曲線的參數(shù)方程

1、 曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程 2、注意：、注意：相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。注：關(guān)于參數(shù)幾點(diǎn)說(shuō)明：注：關(guān)于參數(shù)幾點(diǎn)說(shuō)明： 參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x,y的橋梁的橋梁,1. 參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義, 幾何意義幾何意義, 也可以沒(méi)有明也可以沒(méi)有明顯意義。顯意義。2.同一曲線選取參數(shù)不同同一曲線選取參數(shù)不同, 曲線參數(shù)方程形式也不一樣曲線參數(shù)方程形式也不一樣3.在實(shí)際問(wèn)題中要確定參數(shù)的取值范圍在實(shí)際問(wèn)題中要確定參數(shù)的取值范圍1、參數(shù)方程的概念：、參數(shù)方程的概念：

2、例例1: 已知曲線已知曲線c的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 （1）判斷點(diǎn)）判斷點(diǎn)m1(0, 1)，m2(5, 4)與曲線與曲線c的位置關(guān)系；的位置關(guān)系；（2）已知點(diǎn)）已知點(diǎn)m3(6, a)在曲線在曲線c上上, 求求a的值。的值。23 ,()21.xttyt為參數(shù)2、方程、方程 所表示的曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)是所表示的曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） 練習(xí)1sin,(cosxy為 參 數(shù) ）a、（、（2，7）；）；b、 c、 d、（、（1，0） 1 2( , );3 31 1( , );2 21、曲線、曲線 與與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是( )a、（、（1，4）；）；b、 c、 d、21,(43xttyt 為

3、參 數(shù) ）25(,0);16(1, 3);25(,0);16 已知曲線已知曲線c的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 點(diǎn)點(diǎn)m(5,4)在該在該 曲線上曲線上. （1）求常數(shù)）求常數(shù)a; （2）求曲線）求曲線c的普通方程的普通方程.212 ,().xttyat 為參數(shù),ar訓(xùn)練2：思考題：思考題：動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)m作勻速直線運(yùn)動(dòng)作勻速直線運(yùn)動(dòng), 它在它在x軸和軸和y軸方向的軸方向的速度分別為速度分別為5和和12 , 運(yùn)動(dòng)開始時(shí)位于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開始時(shí)位于點(diǎn)p(1,2), 求點(diǎn)求點(diǎn)m的的軌跡參數(shù)方程。軌跡參數(shù)方程。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)m (x,y) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，依題意，得tytx12251所以，點(diǎn)m的軌跡參數(shù)方程為tytx12251

4、參數(shù)方程求法參數(shù)方程求法: （1）建立直角坐標(biāo)系）建立直角坐標(biāo)系, 設(shè)曲線上任一點(diǎn)設(shè)曲線上任一點(diǎn)p坐標(biāo)為坐標(biāo)為(x,y) （2）選取適當(dāng)?shù)膮?shù)）選取適當(dāng)?shù)膮?shù)（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì), 物理意義物理意義, 建立點(diǎn)建立點(diǎn)p坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式（4）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程小結(jié)：小結(jié)： 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)的函數(shù) ( ),( ).xf tyg t（2）并且對(duì)于并且對(duì)于t

5、的每一個(gè)允許值，由方程組（的每一個(gè)允許值，由方程組（2）所確定的點(diǎn)）所確定的點(diǎn)m(x,y)都在這條曲線上，都在這條曲線上， 那么方程（那么方程（2）就叫做這條曲線的）就叫做這條曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程， 系變數(shù)系變數(shù)x,y的變數(shù)的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。2、圓的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程yxorm(x,y)0m)()(sincossin,cos),(速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)作勻有明確的物理意義程。其中參數(shù)的圓的參數(shù)方，半徑為這就是圓心在原點(diǎn)為參數(shù)即角函數(shù)的定義有：，那么由三，設(shè)，那么，坐標(biāo)是轉(zhuǎn)過(guò)的角度是，點(diǎn)如果在時(shí)刻trottrytrxrytrxtromtyxmmt轉(zhuǎn)過(guò)的角度。

6、的位置時(shí)，到逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)繞點(diǎn)的幾何意義是其中參數(shù)的圓的參數(shù)方程，半徑為這也是圓心在原點(diǎn)為參數(shù)為參數(shù)，于是有，也可以取考慮到00)(sincosomomoomroryrxt圓的參數(shù)方程的一般形式圓的參數(shù)方程的一般形式么樣的呢？的圓的參數(shù)方程又是怎半徑為那么，圓心在點(diǎn)普通方程是的參數(shù)方程，它對(duì)應(yīng)的以上是圓心在原點(diǎn)的圓ryxoryx),(,002222220000cos()s()()inxxyxxryyyrr對(duì)應(yīng)的普通方程為為參數(shù)由于選取的參數(shù)不同，圓有不同的參由于選取的參數(shù)不同，圓有不同的參數(shù)方程，一般地，同一條曲線，可以數(shù)方程，一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，因此得到的選取不同的變數(shù)

7、為參數(shù)，因此得到的參數(shù)方程也可以有不同的形式，形式參數(shù)方程也可以有不同的形式，形式不同的參數(shù)方程，它們表示不同的參數(shù)方程，它們表示 的曲線可的曲線可以是相同的，另外，在建立曲線的參以是相同的，另外，在建立曲線的參數(shù)參數(shù)時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值數(shù)參數(shù)時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。范圍。例、例、已知圓方程已知圓方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，將它，將它化為參數(shù)方程。化為參數(shù)方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，參數(shù)方程為參數(shù)方程為sin3cos1yx(為參數(shù)為參數(shù))例例2 如圖，圓如圖，圓o的半徑為的半徑為2，p是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，q(6,0)是是x軸上的定點(diǎn)，軸上的定點(diǎn)，m是是pq的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)p繞繞o作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)m的軌跡的參數(shù)方的軌跡的參數(shù)方程。程。yoxpmq)(sin3cossin2sin2, 3cos26cos2),sin2 ,cos2(,),(為參數(shù)的軌跡的參數(shù)方程是所以，點(diǎn)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：的坐標(biāo)是