完全非彈性碰撞模型及其應(yīng)用

1、作者 E-mail:Tel:“完全非彈性碰撞”模型及其應(yīng)用湖北省沙市中學(xué) 劉軍 434000在高中物理學(xué)習(xí)中，面對(duì)浩如煙海的習(xí)題，學(xué)生只有做好題后總結(jié)，把握某一類型問(wèn)題 的共同特征和遵循的共同規(guī)律，才能做到事半功倍，以一擋十.在習(xí)題教學(xué)中，教師則不僅 要引導(dǎo)學(xué)生善于從具體問(wèn)題的分析中抽象出其所適用的一般模型和遵循的基本規(guī)律，而且要引導(dǎo)學(xué)生善于結(jié)合具體問(wèn)題的特殊條件，靈活地運(yùn)用模型和規(guī)律.下面以“完全非彈性碰撞模型” 為例，在分析不同情景問(wèn)題時(shí)，聯(lián)想模型，通過(guò)類比和等效的方法，從而抓住問(wèn)題 的物理本質(zhì)，使問(wèn)題迅速得到解決.一、“完全非彈性碰撞”模型如圖1,質(zhì)量為 mi、m2的兩大小相同的球分別以

2、速度 w、V2在光滑的水平面上沿一直線運(yùn)動(dòng)，其中v2 v1，兩球碰撞后粘合在一起以速度 v 一起運(yùn)動(dòng).m2mi3 3系統(tǒng)碰撞前后動(dòng)量守恒有：m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v .碰 撞 后 系 統(tǒng) 動(dòng) 能 損 失匚12121、2Ek -m1v1-m2v2 -(g m2)v .2 2 2上面就是典型的“完全非彈性碰撞”模型，在一些力學(xué)綜合問(wèn)題中，有很多兩物體間的相互作用過(guò)程就與上面兩球的碰撞過(guò)程類似，具有以下共同特點(diǎn)：相互作用后兩物體具有共同速度；作用前后系統(tǒng)動(dòng)量守恒(或在某一方向守恒)；作用后系統(tǒng)有動(dòng)能損失，損失的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為其它形式的能.二、“類完全非彈性碰撞”實(shí)例分析1. 物塊

3、未滑落木板例1如圖2所示，質(zhì)量為 M的平板小車放在光滑水平面上，平板右端上放有質(zhì)量為m的木塊，它們之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為卩，現(xiàn)使平板小車和木塊分別向右和向左運(yùn)動(dòng)，初速度大小均為V0，設(shè)平板足夠長(zhǎng)，且 M m,求木塊相對(duì)平板右 端滑行的距離。解析：木塊在小車上的運(yùn)動(dòng)分兩階段：首先，木塊和小 車都做勻減速運(yùn)動(dòng)，木塊速度先減為零，木塊速度減為零時(shí)， 小車仍有向右速度；之后，木塊開(kāi)始向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，小車?yán)^續(xù)向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，木塊 相對(duì)小車仍在遠(yuǎn)離其右端，直至木塊與小車速度相等后，二者一起向右勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)木塊與小車的最終速度為 V ,以向右為正，由動(dòng)量守恒定律有：Mv0 mv0 (M m)v 設(shè)物塊相對(duì)小

4、車右端滑行距離為1 2 mg s - mv0 s,因木塊相對(duì)小車無(wú)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，則由功能關(guān)系有:2M1 Mv021 (M m)v22聯(lián)立、解得:s V0 .(m M )g最終兩物體具有共同速度，系統(tǒng)損失簡(jiǎn)評(píng)：此題中兩物體間通過(guò)摩檫力發(fā)生相互作用, 的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)內(nèi)能.2. 子彈未打穿木塊例2質(zhì)量為M的木塊被固定在光滑水平面上,一顆質(zhì)量為m的子彈以初速v0水平飛來(lái)穿透木塊后的速度變?yōu)轶?，現(xiàn)使木塊不固定，可以在光滑水平面上滑動(dòng)，同樣的子彈仍2以初速v0水平飛來(lái)射中木塊，如果 M 3m，那么子彈（A. 能夠穿透木塊B. 不能穿透木塊，留在木塊中共同運(yùn)動(dòng)C. 剛好穿透木塊，但留在木塊邊緣共同運(yùn)動(dòng)D. 條

5、件不足，無(wú)法判斷解析：設(shè)木快長(zhǎng)為I，子彈對(duì)木塊的平均打擊力為f，當(dāng)木塊固定時(shí)，對(duì)子彈，由動(dòng)能定理有:fI lm(vi)22 21 2mv0 ,232解得：fl -mv08當(dāng)木塊不固定時(shí)，深度為I，對(duì)子彈和木塊組成的系統(tǒng),假設(shè)子彈不能穿透木塊，留在木塊中共同運(yùn)動(dòng), 由動(dòng)量守恒和能量守恒有：且設(shè)子彈進(jìn)入木塊的mvo(m M )v121M、2-mv0-(m M )v2 0 2解得：f I2( mmM 2M)v01 2 mv。 2(1 巴) M323m，則易得f I mv0，與 式比較可得：8故正確答案為B.說(shuō)明假設(shè)成立，既子彈不能穿透木塊，留在木塊中共同運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)評(píng)：此題中子彈與木塊間通過(guò)“撞擊力”發(fā)

6、生相互作用，因子彈未穿出木塊，最終兩 物體具有共同速度，系統(tǒng)損失的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)內(nèi)能.3 .物塊壓縮彈簧至最短時(shí)例3如圖3,A、B兩個(gè)物塊用彈簧相連接，它們靜止在光滑水平面上，A和B的質(zhì)V,由動(dòng)量守恒定律有:量分別為99m和100m, 一顆質(zhì)量為m的子彈以速度v0水平 射入木塊A內(nèi)沒(méi)有穿出，求在后來(lái)過(guò)程中彈簧的最大彈性勢(shì) 能為多大解析：子彈打入木塊A的極短時(shí)間內(nèi)，彈簧未發(fā)生形變（實(shí)際上是形變很小，忽略不計(jì)），設(shè)子彈和木塊A獲得一共同速度mv0 = （m + 99m）v 之后木塊A （含子彈）開(kāi)始?jí)嚎s彈簧推動(dòng) B前進(jìn)，當(dāng)A、B速度相等時(shí)彈簧壓縮量最大,設(shè)此時(shí)彈簧的最大彈性勢(shì)能為Ep ,A、B共同

7、速度為 vi，則對(duì)A （含子彈）、組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律有:(m + 99m)v = (m + 99m + 100m)v1由機(jī)械能守恒定律有2 (m + 99m)v2聯(lián)立式解得Epi2=2 (m + 99m + i00m)vi + EPi2mv。400簡(jiǎn)評(píng)：此題包含兩個(gè)過(guò)程：一是子彈打入木塊A的“短暫作用過(guò)程”，在此過(guò)程中子彈與木塊獲得共同速度，此過(guò)程與木塊B無(wú)關(guān)，此過(guò)程中動(dòng)能損失轉(zhuǎn)化為子彈與木塊的內(nèi)能； 二是木塊A (含子彈)壓縮彈簧至最短的“持續(xù)作用過(guò)程”，壓縮彈簧至最短時(shí)系統(tǒng)具有共同速度，此過(guò)程中動(dòng)能損失轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能.4.兩端拴有物體的細(xì)繩繃緊時(shí)例4 在光滑水平面上， 有一質(zhì)量mi

8、 = 20Kg的小車，通過(guò) 一根幾乎不可伸長(zhǎng)的輕繩與另一質(zhì)量m2 = 25Kg的拖車相連接，一質(zhì)量 m3 = 15Kg的物體放在拖車的平板上，物體間動(dòng)摩擦因數(shù)口 =0.2，開(kāi)始時(shí)，拖車靜止,繩未被拉緊，如圖4,小車以 v0 =3m/s的速度前進(jìn)，求:m3m2 I _Q O7777777777圖4(1)當(dāng)mi、m2、m3以同一速度前進(jìn)時(shí)，其速度的大小;(2)物體在拖車平板上移動(dòng)的距離(設(shè)平板足夠長(zhǎng))解析：對(duì)mi和m2組成的系統(tǒng)，繩繃緊的很短時(shí)間內(nèi)，mi和m?獲得一共同速度Vi，由動(dòng)量守恒定律有:miv0 = (mi + m2 )vi 設(shè)最終m1、m2、m3的共同速度為v2，對(duì)m1、m2、m3組成

9、的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律有:(mi + m2)Vi = (mi + m2 + m3)V2設(shè)m3在m2上 滑動(dòng)距離為 S,由功能關(guān)系有:1 2 1 2 jjm3g As = 2(mi +m2)vi - _ (mi + m2 + m3)v2 聯(lián)立、解得：v2 = im/s , As = 0.33m .簡(jiǎn)評(píng)：此題包含兩個(gè)過(guò)程：一是繩被拉緊的“短暫作用過(guò)程”得一共同速度，此過(guò)程與物塊無(wú)關(guān)，此過(guò)程中動(dòng)能損失轉(zhuǎn)化為內(nèi)能； 生相對(duì)滑動(dòng)直至兩者達(dá)共同速度的“持續(xù)作用過(guò)程”，此過(guò)程中動(dòng)能損失轉(zhuǎn)化為內(nèi)能.5 .物塊沖上圓弧形小車最咼點(diǎn)時(shí)，在此過(guò)程中車與拖車獲、二是物塊在拖車上發(fā)Mv02由解得：h =2(m+ M )

10、g例5 在光滑水平面上放有一質(zhì)量為 M帶光滑弧形槽的小車，一質(zhì)量為m的小球以速度Vo沿水平槽口滑上小車，如圖5,求:(設(shè)小球不會(huì)從小車右端滑出)(1) 小球能滑至弧形槽內(nèi)的最大高度.(2) 求小車的最大速度.(3) 當(dāng)小球從小車左端脫離后將做什么運(yùn)動(dòng)解析：(1)當(dāng)小球滑至弧形槽內(nèi)的最大高度時(shí)，設(shè)小球和小車具有共同速度 V,對(duì)小球和小車組成的系統(tǒng)，由水平 方向動(dòng)量守恒有：mvo = (m + M )v 設(shè)小球能滑至弧形槽內(nèi)的最大高度為h，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒有:1 2 1 2 -mv0 = 5 (m + M )v + mgh 小球剛滑離小車時(shí)小(2)當(dāng)小球滑至弧形槽內(nèi)的最大高度后，又會(huì)從弧形槽內(nèi)滑下

11、,車速度最大，設(shè)此時(shí)小球速度為W，小車具有向右的速度為v2，以向右為速度正方向，由水平方向動(dòng)量守恒有:mv0 = mv1 + Mv2由系統(tǒng)機(jī)械能守恒有:1 2 1 2 mv0 = _ mv-i +2 0 2 1由解得：V1 =(3)由上面解得1 22 Mv2m - M2m Vo , V2 =7 V0 .m+ Mm+ Mm - Mv1 =v0 知：1 m + M 0時(shí),Vi=0，小球從小車左端脫離后做自由落體運(yùn)動(dòng);m時(shí),Vi 0，小球從小車左端脫離后向右做平拋運(yùn)動(dòng);m時(shí),Vi 0，即小球脫離小車時(shí)速度向左，則小球從小車上脫離后向左做平當(dāng)小球滑 系統(tǒng)損失的車中央有一拋運(yùn)動(dòng).簡(jiǎn)評(píng)：此題中兩物體間通過(guò)

12、彈力發(fā)生相互作用， 系統(tǒng)只在水平方向動(dòng)量守恒. 至弧形槽內(nèi)的最大高度時(shí)兩物體具有共同速度，此時(shí)類似“完全非彈性碰撞”，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為小球增加的勢(shì)能.對(duì)小球從沖上小車又滑離小車的全過(guò)程，類似“彈性碰撞” 全過(guò)程系統(tǒng)機(jī)械能守恒.6 .物塊在擋板車上多次來(lái)回碰撞后一起運(yùn)動(dòng)例6 如圖6,在光滑水平面上有一質(zhì)量為M帶擋板的小車，車長(zhǎng)為 L ,. mM +V07V777777V77777質(zhì)量為m的小物塊，m與M間動(dòng)摩擦因數(shù)為開(kāi)始時(shí)M靜止，m以初速v0水平向右運(yùn) 動(dòng)，設(shè)物塊與小車上擋板每次碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失，求 m與M間能發(fā)生多少次碰撞. 解析：設(shè)物塊在擋板車上多次來(lái)回滑動(dòng)和碰撞后，最終兩者的共同速度為 恒有：

13、S,由功能關(guān)mv0 = (m + M )v 設(shè)物塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最終兩者有共同速度，物塊相對(duì)小車滑動(dòng)的總路程為系有：1 2 1 2 jimgS = 2mv0 - (m + M )v MV02由解得S=2Im+ M )g因從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始物塊相對(duì)小車滑動(dòng)-時(shí)發(fā)生第一次碰撞，以后物塊每相對(duì)小車滑動(dòng)L時(shí)2發(fā)生一次碰撞，則碰撞的次數(shù)為:L-2, Mvo (mn 1L2 (m M)gLM)gL(n N) 簡(jiǎn)評(píng)：此題中兩物體間通過(guò)多次來(lái)回滑動(dòng)和碰撞后最終具有共同速度， 化為系統(tǒng)內(nèi)能.7、雙金屬桿在磁場(chǎng)中以恒定速度收尾例4如圖7,平行光滑導(dǎo)軌相距 L，電阻可忽略，其水平部分足夠長(zhǎng)，置于磁感強(qiáng)質(zhì)量分別為m和，金屬棒2

14、度為B的豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，金屬棒a、b上，金屬棒a從斜軌上高h(yuǎn)處自由滑下，如果棒 與棒b始終未相撞，求金屬棒 a的最終速度.解析：棒a從斜軌滑下進(jìn)入水平軌道后,回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，棒a受水平向左培力做減速運(yùn)動(dòng)，棒b受水平向右安培力做加速運(yùn)動(dòng)，隨著時(shí)間推移，當(dāng)兩棒最終系統(tǒng)動(dòng)能損失轉(zhuǎn)b放在水平軌a在軌道上Ba切割磁感線,圖7速度相等時(shí)，回路中感應(yīng)電流變?yōu)榱?，之后棒a、b以共同速度勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)棒a剛進(jìn)入水平軌道時(shí)速度為 v0，則有:mgh = imv02之后對(duì)棒a、b組成的系統(tǒng)，水平方向合力為零，動(dòng)量守恒，設(shè)棒 為v，則有：a、b的最終共同速度mmvo = (m + )v 2 ,聯(lián)立解得：V =