從不同的角度看矩陣的行秩與列秩解析

1、從不同的角度看矩陣的行秩與列秩一一兼論如何學(xué)好線性代數(shù)線性代數(shù)中，有那么幾個(gè)神秘又神奇的東西，總是讓初學(xué)它的人琢磨不透，無法理解，其中就有矩陣的行向量 和列向量的關(guān)系，為什么一個(gè)矩陣的行向量里有多少個(gè)線性無關(guān)的向量，列向量里就一定也有多少個(gè)線性無關(guān) 的向量呢？或者考慮稍微簡(jiǎn)單一點(diǎn)的問題，一個(gè)方陣，為什么行向量線性無關(guān)或線性相關(guān)列向量就一定也線性 無 關(guān) 或 相 關(guān) 呢？ 行 秩 為 何 等 于 列 秩？ 這本來應(yīng)該是一個(gè)基本又簡(jiǎn)單的事實(shí)。但是，請(qǐng)回憶一下你當(dāng)初初學(xué)線性代數(shù)時(shí)的內(nèi)容編排順序，是怎么引入這 個(gè) 問 題 的， 當(dāng) 時(shí) 又 是 怎 樣解 決 這 個(gè) 問 題 的？傳統(tǒng)的教材編寫思路是從線

2、性方程組開始整個(gè)線性代數(shù)話題的引入，這個(gè)過程中定義行列式和矩陣，用n元數(shù)組引入向量，線性相關(guān)和無關(guān)等概念，討論解存在的條件，解的結(jié)構(gòu)，等等?？傊?，一切以方程組為核心，給 人的感覺就是線性代數(shù)就是方程組的理論，一切討論的目的都是為了解決小小的方程組問題。在這個(gè)過程中，有一個(gè)矩陣行秩等于列秩的命題，此時(shí)學(xué)生只了解方程組理論和行列式，因此這時(shí)對(duì)這個(gè)問題 的解釋當(dāng)然也無法離開方程組或行列式。下面簡(jiǎn)述兩個(gè)典型的教材中的證明方法： 第一個(gè)證明來自陳志杰 高等代數(shù)與解析幾何 證明：首先，矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩，初等列變換不改變矩陣的列秩。這是由向量組的初等變 換不改變向量組的線性相關(guān)或無關(guān)性保證的

3、，即將某個(gè)向量乘以非零的倍數(shù)、將某個(gè)向量加到另一個(gè)向量上,線 性 相 關(guān) 或 無 關(guān)接著證明 矩陣的初等行變換不改變矩陣的 列設(shè)A是m*n階矩陣，任意從 A的n個(gè)列向量中選取k個(gè)列向量a1,a2,ak它們線性無關(guān)的充要條件是線性 方程組aixl+a2X2+akxk=0只有零解。而對(duì)矩陣 A進(jìn)行初等行變換不改變此方程組的解，因此不改變這k個(gè)列向量的線性相關(guān)或無關(guān)性。這說明A的列向量的秩在矩陣的初等行變換中不變。同理矩陣的初等列變換接下來，可以把 A經(jīng)過初等行變換和初等列變?yōu)橹挥袑?duì)角線上有 1或0,其它位置都為0的矩陣，在這個(gè)過程 中行秩和列秩都不改變，從這個(gè)矩陣中看岀行秩等于列秩，因此原來的矩陣

4、行秩也等于列秩。高等代數(shù)第二個(gè)證明來自北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編證明：考慮線性方程組 AX=0 ,首先證明如果未知數(shù)的個(gè)數(shù)超過 A的行秩，那么它有非零解。設(shè) m*n階矩陣A的行秩為 r,考慮方程組AX=0,它由m個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)組成。從A的行向量中選取r個(gè)線性無關(guān)的行向量，重新組合成矩陣 B， 那么方程組AX=0和BX=0同解。這時(shí)，如果B的列數(shù)大于行數(shù)，那么方程組 BX=0必有非零解，從而AX=0也有非零解。接著證明行秩等于列秩。設(shè) m*n階矩陣A的行秩為r,列秩為s?？紤]A的任意葉1個(gè)列向量組成的矩陣C,因?yàn)镃的行秩 不大于r （因?yàn)镃的行向量都是A的行向量的一部分分量組成的）

5、，所以 CX=0有非零解，這說明這r+1個(gè)列向量線性相 關(guān)。所以A的列秩最大為r，即s=r。同理可證r=s,因此s=r。有了行秩等于列秩的性質(zhì)，完全可以用行秩或列秩定義矩陣的秩了。編寫教材的人和老師們都認(rèn)為，只要能夠順利定義出矩 陣的秩，這個(gè)證明就足以滿足初學(xué)時(shí)的需要了，既沒有必要又沒有條件再將它深入地挖掘下去。但是它仍然讓我困惑，即使把書上的這個(gè)證明看得明明白白，也不理解為什么行秩等于列秩。因?yàn)橄蛄渴莻€(gè)幾何的概念，現(xiàn) 在這個(gè)證明中看不出一點(diǎn)幾何上向量的影子，這兩個(gè)例子都依賴于線性方程組理論，都離不開高斯消元法，都是代數(shù)上的推 導(dǎo)。雖然從代數(shù)上推導(dǎo)出了這個(gè)結(jié)果，但是在幾何上我依然無法接受這個(gè)結(jié)

6、果。矩陣的行向量和列向量從圖形上”到底是什么關(guān)系？可不可以讓我一下子就能看出來它們的秩是相等的？盡管經(jīng)過了行列變換之后行列秩相等是顯然的，但這個(gè)過程中 卻把原來的行列向量給變得面目全非了。更有甚者，有些教材上竟然用矩陣的子式和行列式理論推導(dǎo)行秩等于列秩，由于這種證明過于復(fù)雜，這里就不列出了。直到最近的一次偶然機(jī)會(huì)，又讓我想起了這個(gè)問題。一開始，發(fā)現(xiàn)它和對(duì)偶空間與對(duì)偶映射有關(guān)系 記得當(dāng)初學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)，直到最后才接觸了一些有關(guān)對(duì)偶空間和對(duì)偶映射的知識(shí)，教材還寫得十分抽象，以至于我們都囫 圇吞棗地過來了，根本沒有什么印象。后來的泛函，因?yàn)楦叩却鷶?shù)理解不深人，對(duì)泛函也沒有留下什么印象。最近有同事讓

7、我講線性代數(shù)，有很多次問我關(guān)于矩陣轉(zhuǎn)置的意義的問題。他曾經(jīng)學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)對(duì)很多問題不理解，其中就有矩陣轉(zhuǎn)置到 底對(duì)應(yīng)幾何上的什么東西，為什么要轉(zhuǎn)置？其實(shí)我也沒考慮過這個(gè)問題，只知道這是代數(shù)的特殊需要，當(dāng)需要把行向量變成 列向量的時(shí)候就需要考慮轉(zhuǎn)置，它完全是代數(shù)上的處理方式。至于在幾何上代表什么意義，我也曾困惑過，但一直沒考慮清 楚。然而現(xiàn)在比大一那個(gè)時(shí)候多了一個(gè)學(xué)習(xí)的更加有效的途徑，那就是網(wǎng)絡(luò)。在 wiki百科中，我查到了一個(gè)觀點(diǎn)：在標(biāo)準(zhǔn)正交基底下，如果一個(gè)線性映射對(duì)應(yīng)于矩陣 A，那么A的轉(zhuǎn)置恰好對(duì)應(yīng)這個(gè)線性映射的轉(zhuǎn)置映射， A的共軛轉(zhuǎn)置恰 好對(duì)應(yīng)這個(gè)線性映射的對(duì)偶映射。在 有 限維 空 間

8、中 對(duì)偶 映射 還有一個(gè)更 直觀 的定義 ： 設(shè)，是從訂到的線性映射，貝U.的對(duì)偶映射是從 到訂的滿足h；=的線性映射。這是很好理解的，即使不知道什么是對(duì)偶空間及對(duì)偶映射，單單從矩陣乘法的性質(zhì)中也很容易看出A和A的共軛轉(zhuǎn)置之間的這種關(guān)系。這樣就把A的共軛轉(zhuǎn)置和A之間的關(guān)系賦予了幾何的意義，因?yàn)閮?nèi)積正好包含向量的角度信息，并且當(dāng)一組非零向量?jī)蓛?內(nèi)積為0時(shí)，它們線性無關(guān)。A和A的共軛轉(zhuǎn)置的列向量的秩分別對(duì)應(yīng)于T和T*的值域的維度，能不能就此證明它們相等？從而至少可以證明實(shí)數(shù)矩陣行秩等于列秩。這就是下面的：定理 1: 線性映射,的值域和其對(duì)偶映射的值域有相同的維數(shù)。證明：設(shè)T是從U到V的線性映射，

9、貝U T的對(duì)偶映射T*是從V到U的線性映射。設(shè)T與T*的值域的維數(shù)分別為r,s, 假 設(shè) s ， 則 在T* 值 域 中 可 以 找一組 基 底：y, y.、汀5,考慮，:，這個(gè)向量組的秩 r。同理可證s故s=r。證畢。這樣，A與 A 的共軛轉(zhuǎn)置的列秩相等，從而實(shí)數(shù)矩陣的行秩等于列秩。為了把它應(yīng)用于證明復(fù)數(shù)矩陣行秩與列秩相等，還需要下面的命題：命題 1 :若復(fù)數(shù)值向量 a1,a2,an線性無關(guān)，那么他們的共軛向量也線性無關(guān)。證明：以a1,a2,ar為系數(shù)矩陣的方程組k1a1+k2a2+-+knan=0兩邊取共軛即得到一個(gè)以a1,a2,a的共軛為系數(shù)的線性 方程組，這兩個(gè)方程組同時(shí)有或沒有非零解

10、。證畢。這樣就徹底完全地證明出了矩陣的行秩與列秩相等。這個(gè)證明的思路中就明顯地帶有幾何的啟示，因此我覺得它更能讓我看 到矩陣行向量和列向量的本質(zhì)。然而雖然這個(gè)證明帶有很強(qiáng)的幾何色彩，但終究還是覺得有些抽象，還是沒有道出行列向量 之間的關(guān)系來。經(jīng)過對(duì)這個(gè)問題持續(xù)的思考，和對(duì)方程組 AX=0從不同的角度去解釋，發(fā)現(xiàn)如果我們豎著看 AX，我們看到一個(gè)線性映射， 它列向量的秩是它值域的維數(shù)；然而如果我們橫著看AX=0，又可得到A的每個(gè)行向量與X的內(nèi)積是0 （這里以實(shí)數(shù)矩陣為例，至于復(fù)數(shù)矩陣則可以利用上面的 命題1”，也就是說，A的每個(gè)行向量和AX=0的解都垂直，用映射的觀點(diǎn)說，就是 A的每個(gè)行向量都在

11、線性映射的零空間的正交補(bǔ)空間中。又AX=0的所有解的集合（零空間）是垂直于 A的每個(gè)行向量的向量構(gòu)成的集合，那么零空間和行空間應(yīng)該互為正交補(bǔ)空間，它們的維數(shù)之和是定義域的維數(shù)。那么事情就清楚了，根據(jù)秩 -零度定理，dim rangeT+dim nullT是T定義域的維數(shù)，而行空間維數(shù)又與零空間維數(shù)互補(bǔ)，因此行空間維數(shù)等于值域維數(shù)， 即行秩等于列秩。應(yīng)該說，這才是行向量和列向量真正的本質(zhì)關(guān)系，可惜的是，直到畢業(yè)的三年多之后我才自己發(fā)現(xiàn)了這個(gè)關(guān)系其實(shí)，如果考慮對(duì)偶映射，也可以輕而易舉地得出結(jié)論： T*的值域恰是T的零空間的正交補(bǔ)。根據(jù)秩-零度定理也立即可以 得出T*和T值域維數(shù)相等。前面在證明 定

12、理1”時(shí)沒有用到它們值域和零空間的關(guān)系還有秩 -零度定理，這里用了這兩個(gè)定 理之后，分析過程其實(shí)和上段分析 AX=0方程組的過程本質(zhì)上是一樣的。那時(shí)在網(wǎng)絡(luò)上還查找到了一個(gè)利用了矩陣乘積的現(xiàn)代觀點(diǎn)證明行秩等于列秩的文章，是在臺(tái)灣博客線代啟示錄”中看到的，抄錄如下（注意在臺(tái)灣，把豎著的叫行，把橫著的叫列，與我們恰好相反）：假設(shè)F T n階矩陣國的行秩為r,列秩為廠?？芍野t(yī)個(gè)維線性獨(dú)立的行向量，它們足以擴(kuò)張 A 的行空間。將這些行向量收集起來組成一個(gè)階矩陣，那麼囲的任何一個(gè)行引0三1. 2.T7T,n都可以唯一表示為 I；的行向量bL?b2, ，之線性組合，如下：曰j =業(yè)jbl 十+ 二 +

13、 Jrjbf.將這打個(gè)式子的線性組合權(quán)重合併為一個(gè)匡艮u階矩陣=並利用以行為計(jì)算單元的矩陣乘法規(guī) 則，就有接著再考慮矩陣I; |的第 列，以 m；：表示，利用以列為計(jì)算單元的矩陣乘法規(guī)則，於是有矩陣*4的每一列都可以寫為D的列向量之線性組合，因此衛(wèi)的列空間維度不大於D的列向量總數(shù)，即廠匸，也就是說 .的列空間維度不大於慮1的行空間維度。運(yùn)用同樣的推論方式於.，可推知也藝的列空間維度不大於. 的行空間維度，但型的列空間即為 A的行空間而的行空間就是 4的列空間，得知cr。綜合以上結(jié)果，證得r_= C，矩陣的行秩等於列秩。這個(gè)證明方法表面看 似平凡無奇，但它只利用矩陣乘法運(yùn)算便將幾個(gè)重要的線性代數(shù)

14、概念 一一線性組合、基底和擴(kuò)張連結(jié)在一起，非常值得初學(xué) 者細(xì)細(xì)品味。這個(gè)證明雖然也是代數(shù)上的分析，但其巧妙的讓人稱奇的地方，就是把一個(gè)矩陣分解成了兩個(gè)矩陣的乘積，其中左邊的因子是列慢秩的，然后利用對(duì)兩個(gè)矩陣乘積的不同的解釋，把左面的列秩（也就是A的列秩）和右面的行秩聯(lián)系起來了。本來，有關(guān)矩陣列秩與行秩關(guān)系的問題討論到這里也可以算是比較圓滿了。但是，在寫這篇文章的時(shí)候，又無意間提岀下面的一個(gè)問題：為什么如果矩陣 A只有兩行，哪怕它有 100列，它的列向量的秩也最多是2?現(xiàn)在來看，這是個(gè)非常簡(jiǎn)單的問題，因?yàn)樗?00個(gè)列向量都是二維的向量，這些二維向量再多，也至多可以找岀兩個(gè)線性無關(guān)的向量。這是由

15、向量空間的維數(shù)定理保證的：有限維向量空間中任何極大線性無關(guān)組包含向量個(gè)數(shù)相同?！币虼?，一個(gè)矩陣，它的列秩不超過行數(shù)，行秩不超過列數(shù)。那么，為了完成 列秩等于行秩”的證明，只需把列秩和行秩的大小范圍估計(jì)得更精確一些，從列秩小于等于行數(shù)”行秩小于等于列數(shù)”精確到列秩小于等于行秩”、行秩小于等于列秩”我們?cè)O(shè)想，如果一個(gè) m*n階 矩陣，它的行秩為r，那么它的列向量雖然表面上看每個(gè)都是m維的，但實(shí)際上這些 m維向量被限制在了一個(gè)r維的子空間中，實(shí)際屬于r維向量。為了看清楚這一點(diǎn)，我們可以有兩條思路：第一條，既然A的行空間維數(shù)為r，那么可以找到r個(gè)線性無關(guān)的行向量為基底，矩陣的m個(gè)行向量都可以用這r個(gè)向

16、量線性表示，用矩陣的語言就是其中D就是從A的行向量中選取的線性無關(guān)行向量，B的每一行是A的行向量按 D中行向量線性表示的系數(shù)（坐標(biāo)）。那么，接下來還是兩條路：第一，按維數(shù)定理，D的列秩不超過其行數(shù)r，且A的值域維數(shù)不大于 D的值域維數(shù)（因?yàn)?A的維數(shù)就是把 D的值域再用 B映射到m維空間，值域的維數(shù)是遞減的），因此A的列秩不大于 r，這實(shí)質(zhì)上是北大線性代數(shù)中的證明；第二， B的列秩不超過 B的列數(shù)r，這樣就變成了“線代啟示錄” 的證明，因此“線代啟示錄”上的證明思路也就是如此。第二條，我們可以實(shí)際地找出.列空間的基底。因?yàn)椋盒兄葹?，即可以選取個(gè)行向量-，使得其它行向量都可以用這 個(gè)行向量線性

17、表示，不妨記為宀+；=舟抽:.：第，宅；，那么就代表.的列向量的坐標(biāo)都具有如下形式：r霜丄9忑缶H_/mT (=L t 2 r * -1 J_顯然只有前r個(gè)坐標(biāo)是可以自由變化的，這樣的向量的全體構(gòu)成一個(gè)子空間，它的基底是清 楚的。因此，這是個(gè) r維子空間。根據(jù)維數(shù)定理，這樣的向量不管多少個(gè)，秩不大于r。可見，一個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)，可以從多種角度進(jìn)行的解釋，但有些看似動(dòng)機(jī)不同的解釋往往實(shí)質(zhì) 上又相同，它們之間也有著千絲萬縷的聯(lián)系。因?yàn)榫€性代數(shù)的這個(gè)特點(diǎn)，使得不同的線性代 數(shù)的教材的寫法有很大的不同。同樣一個(gè)事實(shí)，既可以從線性映射的角度去解釋，又可以從 矩陣分析的角度解釋，還可以從線性方程組，或行列式角

18、度去證明。線性代數(shù)教材的編寫其 實(shí)很隨意，既可以像北大版那樣把線性方程組作為基礎(chǔ)，其它諸如線性變換、維數(shù)定理等等 內(nèi)容都通過方程組理論來證明，也可以像Lin ear Algebra Do ne Right那樣完全地從抽象的向量空間和線性映射的角度分析。它們動(dòng)機(jī)雖然不同但是要認(rèn)識(shí)的對(duì)象是同構(gòu)的。但是，如果當(dāng)初滿足于這個(gè)定理的書本上的證明，我是不可能對(duì)它挖掘得這么深，也不可能 認(rèn)識(shí)到這些東西的。這里我還是要對(duì)以北大版高等代數(shù)為代表的教材提一些意見?？赡艽蟛糠秩硕颊J(rèn)為，線性方程組是線性代數(shù)中最易懂最易理解的部分，學(xué)生又有中學(xué)解多 元一次方程組的基礎(chǔ)知識(shí)，線性方程組又可以引申出線性代數(shù)的諸多內(nèi)容，因此

19、是最適合用 于大學(xué)一年級(jí)學(xué)生入線代之門的內(nèi)容。但是這樣做有兩個(gè)問題：一個(gè)是如果只提方程組，學(xué)生無法想象它的幾何形象，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)頭腦中形成的往往只是變 動(dòng)的符號(hào)，不利于深入理解線性代數(shù)，更不利于發(fā)揮想象力去主動(dòng)發(fā)現(xiàn)知識(shí)。如果說當(dāng)學(xué)生 學(xué)到線性空間、線性變換的時(shí)候自然會(huì)學(xué)習(xí)到這些幾何觀念，那么在線性方程組之后，線性 空間和線性變換之前，還要學(xué)習(xí)矩陣?yán)碚?，同樣是沒有幾何直觀，并且比方程組更難理解， 到了線性空間的時(shí)候?qū)W生已經(jīng)云里霧里了，哪里還有信心去學(xué)習(xí)接下來的東西？李炯生版線性代數(shù)的前言部分說，“研究線性空間以及線性空間關(guān)于線性變換的分解即構(gòu)成了線 性代數(shù)的幾何理論，而研究短陣在各種關(guān)系下的分類問

20、題則是線性代數(shù)的代數(shù)理論?！蹦敲?到底是先代數(shù)后幾何，還是先幾何后代數(shù)，還是二者同時(shí)進(jìn)行？如果先代數(shù)后幾何，就像在 沒有學(xué)習(xí)平面幾何的時(shí)候?qū)W習(xí)解析幾何，并且要預(yù)先學(xué)習(xí)曲線方程的性質(zhì)，不見曲線只見方 程，等把方程的性質(zhì)在代數(shù)上討論清楚了，再帶你認(rèn)識(shí)它們實(shí)質(zhì)上的幾何形象，再用這些方 程的性質(zhì)簡(jiǎn)單推導(dǎo)出幾何的性質(zhì)。但這是一個(gè)非常糟糕的學(xué)習(xí)方式。更糟糕的是一些理工科 專業(yè)線性代數(shù)學(xué)得更淺，甚至只學(xué)到矩陣部分，只記住了矩陣的運(yùn)算等莫名奇妙的符號(hào)在頭 腦中搬來搬去，至于為什么那么計(jì)算，學(xué)過之后考高分的學(xué)生也不知道。這里有孟巖的三篇 csdn博文為證，尤其是博文開頭幾段話，道出了一般理工科學(xué)生的疑問。理解矩

21、陣(一 )理解矩陣(二 )理解矩陣(三）另一個(gè)問題是，這樣的組織缺少發(fā)展理論框架的動(dòng)機(jī)，為什么要引入線性相關(guān)，線性無關(guān)， 為什么要討論矩陣？為什么有了消元法還要討論行列式和Cramer法則？如果都是以解方程為目的，這些內(nèi)容統(tǒng)統(tǒng)沒有動(dòng)機(jī)，只要一個(gè)消元法，最后能夠?qū)懗鐾ń庑问?，就夠了。似?矩陣、向量空間等內(nèi)容都是方程組問題生發(fā)出來的，研究它們又有什么用途？這些問題開始 不講清楚，學(xué)生厭學(xué)，到后續(xù)課程真正用到這些知識(shí)的時(shí)候后悔莫及。因此，我主張不論是編寫教材，還是老師講授，學(xué)生學(xué)習(xí)，都應(yīng)該起點(diǎn)底，觀點(diǎn)高，讓學(xué)生 可以從各個(gè)不同方向去“圍攻”一個(gè)問題，從各種不同的角度去看待一個(gè)知識(shí)，即使只是為 了講

22、代數(shù)，幾何方面的直觀思想和動(dòng)機(jī)也要講清楚，甚至這些更為重要。不妨在講解線性方 程組的時(shí)候就開始講講方程組中蘊(yùn)含的向量空間、線性變換等高級(jí)內(nèi)容的道理，即不光講高 斯消元法等方程的傳統(tǒng)內(nèi)容，還要用線性變換那樣的幾何觀點(diǎn)解釋方程組解的結(jié)構(gòu)等等問 題，并用三維的幾何圖形（不妨用電腦中的數(shù)學(xué)軟件或flash 動(dòng)畫，至少是圖片）來展示線性代數(shù)中那些概念背后的幾何形象，使學(xué)生一開始就有豐富的幾何代數(shù)經(jīng)驗(yàn)，一開始就發(fā)現(xiàn) 這部分?jǐn)?shù)學(xué)的魅力。理解矩陣與矩陣乘積（一）線性代數(shù)中，有那么幾個(gè)神秘又神奇的東西，總是讓初學(xué)它的人琢磨不透，無法理解。今天 討論線性代數(shù)中第二個(gè)既基本又神奇的東西：矩陣的乘法?；叵肫鹞覀冎袑W(xué)的

23、那個(gè)時(shí)代，從初中到高中，數(shù)學(xué)課的內(nèi)容完完全全是初等數(shù)學(xué)，純粹的向 量思想在數(shù)學(xué)課上不占有一席之地，中學(xué)階段只有學(xué)習(xí)物理或復(fù)數(shù)的時(shí)候才能接觸一點(diǎn)向量 的身影。即使在最應(yīng)該體現(xiàn)向量思想威力的地方，也因?yàn)橹挥懻摱S的簡(jiǎn)單情形而省略掉 了，只剩下純粹的從幾何角度推導(dǎo)代數(shù)性質(zhì)，比如，直線方程，不是用向量法推導(dǎo)直線方程 的一般形式，而是用定比分點(diǎn)；兩直線垂直的條件，不是用向量?jī)?nèi)積為零，而是通過斜率的 關(guān)系，等等。在中學(xué)唯一能夠從數(shù)學(xué)課本中接觸到的線性代數(shù)知識(shí)就只有一點(diǎn)點(diǎn)的行列式的 簡(jiǎn)介，從解二元和三元一次方程組引入的行列式，而且屬于選學(xué)內(nèi)容，課堂上是不講的。我 當(dāng)時(shí)看了看，覺得真是多此一舉，既然一次方程組

24、的解都已經(jīng)用系數(shù)的符號(hào)表示出來了，為 什么還要用行列式重新表示一遍？表達(dá)的內(nèi)容沒變，只是換了一套看上去工整漂亮的寫法， 有什么意義呢？在這樣的背景下，我進(jìn)入大學(xué)，接觸到一門蠻不講道理的學(xué)科-高等代數(shù)。本來高中時(shí)看到 用行列式表示方程的解已經(jīng)夠無聊了，到大學(xué)還要把這種無聊繼續(xù)深入下去。為了一個(gè)小小 的方程組，不惜動(dòng)用人類最高的智商來創(chuàng)造一個(gè)個(gè)精致的概念，又是逆序數(shù)又是行列式，又 是克萊姆法則，倒是得到了一個(gè)很漂亮的結(jié)果，但它到底有多少實(shí)用和理論的價(jià)值？后來矩陣被定義出來了，那更是個(gè)無聊的東西，方程組還是原來那個(gè)方程組，只是把系數(shù)和 未知數(shù)一分離，馬上就出現(xiàn)了一個(gè)新的概念-矩陣。難道就非得把系數(shù)單

25、獨(dú)抽取出來變成矩陣的形式才能用高斯消元法解方程？它不就是方程之間加加減減的過程嗎，即便帶著未知數(shù) 又能有多大的妨礙呢？帶著未知數(shù)就不能討論方程組的通解了？還定義矩陣的乘積，又把方 程組寫成一個(gè)矩陣和一個(gè)向量的乘積，我當(dāng)時(shí)覺得實(shí)在是吃飽撐的！方程組還是那個(gè)方程 組，換一種寫法有什么不同？我思考它的時(shí)候還是需要把它還原為方程組的樣子，倒是費(fèi)了 二遍力。是誰第一個(gè)引入了矩陣的概念？他的原始動(dòng)機(jī)到底是什么？他似乎只是為了形式上 的化簡(jiǎn)，并沒有引入什么新的觀念。但是巧的是這個(gè)人的一個(gè)無聊發(fā)明，竟然發(fā)展出一門學(xué) 科來！不光方程組可以歸結(jié)為矩陣的乘積，就連二次曲線、二次曲面，也表示成矩陣乘積 了，矩陣和它們

26、的乘積系統(tǒng)慢慢地脫離了方程組的范圍，開始向其它方向滲透了，并且充斥 了數(shù)學(xué)的大部分江山。這一切是為什么？難道這一切都在矩陣發(fā)明者的預(yù)料之中？如果發(fā)明 矩陣的人意識(shí)到矩陣將來必有這些重大作用，那么他是怎么想到矩陣的這些應(yīng)用的？他真的 如此天資聰明？如果不是這樣，那他為什么要發(fā)明矩陣這個(gè)東西？難道僅僅是偶然？可是這 偶然之舉為什么后來又如此巧合地展開出這么多理論？這些問題至今還是想不通。但是今天的話題只是討論矩陣和矩陣乘積，所以剛才把話題扯遠(yuǎn)了。每當(dāng)想起大一時(shí)的代數(shù) 課，我都要發(fā)一些牢騷，可見當(dāng)時(shí)代數(shù)給我的影響有多深遠(yuǎn)！關(guān)于矩陣乘積，比較老舊思想的教材不介紹矩陣乘積有什么意義，為什么要引入矩陣的乘

27、積，只是敘述無端的定義：兩個(gè)矩陣就;“；旳砂跖的乘積定義為一個(gè)皿b 階矩陣C， C的第i行第j列的元素是 A的第i行和B的第j列元素分別相乘并相加的和，即rij 叫 * 如，A=1稍微好一點(diǎn)的教材會(huì)介紹一些線性映= 仁.“ . . :，）、:/ I扯的系數(shù)矩陣為.，用射復(fù)合的背景：有三禾廿更 L-、；： I、-、： J-的系數(shù)矩組未知數(shù)，用 表，經(jīng)過計(jì)算，*=i即表示成未知數(shù)組的第個(gè)分量%的系數(shù)因此定義兩個(gè)矩陣.和 的乘積如上所述。第一種講述就是從第二種講述的思想方法來的，卻連定義的背景和來歷什么的都沒有講，這 顯然是十分唐突的。況且這兩種矩陣乘積定義的講述都只是蠻力運(yùn)算，如果只是為了定義出

28、矩陣乘法的表達(dá)式，這兩種講述方式尚可接受，尤其是第二種講法，提及了矩陣乘法就相當(dāng) 于兩個(gè)線性變換的復(fù)合。但是接下來，要接觸到矩陣乘法的更深層次的規(guī)律時(shí)，這樣定義出 的矩陣乘法就顯得有些奇怪了。比如，證明兩個(gè)矩陣乘積的秩定理，乘積 .的每一列都是的每一列的線性組合，每一行都是的每一行的線性組合，從而證明這個(gè)不等式。但是，請(qǐng)問您是怎么從一大堆數(shù)的計(jì)算式子中看出這些關(guān)系的？我為什么就沒看到？我 不但沒有看到，就算人家給我指出這種關(guān)系，我要想看清這些關(guān)系還是要費(fèi)九牛二虎之力 的。如果一個(gè)東西我理解起來感覺吃力，那么我會(huì)本能地考慮是否是我理解它的方式有問 題，它應(yīng)該還有另外一些更省力的理解途徑，或者說，

29、這個(gè)東西缺乏直觀，如果我能直觀地 理解它，那么我就可以接受它。所以我想，還是應(yīng)該有更加便捷的途徑可以得到這些關(guān)系。其實(shí)這個(gè)不等式如果從映射復(fù)合的值域維數(shù)角度看應(yīng)該是比較簡(jiǎn)單的，可惜的是當(dāng)初除了矩 陣，沒有其它方式可以導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果，向量空間的內(nèi)容還沒有學(xué)習(xí)到。再比如，矩陣的分塊乘法，為什么分塊之后乘法的規(guī)則和把每一塊看成數(shù)的乘法規(guī)則是一樣 的？又比如，學(xué)過內(nèi)積的坐標(biāo)計(jì)算表達(dá)式后，學(xué)生會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，矩陣乘法的每個(gè)元素都是一個(gè) 內(nèi)積，為什么會(huì)是這樣？?jī)?nèi)積和矩陣乘法之間為什么會(huì)有這么大聯(lián)系？面對(duì)這些問題，我知道很多人，包括很多老師都會(huì)告訴我，這些都是計(jì)算的結(jié)果，計(jì)算的過 程書上寫的明明白白，沒必要去深

30、究它背后有什么機(jī)理，只要能夠確信這些結(jié)論，不用去管 這些結(jié)論是如何得到的。但是，我總是覺得，這樣的推辭無異于填鴨式教育，蠻不講理，讓人生厭，甚至可能把一個(gè) 曾經(jīng)喜愛數(shù)學(xué)的人搞得從此厭惡這樣的無理數(shù)學(xué)。因?yàn)榈谝?，這些東西顯得過于巧合了，計(jì) 算無法解釋這些巧合背后是否有更深層次的原因；第二，即使是計(jì)算得來的，還是無法解釋 這些計(jì)算的動(dòng)機(jī)是什么，這些計(jì)算的結(jié)果是如何發(fā)現(xiàn)的？總應(yīng)該有個(gè)自然點(diǎn)的理由能夠說明 為什么某人會(huì)去考察這些計(jì)算過程并得出結(jié)論的吧？總不能說一個(gè)人某一天沒什么事情閑得 無聊了就開始算，然后就發(fā)現(xiàn)了某些東西吧？他為什么就能看得那么遠(yuǎn)就知道他計(jì)算的東西 最終能帶給他不平凡的結(jié)果？告訴我一

31、個(gè)東西卻沒有告訴我這個(gè)東西是如何發(fā)現(xiàn)的，那我怎 么能有信心沿著前人的足跡向前探索呢？今天分析當(dāng)初的困難，多是因?yàn)闆]有整體思維，無法把矩陣當(dāng)成一個(gè)整體來思考，見到向量 可以想到那是空間中的一個(gè)箭頭，但見到矩陣和矩陣乘法，完全想象不到它的整體是個(gè)什么 東西，我只能想到它的每個(gè)元素就是一堆數(shù)經(jīng)過一堆運(yùn)算得到的結(jié)果?？吹綍蠈懙木仃嚦?法，我的頭腦里就出現(xiàn)了它的運(yùn)算過程的動(dòng)畫：左邊一橫，右邊一豎，左邊一橫，右邊一 豎，除此之外想象不到其他的東西了。聽說某位數(shù)學(xué)家擺弄矩陣就像擺弄整數(shù)一樣熟練，我 當(dāng)時(shí)也試圖找到把矩陣當(dāng)成一個(gè)整體的感覺，可是在沒有空間直覺支持的情況下這種努力是 見不到明顯效果的。而且從前

32、思考的都是低維空間的問題，對(duì)一維二維空間很熟悉，很少考 慮高維空間的問題，對(duì)高維空間即不熟悉也不習(xí)慣，又沒有外人指點(diǎn)矩陣代數(shù)究竟有什么幾 何意義，即使是在低維空間中，也沒有用矩陣處理幾何問題的經(jīng)驗(yàn)，所以當(dāng)時(shí)一直冷落代 數(shù)?，F(xiàn)在覺得，為了培養(yǎng)高維空間對(duì)象的整體思維方式，一方面就是加強(qiáng)代數(shù)的幾何直觀，另一方面就是站在變換 的角度統(tǒng)一抽象地處理矩陣，而不是僅僅把矩陣只當(dāng)成一堆數(shù)的陣列，用線性變換的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)矩陣乘法，而不 是把矩陣乘法當(dāng)成一堆數(shù)又乘又加的運(yùn)算?；谶@種原因，我們將以映射的觀點(diǎn)重新認(rèn)識(shí)矩陣與矩陣的乘法。（二）本篇有些內(nèi)容是孟巖理解矩陣（三）中觀點(diǎn)的嚴(yán)密化與深化。數(shù)域上的兩個(gè)向量空間“7到

33、 的一個(gè)映射，若保持加法和數(shù)量乘法，即滿足評(píng)（如 + U2）= 管（理1） + *（叱）卩（屈）=如（即）則稱講為線性映射。矩陣及矩陣的乘法與線性映射有十分重大的聯(lián)系。為了看清這一點(diǎn)，我們采取以下步驟：一、從一維空間談起顯然，數(shù)域丨本身可以看作丨上的向量空間，記做 ，并且，1上的任何一個(gè)一維的向量空間都同構(gòu)于，即取定 的一組基底 后， 中的任何向量都可以唯一地表示為 法 的形式，因此 中的向量與 中的向量是一一對(duì)應(yīng)的。我們把稱作上一維向量空間的坐標(biāo)系統(tǒng)。上的兩個(gè)一維向量空間和 之間的一個(gè)線性映射 ，在分別取定.和 上的基底 與 之后，因此f =它；心.-二；。設(shè)，貝U= VI。這樣，在兩個(gè)一維

34、向量空間的坐標(biāo)系統(tǒng)之間就衍生岀一個(gè)線性映射=乩二我們要研究前述的兩個(gè)向量空間，只需要研究它們的坐標(biāo)系統(tǒng)，要研究前述兩個(gè)向量空間之間的線性映射 ，只需要研究它們坐標(biāo)系統(tǒng)之間的線性映射=匚，因?yàn)樗鼈兪且灰粚?duì)應(yīng)并且性質(zhì)相同的。I-空間是由基底1張成的向量空間，那么根據(jù)上面的論述， 丨至U卜的任何一個(gè)線性映射 都有中的唯 一一個(gè)數(shù) 使得、二廳；=并且任何一個(gè)數(shù) ，都唯一地確定一個(gè)線性映射 翼t W 因此，我們 可以說，中的數(shù)與一維空間之間的線性映射是一一對(duì)應(yīng)的。怎么看待.和 這樣一對(duì)數(shù)的乘法呢？針對(duì)以后推廣到高維空間的情形，我們總結(jié)以下幾點(diǎn)：1） 我們可以說 本身是卜中的一個(gè)向量，是丨中的一個(gè)數(shù)，代表

35、一個(gè)線性映射，那么毬典這樣的乘法就是一個(gè)線性映射 作用在向量 上得到的像，并且，如果另一個(gè)線性映射m，那么?。簎；??；,：；2） 但是，本身也是所以也可以看成丨中的一個(gè)向量，它跟并沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，在表達(dá)式=乃7中，二者唯一的區(qū)別就是是固定不變的，而是變量，但只要脫離映射的語境，二者是對(duì)稱的，因?yàn)楦鶕?jù)乘法的交換律 ：丁.3;3） 既然二者是對(duì)稱的，那么完全可以把當(dāng)作變量而把 當(dāng)作對(duì) 的映射，這樣的映射是從I到卜的映射：自變量是，代表一個(gè)線性函數(shù)，它的像是 初欣，是中的一個(gè)數(shù)；4） 如果，那么線性映射是個(gè)可逆的映射，有逆映射 mb -彖亠鈔。在這個(gè)時(shí)候，作為丨中的向量 朮?？梢钥醋餍碌膮⒖枷担?/p>

36、即坐標(biāo)系，或基底），如果在這個(gè)新的基底下某個(gè)向量的坐標(biāo)為，那么在原來基底i下，同一個(gè)向量的坐標(biāo)就是：-腮仇這樣， 和.可以看作某個(gè)向量的新坐標(biāo)與原坐標(biāo) 之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)。二、多維到一維的映射設(shè)是數(shù)域1上的n維向量空間，。到的線性映射稱為：上的線性函數(shù)。取定的一組基底|-之后，中的向量一一對(duì)應(yīng)于中的向量。同一維情形類似，我們也可以用的坐標(biāo)系統(tǒng)代替本身。上的一個(gè)線性函數(shù)同樣也衍生岀一個(gè)到1的線性映射。因此我們可以看上的線性函數(shù)。I 是由基底張成的，現(xiàn)要計(jì)算I上的線性函數(shù) 的表達(dá)式。I-上任何一個(gè)向量 一；,、.、= ,有才（參）=f（XI引 +H+ 舉理上胡=n/（ei） + 2f（E2）H卜 ny（e）這個(gè)算式每一項(xiàng)中，都有一部分是常量，即，是跟隨線性函數(shù) 而變化的數(shù)，它們可代表本身；另一部分是變量，對(duì)應(yīng)于的分量 ，可代表自變量。我們把這兩部分分開書寫，定義一個(gè)行向量和一個(gè)列向量的乘積是它們每個(gè)分量分別相乘并把結(jié)果相加，如下：嚴(yán)、 * -為j.=龜血（為什么這里定義的是一個(gè)行向量和一個(gè)列向量相乘？為什么不規(guī)定成兩個(gè)行向量或兩個(gè)列向量相乘？這個(gè)要 等到考察多維到多維的映射的時(shí)候才能看岀一些端倪來，因?yàn)檫@樣定義之后，橫著的行向量將總可以看成一個(gè) 映射，而縱向的列向量通常就是定義域或值域空間中的向量，只有在特殊的情況下它們才互相轉(zhuǎn)化。）設(shè)邏 -茫沁 那么.