：方法一】素線法： 分析：分析：如圖立體圖示，如圖立體圖示， 過錐頂過錐頂S與點與點A 作輔助作輔助 素線交底面圓周于點素線交底面圓周于點 B，因為因為 a可見，可見， 所以素線所以素線SB位于前半位于前半 圓錐面上。圓錐面上。求出求出SB各各 個投影后便可按直線個投影后便可按直線 上點的投影規(guī)律，求上點的投影規(guī)律，求 出點出點A的水平投影和側(cè)面投影。的水平投影和側(cè)面投影。 素線法素線法2021-6-1425作圖作圖 ：1）連）連s和和a，延長延長sa，與底圓的正面投影相交于與底圓的正面投影相交于b。由

17、由 b在前半底圓的水平投影上作出在前半底圓的水平投影上作出b，再由再由b在底圓的在底圓的側(cè)面投影側(cè)面投影 上作出上作出b。分別連分別連s和和b、s和和b。 2）由由a分別在分別在sb、sb上作出上作出a、a。由于圓錐面的由于圓錐面的水平投水平投 影是可見的，所以影是可見的，所以a可見，又因點可見，又因點A在左半圓錐面上，在左半圓錐面上，所以所以a 也可見也可見【方法二】緯圓法：【方法二】緯圓法： 分析：如上頁圖中立體圖所示，過點分析：如上頁圖中立體圖所示，過點A在圓錐面上作一個平行在圓錐面上作一個平行于底面的于底面的 圓，圓， 實際上這個圓就是點實際上這個圓就是點A繞軸線旋轉(zhuǎn)所形成的。然繞軸線

18、旋轉(zhuǎn)所形成的。然后再在圓上后再在圓上 取出取出A點，點， 作圖作圖：1）通過通過a作垂直于軸線的水平圓的正面投影，其長度作垂直于軸線的水平圓的正面投影，其長度就是直徑就是直徑 的實長，它與軸線的正面投影的交點，就是圓心的的實長，它與軸線的正面投影的交點，就是圓心的正面投影，正面投影， 而圓心的水平投影重合于軸線的有積聚性的水平投而圓心的水平投影重合于軸線的有積聚性的水平投形上，即重形上，即重 合于合于s，于是就可畫出這個圓的反映實形的水平投影。于是就可畫出這個圓的反映實形的水平投影。 2）因為）因為a可見，所以點可見，所以點A應(yīng)在前半圓錐面上，于是就可應(yīng)在前半圓錐面上，于是就可由由a在在 水平

19、圓的前半圓的水平投影上作出水平圓的前半圓的水平投影上作出a。 3）由由a、a作出作出a。可見性的判別與方法同上可見性的判別與方法同上 緯圓法緯圓法2021-6-14263圓球的投影（由球面圍成）圓球的投影（由球面圍成） 球面的形成：球面的形成：一圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)而成。一圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)而成。2021-6-1427圓球的投影：圓球的投影：三個視圖均為圓（沒有積聚性）三個視圖均為圓（沒有積聚性）畫圓球投影：畫圓球投影：先畫三面投影中圓的對稱中心線，對稱中心線的交先畫三面投影中圓的對稱中心線，對稱中心線的交 點為球心，后分別畫出三面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線。點為球心，后分別畫出三面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線。 2021-

20、6-1428五、圓球表面上取點2021-6-1429（3） 圓球表面上的點圓球表面上的點球面上取點可運用在球面上作平行于投影面的輔助球面上取點可運用在球面上作平行于投影面的輔助圓的方法。圓的方法。輔助圓可選用正平圓、水平圓或側(cè)平圓。輔助圓可選用正平圓、水平圓或側(cè)平圓?！纠咳缦聢D示，已知球面上點例三】如下圖示，已知球面上點M、N的正面投的正面投影影m和和n，求求 作其水平和側(cè)面投影。作其水平和側(cè)面投影。作圖：作圖：1）過）過m以以o為圓心作正平圓，其正面投影反為圓心作正平圓，其正面投影反映該圓的實形。映該圓的實形。 2）正平圓的水平投影和側(cè)面投影都積聚為一）正平圓的水平投影和側(cè)面投影都積聚為

21、一條直線，并反映正平圓直徑的實長，因條直線，并反映正平圓直徑的實長，因m為可見，故點為可見，故點M在前半球面上，由此確定正平圓的水平投影和側(cè)面投在前半球面上，由此確定正平圓的水平投影和側(cè)面投影。影。 3）在正平圓的水平投影和側(cè)面投影上分別?。┰谡綀A的水平投影和側(cè)面投影上分別取出出m、m“，而且由而且由m的位置決定了點的位置決定了點M在左、上四分之在左、上四分之一球面上，故一球面上，故m、m均可見。用同樣的作圖原理和方法均可見。用同樣的作圖原理和方法也可取球體上的水平圓或側(cè)平圓，如圖示，也可取球體上的水平圓或側(cè)平圓，如圖示， N點的水平點的水平投影就是通過作水平圓求出，再按點的投影規(guī)律求出投影

22、就是通過作水平圓求出，再按點的投影規(guī)律求出n“。因因n為不可見為不可見,，故點，故點N在后半個球面上，（在后半個球面上，（n）的位的位置又決定了點置又決定了點N在右、下四分之一球面上，故在右、下四分之一球面上，故n、n均均不可見不可見2021-6-1430一、圓環(huán)的形成 圓環(huán)可以看成是以圓為母線，繞與圓在同一平面內(nèi)，但不通過圓心的軸線旋轉(zhuǎn)而成。 2021-6-14314圓環(huán)圓環(huán)的投影的投影球環(huán)的形成：球環(huán)的形成：一圓母線繞與其共面但不通過圓心的軸線旋轉(zhuǎn)而一圓母線繞與其共面但不通過圓心的軸線旋轉(zhuǎn)而 成由遠離軸線的半圓形成的表面稱為外環(huán)面，成由遠離軸線的半圓形成的表面稱為外環(huán)面， 由靠近軸線的半圓

23、形成的表面稱為內(nèi)環(huán)面。由靠近軸線的半圓形成的表面稱為內(nèi)環(huán)面。2021-6-1432二、圓環(huán)的畫法2021-6-1433圓環(huán)的投影：水平投影圓環(huán)的投影：水平投影:轉(zhuǎn)向輪廓線是最大和最小緯圓的水平投影，轉(zhuǎn)向輪廓線是最大和最小緯圓的水平投影，中心線圓表示圓母線的圓心運動軌跡。中心線圓表示圓母線的圓心運動軌跡。正面投影正面投影左右兩個小圓（一半為虛線圓）是平行于正面的兩個左右兩個小圓（一半為虛線圓）是平行于正面的兩個素線圓的正面投影，而上、下兩條直線則是圓母線上最高點和最素線圓的正面投影，而上、下兩條直線則是圓母線上最高點和最低點旋轉(zhuǎn)而成的水平圓的正面投影。它們都是圓環(huán)面的正面投影低點旋轉(zhuǎn)而成的水平圓

24、的正面投影。它們都是圓環(huán)面的正面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線。側(cè)面投影與正面投影相似的轉(zhuǎn)向輪廓線。側(cè)面投影與正面投影相似 （沒有積聚性）（沒有積聚性）畫圓環(huán)投影：畫圓環(huán)投影：先畫各投影軸線及先畫各投影軸線及 各圓中心線，后畫各圓中心線，后畫 各投影轉(zhuǎn)向輪廓線。各投影轉(zhuǎn)向輪廓線。2021-6-1434三、圓環(huán)的投影特點2021-6-1435四、圓環(huán)投影可見性的判別由前向后看，此部分可見由上向下看，此部分可見可見性分析：水平投影中，上半個圓環(huán)面為可見性分析：水平投影中，上半個圓環(huán)面為可見，最大與最小緯圓是可見與不可見的分可見，最大與最小緯圓是可見與不可見的分界線；正面投影，前半個圓環(huán)面的外圓環(huán)面界線；正面投影

25、，前半個圓環(huán)面的外圓環(huán)面為可見，側(cè)面投影左半個圓環(huán)面的外圓環(huán)面為可見，側(cè)面投影左半個圓環(huán)面的外圓環(huán)面為可見。為可見。2021-6-1436（4）圓環(huán)表面上的點）圓環(huán)表面上的點 圓環(huán)表面上取點，可利用輔助緯圓法，圓環(huán)表面上取點，可利用輔助緯圓法，即過環(huán)面上的點作垂直于軸線的輔助圓。即過環(huán)面上的點作垂直于軸線的輔助圓?！纠咳缦马搱D示，已知環(huán)面上點例三】如下頁圖示，已知環(huán)面上點A的水的水平投影和點平投影和點B 的正面的正面 投影，求作點投影，求作點A和和點點B的其它兩面投影。的其它兩面投影。 作圖：由點作圖：由點A的水平投影的水平投影a的位置可知，的位置可知，點點A在前半且下半內(nèi)在前半且下半內(nèi)

26、圓環(huán)面上，過圓環(huán)面上，過a在環(huán)在環(huán)面上作一水平圓，作出水平圓的正面投面上作一水平圓，作出水平圓的正面投影和側(cè)面投影，即可求得影和側(cè)面投影，即可求得a和和a“，均不均不可見。再看點可見。再看點B，由由b的位置可知，點的位置可知，點B在上半、前半和左半外圓在上半、前半和左半外圓 環(huán)面上，過環(huán)面上，過b作緯圓的正面投影，然后作該緯圓的作緯圓的正面投影，然后作該緯圓的水平水平 投影和側(cè)面投影，即可求投影和側(cè)面投影，即可求得得b和和b“，b和和b“均為可見。均為可見。 2021-6-1437m12五、圓環(huán)表面上取點m（n）122021-6-1438小結(jié)：小結(jié)： （1） 著重掌握平面立體的投影特性及表面取點的方法，著重掌握平面立體的投影特性及表面取點的方法， 尤其牢記：尤其牢記：棱錐表面取點方法棱錐表面取點方法素線法素線法和和平行線法；平行線法； （2）著重掌握平面立體的投影特性）著重掌握平面立體的投影特性 ；（軸線為投影面的；（軸線為投影面的垂直線垂直線 ） 尤其牢記：尤其牢記：正視轉(zhuǎn)向輪廓線、側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線、俯視正視轉(zhuǎn)向輪廓線、側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線、俯視轉(zhuǎn)向輪廓線轉(zhuǎn)向輪廓線 在不同視圖上的表達方式；在不同視圖上的表達方式； （3）著重掌握）著重掌握拉伸法拉伸法想立體的方法（對有積聚性的立想立體的方法（對有積聚性的立體）。體）。2021-6-