數(shù)值預(yù)報(bào)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

1、第一早 大氣運(yùn)動(dòng)方程 大氣運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)遵循牛頓第二定律（運(yùn)動(dòng)方程）、質(zhì)量守恒定律（連續(xù)方程）、能量守恒定律（熱力學(xué) 或能量方程）、氣體試驗(yàn)定律（狀態(tài)方程）、水汽守恒定律（水汽方程） 運(yùn)動(dòng)方程dVI-*-*-*-=Vp 一 2 6 g+ F dtp連續(xù)方程（ pvJ狀態(tài)方程p = pRT熱力學(xué)方程西用竺空衛(wèi)_ aCpP 擊 cp水汽方程球坐標(biāo)下的大氣運(yùn)動(dòng)方程組球坐標(biāo)經(jīng)度入緯度札地心到空間點(diǎn)的距離r球坐標(biāo)下Sx是沿緯圈的微小位移、Sy是沿經(jīng)圈的微小位移、S是垂直方向的微小位移S x=r*cos * S 入S y=r* SS z= Sru是緯向速度u=r* cos *ddU / v是經(jīng)向速度v= r*

2、d /dtw是垂直速度w=dr/dt球坐標(biāo)下加速度dV / dt的展開(kāi)du彳dv jdwTk u dt dt dC dt dtdi監(jiān)dtdkw dt局地直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)與球坐標(biāo)的關(guān)系局地直角坐標(biāo)系是球坐標(biāo)系的簡(jiǎn)化形式，保留了球坐標(biāo)的框架，忽略了球面曲率的影響區(qū)分球坐標(biāo)方程和局地直角指標(biāo)方程du uvtgtp dt a1 dp p a cosk一丄更+介十化 dt p exP坐標(biāo)系下大氣運(yùn)動(dòng)方程組P坐標(biāo)系通常應(yīng)用于天氣尺度的大氣運(yùn)動(dòng)，具有準(zhǔn)靜力平衡的特點(diǎn)，滿足方程P坐標(biāo)系下的垂直速度3=p/dt區(qū)分P坐標(biāo)方程與Z坐標(biāo)方程(T坐標(biāo)C坐標(biāo)系是與氣壓相聯(lián)系的坐標(biāo)系，具有下邊界簡(jiǎn)單，便于引進(jìn)地形的動(dòng)力作

3、用等特點(diǎn)C坐標(biāo)的定義P“Pt PEadh Surfac4PT是模式層頂?shù)臍鈮?，ps是地面氣壓（T坐標(biāo)的邊界條件邊界條件:區(qū)分P坐標(biāo)方程和C坐標(biāo)方程= - craVp* - fk /Vh F竝RTp = pRT狀態(tài)方程a =V* + A/（T I V .；廠廠! -： 垂直運(yùn)動(dòng)方程 數(shù)值模式的分類過(guò)濾模式只能模擬準(zhǔn)地轉(zhuǎn)演變過(guò)程，而原始方程模式既能模擬準(zhǔn)地轉(zhuǎn)演變過(guò)程又能模擬地轉(zhuǎn)適應(yīng)過(guò) 程。原始方程模式分為正壓原始方程模式（垂直方向一層）和斜壓原始方程模式（垂直方向有多層）地圖投影的概念 地圖投影是按照一定的數(shù)學(xué)條件，把球形的地球表面展繪于平面地圖上?；蛘哒f(shuō)把地球表面投影到一 個(gè)簡(jiǎn)單的曲面上。能夠識(shí)

4、別出光源、目標(biāo)物、投影面投影的誤差 距離誤差、面積誤差、角度（形狀）誤差投影類型 等角投影、等面積投影、任意投影等角投影中，經(jīng)過(guò)投影后地球表面的任意兩條交線的夾角保持不變，且在投影面任意一點(diǎn)的各個(gè)方向 上長(zhǎng)度放大或縮小的倍數(shù)相等，投影之后不產(chǎn)生角度或者形狀的誤差。按地圖投影面的性質(zhì)分類型方位投影或平面投影、圓錐投影、圓柱投影地圖投影的基本概念及幾個(gè)重要因子映像面：投影的投射面、投影面映像平面：映像面沿某一條經(jīng)線切開(kāi)所展成的平面地圖：映像平面按地圖比例尺縮小后的圖切投影：映像面與地球表面相切于某一點(diǎn)的投影割投影：映像面與地球表面相割的投影標(biāo)準(zhǔn)緯度：映像面與地球表面相交的緯度（標(biāo)準(zhǔn)緯度上，映像面的

5、距離等于地球表面上相應(yīng)的距離）映像比例尺m：映像平面上的距離除以地球表面上相應(yīng)的距離。 又稱地圖放大因子。標(biāo)準(zhǔn)緯度上m=1 縮小比例尺：地圖上任意緯度上的距離除以映像平面上相應(yīng)的距離實(shí)際比例尺：地圖上任意緯度上的距離除以地球表面上相應(yīng)的距離正形投影正形投影的光源位于球心，映像面為圓錐面，映像面圓錐角為a,標(biāo)準(zhǔn)緯度為如地圖放大系數(shù)的計(jì)算sin兔(0H1 -sin 00 0是標(biāo)準(zhǔn)緯度的余角其中k為單位經(jīng)度所張的圓錐角，表示了圓錐的幾何特征，成為圓錐常數(shù);極射赤面投影是一種正形割投影，其光源位于南極，映像面為一個(gè)與地球相割于北緯60度的平面,標(biāo)準(zhǔn)緯度為60 N。根據(jù)網(wǎng)格坐標(biāo)計(jì)算放大系數(shù)柯氏參數(shù)的計(jì)算

6、蘭伯托投影是一種正形投影，其光源位于地球球心，映像面為一個(gè)與地球表面相割與30 N和60N的圓錐面，圓錐角為90。sin q*shi罠In sin In sin= 0.7156fl 1kl11(1-l嚴(yán)+嚴(yán)/麥卡托投影光源位于球心，映像面是與地球表面相割于南北緯22。5的圓柱面，標(biāo)準(zhǔn)緯度為22.5N 和 22.5 S投影后，經(jīng)線為等距平行的直線，緯線為與經(jīng)線垂直的直線，正形圓錐投影的極限情形。k=0所以不能采用普遍的正形投影中的關(guān)系式來(lái)對(duì)之進(jìn)行討論。而是從地圖放大系數(shù)入手求有關(guān)表達(dá)式cos 22.5 V +)m =aJe為網(wǎng)格點(diǎn)相對(duì)于赤道的坐標(biāo)。放大系數(shù)是關(guān)于赤道成緯向軸對(duì)稱普遍正交曲線坐標(biāo)系

7、中的方程組qj是正交曲線的坐標(biāo)，dqj是相應(yīng)的坐標(biāo)變?cè)?，dlj是空間點(diǎn)沿坐標(biāo)線所移動(dòng)的距離，稱為坐標(biāo)線元dlj=Hj*dqj其中Hj成為拉密系數(shù)。坐標(biāo)線元不等于坐標(biāo)變?cè)堑扔谧鴺?biāo)變?cè)c拉密系數(shù)的乘積正交曲線坐標(biāo)下的常用關(guān)系式氣壓梯度力渦度H離B2e2 屬538VAV-4%絞H禺H2u2恥|散度皿總?cè)纭?風(fēng)速矢量平流 r J J心 V Z4r/；=11用勻”氐九h U.Hk 碼比別丿lb勺絕對(duì)溫度平流普遍地圖投影坐標(biāo)系中的方程組 設(shè)X和丫軸地圖投影放大系數(shù)為 m和n，Z方向的地圖投影放大系數(shù)為1 拉密系數(shù)眄弧丄;並W匕嚴(yán)廠1IHII要求可以利用給出的關(guān)系式得到普遍地圖投影坐標(biāo)系中的大氣方程組表

8、達(dá)式例如根據(jù)連續(xù)方程表達(dá)式和散度在正交曲線坐標(biāo)系下的表達(dá)式，得到地圖投影坐標(biāo)下的連續(xù)方程表達(dá)式，要求將求和符號(hào)展開(kāi)成各項(xiàng)相加的形式Hi = Hx = ；= Hz = 1UIV mn X nVWYmZmn第二步寫(xiě)出|( V)mnUVIXnY m第一步將H的表達(dá)式代入散度表達(dá)式，寫(xiě)出WZ mn第三步寫(xiě)出差分方法和差分格式離散化的概念114 = z/(x ) = W(/Ax, 7? A/)x以i?x代替，連u(x,t)是連續(xù)函數(shù)，u(i?x,n?t)是u(x,t)經(jīng)離散化后的形式。所謂離散化，即把連續(xù)的 續(xù)的t以n?t代替，其中i和n為整數(shù)。均是以一維線性平流方程為例差分格式基本都是通過(guò)泰勒展開(kāi)式來(lái)

9、構(gòu)造的心皆心)+纟心+勢(shì)畔+事畔+ ex de- 2! 已T 3!丿心一山= 曾山+ # 轡-一勢(shì)彎-前差格式:CU+ /?后差格式:cu n(xt t) it(x-Axf t) 二一KexAx中央差格式：CutA x +f x - Ax)彳ex2Ax二階微分的差分格式cJuu(x + Ax9 t) -t) + ir(x- Axf t)= +cx(血)亠拉普拉斯的差分格式V zl = +- Sr cy=Xf j-i 十 片fj-i 十+_4彳口 (?拉普拉斯的差分格式涉及到的格點(diǎn)(ij+l)截?cái)嗾`差上面差分格式中的R被成為截?cái)嗾`差。意思是用差商來(lái)近似代替偏微商時(shí)，將會(huì)因舍去R所代表的項(xiàng)而造成的

10、誤差。一般用R中最大的項(xiàng)來(lái)表示截?cái)嗾`差的大小。如果R中最大的項(xiàng)是？x，則R=0(?x)。 如果是?x2,則R=0 (?x2)。(注：所謂最大的項(xiàng)指的是偏導(dǎo)階數(shù)最小的一項(xiàng)，一階偏導(dǎo)項(xiàng)大于二階偏 導(dǎo)項(xiàng))R反映了差分方程代替微分方程時(shí)的截?cái)嗾`差，它在一定程度上代表了差分格式的精度，R的階次越高，則差分格式的精度越高，誤差越小。幾IR =:+命 3!這個(gè)的精度就是R=0 (?x2)相容性(一致性)當(dāng)空間步長(zhǎng) x和時(shí)間步長(zhǎng)t很小時(shí)，差分方程是否逼近微分方程，這就是差分格式的相容性（一 致性）問(wèn)題。收斂性在一定的定解條件下，差分方程的解是否逼近微分方程的解的問(wèn)題，稱之為差分格式的收斂性問(wèn)題。 穩(wěn)定性在時(shí)間

11、積分過(guò)程中，由于舍入誤差的影響，差分解的誤差是否隨時(shí)間增長(zhǎng)的問(wèn)題， 即差分格式的計(jì)算 穩(wěn)定性問(wèn)題。拉克斯（Lax）等價(jià)定理：如果差分方程逼近微分方程，即差分格式與微分方程是相容的，或者差分格式滿足相容性條件, 差分格式的穩(wěn)定性，保證了其收斂性（計(jì)算穩(wěn)定性是收斂性的充分必要條件）。用Von-Neumann穩(wěn)定性判別方法來(lái)證明差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性時(shí)的主要步驟為: 1設(shè)解的波動(dòng)形式，代入差分方程。2得出其對(duì)應(yīng)的增幅因子G。3討論G 1時(shí)的情況4判斷格式穩(wěn)定性及滿足格式穩(wěn)定性的條件。CFL判據(jù)增幅因子G： ,4煮二GAn其中A n+1和An分別是n+1時(shí)刻和n時(shí)刻的振幅微分方程波動(dòng)形式解:4xj=Fx

12、-ct) = Aei,(x-a差分方程形式解：川=.護(hù)嚴(yán) 各個(gè)差分格式穩(wěn)定性心二L卄上空i=o時(shí)間前差，空間后差 A/Ax條件穩(wěn)定空間前差0/1時(shí)顯式格式會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定，隱式格式的頻率解隨f?t增加而減小顯式格式與隱式格式的頻率解與真值的比值空間的截?cái)嗾`差（波數(shù)誤差）用中央差格式展開(kāi)時(shí)，波數(shù)k的數(shù)值解為：ksin k xx差分近似精度隨k或?x的減小而增大，這也就是說(shuō)對(duì)于波長(zhǎng)較短的波，其產(chǎn)生的波數(shù)誤差較大；而 波長(zhǎng)較長(zhǎng)的波，則差分方程可以比較精確地表示其空間微商，波數(shù)誤差很小，精度較高。相速度和群速度誤差空間差分格式的波數(shù)誤差和時(shí)間積分格式的頻率誤差會(huì)造成相速度和群速度的誤差，從而引起計(jì)算頻散。

13、差分格式在波的移動(dòng)和能量傳播方面均可造成誤差。而且：（1 ）由于相速度誤差，減慢了平流過(guò)程；（2）造成虛假的計(jì)算頻散，且對(duì)短波尤為明顯。（1）波長(zhǎng)越長(zhǎng)，誤差越?。徊ㄩL(zhǎng)減小，其誤差也就更為嚴(yán)重；（2）提高網(wǎng)格分辯率，使？x取得足夠小，可以提高相速度的準(zhǔn)確率。差分格式誤差特征總結(jié)：1、三層時(shí)間積分格式存在計(jì)算解問(wèn)題：計(jì)算解對(duì)差分解的影響依賴于網(wǎng)格分辨率和波長(zhǎng)2、時(shí)間積分格式引起頻率誤差：顯式格式使其頻率明顯增加，振動(dòng)加快； 隱式格式使其頻率明顯減小，振動(dòng)減慢。3、空間差分格式引起波數(shù)誤差： 高階差分格式所引起的波數(shù)誤差要比低階格式??； 波長(zhǎng)較短的波，誤差尤為嚴(yán)重。4、空間差分格式會(huì)引起計(jì)算頻散：

14、尤其對(duì)于短波，相速度和群速度均會(huì)產(chǎn)生很大的誤差 通?？刹捎锰岣呔W(wǎng)格分辯率的方法減小各種誤差。非線性不穩(wěn)定 對(duì)于非線性偏微分方程， 線性偏微分方程的穩(wěn)定性條件， 只能給出其計(jì)算穩(wěn)定性的必要條件， 即使?jié)M 足這一條件，也可能會(huì)因?yàn)椴罘址匠痰倪吔鐥l件和非線性項(xiàng)的不正確表示而產(chǎn)生計(jì)算的不穩(wěn)定現(xiàn)象， 我們把這種由于非線性作用而產(chǎn)生的不穩(wěn)定，稱為非線性不穩(wěn)定?；煜`差差分方法是用有限的自由度系統(tǒng)來(lái)代替原來(lái)的連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)的。 而有限格點(diǎn)上的函數(shù)值只能分解有限 的波數(shù)，其最短波長(zhǎng)為2?x,對(duì)于非線性作用產(chǎn)生的波長(zhǎng)小于 2?x的波動(dòng)，網(wǎng)格系統(tǒng)不能正確地將它 表示出來(lái)，而把它錯(cuò)誤地表示成為某種波長(zhǎng)大于 2?x 的

15、波，從而產(chǎn)生了誤差，我們把這種波的誤差 稱之為混淆誤差。對(duì)于網(wǎng)格數(shù)為I的網(wǎng)格，假設(shè)ui中包含兩個(gè)波，波數(shù)分別為 kl和k2，當(dāng)這兩個(gè)波發(fā)生非線性作用而 產(chǎn)生k什k2的波時(shí)，如果ki+k2l/2，則網(wǎng)格將把這個(gè)波的波數(shù)識(shí)別為S=I-（ki+k2） 自激反饋假設(shè)ki和k2相互作用，能量反饋到上ki，則有：ki=l-（ ki+k2），或2ki=l-k2。由于k2=I/4 因此，發(fā)生能量反饋的波其波長(zhǎng)必在2?x和4?x之間，也就是說(shuō)只有對(duì)波長(zhǎng)很短的波才發(fā)生能量反饋；非線性不穩(wěn)定的產(chǎn)生主要是由于短波能量的虛假增長(zhǎng)所造成的。抑制和克服非線性計(jì)算不穩(wěn)定的做法通常有：? 空間和時(shí)間平滑，濾去短波分量（濾除波長(zhǎng)

16、小于 4倍 格距的波動(dòng)）；? 在方程中加入擴(kuò)散項(xiàng)；? 構(gòu)造具有隱式平滑和某種選擇性衰減作用的差分格式? 構(gòu)造守衡的差分格式，使差分方程盡可能保持原來(lái)的 物理規(guī)律和能量關(guān)系；? 采用譜變換方法 （可避免非線性不穩(wěn)定問(wèn)題） 。正壓原始方程模式以下在 3 個(gè)假設(shè)的基礎(chǔ)上導(dǎo)出正壓原始方程模式的預(yù)報(bào)方程組 第一、假設(shè)大氣均勻不可壓，密度P為一常數(shù)。 第二、假設(shè)模式滿足靜力平衡。第三 、假設(shè)模式大氣是正壓的，初始時(shí)刻水平風(fēng)速不隨氣壓變化正壓原始方程模式的預(yù)報(bào)方程組注意區(qū)分正壓原始方程和P系方程正壓原始方程重要積分性質(zhì)：全球總質(zhì)量、總能量、總絕對(duì)渦度、總渦度和總絕對(duì)角動(dòng)量守恒等性質(zhì)。正壓原始方程線性穩(wěn)定性判

17、據(jù)注意這個(gè)判據(jù)，除了與相速度有關(guān)，還與最大風(fēng)速有關(guān)。如果不采用附加的平滑運(yùn)算，一次守恒差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性能較差，原因在于物理量 F的平均值 守恒并不能保證其絕對(duì)值不無(wú)限增長(zhǎng)。為此，需要進(jìn)一步來(lái)設(shè)計(jì)能使物理量 F2守恒的所謂的二次守 恒差分格式。空間平滑的意義在數(shù)值模式積分過(guò)程中，非線性相互作用會(huì)產(chǎn)生波長(zhǎng)為 2-4倍格距的短波擾動(dòng)，而短波系統(tǒng)能量的迅 速增長(zhǎng)，會(huì)引起不穩(wěn)定現(xiàn)象，有時(shí)甚至?xí)箶?shù)值積分中斷。為了濾除數(shù)值模式積分過(guò)程中的短波擾動(dòng)， 有效地抑制非線性計(jì)算不穩(wěn)定，通常采用空間平滑濾波的方法。三點(diǎn)平滑響應(yīng)函數(shù)= 1 一 E(1 - cos AZlr) = 1 -如果取S=1/2，則有(| 、R (2丿-COS3工S=1/2（下方實(shí)線）和S=-1/2 （上方實(shí)線）的濾波曲線波長(zhǎng)為L(zhǎng)=2 x的波動(dòng)完全濾除L 2 x的波用不同程度的衰減而L很大的波并未受到影響多重平滑多次平滑對(duì)波長(zhǎng)較長(zhǎng)的波具有相當(dāng)嚴(yán)重的衰減作用。 利用空間平滑所具有的特性，可以構(gòu)造出一種所謂的 很小。正、逆平滑系數(shù)分別取為S