數(shù)學(xué)在語言學(xué)中的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)在語言學(xué)中的應(yīng)用語言學(xué)，顧名思義，是研究語言的科學(xué)，它的基本任務(wù)是要弄清楚語言的結(jié)構(gòu)規(guī)律和演變規(guī)律；而數(shù)學(xué)是關(guān)于空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。這兩門學(xué)科似乎并沒有什么聯(lián)系。但是隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)和語言學(xué)的發(fā)展，一些數(shù)學(xué)家和語言學(xué)家逐步提出用數(shù)學(xué)來研究語言的想法，而且這種語言和數(shù)學(xué)結(jié)合的研究慢慢變成現(xiàn)實。語言學(xué)的發(fā)展，要求運用數(shù)學(xué)的方法客觀地、精確地分析語言；在系統(tǒng)整理、測定計算和總結(jié)概括語言材料時，運用數(shù)學(xué)的方法，并結(jié)合其他研究手段，能使語言學(xué)家更加深入探索語言的結(jié)構(gòu)和話語構(gòu)成的秘密；在機器翻譯、語言信息處理、人工智能、情報自動檢索系統(tǒng)和人機對話管理系統(tǒng)里，自然語言的一切信息必須轉(zhuǎn)換成計算機的數(shù)學(xué)語

2、言。這就要求語言學(xué)的數(shù)學(xué)化，而正是在語言學(xué)的數(shù)學(xué)化的過程中誕生了數(shù)理語言學(xué)。 一般而言，數(shù)理語言學(xué)可分為四個分支學(xué)科：統(tǒng)計語言學(xué)，代數(shù)語言學(xué)，計算語言學(xué)，模糊語言學(xué)。但事實上，代數(shù)語言學(xué)、計算語言學(xué)、模糊語言學(xué)都是側(cè)重于信息處理，著眼于自然語言向機器的數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化，只是所用的數(shù)學(xué)方法不同。隨著現(xiàn)代信息科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，這三者的研究逐漸趨于統(tǒng)一。因此筆者認(rèn)為，可以把數(shù)理語言學(xué)分為統(tǒng)計語言學(xué)和信息處理語言學(xué)。 統(tǒng)計語言學(xué)主要運用概率論、數(shù)理統(tǒng)計和信息論方法來統(tǒng)計、處理語言資料，如對語言成分出現(xiàn)的概率和頻率進(jìn)行統(tǒng)計以選定基本詞匯。美國的語言學(xué)家齊普夫(gkzipf)把詞的效率分布和“消耗最小”(最經(jīng)

3、濟(jì))這一基本原則聯(lián)系起來，提出了齊普夫規(guī)律：，它表示詞表上詞的效率及其排列序號之間的數(shù)量關(guān)系，其中表示詞表中的序號，表示序號為的詞的效率，是常數(shù)，根據(jù)測定，值約為。由這個規(guī)律我們可知，如果詞表包含數(shù)十萬個詞，那么，其中頭1000個常用的詞占該語言的文章中全部出現(xiàn)詞的80，因為： 這說明，只要掌握一種語言中的1000個最常用詞，就有可能讀懂該語言文章的80，這個事實對于語言教學(xué)及自然語言信息處理都是十分重要的。 語言學(xué)家有時需要統(tǒng)計某個作家的詞匯總量，如果我們簡單地直接計算，那將會是一項很龐大的工作。于是有語言學(xué)家運用數(shù)學(xué)知識，得出了由某部作品來推定詞匯總量的公式：，為該作品中不同的詞數(shù)，為個詞

4、中只用一次的詞數(shù)，為由決定的指數(shù)。由這個公式我們可以算出雨果的詞匯總量為60000。不同作者、不同年代有不同的用詞、用句特點。對其進(jìn)行統(tǒng)計處理，可探求作家文體特點，也可推定作者不詳?shù)奈墨I(xiàn)作者和年代不詳?shù)奈墨I(xiàn)的寫作年代。此外，統(tǒng)計語言學(xué)下的語言年代學(xué)，可通過語言的詞匯統(tǒng)計，來測定語言存在的年代或推測分化的年代。 信息處理語言學(xué)主要運用離散數(shù)學(xué)、數(shù)理邏輯、模糊數(shù)學(xué)對語言進(jìn)行研究，把自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，在數(shù)學(xué)語言與自然語言之間架起一道橋梁。信息處理語言學(xué)的發(fā)展是與數(shù)學(xué)的發(fā)展聯(lián)系最緊密的。20世紀(jì)50年代機器翻譯的發(fā)展，電子計算機的信息處理，要求人們對于傳統(tǒng)語言學(xué)概念進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯分析，提出精確的

5、語言模型。自然語言經(jīng)過語言模型的抽象數(shù)學(xué)描述之后，就比較適于計算機處理了。其中主要應(yīng)用的就是離散數(shù)學(xué)的集合論、數(shù)理邏輯和算法理論。但這種研究只是從句法機構(gòu)的角度研究語言，很難解決自然語言的歧義問題。從70年代起，為了解決自然語言的構(gòu)造問題，數(shù)理語言學(xué)必須尋找新的途徑以深入到語言的內(nèi)部，即語義學(xué)領(lǐng)域。人們開始運用數(shù)理邏輯、計算機科學(xué)，以計算機為手段來研究自然語言。把深層結(jié)構(gòu)作為形式語言的符號系統(tǒng)來處理，一般采用圖論中的數(shù)形圖作為分析表達(dá)的工具，探討形式語言與表層結(jié)構(gòu)的關(guān)系，以便有效解決自然語言中的歧義現(xiàn)象。 隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)理語言學(xué)的發(fā)展又進(jìn)入了一個新的時期。語言的不確定性和模糊性，是模糊

6、數(shù)學(xué)進(jìn)入語言學(xué)領(lǐng)域的客觀基礎(chǔ)。在這一基礎(chǔ)上，利用模糊數(shù)學(xué)來探索語言的模糊性和精確性的辯證關(guān)系。模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人扎德提出“隸屬度”(又譯為“一致性”)的概念，作為模糊語義的度量方法，用“1”表示屬于這個集合，而“0”表示不屬于這個集合，0與1之間的小數(shù)表示接近該集合的不同程度，并可由此推出模糊集合的隸屬函數(shù)關(guān)系。根據(jù)模糊語義和模糊邏輯的數(shù)學(xué)方法，對于某些語言變量給出適當(dāng)?shù)碾`屬度的函數(shù)，就可以利用計算機對于復(fù)雜的信息系統(tǒng)進(jìn)行處理，使計算機接受一部分自然語言的模糊表述，從而大大提高人們編制程序的效率。隨著當(dāng)代信息科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，特別是計算機及互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，對數(shù)字化的語言文字的要求不斷提高，這

7、就給數(shù)理語言學(xué)的發(fā)展提出了新的要求，但這也正是其發(fā)展的動力，現(xiàn)代語言學(xué)也必將由此而產(chǎn)生一場新的革命，數(shù)理語言學(xué)必將有一個光輝的前景。而其中數(shù)學(xué)的發(fā)展將起著至關(guān)重要的作用，數(shù)學(xué)的發(fā)展必將帶動語言學(xué)的發(fā)展。（作者系北京大學(xué)外語系二年級學(xué)生 王悅）小瞰美術(shù)中的數(shù)學(xué)個性 無論是繪畫、雕塑，還是音樂、舞蹈，每件藝術(shù)晶都有其獨立于其他作品的個性。這些令人難以捉摸的個性猶如閃爍的繁星散滿了藝術(shù)的天空。如果，我們可以找到一種表現(xiàn)它們個性的規(guī)律性的東西，通過它去了解藝術(shù)，那么藝術(shù)雖然廣博也就不那么神秘了，而這個工具就是數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)，在一定程度上表現(xiàn)了不同作品的個性。一、 古代，不同地區(qū)的文明創(chuàng)作的美術(shù)作品是不同的

8、在古埃及的壁畫中，人物造型是以側(cè)面的頭部、正面的身體和側(cè)面的腿腳為構(gòu)圖特征出現(xiàn)的。正如側(cè)面的形象比正面的形象更具有“鳥”的本質(zhì)特征，這樣的人物造型也是畫家們選擇的表現(xiàn)“人”的最好的、最有力的、最真實的形象。然而，更深一步思考，我們便可以看出，古希臘的藝術(shù)家們已經(jīng)注意到如何在一個平面中表現(xiàn)立體的物體，從而使它更具 真實性和運動感。實際上，他們正是借助于角度的變換來解決這個問題的。借助角度的變換用平面表示立體，這正是古希臘壁畫中的數(shù)學(xué)個性。 而澳洲人則找到了一種比變換角度更有效的立體表示法： “x”光透視畫法。這種方法可以將動物的骨骼內(nèi)臟都全盤畫出。瞧，我們的藝術(shù)大師們又向立體幾何邁進(jìn)了一步，誰敢

9、說數(shù)學(xué)家沒有從繪畫中得到過靈感呢? 同時代的非洲木雕，卻展示了另一種藝術(shù)風(fēng)格，那里的許多作品充分利用方、圓、柱、三角、楔形等幾何體的無窮組合方式，饒有趣味地尋找臉和五官、身體和四肢的結(jié)構(gòu)，來傳遞某種藝術(shù)和儀式的象征意義。正是這種造型的幾何味道，使非洲人的藝術(shù)品顯得簡潔而夸張，這與數(shù)學(xué)的概括性不謀而合。幾何造型法的使用和夸張的概括性正是此時非洲木雕的數(shù)學(xué)個性。在美洲，圓柱則得到了特別的寵愛，“圖騰柱”是藝術(shù)家們最有力的造型和最過癮的創(chuàng)作。事實上，這體現(xiàn)了美洲人對空間強烈的欲望。因為，柱體是最具有空間征服力的。這種欲望一直延伸到現(xiàn)在，激勵我們對高維空間的不懈探索。另一方面，美洲藝術(shù)與中國美術(shù)又有著

10、極為相似的地方。他們都善于利用線條的生長、穿插、交疊和排列等產(chǎn)生無窮無盡的組合，而這一過程遵循嚴(yán)格的規(guī)律，如中國商周青銅器上的銘紋和漢代漆器上的圖案。 古希臘，不愧是數(shù)學(xué)的搖籃，也是數(shù)學(xué)地震的震中地帶，在他們的藝術(shù)作品中所體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)個性是最豐富，也是最有深度的。希臘眾神的雕像是古希臘藝術(shù)中璀璨的明珠。但無論是信使赫爾基斯，海神波賽冬，還是美神阿芙洛荻特，他們的作品都普遍具有“三段式”的姿態(tài)。重心偏于一腿，身體微側(cè)，使人體肩胸、腰腹，腿腳處于一個輕松又不松弛的狀態(tài)，身體兩側(cè)形成松緊對應(yīng)的優(yōu)美“s”型曲線。頭、胸、腹、腿微妙地朝向三個不同的方向。這構(gòu)成一種靈活、舒適的美，而完全不同于古埃及的正面

11、、古板的雕塑?？磥恚畔ＥD的雕塑家一定對重心很有研究。他們做到了“運動中的平衡”。正由于希臘人對人體美的追求，他們比其他人更重視比例的應(yīng)用。在雕塑家留西坡西眼中，1：8的頭身比是身體最美的比例。而黃金分割更是將數(shù)學(xué)推理與感官感受結(jié)合成最迷人的比例：l：1618。在希臘人的人體雕塑中，線條的長短、粗細(xì)、身體的高低及四肢、五官的比例都能進(jìn)行精確的測量。我們驚訝地發(fā)現(xiàn)，聞名世界的希臘人體雕像的兩大特征恰恰是數(shù)學(xué)個性的體現(xiàn)：巧妙地安排重心，精確地計算比例。二、在現(xiàn)代，不同時期的不同派別，也在他們的作品中詮釋了他們對數(shù)學(xué)的理解 如果說印象主義畫派是在描摹自然，那么表現(xiàn)主義畫派就是在創(chuàng)造自然，而抽象主義則

12、純粹是在壓縮自然。例如：莫奈、雷諾阿的大自然真實、生動，又豐富、美麗。而凡高、高更、蒙克，他們崇高的社會感或不幸的遭遇使他們在畫中增添了明顯的主觀情感因素：一切事物都發(fā)生了強有力的扭曲和變形。而到了康定斯基，自然徹底變成了一些基本的元素。抽象藝術(shù)使用的是經(jīng)過抽象的最典型、最本質(zhì)的人人都能看懂的符號。從具體到抽象，從表面到本質(zhì)，從有形到符號，這一過程與數(shù)學(xué)的發(fā)展何其相似，藝術(shù)與數(shù)學(xué)越走越近了。 畫派并不能代表每個畫家，不同的畫家將個性推向了頂峰，而數(shù)學(xué)依舊蘊涵于每一種個性之中。畢加索的亞威農(nóng)少女開創(chuàng)了立體主義的先河，他通過主觀的理性篩選，將對物體前后左右的不同知覺按主觀構(gòu)想拼湊在一起，很多符號被

13、畢加索概念化了，實際上，這是將立體表現(xiàn)為平面的過程，也是將對象打碎再重組的過程。這個過程有些像微積分，但又不完全是，或許它可被數(shù)學(xué)家借鑒解決一些面積和體積的問題。而雷諾阿則對中軸線情有獨鐘，他的畫總是那么左右對稱，如果他的畫面上有兩個人，那么，你總能發(fā)現(xiàn)那最明顯的接觸點一定在整個畫面的中軸線上?？藙诘履斡肋h(yuǎn)是一個謎，這個印象主義大師的畫就像莫扎特的音樂一樣為世人視為神晶。因為從不變中體現(xiàn)出變化的只有兩個：一個在牛頓與萊布尼茨的微積分中，另一個在莫奈的畫中。他想畫出光的振顫，水的波動，空氣的透明，樹葉的閃爍。他做到了，其他人沒有。至于莫奈是否在他著色時運用了微積分的什么技巧，我們不敢說。但是，

14、起碼，我們可以把莫奈的這種精神同數(shù)學(xué)建立某種聯(lián)系，而這個謎就讓它成為一種永恒的美吧。 這就是美術(shù)與數(shù)學(xué)，我們用數(shù)學(xué)區(qū)分不同藝術(shù)作品的個性，或許有些簡單，但誰又知道它不是本質(zhì)的呢?只要有一件合適的媒體，人類可以走近任何領(lǐng)域，不是嗎？（作者系北京大學(xué)法律系二年級學(xué)生 王睿）語言學(xué)與數(shù)學(xué) 語言學(xué)和數(shù)學(xué)有什么關(guān)系？看到這個題目，很多人都會覺得奇怪。因為在大家的印象中，語言學(xué)應(yīng)該是一門典型的人文學(xué)科。它和數(shù)學(xué)好像實在扯不上關(guān)系。如果我們光看傳統(tǒng)的語言學(xué)研究，也確實看不到什么數(shù)學(xué)的東西來。但是現(xiàn)代語言學(xué)已經(jīng)不再是一般人印象中的那個樣子了。不但數(shù)學(xué)方法大量引入語言研究，有一些分支領(lǐng)域甚至可以說完全數(shù)學(xué)化了。

15、 社會語言學(xué)研究是使用數(shù)學(xué)工具比較早的一個領(lǐng)域。語言學(xué)研究有一個基本假設(shè)，認(rèn)為語言是一個同質(zhì)的，內(nèi)部規(guī)則嚴(yán)整的系統(tǒng)。但是在進(jìn)行社會調(diào)查后得到的樣本卻遠(yuǎn)非那么簡單。從發(fā)音人自身來說，他會有口誤，或者受到表達(dá)或情緒等因素影響。很難采集到像書面語那樣整齊規(guī)范的材料。而如果讓他念文章的話，那么采集到鏟又不是真正活生生的口語材料。同一語言集團(tuán)內(nèi)部對語言的使用也是有歧義的，這無論在語言、句法還是詞匯層面都有體現(xiàn)。比如拼音方案中的w，到底是個雙唇的半元音還是別的東西。從語音規(guī)范角度當(dāng)然認(rèn)為這是個半元音。但實際情況是北京人有的把它發(fā)半元音，有的發(fā)成上齒咬下嘴唇的v，而且在不同的音節(jié)中還表現(xiàn)不一樣。上世紀(jì)二三十

16、年代已經(jīng)有人注意到了這一點，但沒能做出很好的解釋。因為這樣的現(xiàn)象只有通過大規(guī)模的社會調(diào)查才能解決。而社會調(diào)查就需要使用數(shù)理統(tǒng)計。一方面用諸如標(biāo)準(zhǔn)偏差等指標(biāo)來排除顯然有問題的樣本，使我們的研究不會因為發(fā)音人的口誤而得到錯誤結(jié)論。再用相關(guān)分析等方法，把不同的發(fā)音差異與調(diào)查對象的年齡、文化、性別、地域、職業(yè)等非語言因素相聯(lián)系，以獲知這種語言歧異在社會的分布情況。 我們在社會調(diào)查后發(fā)現(xiàn)發(fā)成唇齒音的人集中在年齡為中年以下，文化程度較高的人群中，該音主要出現(xiàn)在韻腹非圓唇元音的零聲母音節(jié)。通過這一調(diào)查，我們還可以進(jìn)一步預(yù)測，北京話將來很可能要出一個v聲母，如“晚間新聞”應(yīng)該念成vanjian xiven。

17、實驗語音學(xué)也是使用數(shù)學(xué)比較多的語言學(xué)分支學(xué)科。從一開始它就主要研究語音的生理、聲學(xué)參數(shù)。傅里葉變換、線性預(yù)測是計算元音共振峰必不可少的數(shù)學(xué)工具。各種統(tǒng)計方法更是大量使用。近年來，隨著語音合成技術(shù)的發(fā)展，建構(gòu)一套合理的語調(diào)變化的數(shù)學(xué)模型，已經(jīng)成為一項重要課題。因為語音合成界一開始構(gòu)筑的所謂“中性語調(diào)”概念，是一種不帶任何強調(diào)、任何感情，最最平淡的語氣。到現(xiàn)在，合成簡單句基本問題不大了。但合成連續(xù)語篇就出問題了。人們在念文章時，總是會隨著新舊信息的交替，強調(diào)的中心不斷轉(zhuǎn)移。即使是新聞報道中，也很難找出一句完全用“中性語調(diào)”說出的句子?！爸行哉Z調(diào)”的句子連成語篇，沒有重點，沒有強調(diào)，人們很難聽懂，甚

18、至?xí)牭没杌栌晕覀儽仨氃谶@種“中性語調(diào)”基礎(chǔ)上，再加上一定的參數(shù)，使之成為現(xiàn)實的句子。這很像是一個自變量，經(jīng)過一定函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換成因變量。但是這只是簡而言之的說法。人耳并不是聲學(xué)儀器，雖然它也分析音高、音長、音強和音質(zhì)等要素，但最終得到的是一個囫圇的印象。相同音高條件下音強更大的音會感覺音高更高一些。所以聲音四要素在語言中關(guān)系比較復(fù)雜。語調(diào)的數(shù)學(xué)模型還必須搞清各要素之間制約關(guān)系。我國學(xué)者提出的語言演變有階無界理論，方言相似度計量研究也是數(shù)學(xué)方法在歷史語言學(xué)、方言學(xué)等很多領(lǐng)域中的應(yīng)用。此外還有詞頻研究、文章風(fēng)格學(xué)研究都會涉及到數(shù)學(xué)。不過，這些只能說是數(shù)學(xué)方法在語言學(xué)中的應(yīng)用。方法、技巧說到

19、底不過是數(shù)學(xué)淺層次的部分。數(shù)學(xué)還有更深層次的精神值得語言學(xué)參考。很多數(shù)學(xué)問題都是來源于現(xiàn)實世界中一些具體的問題。數(shù)學(xué)家在研究這些問題時卻把對象的具體屬性統(tǒng)統(tǒng)抽離，而僅僅研究它的數(shù)和形的關(guān)系。正因為如此，一個數(shù)學(xué)問題的解決，往往具有很大的普適性，這一點語言研究就應(yīng)該借鑒。很多語言研究者，視野比較窄，只注目于自己研究的那種語言。在漢語學(xué)界尤為明顯，動不動就愛說“這是漢語的特點”而不去想想這種研究對別的語言的作用，就更不用說對其他學(xué)科的方法論意義了。人類生理結(jié)構(gòu)都是一樣的，面對著的世界也是同一個世界，那么是不是很有可能表面看來有差異，背后隱藏著某一種一致呢？這并非是憑空瞎想，對兒童語言習(xí)慣的研究就發(fā)

20、現(xiàn)，世界兒童語言學(xué)習(xí)過程是非常相似的，在相同的生活階段會犯相似的語言錯誤，再加上兒童語言習(xí)得的速度是驚人的，短短兩三年就可以學(xué)會一種語言，而成人學(xué)習(xí)外語遠(yuǎn)遠(yuǎn)要吃力得多，而且不久就忘了。成人學(xué)外語一般是系統(tǒng)學(xué)習(xí)，而兒童卻只是面對雜亂無章的語言世界，所以有人推測，人腦中先天就有某種語言機制。兒童語言獲得過程，與其說是習(xí)慣，不如說是調(diào)整。這也就意味著如果我們的語言研究能站得更高一點，抽象去具體語言中很多瑣碎的規(guī)則，就有可能找到潛藏在我們大腦中的語言機制。我們也完全可以設(shè)想，人類語言的差異可能僅僅在于具體的參數(shù)不同。就好像只要平行公理的參數(shù)不同，我們就可以得出歐氏幾何、雙曲幾何、橢圓幾何這樣完全不同的

21、幾何體系。人類語言不過是涉及到的參數(shù)更多一些而已。西方語言學(xué)界正在興起的原則參數(shù)語法正是基于這一思想提出的。如果我們真的找到這樣一個隱藏在人類紛繁復(fù)雜語言現(xiàn)象背后的原則系統(tǒng)，一個直接的好處就是可以大大提高我們外語學(xué)習(xí)的效率。另一個重要的意義則是世界一體化進(jìn)程中，強勢文化的語言正在威脅到很多弱勢語言的存在。很多語言已經(jīng)滅絕，還有很多語言則處于瀕危狀態(tài)。為保護(hù)我們的生態(tài)環(huán)境，我們要保護(hù)瀕危動物。語言同樣也需要保護(hù)。每一種語言都是人類與世界交流的獨特方法。一套高度形式化的語言體系，有助于我們對那些語言的調(diào)查，因為一定程度上只要找那些參數(shù)的具體取值，而不必重復(fù)像以前調(diào)查那樣的繁瑣手續(xù)。 數(shù)學(xué)的一個重要

22、特點是它從少數(shù)公理出發(fā)，通過邏輯手段建立起一系列定理、公式，最后建構(gòu)成龐大的理論體系。這大概也是數(shù)學(xué)最迷人、最震撼人心的地方。公理化使它的基礎(chǔ)牢固、簡明、自洽；邏輯化使它更加嚴(yán)密；而定理、公式的建立使數(shù)學(xué)可操作性極強。我感覺前兩者人們談得比較多，而對定理、公式的意義卻似乎談得不多，所以在此多寫兩句。從理論上，可以說一切幾何命題都可以直接從那幾個公理推出，但這樣作的艱辛是不言而喻的。 而定理、公式就相當(dāng)于一個個預(yù)制件使處理可以跳躍前進(jìn)。這事實上和人類語言的發(fā)展過程是相似的。人類語言的基礎(chǔ)大概來自于對事物的命名。由于命名，使事物從混沌的世界中剝離出來，進(jìn)入人類的認(rèn)識世界，而后人就可以直接通過名稱來

23、認(rèn)識世界，而不必重復(fù)前人的剝離過程。這一點非常重要，在日常生活中我們可能體會不深，因為已經(jīng)習(xí)慣了。如果我們看一些專業(yè)文獻(xiàn)，會發(fā)現(xiàn)其中充滿了多種術(shù)語，外行人根本看不懂。術(shù)語是什么，就是對本 行業(yè)相關(guān)的一定事物、現(xiàn)象的命名，以后的討論就能以它們?yōu)榛A(chǔ)而不必再對其內(nèi)涵作繁瑣的描述。文明的進(jìn)步，科學(xué)的發(fā)展也正是這樣層層疊積起來的，所以，數(shù)學(xué)體系中定理、公式的意義也很大。 公理、邏輯推理、定理構(gòu)筑起如此宏偉的理論體系，這也成為很多學(xué)科努力的方向。語言學(xué)家們也正在為此做出努力。但是語言是一個非常復(fù)雜的體系，它所涉及的對象包括了整個世界，要把“語言公理化”分外困難。記得開學(xué)初老師就舉出了幾個例子來說明人文學(xué)

24、者在嚴(yán)密性方面的欠缺，這幾個例子都與語言學(xué)有關(guān)。確實它們跟一些學(xué)者不夠謹(jǐn)慎有關(guān)，但語言學(xué)家自有他的苦衷。比如“左”和“右”，似乎是很好解釋的詞。但只要作個小實驗就會發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)非那么簡單。大家可以試著指著自己的右臉對另一個人說“你這邊臉上粘了點臟東西”。對方十有八九會摸自己的左臉。又如“前”“后”。在課堂里，請問a、b兩個位置，哪個是在講臺前面?這里就涉及到語言中很多詞意義是相對的，有相當(dāng)?shù)哪：?。這種模糊性和人們熟悉的“高”和“矮”界線的那種模糊很不一樣，我們在這里無法作過深的討論。但需要指出，至少有一個元語言的問題。在數(shù)學(xué)中定理可以由公理證明，但公理卻無法證明。語言中則存在了太多的類似公理的基本

25、元素，用它們來解釋其他詞語可以，詞典編纂時不能把它們丟下，因為它們大多是日常使用頻率極高的詞，但要解釋它們實在相當(dāng)困難，往往會出現(xiàn)循環(huán)解釋。如果作科學(xué)概念的解釋，雖然可能符合很多專業(yè)學(xué)者的胃口，但不符合語言實際。因為一個小孩子和一個老人對“生活”的理解，顯然大相徑庭，但沒人會認(rèn)為他們倆說“生活”這個詞的時候是說的兩個不同的詞。所以詞典在這個問題上很難解決。一個可行的努力是編一部只用固定數(shù)量(如1000個)詞解釋其他所有詞，而對這些詞本身只說明其用法的詞典。雖然將語言學(xué)公理化是件非常艱辛的工作，但這確實是一個值得努力的方向。西方一些學(xué)者已經(jīng)在這方面做了大量的工作，但中國學(xué)界似乎還沒有很好的研究。

26、 詞匯系統(tǒng)由于過分龐雜，公理化非常困難，但句法系統(tǒng)顯然要規(guī)則得多。數(shù)學(xué)能夠做到高度抽象，一個很重要手段是形式化、符號化。這使很多語言學(xué)家得到啟示。能不能把語言看作一個按某種規(guī)則構(gòu)成的符號串的無限集合呢?基于這樣的思想，語言學(xué)家把自然語言和計算機程序語言等人工語言放到了同一個平面來考察。用形式的辦法統(tǒng)一作了描寫，提出語言可以分為上下文有關(guān)語言、上下文無關(guān)語言和有限狀態(tài)語言。當(dāng)時計算機科學(xué)家設(shè)計了一種叫algol60的程序語言，發(fā)布后不久就發(fā)現(xiàn)語法里存在歧義。科學(xué)家們絞盡腦汁試圖找到機械的方法來判斷程序語言是否存在歧義。語言學(xué)家用形式語言理論證明程序語言屬于上下文無關(guān)語言，這樣的語言是無法用機械的

27、辦法判斷是否有歧義的，從而回答了計算機科學(xué)一個重要理論問題。也引起當(dāng)時計算機學(xué)界的巨大反響。一些計算機科學(xué)家和語言學(xué)家深入合作，從而創(chuàng)立一個全新的學(xué)科：計算語言學(xué)。這門學(xué)科的特點是采用集合論、數(shù)理邏輯、算法理論等方法研究語言，用計算機模擬自然語言的詞法、句法和語義結(jié)構(gòu)，研究句法結(jié)構(gòu)和語義解釋的關(guān)系。通過這樣的辦法，就有可能把語言理論的某些方面改造成數(shù)學(xué)那樣的演繹系統(tǒng)。人類科學(xué)的發(fā)展有兩個目的，一個是了解我們生活的這個世界，另一個就是探究我們神秘的心靈。數(shù)學(xué)是研究客觀世界最強有力的工具，語言是研究人類心智世界最重要的途徑。我們相信，數(shù)學(xué)和語言學(xué)的結(jié)合，必將為人類探索自身的事業(yè)打下堅實的基礎(chǔ)。雜談

28、考古學(xué)中的數(shù)學(xué)思想 一、我看考古學(xué) 考古學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，是以事實說話的。 我曾拜讀過沈從文先生的一篇駁王力先生的文章：“從文物來談?wù)劰湃说暮訂栴}”。事實是這樣的：王力先生在他的“邏輯與語言”一文中附帶提出了以下觀點： 1漢族男子在古代是留胡子的，且這是作為男子的必需。 2古樂府陌上桑中有：“行者見羅敷，下?lián)埙陧?。”可見?dāng)時每一個擔(dān)著擔(dān)子走路的人都是有胡子的。 3胡子長得好算是美男子的特點之一，所以漢書稱漢高祖為“美須髯”。 可能王力先生當(dāng)時也沒細(xì)想，但卻被嚴(yán)謹(jǐn)?shù)纳蛳壬闯隽似凭`。沈先生首先指出了以上推論的邏輯不嚴(yán)密性：“私意第一點概括提法實無根據(jù)，第二點推想更少說服力，第三點對于文字解

29、說也不大妥當(dāng)。行文不夠嚴(yán)謹(jǐn)，則易滋誤會，引例不合邏輯則似是而非，和事實更大有出入，實值商討?！?隨后，沈先生沒有空洞地指責(zé)王力先生，而是拿出了事實材料：故宮的幾件玉雕人，湖南新出土的一個銅鼎上有幾個人頭，另外傳世還有幾件銅刀、銅戈、銅鉞上的人頭形，幾個陶制奴隸傭等反映：在商代，同是統(tǒng)治者，有下巴光光的，也有留大胡子的；而安陽出土的一個白石雕刻的貴族像和另一個手帶桎梏的陶制奴隸，都沒胡子。這說明上到統(tǒng)治階級，下至卑賤的奴隸，胡子并非人人必需。另外，其他許多反映勞動人民形象的器物上也少有見留胡子的。而挑擔(dān)子的也是勞動人民而非特別的一類人物，故挑擔(dān)子的必留胡子這一說法不成立。沈先生又舉了若干例子證明

30、留胡子否與是否美男子無關(guān)。 從沈先生的分析我看到了一位文物工作者對待事物的認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，也體會到了考古學(xué)的一些精神。 那么，什么是考古學(xué)呢?考古學(xué)是一門根據(jù)古代人類活動遺留下來的實物資料來研究人類古代社會歷史文化的學(xué)科?？脊艑W(xué)是一門與歷史科學(xué)密切相關(guān)的人文學(xué)科，但它與歷史學(xué)的區(qū)別在于：歷史學(xué)研究的對象是文獻(xiàn)資料，而考古學(xué)則是實物資料?？脊艑W(xué)研究中要涉及到古代人類社會及自然環(huán)境的方面，這決定了它是一門涉及面極為廣泛的邊緣學(xué)科。除了與社會科學(xué)如民族學(xué)、民俗學(xué)、古文字學(xué)、社會學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、美學(xué)等密不可分外，它還大量使用了自然科學(xué)的地質(zhì)學(xué)、地理學(xué)、氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)、生物科學(xué)，以及在現(xiàn)代科技考古中廣泛應(yīng)用的

31、物理、化學(xué)等學(xué)科的研究成果和方法。可以說，考古學(xué)已不能簡單地或文或理地分門別類了。 但是目前還是有部分考古工作者仍將自己局限在純文科的圈子里，對自然科學(xué)抱懷疑甚至排斥的態(tài)度。那么，考古學(xué)與數(shù)學(xué)這類理科學(xué)科有何聯(lián)系呢? - 二、考古學(xué)與數(shù)學(xué) 考古學(xué)的研究方法貫穿了數(shù)學(xué)的精神和嚴(yán)密的邏輯體系，采取了類似“公理一定理一推論一結(jié)論”的理論體系。 考古學(xué)的公理是什么?我們先明確一些概念。 定義 由于人類活動，地表土地逐漸形成了一定的層次關(guān)系，這些層次叫做地層，又叫文化層。 地層中包含了人類活動的遺跡遺存，是考古發(fā)掘的重要概念 考古學(xué)第一公理 在沒有人為擾動的情況下，地層是按時代順序由下往上逐漸形成的。

32、簡單明了，無疑是經(jīng)得住檢驗的。再次公理下發(fā)展出的考古學(xué)研究方法叫做“考古地層學(xué)”。根據(jù)地層是否受到人為擾動，地層間的關(guān)系可分為兩種。定義 兩個地層上下順序相疊，這種關(guān)系叫做“疊壓”。一個地層挖破了另一個地層，如進(jìn)入到了另一個地層的內(nèi)部，這種關(guān)系叫做“打破”。 疊壓的關(guān)系較為簡單，是兩個地層自然形成的狀態(tài)。打破的關(guān)系就相對復(fù)雜了，它是地層受到人為擾動而形成的。比如墓葬(是一個地層單位)就打破了它周圍的土地(也是一個地層單位)。也可能有一種地層同時打破了多個地層或是兩個地層打破的情況。但是無論如何，總有如下定理： 定理一(地層疊壓定理) 兩個疊壓的地層，上層的時代晚于下層。 定理二(地層打破定理)

33、 兩個打破的地層，被打破的地層比打破它的地層時代早。 這就是考古地層學(xué)研究的基礎(chǔ)。通過地層的關(guān)系，考古以判斷出地層中的器物的時代的相對早晚。 下面我們再來看另一個公理。 考古學(xué)第二公理 事物是漸變地發(fā)展的。 這也是馬克思主義哲學(xué)量變與質(zhì)變的觀點。顯然這也是正確的。但是在考古學(xué)中它有什么意義? 現(xiàn)在假設(shè)我們通過大量的考古發(fā)掘，手里掌握了大量的器物。我們把這些器物拿出來觀察。這些器物千姿百態(tài)，即便同一類器然的變化，比如從口徑很小突然變得口徑很大。這個發(fā)展必定是個漸變的過程。我們把一種有代表意義的器物(實際上通常是陶器)按照其某個特征(如口徑大小)排列起來，那這些器物出現(xiàn)的先后順序就大致確定了。但是

34、也有可能器物的口徑經(jīng)過了從小到大，再從大到小的過程，這又怎么辦呢?沒關(guān)系，我們還可以將器物按別的特征也排個隊，然后綜合考慮，最后得到一個合理的結(jié)果，確定出這些器物的時代先后順序。要是其中某個器物上有銘文確切記載了其年代(這種情況不罕見)，那么這些器物的時代也大致確定了，而且與它們同時出土的其他器物的年代也就知道了。 這種研究方法叫做考古類型學(xué)。 類型學(xué)是人們通過長期的考古實踐，逐步摸索出了古代物質(zhì)文化在不同歷史時期的特征，總結(jié)出器物在不同時代特有的形態(tài)特征和固定組合等時代特征，從而產(chǎn)生的考古學(xué)研究方法。地層學(xué)和類型學(xué)相互補充、印證，就構(gòu)成了考古學(xué)的主體?？梢钥闯觯@其中的確蘊涵了豐富的數(shù)學(xué)精神

35、和數(shù)學(xué)的思維方式。那具體來說我們是怎樣分析這些器物呢?以上文沈從文先生的例子來說。沈先生舉了很多實例。他為什么不只根據(jù)一件器物就得出結(jié)論呢?雖然在這里只需一個無胡子的人像就可駁倒古人都有胡子的謬論。但是，對別的論斷就可以用一個實例來說明嗎？要知道，考古學(xué)是一門通過部分來研究整體的學(xué)科，部分的量越豐富，就越接近整體的狀況?？脊艑W(xué)本身的性質(zhì)決定了它不可能得到所有的考古實體，因此就有了它所作出的推斷是否可靠的問題。 要多少件實物才能保證推斷可靠?一件不夠，兩件、三件呢？要多少才夠?憑直覺估計一個數(shù)字行嗎?這不是科學(xué)的態(tài)度。這里考古學(xué)家們用到了一門強大的數(shù)學(xué)工具統(tǒng)計學(xué)。通過統(tǒng)計學(xué)的分析計算，我們可以知

36、道我們至少需要多少事實材料來支持我們的論斷，我們作出的論斷有多可靠等。甚至我們可以從現(xiàn)有的人像來推測出古人大約有多少留胡子，多少不留胡子(假設(shè)每個人像都代表一個實際存在的古人)，并知道我們的推斷有多大的把握。統(tǒng)計學(xué)在考古學(xué)中的用途十分廣泛，除了用于考古推斷外，還可用在考古學(xué)實體的關(guān)系研究、排序分期、文物鑒定等方面。統(tǒng)計學(xué)讓考古學(xué)走上了數(shù)量化的道路，可以說這是考古學(xué)史上的一次飛躍。三、我的數(shù)學(xué)觀 我從小就很喜歡數(shù)學(xué)，喜歡解決各種復(fù)雜而有趣的問題，喜歡體會問題解決時的興奮和成就感?，F(xiàn)在我卻在一個文科系讀了一個不文不理的專業(yè)。我的專業(yè)叫做“文物保護(hù)”，這是北京大學(xué)考古系第一次對本科生開設(shè)的一門新興專

37、業(yè)。據(jù)說，當(dāng)年系里的老師們給我們排課可是煞費了苦心。因為沒有先例，老師們都不知道該給我們安排哪些課。就該不該給我們排“高等數(shù)學(xué)”課時，老師們發(fā)生了意見分歧。有的老先生就認(rèn)為“沒必要，以后用不到”。 從這里也可以看出現(xiàn)在仍有部分考古工作者對數(shù)學(xué)的認(rèn)識還不夠。后來我們還是上了高等數(shù)學(xué)，因為我們還有化學(xué)物理等課，沒有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)無法學(xué)。但是是否“用不到”就可以不學(xué)數(shù)學(xué)了呢? 我認(rèn)為，數(shù)學(xué)不僅僅是一種工具，它更是一個人必備的素質(zhì)。它甚至?xí)绊懙揭粋€人的言行、思維方式等各方面。一個人的數(shù)學(xué)修養(yǎng)并不表現(xiàn)在他會解多難的題、解題有多快和數(shù)學(xué)能考多少分，關(guān)鍵是他是否真正領(lǐng)略了數(shù)學(xué)的思想、數(shù)學(xué)的精神，是否能將這些思想

38、融會到他的日常生活、言行中去。一個真正懂?dāng)?shù)學(xué)的人未必是個數(shù)學(xué)天才，但他一定是個高素質(zhì)的人。（作者系北京大學(xué)考古系三年級學(xué)生 王朝勛）展開想象的美麗翅膀論數(shù)學(xué)研究中的“想象” 人們常把數(shù)學(xué)比喻為科學(xué)王國中最璀璨的明珠，稱它為一切科學(xué)之本，這大概是指：數(shù)學(xué)具有確切的概念和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C方法，是高度抽象的、形式化了的邏輯演繹科學(xué)。很多人據(jù)此認(rèn)為，數(shù)學(xué)是理所當(dāng)然的邏輯思維，其思想完全湮沒于成串的定理之中，然而事實上，在數(shù)學(xué)研究中除了大量運用明確的邏輯結(jié)構(gòu)和固定模式，如公理化方法、歸化方法之外，還廣泛運用了一種不受固定邏輯規(guī)則制約、自由度較大的創(chuàng)造性思維活動，其目的在于構(gòu)筑新意，產(chǎn)生具有創(chuàng)造性的見解，以達(dá)到

39、認(rèn)識的新突破，想象便是其中非常重要的一種。 一、關(guān)于想象 “想象是人在客觀事物的影響下，在言語的調(diào)節(jié)下，頭腦中已有的表象經(jīng)過結(jié)合和改造而產(chǎn)生新表象的心理過程?！比绻麤]有想象，人就不可能有任何創(chuàng)造發(fā)明和預(yù)見，它與思維構(gòu)成一種交叉關(guān)系，思維過程中有想象，想象過程中有思維，它們是智力活動中相輔相成的兩個因素，是人們創(chuàng)造活動的兩大認(rèn)識支柱。而所謂的數(shù)學(xué)想象就是指想象在數(shù)學(xué)活動中的反映。 想象分為兩種形式：再造想象和創(chuàng)造想象。再造想象是指根據(jù)語言的描述或根據(jù)圖解、符號等在頭腦中產(chǎn)生新的形象，再造想象是理解和掌握數(shù)學(xué)知識必不可少的條件，如果沒有它，甚至不可能理解點、線、面這類原始概念，當(dāng)然更談不上形成空間

40、想象能力了。創(chuàng)造想象即不依據(jù)現(xiàn)成的描述而獨立創(chuàng)造出新形象的過程，其特點是新穎、獨特。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動往往運用猜想的形式，而創(chuàng)造想象正是數(shù)學(xué)猜想的一個重要來源。想象是在表象基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，因而想象必然具有形象化和概括性的特點，同時想象又具備較強的整體性、自由性和靈活性，它具有一定的創(chuàng)造能力，是發(fā)明創(chuàng)造的主要源泉之一，愛因斯坦認(rèn)為：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括這世界上的一切，推動它進(jìn)步，并且是知識進(jìn)化的源泉。嚴(yán)格地說，想象力是科學(xué)研究中的實在因素?！倍⑾胂蟮淖饔每茖W(xué)的發(fā)現(xiàn)常常受益于想象的創(chuàng)造功能，特別是理論觀念的建立，既不能離開經(jīng)驗，又不能用純邏輯的方法從經(jīng)驗中推導(dǎo)出來，需要用

41、到具有創(chuàng)造性的想象力。希爾伯特曾說：“要獲得科學(xué)的認(rèn)識，某些直觀的想象和判斷力是不可缺少的前提條件，單憑邏輯是不夠的?！庇腥嗽鴨杝ophus lie，什么是數(shù)學(xué)家特有的稟賦，他回答說：“想象力、干勁、自信心、自我批評。”lie把想象力放在了首位。 在科學(xué)史上有許多因為大膽想象而獲得重大發(fā)現(xiàn)的事例。據(jù)說，伽利略的比薩斜塔實驗首先是在想象中完成的：想象有兩個重量不同的球a、b，a重于b。按照傳統(tǒng)的亞里士多德的觀點，a落得快，b落得慢。然后把a、b拴在一起，于是一方面由于b落得慢會牽制a，因而下落的速度比a慢；另一方面由于a、b的總重量大于a，因而又要比a下落得快。由這個矛盾伽利略推出，重物比輕物下

42、落快的傳統(tǒng)觀點是錯誤的。 數(shù)學(xué)史上這樣的例子更是不勝枚舉。我國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家劉徽運用創(chuàng)造想象創(chuàng)立了割圓術(shù)，并得到圓周率的一個分?jǐn)?shù)表達(dá)式39271250。其方法是從圓內(nèi)接正六邊形開始，逐步增加內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，形象地使其與圓周合體。劉徽提出的圓周率計算的科學(xué)方法，奠定于此后干余年中國圓周率計算在世界上的領(lǐng)先地位。張順燕老師在“一筆畫”一講中提到的“哥尼斯堡七橋”問題令我印象非常深刻，事實上，這是關(guān)于大數(shù)學(xué)家歐拉用想象建立數(shù)學(xué)模型，使難題得以解決的典型事例。這樣的解題方法已明顯擺脫了傳統(tǒng)的公理、計算、結(jié)論的固定模式，突破了固定思路，超越了常規(guī)思維，成功地解決了復(fù)雜的問題，不禁令人拍案叫絕?？梢哉f，想象力是智力活動在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與