奧數(shù) 格點與面積

1、學(xué)科：奧數(shù)教學(xué)內(nèi)容：第六講 格點與面積生活中我們常借助一些工具來迅速簡便的解決一些問題，如為了能捕到魚，人們制作了魚鉤和網(wǎng)。同樣在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，為了更好的解決問題聰明的人類也創(chuàng)造了一些“工具”。這一講我們主要介紹利用格點求幾何圖形的面積。先來介紹什么是“格點”。見下圖：這是一張由水平線和垂直線組成的方格紙，我們把水平線和垂直線的交點稱為“格點”，水平線和垂直線圍成的每個小正方形稱為“面積單位”。圖中帶陰影的小方格就是一個面積單位。借助格點圖，我們可以很快的比較或計算圖形的面積大小。利用格點求圖形的面積通常有兩種思路，一是直接將圖形分成若干個面積單位，然后通過計算有多少個面積單位來求圖形面積；二

2、是將某些圖形轉(zhuǎn)化成長方形的面積來求。當(dāng)然還可以將這兩種方法結(jié)合起來，求出某些較復(fù)雜圖形的面積。例1 計算下圖中各圖形的面積：分析：先仔細(xì)觀察圖中的每個圖形，選擇方法。顯然第一、三、六圖可以直接數(shù)出包含多少個面積單位即可。而二、四、五圖顯然不適合用數(shù)單位面積的方法來求面積，可以采用虛線把這些圖形擴展或割補成長方形，通過求長方形面積來求這些圖形面積。解答：（1）圖中長方形包括32=6（個）面積單位，所以它的面積為6。（2）將圖中平行四邊形割補成一個長方形，長方形的面積為32=6，而平行四邊形的面積等于長方形面積，所以平行四邊形的面積為32=6。（3）將圖中三角形用虛線分成3塊，它包含有1個面積單位

3、和2個面積單位的一半，合起來有2個面積單位，所以它的面積為2。（4）圖中將三角形擴展成一個長方形，長方形的面積為32=6，而三角形面積為長方形面積的一半，則三角形面積為3。（5）將圖中梯形的互相平行的一組對邊延長，補出一個和原來梯形方向顛倒，但面積一樣的梯形，形成一個大的長方形。長方形的面積為（24）3=18，而梯形的面積為長方形的面積的一半。所以梯形的面積為：（24）32=9。（6）將圖中梯形用虛線分成3塊，它包含有5個面積單位和2個面積單位的一半，合起來有6個面積單位，所以它的面積為6。例2 計算下面這個格點多邊形的面積。分析：這是一個不規(guī)則的多邊形，不能直接求出它的面積?？捎瞄L方形的面積

4、減去4個直角三角形的面積，如圖1所示；另外還可將該四邊形分割成幾塊，如圖2。解答：方法一：34（212212222312）=6.5（面積單位）方法二：12213211231212=6.5（面積單位）例3 相鄰四點連成的小正方形面積為1平方厘米。分別連接各點，組成下面12個圖形，你發(fā)現(xiàn)有什么排列的規(guī)律？算出各圖形的面積。找出圖形外面一周的點子數(shù)、中間的點子數(shù)與面積三者之間的關(guān)系。分析：仔細(xì)觀察圖形：橫看，從左往右圖形一周的格點數(shù)逐漸增多，中間的格點數(shù)不變；豎看，從上往下圖形一周的格點數(shù)不變，中間的格點數(shù)逐漸增多。圖形一周的格點數(shù)、中間的格點數(shù)與面積究竟有什么關(guān)系呢？我們可以將圖形按中間沒有個點、

5、中間有一個格點和中間有兩個格點進行分組列表分析。第（1）組圖形編號一周格點數(shù)46814中間格點數(shù)0000面積（平方厘米）1236中間沒有格點時，面積=一周格點數(shù)21第（2）組圖形編號一周格點數(shù)46814中間格點數(shù)1111面積（平方厘米）2347中間有一個格點時，面積=一周格點數(shù)2（11）1211第（3）組圖形編號一周格點數(shù)46814中間格點數(shù)2222面積（平方厘米）3458中間有兩個格點時，面積=一周格點數(shù)2（21）解答：（1）中間格點數(shù)相同時，圖形的面積隨著一周的格點數(shù)增加而增加；當(dāng)一周的格點數(shù)相同時，圖形的面積同樣隨著中間的格點數(shù)增加而增加。（2）各圖形的面積見表格。各圖形面積的大小與一周

6、的格點數(shù)、中間的格點數(shù)都有關(guān)系，格點圖形的面積計算公式是：圖形面積=圖形一周的格點數(shù)2（中間格點數(shù)1）說明：格點圖形的面積求法很靈活，不要死記公式，要具體題目具體研究。例4 下圖是一個漂亮禮盒的平面圖，請你求出它的面積：分析：這是一個組合圖形，面積可分成幾個部分來求。本圖可分為兩個三角形和一個長方形三部分。每一部分面積的求法，因圖而異。如兩個三角形需要擴展成長方形再求面積，而長方形只要直接數(shù)單位面積即可。解答：左邊三角形面積=44122432422=5；右邊三角形面積=44132244211=4；長方形的面積為62=12； 所以禮盒面積為：5412=21說明：此題還可以直接用公式，請你自己試一

7、試。例5 在下圖中有21個點，每相鄰三點構(gòu)成一個單位面積的等邊三角形，計算三角形ABC的面積。分析：此題是一個三角形格點圖。每三個相鄰的格點構(gòu)成一個正三角形，為一個面積單位。三角形格點圖形面積的計算類似于正方形格點圖形面積的計算，可以直接數(shù)圖形所包含的面積單位，也可將之轉(zhuǎn)化為幾個易求的三角形，在通過加減運算得到。此題中三角形ABC的面積不能通過直接數(shù)格點面積來求，可以把它擴展成三一個大三角形，再減；也可以把它分成幾個小的三角形，然后再加。解答：方法一：給三角形ABC添加、及部分小的三角形，則得到由25個單位三角形構(gòu)成的大三角形，現(xiàn)在只要分別求出、及三個小三角形的面積即可。三角形是一個平行四邊形

8、的面積的一半，如圖4中的虛線平行四邊形。這個平行四邊形包含6個面積單位，所以他的面積為6，三角形的面積為：62=3同理，三角形及的面積分別為4和8，所以三角形ABC的面積為：25348=10（面積單位）方法二：將三角形分成幾個易求面積的三角形（如圖3）。的面積為13=3，的面積可直接數(shù)為1，的面積為12=2，的面積為22=4，于是三角形ABC的面積為：3124=10。想一想：以三角形為例，為什么這里三角形的面積可以用13計算？可聯(lián)系方法一中三角形面積的求法。說明：關(guān)于三角形格點多邊形的面積也有類似于正方形格點多邊形的面積計算公式?？梢园凑绽?的方法歸納總結(jié)，就可以得到三角形格點多邊形面積的計算

9、公式：三角形格點多邊形的面積=多邊形內(nèi)包含的格點數(shù)2多邊形周界上的格點數(shù)2。例6 在下圖中有45個正方形格點，過圖中三點連一個三角形，并且至少有一條邊水平或垂直。問共有多少個這樣的格點三角形？分析：如果要在圖中找一個面積為8的格點三角形很容易，但是要求出有多少個這樣的格點三角形就有些困難，不過功夫不負(fù)有心人，一定能找到方法。注意到待計數(shù)的格點三角形的底與高的乘積為16，所以可以分類計數(shù)。解答：因為16=44=28=82，所以可以分為以下幾類來計數(shù)：（1）每個44的正方形中有4個直角三角形符合要求，總數(shù)為45=20（個）；（2）每個28的長方形中也有4個直角三角形符合要求，總數(shù)為43=12（個）

10、；（3）符合要求的不是直角三角形的三角形有：44，狀的有：57=35（個）；狀的有：35個；狀的有：53=15（個）； 狀的有：15個；82，狀的有：37=21（個）； 狀的有：21個；28，狀的有：33=9（個）； 狀的有：9個；共有：（3515219）2=160（個）所以符合要求的三角形一共有：2012160=192（個）閱讀材料有形狀的數(shù)最早把自然數(shù)和幾何圖形聯(lián)系在一起的是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯。畢達(dá)哥拉斯把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，又按小石子所能排列的形狀，尋找自然數(shù)與正三角形、正方形、正五邊形之間的關(guān)系。畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小石子的數(shù)目是1、3、6、10等數(shù)時，小石子都能擺成正三角形，他

11、把這些數(shù)叫做三角形數(shù)；當(dāng)小石子的數(shù)目是1、4、9、16等數(shù)時，小石子都能擺成正方形，他把這些數(shù)叫做正方形數(shù)；當(dāng)小石子的數(shù)目是1、5、12、22等數(shù)時，小石子都能擺成正五邊形，他把這些數(shù)叫做正五邊形數(shù)畢達(dá)哥拉斯還擺出了其它多邊形數(shù)。有趣的事，他還進一步發(fā)現(xiàn)了各種“形數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系”。比如，每個大于1的正方形數(shù)都可以表示成兩個相鄰三角形數(shù)的和。4=1+3，9=3+6，16=6+10，反過來，任意兩個相鄰的三角形數(shù)相加，必然是一個正方形數(shù)，也就是平方數(shù)。這從下面的圖形中可以得到證實。畢達(dá)哥拉斯借助生動的幾何直觀發(fā)現(xiàn)，第n個三角形數(shù)等于1+2+3+n，第n個正方形數(shù)等于，根據(jù)這些規(guī)律，人們就可以寫出

12、很多很多的形數(shù)了。練習(xí)題1計算下圖中各多邊形的面積（點與點之間的距離都是1厘米）分析與解答：（1）直接計數(shù)，圖1中包含5個面積單位，所以它的面積為5；（2）直接計數(shù)，圖2中包含6個面積單位，所以它的面積為6；（3）將圖3分為上下兩部分，上面的長方形包含有6個面積單位，下面的平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為一個12的長方形，所以面積為2。圖3的面積為62=8（面積單位）；（4）圖中包含2個面積單位和4個單位面積的一半，所以圖4的面積為4；（5）將圖5按下圖分割為上下兩部分，上面的包含3.5個面積單位，下面的面積為312=1.5（面積單位），所以圖5的面積為5；（6）直接計數(shù)，圖6中包含7個面積單位，所以它的

13、面積為7。2下圖中喇叭、小貓、小狗的面積各是多少？分析與解答：（1）喇叭圖中包含2個面積單位和2個面積單位的一半，所以它的面積為3；（2）將小貓圖分為左右兩部分，頭與身子部分的面積為（可直接計數(shù)）10，尾巴部分是一個平行四邊形，它的面積與一個單位面積相同，所以小貓圖的面積為11。（3）小狗圖面積的求法與小貓圖形面積的求法相同，它的面積為6。說明：此題還有其他的分割方法，請你自己想一想。想一想：請你用格點圖形面積的計算公式試求每一個圖形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？是不是每個圖都可以用公式計算，哪個可以，哪個不可以，為什么？3求下圖中梯形的面積。分析與解答：這個梯形圖的一周共有6個格點，中間共有16個格

14、點，運用正方形格點圖形的面積公式的：62161=18（面積單位）想一想：還有其他方法嗎？請你試做。4下圖中三角形的面積分析與解答：方法一：這個三角形圖的一周共有6個格點，中間共有13個格點，運用正方形格點圖形的面積公式的：62131=15（面積單位）。方法二：將三角形擴展成一個66的正方形時，增加了三個直角三角形，因為直角三角形的面積簡單易求，所以我們將求三角形ABC的面積轉(zhuǎn)化為求正方形的面積和直角三角形的面積，然后求差即可。正方形的面積為36，左上角的直角三角形的面積為262=6（面積單位），右下角的直角三角形的面積為362=9（面積單位），右上角的直角三角形的面積為432=6（面積單位），

15、由此可得三角形ABC的面積： 36696=15（面積單位）5下面圖中有21個點，其中相鄰的三點所形成的等邊三角形的面積為1，試計算四邊形的面積。分析與解答：方法一：這個四邊形圖的一周共有4個格點，中間共有5個格點，運用三角形格點圖形的面積公式的：5242=12（面積單位）。方法二：加一條輔助線，將四邊形分成下圖中的2個三角形，左上的三角形面積為41=4，右下的三角形面積為42=8，所以四邊形的面積為48=12。6計算下面三角形格點多邊形的面積分析與解答：這個六邊形圖的一周共有7個格點，中間共有8個格點，運用三角形格點圖形的面積公式：8272=21（面積單位）。7計算下面三角形格點中多邊形的面積

16、。分析與解答：方法一：這個多邊形圖的一周共有10個格點，中間共有9個格點，運用三角形格點圖形的面積公式的：92102=26（面積單位）。方法二：加輔助線將這個多邊形分成如下圖所示的三個三角形和一個平行四邊形。左下角的三角形為一個面積為10的平行四邊形面積的一半是5，右上角的三角形的面積為3（請你自己找出它所在的平行四邊形），中間的等邊三角形的面積為44=16，小平行四邊形的面積為2，因此多邊形的面積為：53162=26（面積單位）8下圖中有16個格點，以圖中三點為頂點連一個三角形，并且至少有一條邊水平或垂直。問共有多少個這樣的格點三角形，面積分別是多少？分析與解答：以這16個格點中任意三點為頂

17、點連成的三角形面積最多為整個圖形面積的一半，即任一三角形的面積至多為332=4.5（面積單位）。面積為4.5的直角三角形有4個；面積為4.5的非直角三角形有24=8（個）；面積為322=3的直角三角形有44=16（個）；面積為322=3的非直角三角形有64=24（個）；面積為222=2的直角三角形有44=16（個）；面積為222=2的非直角三角形有84=32（個）；面積為312=1。5的直角三角形有46=24（個）；面積為312=1。5的非直角三角形有46=24（個）；面積為212=1的直角三角形有412=48（個）；面積為212=1的非直角三角形有（4884）2=48（個）；面積為112=0。5的直角三角形有49=36（個）；面積為112=0。5的非直角三角形有（612126）2=72（個）；所以圖中共有4816241632242448483672=352（個）格點三角形。9在下圖中含有多少個格點正方形？分析與解答：這個問題可分類討論：面積為1個單位面積的格點正