一級倒立擺系統(tǒng)最優(yōu)控制綜述

1、摘要倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的快速、多變量、非線性、不穩(wěn)定系統(tǒng)，許多抽象的 控制理論概念都可以通過倒立擺實(shí)驗(yàn)直觀的表現(xiàn)出來。因此，倒立擺系統(tǒng)經(jīng)常被 用來檢驗(yàn)控制策略的實(shí)際效果。應(yīng)用上，倒立擺廣泛應(yīng)用于航空航天控制、機(jī)器 人，朵項(xiàng)頂桿表演等領(lǐng)域，研究倒立擺的精確控制對工業(yè)復(fù)雜對象的控制也有著 重要的工程應(yīng)用價(jià)值。本文以固高公司生產(chǎn)的GIP-100-L型一階倒立擺系統(tǒng)為研究對象，對直線一 級倒立擺模型進(jìn)行了建模，控制算法的仿真對比，并得出了相應(yīng)的結(jié)論。文中介紹了倒立擺的分類、特性、控制訂標(biāo)、控制方法等以及倒立擺控制研 究的發(fā)展及其現(xiàn)狀。利用牛頓力學(xué)方法推到了直線以及倒立擺的動力學(xué)模型，求 出其傳遞函數(shù)

2、及其狀態(tài)空間方程。在建立了系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)下，本文還研究了倒立擺系統(tǒng)的線性二次型最優(yōu)控 制問題，并且使用了 MATLAB軟件進(jìn)行仿真，通過改變LQR模塊及狀態(tài)空間 模塊中的參數(shù)，在仿真中取得了不同的控制效果，最終得到了最好的控制效果。關(guān)鍵字：一級倒立擺線性系統(tǒng)、數(shù)學(xué)建模、最優(yōu)控制、LQR、仿真1目錄1一階倒立擺的概述11倒立擺的起源與國內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)狀11.2倒立擺系統(tǒng)的組成11.3倒立擺的分類：11.4倒立擺的控制方法：22.一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立32.1概述32.2數(shù)學(xué)模型的建立42.4實(shí)際參數(shù)代入：53定量、定性分析系統(tǒng)的性能73對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析73.2對系統(tǒng)的能空性和能觀測性進(jìn)行分析

3、：84.線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)94線性二次最優(yōu)控制簡介94.2直線一級倒立擺LQR控制算法104.3 最優(yōu)控制MATLAB仿真18總結(jié)21參考文獻(xiàn)2271 一階倒立擺的概述1.1倒立擺的起源與國內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)狀倒立擺的最初研究開始于二十世紀(jì)五十年代，麻省理工學(xué)院的控制理論專家 根據(jù)火箭助推器原理設(shè)訃出來一級倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備。倒立擺作為一個(gè)典型的不穩(wěn) 定，嚴(yán)重非線性例證被正式提出于二十世紀(jì)六十年代后期。國內(nèi)，在倒立擺系統(tǒng) 實(shí)驗(yàn)平臺先后出現(xiàn)了多種控制算法。用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)的比例微分控制器來實(shí)現(xiàn) 單機(jī)倒立擺的穩(wěn)定控制；利用最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)雙電機(jī)三集倒立擺實(shí)物控制； 用變結(jié)構(gòu)方法實(shí)現(xiàn)倒立擺的控制。用神經(jīng)網(wǎng)

4、絡(luò)的自學(xué)習(xí)模糊控制器的輸入輸出的 對比，引起其他學(xué)者的關(guān)注，之后不斷出現(xiàn)實(shí)時(shí)學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法來控制倒立 擺。圖1 一級倒立擺12倒立擺系統(tǒng)的組成倒立擺系統(tǒng)III計(jì)算機(jī)，運(yùn)動控制卡，伺服機(jī)構(gòu)，傳感器和倒立擺本體五部分構(gòu)成。13倒立擺的分類：1,根據(jù)擺桿數(shù)LI的不同，可以把倒立擺分為一級，二級和三級倒立擺等12,根據(jù)擺桿間連接形式不同，可以把倒立擺系統(tǒng)分為并聯(lián)式倒立擺和串聯(lián) 式倒立擺；3根據(jù)運(yùn)動軌道的不同，可以把倒立擺系統(tǒng)分為傾斜軌道倒立擺和水平軌道 倒立擺；4根據(jù)控制電機(jī)的不同，可以把倒立擺分為多電機(jī)倒立擺和單電機(jī)倒立擺5根據(jù)擺桿與小車的連接方式不同，可以把倒立擺分為剛性擺和柔性擺6根據(jù)運(yùn)動方

5、式不同，可以把倒立擺分為平面倒立擺，直線倒立擺和旋轉(zhuǎn)倒 立擺。14倒立擺的控制方法：1）PID控制：該方法出現(xiàn)的最早，首先是對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行力學(xué)分析，并 在牛頓定律基礎(chǔ)上得到運(yùn)動方程，然后在平衡點(diǎn)附近對其進(jìn)行線性化求出傳遞函 數(shù)，最后在要求系統(tǒng)的特征方程應(yīng)有全部左半平面的根的條件下，設(shè)計(jì)閉環(huán)系統(tǒng) 控制器。2）狀態(tài)反饋控制：極點(diǎn)配置法是在動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性都滿足的條件下， 將多變量閉環(huán)倒立擺系統(tǒng)極點(diǎn)配置在期望的位置上，來設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器3）線性二次型最優(yōu)控制（LQR）LQR最優(yōu)控制是通過尋找最佳狀態(tài)反饋控制規(guī)律使期望的性能指標(biāo)達(dá)到最 小。72. 一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立2.1概述倒立擺系統(tǒng)其本

6、身是自不穩(wěn)定系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一些問題和困難，在忽略 掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的運(yùn)動的剛體系統(tǒng)，可以再慣性坐 標(biāo)系中運(yùn)用經(jīng)典力學(xué)對它進(jìn)行分析，來建立系統(tǒng)動力學(xué)方程。在忽略掉了空氣阻力和各種摩擦力之后，可以講一階倒立擺系統(tǒng)抽象成小車 和均勻桿組成的系統(tǒng)，一階倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖如下：圖2 一階倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖定義的參數(shù)為：M 小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)I 擺桿慣量u加在小車上的力X 小車位置I擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度0擺桿與垂直向下方向的夾角（擺桿初始位置為豎直向下）得到小車和擺桿的受力圖：7圖3 小車和擺桿的受力圖2.2數(shù)學(xué)模型的建立根據(jù)牛頓第二定律對系統(tǒng)進(jìn)行分

7、析可以得岀T dx d _ x u-b=Mdt2+ m(% + /sin 0) dt2 dt2求導(dǎo)可得u-bx- (M + in)x + ml 0 cos 0 - ml02 sin 0 整理可得u-bx + (M + m)x + ml 0 cos 0 - ml 01 sin 0 乂對系統(tǒng)的力矩進(jìn)行分析，山力矩平衡可得mglsin 0 =j2m一 (x + /sin&)dt2lcos0 + I0求導(dǎo)整理可得gsin。二丘COS& + /0COS，0-10 sin0cos0因?yàn)榉匠虨榉蔷€性方程，需做線性化處理。山于控制的LI的是保持倒擺直立,因此在施加合適u的條件下，可認(rèn)為&、&均接近零，此sin

8、&Q。、cos&al,且可忽略毋和&項(xiàng)，于是可得=/?i +(A/ + m)x + mid mgl0 = mlx + ml0 +10聯(lián)立方程并化簡有9 _ mlbx mlu + mgl + m) (/ + l2mM + m)(m/ )2式（6）式（7）.-mx =2廠豹紬/ +廠如)+(/ +廠加山 (/ + l2rnM + m)(m/)2(8)令(7 = (/ + m)-(/?/ )2(9)選取小車的位移x及速度大、倒擺的角位置&及其角速度&作為狀態(tài)變量,圮&為輸出變量病考慮恒等式萬普，可列出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為XX6000001bl -l2bm0朋2go-oX0I +lmqqJX+q00

9、1e0-mlbmgl(M +m)0emlqqqu24實(shí)際參數(shù)代入:GIP-100-L型一階倒立擺系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)為:M小車質(zhì)量0.5 Kg ；加擺桿質(zhì)量0.2 Kg ；b小車摩擦系數(shù)0.1 N/ni/sec ；/擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度0.3 m ；I 擺桿慣量 0.006 kg*m*m :T采樣時(shí)間0.005秒；G=9.8N/mo將上述參數(shù)代入得實(shí)際模型：X0100X0X00-0.18182.67270X+1.8180001e0e0 0.454531.18180e4.545_u10 0 0x0 0 1093.定量、定性分析系統(tǒng)的性能3.1對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析根據(jù)零極點(diǎn)在復(fù)平面的分

10、布情況可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若系統(tǒng)的零極點(diǎn)在右辦平面存在，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。在MATLAB中運(yùn)行以下程序：A=0 1 00; 0-0.1818 2.6727 0; 0 0 0 1; 0-0.4545 31.1818 0;B=0 1.8182 0 4.5455;C=l 0 0 0;0 0 1 0;D=0 0;zpk二 ss2zp(A,BC,D)impulse(ABCQ)-4.94980.00004.94980.0000-5.6041-0.14285.5651 k =1.81824.545513trputee Response4 3 2030 6111.522.53Time (sec)O 8 6

11、4 2 s_no 6H圖四、系統(tǒng)位移的角度脈沖響應(yīng)山圖可得，系統(tǒng)在單位脈沖的輸入作用下，小車的位移和擺桿的角度都是發(fā)散的，同時(shí)，由以上程序的零極點(diǎn)得極點(diǎn)有一個(gè)大于零，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.2對系統(tǒng)的能空性和能觀測性進(jìn)行分析：A=0 1 00; 0-0.1818 2.6727 0; 0 0 0 1; 0-0.4545 31.1818 0;B=0 1.8182 0 4.5455;C=l 0 0 0;0 0 1 0;D=0;Qc=ctrb(A,B);Qo=obsv(A,C);rank(Qc)rank(Qo)ans =4ans =4因此系統(tǒng)為完全能觀測和完全能控的。4線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)4.1線性二次

12、最優(yōu)控制簡介最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中的重要內(nèi)容，近兒十年的研究與應(yīng)用使最優(yōu) 控制理論成為現(xiàn)代控制中的一大分支。山于計(jì)算機(jī)的發(fā)展已使過去認(rèn)為不能實(shí)現(xiàn) 的訃算成為很容易的事情，所以最優(yōu)控制的思想和方法已在工程技術(shù)實(shí)踐中得到 越來越廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用最優(yōu)控制理論和方法可以在嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上找出滿足 一定性能優(yōu)化要求的系統(tǒng)最優(yōu)控制規(guī)律。現(xiàn)代控制理論最突出的特點(diǎn)是將控制對 象用狀態(tài)時(shí)間表達(dá)式的形式表示出來，這樣便于對多輸入多輸出系統(tǒng)進(jìn)行分析和 設(shè)計(jì)。最優(yōu)控制主要是通過對性能指標(biāo)的優(yōu)化尋找可以使LI標(biāo)極小的控制器。如 果系統(tǒng)是線性的，性能泛函是狀態(tài)變量或控制量的二次型函數(shù)的積分，則這樣的 最優(yōu)控制問題稱

13、為線性二次型最優(yōu)控制問題。線性二次型最優(yōu)控制算法是現(xiàn)代控制理論中的一種重要的、基本的方法。線 性二次型性能指標(biāo)易于分析。處理和訃算，而且通過線性二次型最優(yōu)設(shè)計(jì)方法得 到的系統(tǒng)控制方法，具有較好的魯棒性與動態(tài)特性以及能夠獲得線性反饋結(jié)構(gòu)等 優(yōu)點(diǎn)，因此在實(shí)際的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。LQR算法的口的是在一 定性能指標(biāo)下，使系統(tǒng)的控制效果最佳，即利用最少的控制能量來達(dá)到最小的狀 態(tài)誤差。被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x = Ax+Bu式(10)Y = Cx + Du尋找一個(gè)狀態(tài)反饋控制率/ = -KX ,使得如下指標(biāo)達(dá)到最小值式(11)式中Q和R分別是X和u的加權(quán)矩陣，用來平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權(quán)

14、重， 確定了誤差和能量損耗的相對重要性；Q為半正定陣，R為正定陣。假設(shè)控制向量/是無約束的，根據(jù)最優(yōu)控制理論，可以得到最優(yōu)控制率為:u =R-BTP(t)x = -Kx式(12)式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣，P為常數(shù)正定矩陣，且P必須滿足黎卡提代數(shù)方 程：pa + appbr7bp+q = o式(13)因此，系統(tǒng)的設(shè)計(jì)歸結(jié)于對黎卡提方程的求解，獲得P,進(jìn)而求出最有反饋 增益矩陣K。4.2直線一級倒立擺LQR控制算法Q,R分別用來對狀態(tài)向量x,控制向量u引起的性能度量的相對重要性進(jìn)行 加權(quán)。在實(shí)際運(yùn)算中我們運(yùn)用Matlab控制系統(tǒng)工具箱中的“l(fā)qr”函數(shù)直接進(jìn)行 運(yùn)算。利用lqr函數(shù)，我們需要提供

15、兩個(gè)權(quán)值矩陣：Q、Ro通常我們?nèi)=l,而對 于Q我們只能通過不斷的湊取來得到。Q的第一次取值Q=diag(l,0,l,0)源代碼如下：A= 0 1 0 0; 0 -0. 1818 2. 6727 0; 0 0 0 1; 0 -0. 4545 31. 1818 0;B= 0 1.8182 0 4.5455;C二1 0 0 0;0 0 1 0;D二 0;Q=diag(l,0,l,0);R=l;K, P, e=lqr(A, B, Q, R)Ac二A-B*K;Be 二B;Cc 二C;De 二D;T二0:0. 02:6;U二ones(size(T);Y, X=lsim(Ac, Be, Cc, De,

16、U, T);plot(T,Y(:,l)/.-T,Y(:,2);xlabel ( Time (sec);ylabel ( Response);grid;legend (, cartJ, pendulum)K 二-1. 0000-1. 656718. 68523. 45941. 55671. 2067-3. 4594-0. 70271. 20671. 4554-4. 6826-0. 9466-3. 4594-4. 682631. 63155. 9838-0. 7027-0. 94665. 98381. 1397e =-0. 8494 + 0. 8323i-0. 8494 - 0. 8323i-5.

17、 5978 + 0. 4070i-5. 5978 一 0. 4070i11plot(T,Y(:,l)/.- ,T,Y(:,2);xlabel ( Time (sec);ylabel ( Response);0.2Time(sec)圖5 LQR選擇試湊因?yàn)榇舜稳≈嫡{(diào)節(jié)時(shí)間為3.5秒過久，不滿足性能要求。因此不滿意，再次對Q取值：Q=diag(100, 0, 100,01)源代碼如下：A= 0 1 0 0; 0 -0. 1818 2. 6727 0; 0 0 0 1; 0 -0. 4545 31. 1818 0;B= 0 1.8182 0 4.5455;C二1 0 0 0;0 0 1 0;D二 0

18、;Q二diag(100, 0, 100, 0) ;R=1;K, P, e=lqr(A, B, Q, R)Ac二A-B*K;Be 二B;Cc 二C;De 二D;grid;legend cartJ, pendulum)K 二-10. 0000-8.028437. 65647.0198p =79.284131. 4249-70.1978-14.769931.424917. 6819-40.8858-8. 8390-70.1978-40. 8858129.561724.6386-14.7699-8. 839024.63865. 0799-6. 5028 + 3. 6216i-6. 5028 - 3.

19、6216i-2. 2437 + 1. 7339i-2. 2437 - 1. 7339i圖6 LQR選擇試湊此次取值e滿足要求，X的調(diào)節(jié)時(shí)間還是過久，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性能也不滿 足性能要求。因此需要再次取值。Q=diag(1000,0,100,0)源代碼如下A= 0 1 0 0; 0 -0. 1818 2. 6727 0; 0 0 0 1; 0 -0. 4545 31. 1818 0;B= 0 1.8182 0 4.5455;C二1 0 0 0;0 0 1 0;D二 0;Q=diag(1000, 0, 100, 0) ;R=1;K, P, e=lqr(A, B, Q, R)Ac二A-B*K;Be

20、二B;Cc 二C;De 二D;grid;legend (, cartJ, pendulum)-31. 6228-19. 244363. 648812. 3949605. 3955183. 2469-391. 9623183. 246970. 8708-157. 0365-391.9623-157. 0365384.5905-80. 2557-32. 582076. 8172-80. 2557-32. 582076. 817215. 7597-6. 5861 +5. 2115i-6. 5861 一5. 2115i-4.1804 +1. 5795i-4.1804 一1. 5795iplot(T,Y

21、(:,l)/.- ,T,Y(:,2);xlabel ( Time (sec);ylabel ( Response);0.02圖7LQR選取試湊因?yàn)槲灰苮的穩(wěn)態(tài)誤差超過了要求，需要增大控制位移x的權(quán)重，再次對Q取 值Q=diag(5000,0,100,0)源代碼如下A= 0 1 0 0; 0 -0. 1818 2. 6727 0; 0 0 0 1; 0 -0. 4545 31. 1818 0;B= 0 1.8182 0 4.5455;C二1 0 0 0;0 0 1 0;D二 0;Q=diag(5000, 0, 100, 0) ;R=1;K, P, e=lqr(A, B, Q, R)Ac二A-B*

22、K;Be 二B;Cc 二C;De 二D;grid;legend (, cartJ, pendulum)K 二-70.7107-37. 8344105.529520. 9238P =1. 0e+003*2. 66820.7119-1. 4795-0. 30030.71190. 2289-0. 4892-0. 0999-1.4795-0. 48921. 08580. 2189-0. 3003-0. 09990. 21890. 0446-8. 4910 + 7. 9283i-8. 4910 - 7. 9283i-4. 7592 + 0. 8309i-4. 7592 一 0. 8309i0.015圖8 LQR選取試湊此次對Q的取值滿足系統(tǒng)的性能要求，山此可取Q=diag(5000, 0, 100, 01)4.3最優(yōu)控制MATLAB仿真MATLAB軟件是口前國際上最流行、應(yīng)用最廣泛的科學(xué)與工程計(jì)算軟件，具 有高級的數(shù)學(xué)分析和運(yùn)算能力，可以如上編寫MATLAB程序計(jì)算倒立擺系統(tǒng)的 狀態(tài)反饋增益Ko同時(shí)還具有強(qiáng)大的動態(tài)系統(tǒng)的分析和仿真能力。以下是用 MATLAB軟件中SIMULINK工具箱設(shè)計(jì)仿真一級倒立擺系統(tǒng)。應(yīng)用MATLAB