人教版高中數(shù)學(xué)：關(guān)于向量教學(xué)“價值觀”的幾點思考

1、關(guān)于向量教學(xué)“價值觀”的幾點思考向量是近代數(shù)學(xué)中最基本、最重要的數(shù)學(xué)概念向量進入中學(xué)課程是一項重大的舉措，在某種程度上是革命性的舉措縱觀我國中學(xué)數(shù)學(xué)課程的歷史沿革，能稱得上“革命性的舉措”的只有三次，引入向量是其中的一次這是因為向量在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著不可替代的作用，是代數(shù)、幾何、泛函分析等基礎(chǔ)學(xué)科研究的基本內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，向量常被當(dāng)作一種工具，用來處理幾何問題，因為用向量比用綜合幾何的方法簡單、容易這種做法是不全面的，失去了將向量引入中學(xué)課程的原有價值，本文將重構(gòu)向量的教學(xué)內(nèi)容，進一步探尋向量教學(xué)的“價值觀”，讓向量在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，發(fā)揮其特有的價值一、體驗向量的產(chǎn)生過程，凸顯向量的

2、“創(chuàng)新價值”從數(shù)量到向量的跨越，是數(shù)學(xué)史上的重大發(fā)展教材中，總是通過物理中的“力”和“位移”等實例引出向量的概念，用物理學(xué)中“功”的計算方式定義向量的數(shù)量積，這樣處理往往讓學(xué)生感到茫然筆者作過調(diào)查，學(xué)生中，認為用一個“箭頭”表示一個向量有失數(shù)學(xué)的嚴謹性的占74.3%，認為向量應(yīng)該屬于物理學(xué)科而不應(yīng)該屬于數(shù)學(xué)學(xué)科的高達82.1%，事實上，如此處理向量概念，不符合學(xué)生的認知規(guī)律，也不利于向量的進一步拓展，更可惜的是我們錯過了一次讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)發(fā)展的過程，錯過了一次讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)新的良機道德經(jīng)說：“道生一，一生二， 二生三， 三生萬物”由一產(chǎn)生二， 區(qū)分單數(shù)和復(fù)數(shù)，從數(shù)量到向量，數(shù)學(xué)地反映了個別到

3、一般、簡單到復(fù)雜的事物發(fā)展過程筆者認為：向量概念的產(chǎn)生來自于生活實際，一定要讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程1.將向量概念的產(chǎn)生與實際需要聯(lián)系起來有一個實際問題，顧客甲買了數(shù)學(xué)書本，我們用表示其購書情況，并稱為數(shù)量若顧客甲又買了語文書本，那么，我們應(yīng)該用什么數(shù)來表示呢？顯然，原有的數(shù)量已無法表示，為此，我們引進一個新的量表示顧客甲的購書情況，并稱新的量為向量用這種方法定義向量，基于原先的一維數(shù)量，學(xué)生感到自然，且容易接受，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生更容易將其推廣到三維，甚至更高維的空間2.用化歸的方法定義向量的運算運算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個基本內(nèi)容，運算對象的不斷擴展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索數(shù)量是可以運算的，它能

4、進行加、減、乘、除等運算類似于數(shù)量的運算，對于向量我們該如何定義它的運算呢？若顧客甲買了數(shù)學(xué)書本，買了語文書本，我們用向量表示顧客甲的購書情況，顧客乙買了數(shù)學(xué)書本，買了語文書本，我們用向量表示顧客乙的購書情況，那么，兩人的購書情況可用向量來表示，這樣我們就可以定義向量的加法運算：.若有個顧客都與顧客甲一樣，每人買了數(shù)學(xué)書本，買了語文書本，那么，這個顧客的購書情況可用向量表示，這樣我們就可以定義向量的數(shù)乘運算： .顧客甲買了數(shù)學(xué)書本，買了語文書本，我們用向量表示顧客甲的購書情況，若數(shù)學(xué)書每本元，語文書每本元，我們用向量表示書價情況，那么顧客甲共化費了元這樣我們就可以定義向量的數(shù)量積運算：.數(shù)量運

5、算中減法是加法的逆運算，類似地，我們也可以定義向量的減法運算，這樣，向量就可以運算了用向量可以解決我們用一維數(shù)量無法解決的二維平面問題.人類總是向未知進軍，把世界萬物之間的數(shù)量關(guān)系抽象出來，形成一種數(shù)學(xué)對象，構(gòu)建一門學(xué)科，然后回到實踐，為人類的發(fā)展和進步服務(wù)二、注重向量的運算規(guī)律，把握向量與近代數(shù)學(xué)的“接軌價值”運算及其運算規(guī)律是代數(shù)學(xué)的基本研究對象教材中，由于用一個“箭頭”表示向量，所以，向量的運算總是“幾何”地進行定義，如四邊形法則、三角形法則等，這會讓學(xué)生覺得不嚴謹，讓老師感到難操作筆者對教師作過調(diào)查，能認認真真地通過作圖，證明向量的運算滿足各種運算律的老師不足10.7%，對運算律的認識

6、不到位的高達82.6%，事實上，把向量引入中學(xué)課程，正是因為向量能進行各種全新的運算，這些運算和近代數(shù)學(xué)接軌從數(shù)量運算到向量運算，是學(xué)生對運算理解的一次質(zhì)變，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大提高筆者認為：要注重向量的運算和運算規(guī)律，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)近代數(shù)學(xué)打樁奠基1展示向量運算的拓展功能從小學(xué)開始，學(xué)生所接觸的運算對象就在不斷地擴展，從正數(shù)到負數(shù)，從有理數(shù)到實數(shù)，從數(shù)到字母、到多項式等但是，我們必須注意到，所有這些運算，只是一個由實數(shù)集到實數(shù)集的二元代數(shù)運算而向量則不同，向量的運算能打破以往的封閉性，從數(shù)運算到向量運算，是運算的一次重大飛躍我們記為全體實數(shù)集，為全體向量集，則向量的加、減運算是的代數(shù)運算，向

7、量的數(shù)乘是的代數(shù)運算，向量的數(shù)量積是的代數(shù)運算向量的運算不同于數(shù)量的運算，它涵蓋了三種類型的代數(shù)運算，擴充了運算對象和運算性質(zhì)盡管在學(xué)生今后的學(xué)習(xí)中，運算對象與運算性質(zhì)還會繼續(xù)擴充，如變換運算、矩陣運算等，但向量是學(xué)生第一次接觸的實數(shù)以外的運算對象，我們務(wù)必要突顯其拓展功能2. 強化向量運算的接軌功能運算和運算律是近代數(shù)學(xué)的重要標志在實數(shù)運算中，我們也強調(diào)運算律，但那是在小學(xué)低年級，認知能力和心里現(xiàn)象決定了低年級的學(xué)生是無法接受如此抽象的代數(shù)概念的要強化運算律，要與近代數(shù)學(xué)接軌，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)奠基，向量是高中階段唯一的一個載體問題是教材中的向量運算是“幾何”地定義的，這給我們驗證運算律帶來不

8、便，因此，筆者還是強調(diào)，先用類比的方法，“代數(shù)”地定義向量的運算，這樣，探究向量的運算律就會變得十分的方便，這就是用符號表示向量所帶來的優(yōu)越性在向量集中，向量的加法運算滿足結(jié)合律、交換律，且存在零向量，使得中的任一向量，都有，同時，對于中的任一向量，有負元，滿足，于是，向量集對于加法運算來說構(gòu)成一個交換群我們關(guān)注向量的加法運算和實數(shù)與向量的數(shù)乘運算，運算顯然滿足：；.這樣對于向量的加法和數(shù)乘運算而言，向量集就是實數(shù)集上的線性空間對于任一向量，我們定義向量的模運算：.顯然它是一個向量集到實數(shù)集上一種代數(shù)運算，且滿足：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；對任意的，；對任意的，.這樣模運算就是定義在向量集的一個范數(shù)

9、，于是，向量集是實數(shù)集上的線性賦范空間.群、線性空間、線性賦范空間都是重要的數(shù)學(xué)模型，也是抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析的重要研究對象，因此，向量為進一步研究近代數(shù)學(xué)提供了數(shù)學(xué)模型當(dāng)然，群、線性空間、線性賦范空間等概念不需要給學(xué)生介紹，但作為教師應(yīng)當(dāng)清楚，應(yīng)當(dāng)清楚向量與近代數(shù)學(xué)的“接軌價值”三、探尋向量的幾何運算，揭示向量的“幾何價值”向量是溝通代數(shù)與幾何的天然橋梁向量進入數(shù)學(xué)并得到發(fā)展，是從復(fù)數(shù)的幾何表示開始的，1797年，丹麥數(shù)學(xué)家c.wessel利用坐標平面上的點表示復(fù)數(shù)，并利用具有幾何意義的復(fù)數(shù)運算定義向量的運算，并把向量的幾何表示用于研究平面幾何與三角問題，于是人們逐步接受了平面向量前

10、面我們“代數(shù)”地定義了向量與向量的運算，且學(xué)生也容易接受，這是符號化的優(yōu)勢不可否認，向量的另一優(yōu)勢在于它的“幾何價值”筆者認為：向量是代數(shù)的，也是幾何的，運用向量刻畫幾何對象及其性質(zhì)是非常重要的一環(huán)，兩者缺一不可1. 用類比的方法構(gòu)建向量的幾何表示數(shù)學(xué)是以客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式為內(nèi)容的一門學(xué)科，數(shù)形結(jié)合是進行數(shù)學(xué)研究的最基本的數(shù)學(xué)思想那么，如何構(gòu)建向量的幾何表示呢？先回顧一下實數(shù)的幾何表示：我們先畫一條數(shù)軸，這樣，對于實數(shù)集上的任一實數(shù)，它與數(shù)軸上的有向線段成一一對應(yīng)(其中點對應(yīng)的實數(shù)為，為原點)，于是，數(shù)與形就得到了完美的結(jié)合.運用類比的方法定義向量的幾何表示：我們先建立直角坐標系，這

11、樣，對于向量集上的任一向量，它與平面上的有向線段成一一對應(yīng)(其中點的坐標為，為原點)，于是向量就有了自己的幾何表示.2. 用同構(gòu)的觀點探求向量的幾何運算我們知道，映射，對于向量集上的加法運算與有向線段集上的“平行四邊形法則”運算，滿足同構(gòu)映射的定義，因此，我們可以用同構(gòu)映射的觀點去探尋向量的幾何運算.(1).向量的加法運算設(shè)在直角坐標系下，點、的坐標分別為、，則向量、分別對應(yīng)有向線段、，由向量加法的代數(shù)定義得，于是應(yīng)該有：.將、畫在同一個直角坐標系中(圖1)，我們可以發(fā)現(xiàn)：正是以、為鄰邊的平行四邊形的對角線.于是，我們就有向量加法的幾何運算法則-平行四邊形法則.(2).相等向量的定義由向量減法

12、的代數(shù)定義有：，觀察圖1知：點坐標減去點坐標等于點坐標減去點坐標.于是，我們定義：，即長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.應(yīng)該強調(diào)，數(shù)學(xué)中的向量只和長度、方向有關(guān)，與起點、終點的位置無關(guān)，因此，我們研究的向量是自由向量，它不同于物理中的矢量.(3).向量的減法運算(圖1)，.由相等向量的定義可得：，.即可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.這就是向量減法的幾何運算法則-三角形法則.類似地，我們也可以定義向量數(shù)乘的幾何運算，這樣，向量就有了“代數(shù)”與“幾何”的兩種運算. 向量的“幾何”運算為我們提供了一種全新的運算方式，是運算史上的一次重大突破.3.認識向量的幾何價值向量是幾何的對象.如

13、果以坐標系的原點為起點，向量就與空間的點建立起一一對應(yīng)；一個點和一個非零向量可以唯一地確定一條直線，它過這個點且與已知向量平行；同樣，一個點和一個非零向量也可以唯一地確定一個平面，它過這個點且與已知向量垂直；因此，向量可以描述、刻畫和替代幾何中的基本研究對象-點、線、面.向量是幾何研究的對象.在立體幾何中，可以用向量來討論空間中點、線、面之間的關(guān)系；可以判斷線線、線面、面面的平行和垂直；可以度量幾何體的長度、角度、面積等.向量是溝通幾何與代數(shù)的一座橋梁.在數(shù)學(xué)中，有兩座橋梁橫跨于代數(shù)與幾何之間，這就是向量與坐標系，坐標系依賴于原點的選擇，而向量則不然，因此，它比坐標系更普遍、更重要.一方面，通

14、過向量的代數(shù)運算可以解決幾何中的問題，另一方面，對于代數(shù)現(xiàn)象，通過向量可以給出直觀的幾何解釋.我們在教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生將向量的代數(shù)運算與它的幾何性質(zhì)聯(lián)系起來，這樣才能運用向量的代數(shù)性質(zhì)更好地刻畫幾何對象，從面體會代數(shù)與幾何的聯(lián)系.四、挖掘向量的物理功能，關(guān)注向量的“應(yīng)用價值”數(shù)學(xué)與物理從本質(zhì)上看有著天然的聯(lián)系.教材中，向量概念的產(chǎn)生就是由物理中的“力”和“位移”等實例引出的，向量數(shù)量積也是由物理中“功”的計算方法而定義的，這樣處理筆者認為不妥，但不可否認，物理中的矢量是向量的原型，向量及其運算是物理中矢量及其運算的抽象.因此，向量在物理中的廣泛應(yīng)用是不言而喻的.教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生有意識地運

15、用向量知識刻畫和解決物理學(xué)科的問題.1.突出向量的物理背景在引出向量的幾何表示以后，我們可以舉一些如力、位移、速度、加速度等物理量，說明在生活實際中，確實存在一些既有大小又有方向的向量，使學(xué)生感受到對向量的幾何表示有進一步研究的必要性.在掌握了向量加法的幾何運算后，我們可以結(jié)合位移的合成，進一步說明向量的幾何運算有著極為廣泛的應(yīng)用價值.假設(shè)一個人從位移到(可表示為)，再從位移到(可表示為)，則這兩次位移的結(jié)果就產(chǎn)生了從到和位移(可表示為)(如圖2)，這正是向量加法的幾何運算.位移的合成為向量加法的幾何運算提供了直觀、現(xiàn)實的背景.速度的倍數(shù)仍然是速度，這正是向量數(shù)乘的物理解釋，它可使學(xué)生對于數(shù)與

16、向量的乘積仍然是向量有一個直觀的認識.向量具有豐富的物理背景，我們在教學(xué)過程中，要還向量的物理功能，凸顯向量與矢量的天然聯(lián)系. 2.尋求向量數(shù)量積的物理解釋在物理學(xué)中，如果一個物體在力的作用下產(chǎn)生位移(圖3)，那么力所做的功 ，其中是與的夾角.功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定.聯(lián)想到向量的數(shù)量積也是一個標量，于是我們有必要尋求兩者之間的關(guān)系.在直角坐標系中，設(shè)向量，向量與的夾角為(圖4).則，. .即 .可以認為上式是向量數(shù)量積的“幾何運算”，將它與向量數(shù)量積的“代數(shù)運算”結(jié)合起來，可以解決角度、長度、面積、體積等幾何度量問題，也可解決兩線相交、垂直等關(guān)系；運用向量的數(shù)量積可以定義三角函數(shù)(設(shè)、是平面上的標準正交基，是平面上的向量，則可以定義三角函數(shù)如下：，)，這樣，我們便可以用向量來研究三角問題；向量的數(shù)量積還蘊涵著一個重要的不等關(guān)系，這個不等關(guān)系可用來證