數(shù)學(xué)建模作業(yè)1(長(zhǎng)方形椅子能否在不平的地面上放穩(wěn)嗎)[共2頁(yè)]

1、科學(xué)技術(shù)學(xué)院上 機(jī) 報(bào) 告課程名稱(chēng) 數(shù)學(xué)建模 上機(jī)項(xiàng)目 長(zhǎng)方形的椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？ 專(zhuān)業(yè)班級(jí)） 姓 學(xué) 號(hào) 一、問(wèn)題提出椅子（四條腿的椅腳連線呈長(zhǎng)方形）能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只腳著地,放不穩(wěn),然而只要稍挪動(dòng)幾次,就可以四腳著地,放穩(wěn)了。下面用數(shù)學(xué)語(yǔ)言證明。二、問(wèn)題分析 該模型看似與數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān),但我們可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言給予表述,并用數(shù)學(xué)工具來(lái)證實(shí),經(jīng)過(guò)分析,我們可以用一元變量表示椅子的位置,用的兩個(gè)函數(shù)表示椅子四腳與地面的距離,進(jìn)而把模型假設(shè)和椅腳同時(shí)著地的結(jié)論用簡(jiǎn)單、精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái),構(gòu)成了這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。三、模型假設(shè) 為了明確問(wèn)題

2、,對(duì)上述現(xiàn)象中的有關(guān)因素在符合日常生活的前提下,作出如下假設(shè)：（1）椅子四條腿一樣長(zhǎng),椅腳與地面接觸處視為一點(diǎn),四腳的連線呈長(zhǎng)方形（2）地面高度是連續(xù)變化的,沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷 (沒(méi)有像臺(tái)階那樣的情況),即從數(shù)學(xué)的角度看,地面是連續(xù)曲面這個(gè)假設(shè)相當(dāng)于給出了椅子能放穩(wěn)的必要條件（3）椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地為保證這一點(diǎn),要求對(duì)于椅腳的間距和椅腿的長(zhǎng)度而言,地面是相對(duì)平坦的因?yàn)樵诘孛嫔吓c椅腳間距和椅腿長(zhǎng)度的尺寸大小相當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi),如果出現(xiàn)深溝或凸峰(即使是連續(xù)變化的),此時(shí)三只腳是無(wú)法同時(shí)著地的符號(hào)說(shuō)明四、模型建立（顯示模型函數(shù)的構(gòu)造過(guò)程）在上述假設(shè)下,解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于選擇合適的變

3、量,把椅子四只腳同時(shí)著地表示出來(lái)首先,引入合適的變量來(lái)表示椅子位置的挪動(dòng)生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們,要把椅子通過(guò)挪動(dòng)放穩(wěn),通常有拖動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)椅子兩種辦法,也就是數(shù)學(xué)上所說(shuō)的平移與旋轉(zhuǎn)變換然而,平移椅子后問(wèn)題的條件沒(méi)有發(fā)生本質(zhì)變化,所以用平移的辦法是不能解決問(wèn)題的于是可嘗試將椅子就地旋轉(zhuǎn),并試圖在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中找到一種椅子能放穩(wěn)的情形注意到椅腳連線呈長(zhǎng)方形,長(zhǎng)方形是中心對(duì)稱(chēng)圖形,繞它的對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)180度后,椅子仍在原地把長(zhǎng)方形繞它的對(duì)稱(chēng)中心O旋轉(zhuǎn),這可以表示椅子位置的改變。于是,旋轉(zhuǎn)角度這一變量就表示了椅子的位置為此,在平面上建立直角坐標(biāo)系來(lái)解決問(wèn)題如下圖所示,設(shè)椅腳連線為長(zhǎng)方形ABCD,以對(duì)角線AC所在的直

4、線為x軸,對(duì)稱(chēng)中心O為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系椅子繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度后,長(zhǎng)方形ABCD轉(zhuǎn)至A1B1C1D1 的位置,這樣就可以用旋轉(zhuǎn)角（0）表示出椅子繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后的位置其次,把椅腳是否著地用數(shù)學(xué)形式表示出來(lái)我們知道,當(dāng)椅腳與地面的豎直距離為零時(shí),椅腳就著地了,而當(dāng)這個(gè)距離大于零時(shí),椅腳不著地由于椅子在不同的位置是的函數(shù),因此,椅腳與地面的豎直距離也是的函數(shù)由于椅子有四只腳,因而椅腳與地面的豎直距離有四個(gè),它們都是的函數(shù)而由假設(shè)(3)可知,椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地,即這四個(gè)函數(shù)對(duì)于任意的,其函數(shù)值至少有三個(gè)同時(shí)為0因此,只需引入兩個(gè)距離函數(shù)即可考慮到長(zhǎng)方形ABCD是中心對(duì)稱(chēng)圖形

5、,繞其對(duì)稱(chēng)中心 O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180后,長(zhǎng)方形位置不變,但A,C和B,D對(duì)換了因此,記A、B兩腳與地面豎直距離之和為f（）,C、D兩腳與地面豎直距離之和為g（）,其中0,從而將原問(wèn)題數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)模型：已知f（）和g（）是的非負(fù)連續(xù)函數(shù),對(duì)任意,f（）g()0,證明：存在00,使得f（0）g（0）0成立。 五、模型求解（顯示模型的求解方法、步驟及運(yùn)算程序、結(jié)果）如果f（0）g（0）0,那么結(jié)論成立。如果f（0）與g（0）不同時(shí)為零,不妨設(shè)f（0）0,g（0）0。這時(shí),將長(zhǎng)方形ABCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度后,點(diǎn)A,B分別與C,D互換,但長(zhǎng)方形ABCD在地面上所處的位置不變,由此可知,f（）g（0）,g（）f（0）.而由f（0）0,g（0）0,得g（）0, f（）0。令h（）f()g（）,由f()和g()的連續(xù)性知h()也是連續(xù)函數(shù)。又h（0）f(0)g（0）0,h（）f()g（）0,根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值