從不同的角度看矩陣的行秩與列秩解析

1、從不同的角度看矩陣的行秩與列秩一一兼論如何學好線性代數(shù)線性代數(shù)中，有那么幾個神秘又神奇的東西，總是讓初學它的人琢磨不透，無法理解，其中就有矩陣的行向量 和列向量的關(guān)系，為什么一個矩陣的行向量里有多少個線性無關(guān)的向量，列向量里就一定也有多少個線性無關(guān) 的向量呢？或者考慮稍微簡單一點的問題，一個方陣，為什么行向量線性無關(guān)或線性相關(guān)列向量就一定也線性 無 關(guān) 或 相 關(guān) 呢？ 行 秩 為 何 等 于 列 秩？ 這本來應(yīng)該是一個基本又簡單的事實。但是，請回憶一下你當初初學線性代數(shù)時的內(nèi)容編排順序，是怎么引入這 個 問 題 的， 當 時 又 是 怎 樣解 決 這 個 問 題 的？傳統(tǒng)的教材編寫思路是從線

2、性方程組開始整個線性代數(shù)話題的引入，這個過程中定義行列式和矩陣，用n元數(shù)組引入向量，線性相關(guān)和無關(guān)等概念，討論解存在的條件，解的結(jié)構(gòu)，等等?？傊?，一切以方程組為核心，給 人的感覺就是線性代數(shù)就是方程組的理論，一切討論的目的都是為了解決小小的方程組問題。在這個過程中，有一個矩陣行秩等于列秩的命題，此時學生只了解方程組理論和行列式，因此這時對這個問題 的解釋當然也無法離開方程組或行列式。下面簡述兩個典型的教材中的證明方法： 第一個證明來自陳志杰 高等代數(shù)與解析幾何 證明：首先，矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩，初等列變換不改變矩陣的列秩。這是由向量組的初等變 換不改變向量組的線性相關(guān)或無關(guān)性保證的

3、，即將某個向量乘以非零的倍數(shù)、將某個向量加到另一個向量上,線 性 相 關(guān) 或 無 關(guān)接著證明 矩陣的初等行變換不改變矩陣的 列設(shè)A是m*n階矩陣，任意從 A的n個列向量中選取k個列向量a1,a2,ak它們線性無關(guān)的充要條件是線性 方程組aixl+a2X2+akxk=0只有零解。而對矩陣 A進行初等行變換不改變此方程組的解，因此不改變這k個列向量的線性相關(guān)或無關(guān)性。這說明A的列向量的秩在矩陣的初等行變換中不變。同理矩陣的初等列變換接下來，可以把 A經(jīng)過初等行變換和初等列變?yōu)橹挥袑蔷€上有 1或0,其它位置都為0的矩陣，在這個過程 中行秩和列秩都不改變，從這個矩陣中看岀行秩等于列秩，因此原來的矩陣

4、行秩也等于列秩。高等代數(shù)第二個證明來自北大數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編證明：考慮線性方程組 AX=0 ,首先證明如果未知數(shù)的個數(shù)超過 A的行秩，那么它有非零解。設(shè) m*n階矩陣A的行秩為 r,考慮方程組AX=0,它由m個方程n個未知數(shù)組成。從A的行向量中選取r個線性無關(guān)的行向量，重新組合成矩陣 B， 那么方程組AX=0和BX=0同解。這時，如果B的列數(shù)大于行數(shù)，那么方程組 BX=0必有非零解，從而AX=0也有非零解。接著證明行秩等于列秩。設(shè) m*n階矩陣A的行秩為r,列秩為s?？紤]A的任意葉1個列向量組成的矩陣C,因為C的行秩 不大于r （因為C的行向量都是A的行向量的一部分分量組成的）

5、，所以 CX=0有非零解，這說明這r+1個列向量線性相 關(guān)。所以A的列秩最大為r，即s=r。同理可證r=s,因此s=r。有了行秩等于列秩的性質(zhì)，完全可以用行秩或列秩定義矩陣的秩了。編寫教材的人和老師們都認為，只要能夠順利定義出矩 陣的秩，這個證明就足以滿足初學時的需要了，既沒有必要又沒有條件再將它深入地挖掘下去。但是它仍然讓我困惑，即使把書上的這個證明看得明明白白，也不理解為什么行秩等于列秩。因為向量是個幾何的概念，現(xiàn) 在這個證明中看不出一點幾何上向量的影子，這兩個例子都依賴于線性方程組理論，都離不開高斯消元法，都是代數(shù)上的推 導(dǎo)。雖然從代數(shù)上推導(dǎo)出了這個結(jié)果，但是在幾何上我依然無法接受這個結(jié)

6、果。矩陣的行向量和列向量從圖形上”到底是什么關(guān)系？可不可以讓我一下子就能看出來它們的秩是相等的？盡管經(jīng)過了行列變換之后行列秩相等是顯然的，但這個過程中 卻把原來的行列向量給變得面目全非了。更有甚者，有些教材上竟然用矩陣的子式和行列式理論推導(dǎo)行秩等于列秩，由于這種證明過于復(fù)雜，這里就不列出了。直到最近的一次偶然機會，又讓我想起了這個問題。一開始，發(fā)現(xiàn)它和對偶空間與對偶映射有關(guān)系 記得當初學習線性代數(shù)時，直到最后才接觸了一些有關(guān)對偶空間和對偶映射的知識，教材還寫得十分抽象，以至于我們都囫 圇吞棗地過來了，根本沒有什么印象。后來的泛函，因為高等代數(shù)理解不深人，對泛函也沒有留下什么印象。最近有同事讓

7、我講線性代數(shù)，有很多次問我關(guān)于矩陣轉(zhuǎn)置的意義的問題。他曾經(jīng)學習線性代數(shù)時對很多問題不理解，其中就有矩陣轉(zhuǎn)置到 底對應(yīng)幾何上的什么東西，為什么要轉(zhuǎn)置？其實我也沒考慮過這個問題，只知道這是代數(shù)的特殊需要，當需要把行向量變成 列向量的時候就需要考慮轉(zhuǎn)置，它完全是代數(shù)上的處理方式。至于在幾何上代表什么意義，我也曾困惑過，但一直沒考慮清 楚。然而現(xiàn)在比大一那個時候多了一個學習的更加有效的途徑，那就是網(wǎng)絡(luò)。在 wiki百科中，我查到了一個觀點：在標準正交基底下，如果一個線性映射對應(yīng)于矩陣 A，那么A的轉(zhuǎn)置恰好對應(yīng)這個線性映射的轉(zhuǎn)置映射， A的共軛轉(zhuǎn)置恰 好對應(yīng)這個線性映射的對偶映射。在 有 限維 空 間

8、中 對偶 映射 還有一個更 直觀 的定義 ： 設(shè)，是從訂到的線性映射，貝U.的對偶映射是從 到訂的滿足h；=的線性映射。這是很好理解的，即使不知道什么是對偶空間及對偶映射，單單從矩陣乘法的性質(zhì)中也很容易看出A和A的共軛轉(zhuǎn)置之間的這種關(guān)系。這樣就把A的共軛轉(zhuǎn)置和A之間的關(guān)系賦予了幾何的意義，因為內(nèi)積正好包含向量的角度信息，并且當一組非零向量兩兩 內(nèi)積為0時，它們線性無關(guān)。A和A的共軛轉(zhuǎn)置的列向量的秩分別對應(yīng)于T和T*的值域的維度，能不能就此證明它們相等？從而至少可以證明實數(shù)矩陣行秩等于列秩。這就是下面的：定理 1: 線性映射,的值域和其對偶映射的值域有相同的維數(shù)。證明：設(shè)T是從U到V的線性映射，

9、貝U T的對偶映射T*是從V到U的線性映射。設(shè)T與T*的值域的維數(shù)分別為r,s, 假 設(shè) s ， 則 在T* 值 域 中 可 以 找一組 基 底：y, y.、汀5,考慮，:，這個向量組的秩 r。同理可證s故s=r。證畢。這樣，A與 A 的共軛轉(zhuǎn)置的列秩相等，從而實數(shù)矩陣的行秩等于列秩。為了把它應(yīng)用于證明復(fù)數(shù)矩陣行秩與列秩相等，還需要下面的命題：命題 1 :若復(fù)數(shù)值向量 a1,a2,an線性無關(guān)，那么他們的共軛向量也線性無關(guān)。證明：以a1,a2,ar為系數(shù)矩陣的方程組k1a1+k2a2+-+knan=0兩邊取共軛即得到一個以a1,a2,a的共軛為系數(shù)的線性 方程組，這兩個方程組同時有或沒有非零解

10、。證畢。這樣就徹底完全地證明出了矩陣的行秩與列秩相等。這個證明的思路中就明顯地帶有幾何的啟示，因此我覺得它更能讓我看 到矩陣行向量和列向量的本質(zhì)。然而雖然這個證明帶有很強的幾何色彩，但終究還是覺得有些抽象，還是沒有道出行列向量 之間的關(guān)系來。經(jīng)過對這個問題持續(xù)的思考，和對方程組 AX=0從不同的角度去解釋，發(fā)現(xiàn)如果我們豎著看 AX，我們看到一個線性映射， 它列向量的秩是它值域的維數(shù)；然而如果我們橫著看AX=0，又可得到A的每個行向量與X的內(nèi)積是0 （這里以實數(shù)矩陣為例，至于復(fù)數(shù)矩陣則可以利用上面的 命題1”，也就是說，A的每個行向量和AX=0的解都垂直，用映射的觀點說，就是 A的每個行向量都在

11、線性映射的零空間的正交補空間中。又AX=0的所有解的集合（零空間）是垂直于 A的每個行向量的向量構(gòu)成的集合，那么零空間和行空間應(yīng)該互為正交補空間，它們的維數(shù)之和是定義域的維數(shù)。那么事情就清楚了，根據(jù)秩 -零度定理，dim rangeT+dim nullT是T定義域的維數(shù)，而行空間維數(shù)又與零空間維數(shù)互補，因此行空間維數(shù)等于值域維數(shù)， 即行秩等于列秩。應(yīng)該說，這才是行向量和列向量真正的本質(zhì)關(guān)系，可惜的是，直到畢業(yè)的三年多之后我才自己發(fā)現(xiàn)了這個關(guān)系其實，如果考慮對偶映射，也可以輕而易舉地得出結(jié)論： T*的值域恰是T的零空間的正交補。根據(jù)秩-零度定理也立即可以 得出T*和T值域維數(shù)相等。前面在證明 定

12、理1”時沒有用到它們值域和零空間的關(guān)系還有秩 -零度定理，這里用了這兩個定 理之后，分析過程其實和上段分析 AX=0方程組的過程本質(zhì)上是一樣的。那時在網(wǎng)絡(luò)上還查找到了一個利用了矩陣乘積的現(xiàn)代觀點證明行秩等于列秩的文章，是在臺灣博客線代啟示錄”中看到的，抄錄如下（注意在臺灣，把豎著的叫行，把橫著的叫列，與我們恰好相反）：假設(shè)F T n階矩陣國的行秩為r,列秩為廠?？芍野t(yī)個維線性獨立的行向量，它們足以擴張 A 的行空間。將這些行向量收集起來組成一個階矩陣，那麼囲的任何一個行引0三1. 2.T7T,n都可以唯一表示為 I；的行向量bL?b2, ，之線性組合，如下：曰j =業(yè)jbl 十+ 二 +

13、 Jrjbf.將這打個式子的線性組合權(quán)重合併為一個匡艮u階矩陣=並利用以行為計算單元的矩陣乘法規(guī) 則，就有接著再考慮矩陣I; |的第 列，以 m；：表示，利用以列為計算單元的矩陣乘法規(guī)則，於是有矩陣*4的每一列都可以寫為D的列向量之線性組合，因此衛(wèi)的列空間維度不大於D的列向量總數(shù)，即廠匸，也就是說 .的列空間維度不大於慮1的行空間維度。運用同樣的推論方式於.，可推知也藝的列空間維度不大於. 的行空間維度，但型的列空間即為 A的行空間而的行空間就是 4的列空間，得知cr。綜合以上結(jié)果，證得r_= C，矩陣的行秩等於列秩。這個證明方法表面看 似平凡無奇，但它只利用矩陣乘法運算便將幾個重要的線性代數(shù)

14、概念 一一線性組合、基底和擴張連結(jié)在一起，非常值得初學 者細細品味。這個證明雖然也是代數(shù)上的分析，但其巧妙的讓人稱奇的地方，就是把一個矩陣分解成了兩個矩陣的乘積，其中左邊的因子是列慢秩的，然后利用對兩個矩陣乘積的不同的解釋，把左面的列秩（也就是A的列秩）和右面的行秩聯(lián)系起來了。本來，有關(guān)矩陣列秩與行秩關(guān)系的問題討論到這里也可以算是比較圓滿了。但是，在寫這篇文章的時候，又無意間提岀下面的一個問題：為什么如果矩陣 A只有兩行，哪怕它有 100列，它的列向量的秩也最多是2?現(xiàn)在來看，這是個非常簡單的問題，因為它的100個列向量都是二維的向量，這些二維向量再多，也至多可以找岀兩個線性無關(guān)的向量。這是由

15、向量空間的維數(shù)定理保證的：有限維向量空間中任何極大線性無關(guān)組包含向量個數(shù)相同?！币虼耍粋€矩陣，它的列秩不超過行數(shù)，行秩不超過列數(shù)。那么，為了完成 列秩等于行秩”的證明，只需把列秩和行秩的大小范圍估計得更精確一些，從列秩小于等于行數(shù)”行秩小于等于列數(shù)”精確到列秩小于等于行秩”、行秩小于等于列秩”我們設(shè)想，如果一個 m*n階 矩陣，它的行秩為r，那么它的列向量雖然表面上看每個都是m維的，但實際上這些 m維向量被限制在了一個r維的子空間中，實際屬于r維向量。為了看清楚這一點，我們可以有兩條思路：第一條，既然A的行空間維數(shù)為r，那么可以找到r個線性無關(guān)的行向量為基底，矩陣的m個行向量都可以用這r個向

16、量線性表示，用矩陣的語言就是其中D就是從A的行向量中選取的線性無關(guān)行向量，B的每一行是A的行向量按 D中行向量線性表示的系數(shù)（坐標）。那么，接下來還是兩條路：第一，按維數(shù)定理，D的列秩不超過其行數(shù)r，且A的值域維數(shù)不大于 D的值域維數(shù)（因為 A的維數(shù)就是把 D的值域再用 B映射到m維空間，值域的維數(shù)是遞減的），因此A的列秩不大于 r，這實質(zhì)上是北大線性代數(shù)中的證明；第二， B的列秩不超過 B的列數(shù)r，這樣就變成了“線代啟示錄” 的證明，因此“線代啟示錄”上的證明思路也就是如此。第二條，我們可以實際地找出.列空間的基底。因為：行秩為 ，即可以選取個行向量-，使得其它行向量都可以用這 個行向量線性

17、表示，不妨記為宀+；=舟抽:.：第，宅；，那么就代表.的列向量的坐標都具有如下形式：r霜丄9忑缶H_/mT (=L t 2 r * -1 J_顯然只有前r個坐標是可以自由變化的，這樣的向量的全體構(gòu)成一個子空間，它的基底是清 楚的。因此，這是個 r維子空間。根據(jù)維數(shù)定理，這樣的向量不管多少個，秩不大于r?？梢?，一個簡單的事實，可以從多種角度進行的解釋，但有些看似動機不同的解釋往往實質(zhì) 上又相同，它們之間也有著千絲萬縷的聯(lián)系。因為線性代數(shù)的這個特點，使得不同的線性代 數(shù)的教材的寫法有很大的不同。同樣一個事實，既可以從線性映射的角度去解釋，又可以從 矩陣分析的角度解釋，還可以從線性方程組，或行列式角

18、度去證明。線性代數(shù)教材的編寫其 實很隨意，既可以像北大版那樣把線性方程組作為基礎(chǔ)，其它諸如線性變換、維數(shù)定理等等 內(nèi)容都通過方程組理論來證明，也可以像Lin ear Algebra Do ne Right那樣完全地從抽象的向量空間和線性映射的角度分析。它們動機雖然不同但是要認識的對象是同構(gòu)的。但是，如果當初滿足于這個定理的書本上的證明，我是不可能對它挖掘得這么深，也不可能 認識到這些東西的。這里我還是要對以北大版高等代數(shù)為代表的教材提一些意見。可能大部分人都認為，線性方程組是線性代數(shù)中最易懂最易理解的部分，學生又有中學解多 元一次方程組的基礎(chǔ)知識，線性方程組又可以引申出線性代數(shù)的諸多內(nèi)容，因此

19、是最適合用 于大學一年級學生入線代之門的內(nèi)容。但是這樣做有兩個問題：一個是如果只提方程組，學生無法想象它的幾何形象，學生學習時頭腦中形成的往往只是變 動的符號，不利于深入理解線性代數(shù)，更不利于發(fā)揮想象力去主動發(fā)現(xiàn)知識。如果說當學生 學到線性空間、線性變換的時候自然會學習到這些幾何觀念，那么在線性方程組之后，線性 空間和線性變換之前，還要學習矩陣理論，同樣是沒有幾何直觀，并且比方程組更難理解， 到了線性空間的時候?qū)W生已經(jīng)云里霧里了，哪里還有信心去學習接下來的東西？李炯生版線性代數(shù)的前言部分說，“研究線性空間以及線性空間關(guān)于線性變換的分解即構(gòu)成了線 性代數(shù)的幾何理論，而研究短陣在各種關(guān)系下的分類問

20、題則是線性代數(shù)的代數(shù)理論?！蹦敲?到底是先代數(shù)后幾何，還是先幾何后代數(shù)，還是二者同時進行？如果先代數(shù)后幾何，就像在 沒有學習平面幾何的時候?qū)W習解析幾何，并且要預(yù)先學習曲線方程的性質(zhì)，不見曲線只見方 程，等把方程的性質(zhì)在代數(shù)上討論清楚了，再帶你認識它們實質(zhì)上的幾何形象，再用這些方 程的性質(zhì)簡單推導(dǎo)出幾何的性質(zhì)。但這是一個非常糟糕的學習方式。更糟糕的是一些理工科 專業(yè)線性代數(shù)學得更淺，甚至只學到矩陣部分，只記住了矩陣的運算等莫名奇妙的符號在頭 腦中搬來搬去，至于為什么那么計算，學過之后考高分的學生也不知道。這里有孟巖的三篇 csdn博文為證，尤其是博文開頭幾段話，道出了一般理工科學生的疑問。理解矩

21、陣(一 )理解矩陣(二 )理解矩陣(三）另一個問題是，這樣的組織缺少發(fā)展理論框架的動機，為什么要引入線性相關(guān)，線性無關(guān)， 為什么要討論矩陣？為什么有了消元法還要討論行列式和Cramer法則？如果都是以解方程為目的，這些內(nèi)容統(tǒng)統(tǒng)沒有動機，只要一個消元法，最后能夠?qū)懗鐾ń庑问?，就夠了。似?矩陣、向量空間等內(nèi)容都是方程組問題生發(fā)出來的，研究它們又有什么用途？這些問題開始 不講清楚，學生厭學，到后續(xù)課程真正用到這些知識的時候后悔莫及。因此，我主張不論是編寫教材，還是老師講授，學生學習，都應(yīng)該起點底，觀點高，讓學生 可以從各個不同方向去“圍攻”一個問題，從各種不同的角度去看待一個知識，即使只是為 了講

22、代數(shù)，幾何方面的直觀思想和動機也要講清楚，甚至這些更為重要。不妨在講解線性方 程組的時候就開始講講方程組中蘊含的向量空間、線性變換等高級內(nèi)容的道理，即不光講高 斯消元法等方程的傳統(tǒng)內(nèi)容，還要用線性變換那樣的幾何觀點解釋方程組解的結(jié)構(gòu)等等問 題，并用三維的幾何圖形（不妨用電腦中的數(shù)學軟件或flash 動畫，至少是圖片）來展示線性代數(shù)中那些概念背后的幾何形象，使學生一開始就有豐富的幾何代數(shù)經(jīng)驗，一開始就發(fā)現(xiàn) 這部分數(shù)學的魅力。理解矩陣與矩陣乘積（一）線性代數(shù)中，有那么幾個神秘又神奇的東西，總是讓初學它的人琢磨不透，無法理解。今天 討論線性代數(shù)中第二個既基本又神奇的東西：矩陣的乘法?；叵肫鹞覀冎袑W的

23、那個時代，從初中到高中，數(shù)學課的內(nèi)容完完全全是初等數(shù)學，純粹的向 量思想在數(shù)學課上不占有一席之地，中學階段只有學習物理或復(fù)數(shù)的時候才能接觸一點向量 的身影。即使在最應(yīng)該體現(xiàn)向量思想威力的地方，也因為只討論二維的簡單情形而省略掉 了，只剩下純粹的從幾何角度推導(dǎo)代數(shù)性質(zhì)，比如，直線方程，不是用向量法推導(dǎo)直線方程 的一般形式，而是用定比分點；兩直線垂直的條件，不是用向量內(nèi)積為零，而是通過斜率的 關(guān)系，等等。在中學唯一能夠從數(shù)學課本中接觸到的線性代數(shù)知識就只有一點點的行列式的 簡介，從解二元和三元一次方程組引入的行列式，而且屬于選學內(nèi)容，課堂上是不講的。我 當時看了看，覺得真是多此一舉，既然一次方程組

24、的解都已經(jīng)用系數(shù)的符號表示出來了，為 什么還要用行列式重新表示一遍？表達的內(nèi)容沒變，只是換了一套看上去工整漂亮的寫法， 有什么意義呢？在這樣的背景下，我進入大學，接觸到一門蠻不講道理的學科-高等代數(shù)。本來高中時看到 用行列式表示方程的解已經(jīng)夠無聊了，到大學還要把這種無聊繼續(xù)深入下去。為了一個小小 的方程組，不惜動用人類最高的智商來創(chuàng)造一個個精致的概念，又是逆序數(shù)又是行列式，又 是克萊姆法則，倒是得到了一個很漂亮的結(jié)果，但它到底有多少實用和理論的價值？后來矩陣被定義出來了，那更是個無聊的東西，方程組還是原來那個方程組，只是把系數(shù)和 未知數(shù)一分離，馬上就出現(xiàn)了一個新的概念-矩陣。難道就非得把系數(shù)單

25、獨抽取出來變成矩陣的形式才能用高斯消元法解方程？它不就是方程之間加加減減的過程嗎，即便帶著未知數(shù) 又能有多大的妨礙呢？帶著未知數(shù)就不能討論方程組的通解了？還定義矩陣的乘積，又把方 程組寫成一個矩陣和一個向量的乘積，我當時覺得實在是吃飽撐的！方程組還是那個方程 組，換一種寫法有什么不同？我思考它的時候還是需要把它還原為方程組的樣子，倒是費了 二遍力。是誰第一個引入了矩陣的概念？他的原始動機到底是什么？他似乎只是為了形式上 的化簡，并沒有引入什么新的觀念。但是巧的是這個人的一個無聊發(fā)明，竟然發(fā)展出一門學 科來！不光方程組可以歸結(jié)為矩陣的乘積，就連二次曲線、二次曲面，也表示成矩陣乘積 了，矩陣和它們

26、的乘積系統(tǒng)慢慢地脫離了方程組的范圍，開始向其它方向滲透了，并且充斥 了數(shù)學的大部分江山。這一切是為什么？難道這一切都在矩陣發(fā)明者的預(yù)料之中？如果發(fā)明 矩陣的人意識到矩陣將來必有這些重大作用，那么他是怎么想到矩陣的這些應(yīng)用的？他真的 如此天資聰明？如果不是這樣，那他為什么要發(fā)明矩陣這個東西？難道僅僅是偶然？可是這 偶然之舉為什么后來又如此巧合地展開出這么多理論？這些問題至今還是想不通。但是今天的話題只是討論矩陣和矩陣乘積，所以剛才把話題扯遠了。每當想起大一時的代數(shù) 課，我都要發(fā)一些牢騷，可見當時代數(shù)給我的影響有多深遠！關(guān)于矩陣乘積，比較老舊思想的教材不介紹矩陣乘積有什么意義，為什么要引入矩陣的乘

27、積，只是敘述無端的定義：兩個矩陣就;“；旳砂跖的乘積定義為一個皿b 階矩陣C， C的第i行第j列的元素是 A的第i行和B的第j列元素分別相乘并相加的和，即rij 叫 * 如，A=1稍微好一點的教材會介紹一些線性映= 仁.“ . . :，）、:/ I扯的系數(shù)矩陣為.，用射復(fù)合的背景：有三禾廿更 L-、；： I、-、： J-的系數(shù)矩組未知數(shù)，用 表，經(jīng)過計算，*=i即表示成未知數(shù)組的第個分量%的系數(shù)因此定義兩個矩陣.和 的乘積如上所述。第一種講述就是從第二種講述的思想方法來的，卻連定義的背景和來歷什么的都沒有講，這 顯然是十分唐突的。況且這兩種矩陣乘積定義的講述都只是蠻力運算，如果只是為了定義出

28、矩陣乘法的表達式，這兩種講述方式尚可接受，尤其是第二種講法，提及了矩陣乘法就相當 于兩個線性變換的復(fù)合。但是接下來，要接觸到矩陣乘法的更深層次的規(guī)律時，這樣定義出 的矩陣乘法就顯得有些奇怪了。比如，證明兩個矩陣乘積的秩定理，乘積 .的每一列都是的每一列的線性組合，每一行都是的每一行的線性組合，從而證明這個不等式。但是，請問您是怎么從一大堆數(shù)的計算式子中看出這些關(guān)系的？我為什么就沒看到？我 不但沒有看到，就算人家給我指出這種關(guān)系，我要想看清這些關(guān)系還是要費九牛二虎之力 的。如果一個東西我理解起來感覺吃力，那么我會本能地考慮是否是我理解它的方式有問 題，它應(yīng)該還有另外一些更省力的理解途徑，或者說，

29、這個東西缺乏直觀，如果我能直觀地 理解它，那么我就可以接受它。所以我想，還是應(yīng)該有更加便捷的途徑可以得到這些關(guān)系。其實這個不等式如果從映射復(fù)合的值域維數(shù)角度看應(yīng)該是比較簡單的，可惜的是當初除了矩 陣，沒有其它方式可以導(dǎo)出這個結(jié)果，向量空間的內(nèi)容還沒有學習到。再比如，矩陣的分塊乘法，為什么分塊之后乘法的規(guī)則和把每一塊看成數(shù)的乘法規(guī)則是一樣 的？又比如，學過內(nèi)積的坐標計算表達式后，學生會驚奇地發(fā)現(xiàn)，矩陣乘法的每個元素都是一個 內(nèi)積，為什么會是這樣？內(nèi)積和矩陣乘法之間為什么會有這么大聯(lián)系？面對這些問題，我知道很多人，包括很多老師都會告訴我，這些都是計算的結(jié)果，計算的過 程書上寫的明明白白，沒必要去深

30、究它背后有什么機理，只要能夠確信這些結(jié)論，不用去管 這些結(jié)論是如何得到的。但是，我總是覺得，這樣的推辭無異于填鴨式教育，蠻不講理，讓人生厭，甚至可能把一個 曾經(jīng)喜愛數(shù)學的人搞得從此厭惡這樣的無理數(shù)學。因為第一，這些東西顯得過于巧合了，計 算無法解釋這些巧合背后是否有更深層次的原因；第二，即使是計算得來的，還是無法解釋 這些計算的動機是什么，這些計算的結(jié)果是如何發(fā)現(xiàn)的？總應(yīng)該有個自然點的理由能夠說明 為什么某人會去考察這些計算過程并得出結(jié)論的吧？總不能說一個人某一天沒什么事情閑得 無聊了就開始算，然后就發(fā)現(xiàn)了某些東西吧？他為什么就能看得那么遠就知道他計算的東西 最終能帶給他不平凡的結(jié)果？告訴我一

31、個東西卻沒有告訴我這個東西是如何發(fā)現(xiàn)的，那我怎 么能有信心沿著前人的足跡向前探索呢？今天分析當初的困難，多是因為沒有整體思維，無法把矩陣當成一個整體來思考，見到向量 可以想到那是空間中的一個箭頭，但見到矩陣和矩陣乘法，完全想象不到它的整體是個什么 東西，我只能想到它的每個元素就是一堆數(shù)經(jīng)過一堆運算得到的結(jié)果?？吹綍蠈懙木仃嚦?法，我的頭腦里就出現(xiàn)了它的運算過程的動畫：左邊一橫，右邊一豎，左邊一橫，右邊一 豎，除此之外想象不到其他的東西了。聽說某位數(shù)學家擺弄矩陣就像擺弄整數(shù)一樣熟練，我 當時也試圖找到把矩陣當成一個整體的感覺，可是在沒有空間直覺支持的情況下這種努力是 見不到明顯效果的。而且從前

32、思考的都是低維空間的問題，對一維二維空間很熟悉，很少考 慮高維空間的問題，對高維空間即不熟悉也不習慣，又沒有外人指點矩陣代數(shù)究竟有什么幾 何意義，即使是在低維空間中，也沒有用矩陣處理幾何問題的經(jīng)驗，所以當時一直冷落代 數(shù)?，F(xiàn)在覺得，為了培養(yǎng)高維空間對象的整體思維方式，一方面就是加強代數(shù)的幾何直觀，另一方面就是站在變換 的角度統(tǒng)一抽象地處理矩陣，而不是僅僅把矩陣只當成一堆數(shù)的陣列，用線性變換的觀點認識矩陣乘法，而不 是把矩陣乘法當成一堆數(shù)又乘又加的運算?；谶@種原因，我們將以映射的觀點重新認識矩陣與矩陣的乘法。（二）本篇有些內(nèi)容是孟巖理解矩陣（三）中觀點的嚴密化與深化。數(shù)域上的兩個向量空間“7到

33、 的一個映射，若保持加法和數(shù)量乘法，即滿足評（如 + U2）= 管（理1） + *（叱）卩（屈）=如（即）則稱講為線性映射。矩陣及矩陣的乘法與線性映射有十分重大的聯(lián)系。為了看清這一點，我們采取以下步驟：一、從一維空間談起顯然，數(shù)域丨本身可以看作丨上的向量空間，記做 ，并且，1上的任何一個一維的向量空間都同構(gòu)于，即取定 的一組基底 后， 中的任何向量都可以唯一地表示為 法 的形式，因此 中的向量與 中的向量是一一對應(yīng)的。我們把稱作上一維向量空間的坐標系統(tǒng)。上的兩個一維向量空間和 之間的一個線性映射 ，在分別取定.和 上的基底 與 之后，因此f =它；心.-二；。設(shè)，貝U= VI。這樣，在兩個一維

34、向量空間的坐標系統(tǒng)之間就衍生岀一個線性映射=乩二我們要研究前述的兩個向量空間，只需要研究它們的坐標系統(tǒng)，要研究前述兩個向量空間之間的線性映射 ，只需要研究它們坐標系統(tǒng)之間的線性映射=匚，因為它們是一一對應(yīng)并且性質(zhì)相同的。I-空間是由基底1張成的向量空間，那么根據(jù)上面的論述， 丨至U卜的任何一個線性映射 都有中的唯 一一個數(shù) 使得、二廳；=并且任何一個數(shù) ，都唯一地確定一個線性映射 翼t W 因此，我們 可以說，中的數(shù)與一維空間之間的線性映射是一一對應(yīng)的。怎么看待.和 這樣一對數(shù)的乘法呢？針對以后推廣到高維空間的情形，我們總結(jié)以下幾點：1） 我們可以說 本身是卜中的一個向量，是丨中的一個數(shù)，代表

35、一個線性映射，那么毬典這樣的乘法就是一個線性映射 作用在向量 上得到的像，并且，如果另一個線性映射m，那么?。簎；??；,：；2） 但是，本身也是所以也可以看成丨中的一個向量，它跟并沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，在表達式=乃7中，二者唯一的區(qū)別就是是固定不變的，而是變量，但只要脫離映射的語境，二者是對稱的，因為根據(jù)乘法的交換律 ：丁.3;3） 既然二者是對稱的，那么完全可以把當作變量而把 當作對 的映射，這樣的映射是從I到卜的映射：自變量是，代表一個線性函數(shù)，它的像是 初欣，是中的一個數(shù)；4） 如果，那么線性映射是個可逆的映射，有逆映射 mb -彖亠鈔。在這個時候，作為丨中的向量 朮兀可以看作新的參考系（

36、即坐標系，或基底），如果在這個新的基底下某個向量的坐標為，那么在原來基底i下，同一個向量的坐標就是：-腮仇這樣， 和.可以看作某個向量的新坐標與原坐標 之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)。二、多維到一維的映射設(shè)是數(shù)域1上的n維向量空間，。到的線性映射稱為：上的線性函數(shù)。取定的一組基底|-之后，中的向量一一對應(yīng)于中的向量。同一維情形類似，我們也可以用的坐標系統(tǒng)代替本身。上的一個線性函數(shù)同樣也衍生岀一個到1的線性映射。因此我們可以看上的線性函數(shù)。I 是由基底張成的，現(xiàn)要計算I上的線性函數(shù) 的表達式。I-上任何一個向量 一；,、.、= ,有才（參）=f（XI引 +H+ 舉理上胡=n/（ei） + 2f（E2）H卜 ny（e）這個算式每一項中，都有一部分是常量，即，是跟隨線性函數(shù) 而變化的數(shù)，它們可代表本身；另一部分是變量，對應(yīng)于的分量 ，可代表自變量。我們把這兩部分分開書寫，定義一個行向量和一個列向量的乘積是它們每個分量分別相乘并把結(jié)果相加，如下：嚴、 * -為j.=龜血（為什么這里定義的是一個行向量和一個列向量相乘？為什么不規(guī)定成兩個行向量或兩個列向量相乘？這個要 等到考察多維到多維的映射的時候才能看岀一些端倪來，因為這樣定義之后，橫著的行向量將總可以看成一個 映射，而縱向的列向量通常就是定義域或值域空間中的向量，只有在特殊的情況下它們才互相轉(zhuǎn)化。）設(shè)邏 -茫沁 那么.