科學(xué)和工程計(jì)算復(fù)習(xí)題及答案

1、科學(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ)復(fù)習(xí)題一、 填空題:1. 評價(jià)一個(gè)數(shù)值計(jì)算方法的好壞主要有兩條標(biāo)準(zhǔn):計(jì)算結(jié)果的 精度 和得到結(jié)果需要付出的 代價(jià) .2. 計(jì)算機(jī)計(jì)費(fèi)的主要依據(jù)有兩項(xiàng):一是使用中央處理器(CPU)的時(shí)間,主要由 算數(shù)運(yùn)算的次數(shù)決定;二是占據(jù)存儲器的空間,主要由 使用數(shù)據(jù)的數(shù)量 決定.3. 用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí),所有的函數(shù)都必須轉(zhuǎn)化成 算術(shù)運(yùn)算 .4. 對于某個(gè)算法,若輸入數(shù)據(jù)的誤差在計(jì)算過程中迅速增長而得不到控制,則稱該算法是 數(shù)值不穩(wěn)定的 ,否則是 數(shù)值穩(wěn)定的 .5. 函數(shù)求值問題的條件數(shù)定義為:6. 單調(diào)減且有 下界 的數(shù)列一定存在極限; 單調(diào)增且有 上界 的數(shù)列一定存在極限.7. 方程

2、實(shí)根的存在唯一性定理:設(shè)且,則至少存在一點(diǎn)使.當(dāng)在上 存在且不變號 時(shí),方程在內(nèi)有唯一的實(shí)根.8. 函數(shù)在有界閉區(qū)域D上對滿足Lipschitz條件,是指對于D上的任意一對點(diǎn)和成立不等式:.其中常數(shù)L 只依賴于區(qū)域D .9. 設(shè)為其特征值,則稱為矩陣A的譜半徑.10. 設(shè)存在,則稱數(shù)為矩陣的條件數(shù),其中是矩陣的算子范數(shù).11. 方程組,對于任意的初始向量和右端項(xiàng),迭代法收斂的充分必要條件是選代矩陣B的 譜半徑.12. 設(shè)被插函數(shù)在閉區(qū)間上階導(dǎo)數(shù)連續(xù),在開區(qū)間上存在.若為上的個(gè)互異插值節(jié)點(diǎn),并記,則插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為,其中.13. 若函數(shù)組滿足 k,l=0,1,2,n ,則稱為正交函數(shù)序列.14

3、. 復(fù)化梯形求積公式,其余項(xiàng)為15. 復(fù)化Simpson求積公式,其余項(xiàng)為16. 選互異節(jié)點(diǎn)為Gauss點(diǎn),則Gauss型求積公式的代數(shù)精度為 2n+1 .17. 如果給定方法的局部截?cái)嗾`差是,其中為整數(shù),則稱該方法是 P階的或具有P階精度 .18. 微分方程的剛性現(xiàn)象是指快瞬態(tài)解嚴(yán)重影響 數(shù)值解的穩(wěn)定性和精度 ,給數(shù)值計(jì)算造成很大的實(shí)質(zhì)性困難的現(xiàn)象.19. 迭代序列終止準(zhǔn)則通常采用，其中的為 相對誤差容限 .20. 在求解非線性方程組的阻尼牛頓迭代法中加進(jìn)阻尼項(xiàng)的目的,是使線性方程組(牛頓方程)的系數(shù)矩陣 非奇異并良態(tài) .二、 選擇題1. 下述哪個(gè)條件不是能使高斯消去法順利實(shí)現(xiàn)求解線性代數(shù)方

4、程組的充分條件? ( D )A. 矩陣的各階順序主子式均不為零; B. 對稱正定;C. 嚴(yán)格對角占優(yōu); D. 的行列式不為零.2. 高斯消去法的計(jì)算量是以下述哪個(gè)數(shù)量級的漸近速度增長的? ( B ) A. ; B. ; C. ; D. .3. 對于任意的初始向是和右端項(xiàng),求解線性代數(shù)方程組的迭代法收斂的充分必要條件是( A ). A. ; B. ; C. ; D. 嚴(yán)格對角占優(yōu).4. 下述哪個(gè)條件不是能使求解線性代數(shù)方程組的Gauss-Seidel迭代法收斂的充分條件? ( C )A. 為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣; B. 為不可約弱對角占優(yōu)陣;C. 的行列式不為零; D. 為對稱正定陣.5. 設(shè)，并記，

5、則函數(shù)的過點(diǎn)的線性插值余項(xiàng),滿足( A ). A. ; B. ; C. ; D. .6. 設(shè)是在區(qū)間上帶權(quán)的首項(xiàng)系數(shù)非零的次正交多項(xiàng)式,則的個(gè)根( A ). A. 都是單實(shí)根; B. 都是正根; C. 有非負(fù)的根; D. 存在重根7. Legendre多項(xiàng)式是( )的正交多項(xiàng)式.( B )A. 區(qū)間上帶權(quán); B. 區(qū)間上帶權(quán);C. 區(qū)間上帶權(quán); D. 區(qū)間上帶權(quán)8. 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合的線性最小二乘法的Gram矩陣與( D )無關(guān)?A. 基函數(shù); B. 自變量序列;C. 權(quán)數(shù); D. 離散點(diǎn)的函數(shù)值.9. Simpson求積公式的余項(xiàng)是( B ).A. ; B. ;C. ; D. 10. 個(gè)互

6、異節(jié)點(diǎn)的Gauss型求積公式具有( D )次代數(shù)精確度.A. ; B. ; C. ; D. .11. 一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計(jì)算公式中,中心差商公式的精度為( B ). A. ; B. ; C. ; D. .12. 對于用插值法建立的數(shù)值求導(dǎo)公式,通常導(dǎo)數(shù)值的精確度比用插值公式求得的函數(shù)值的精度( B ).A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.13. 在常微分方程初值問題的數(shù)值解法中, 梯形公式是顯式Euler公式和隱式Euler公式的( A ). A. 算術(shù)平均; B. 幾何平均; C. 非等權(quán)平均; D. 和.14. 當(dāng)( B )時(shí),求解的顯式Euler方法是絕對穩(wěn)定的. A. ;

7、B. ; C. ; D. 15. 求解的經(jīng)典R-K公式的絕對穩(wěn)定條件是( C ): A; B. ; C. ; D. .16. 在非線性方程的數(shù)值解法中,只要,那么不管原迭代法是否收斂,由它構(gòu)成的Steffensen迭代法的局部收斂的階是( D )階的. A. 1; B. 0; C. ; D. .17. 在非線性方程的數(shù)值解法中,Newton迭代法的局部收斂的階是( D )階的.A. 1; B. 0; C. ; D. .18. 在非線性方程的數(shù)值解法中,離散Newton迭代法的局部收斂的階是( C )階的.A. 1; B. ; C. ; D. .19. 在求解非線性方程時(shí),迭代終止準(zhǔn)則通常采用(

8、 A ),其中的為給定的相對誤差容限. A. ; B. ; C. ; D. .20. 在求解非線性方程組時(shí),加進(jìn)阻尼項(xiàng)的目的,是使線性方程組的( C ).A. 系數(shù)矩陣非奇異; B. 系數(shù)矩陣的行列式不等于零;C. 系數(shù)矩陣非奇異并良態(tài); D. 系數(shù)矩陣可逆.三、 判斷題1. 在用計(jì)算機(jī)求數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解就是構(gòu)造算法的構(gòu)造問題.( )2. 用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí),所有的函數(shù)都必須轉(zhuǎn)化成算術(shù)運(yùn)算;在作加減法時(shí),應(yīng)避免接近的兩個(gè)數(shù)相減;在所乘除法時(shí),計(jì)算結(jié)果的精度不會比原始數(shù)據(jù)的高.( )3. 用計(jì)算機(jī)作加減法時(shí),交換律和結(jié)合律成立.( )4. 單調(diào)減且有下界的數(shù)列一定存在極限。( )5. 設(shè),

9、則的充要條件是的譜半徑.( )6. 若,則一定有.( )7. 求解線性代數(shù)方程組,當(dāng)很大時(shí),Cholesky分解法的計(jì)算量比Gauss消去法大約減少了一半. ( )8. 在用迭代法求解線性代數(shù)方程組時(shí),若Jacobi迭代矩陣為非負(fù)矩陣,則Jacobi方法和Gauss-Seidel方法同時(shí)收斂,或同時(shí)不收斂;若同時(shí)收斂,則Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收斂快. ( )9. 均差(或差商)與點(diǎn)列的次序有關(guān). ( )10. 線性最小二乘法問題的解與所選基函數(shù)有關(guān). ( )11. 復(fù)化梯形求積公式是2階收斂的, 復(fù)化Simpson求積公式是4階收斂的. ( )12. Gauss求積系數(shù)

10、都是正的. ( )13. 在常微分方程初值問題的數(shù)值解法中, 因?yàn)樘菪喂绞秋@式Euler公式和隱式Euler公式的算術(shù)平均,而Euler公式和隱式Euler公式是一階方法,所以梯形公式也是一階方法. ( )14. 在Runge-Kutta法中, 通常同級的隱式公式能獲得比顯式公式更高的階. ()15. 求解的梯形公式是無條件穩(wěn)定的. ( )16. 在常微分方程初值問題的數(shù)值解法中, 不論單步法還是多步法, 隱式公式比顯式公式的穩(wěn)定性好. ( )17. 迭代法的基本問題是收斂性、收斂速度和計(jì)算效率. ()18. 在一元非線性方程的數(shù)值解法中,最有效的是Steffensen迭代法和Newton迭

11、代法.前者不需要求導(dǎo)數(shù),但不宜推廣到多元的情形;后者需要求導(dǎo)數(shù),但可直接推廣到多元方程組. ( )19. 常微分方程邊值問題的差分法,就是將解空間和微分算子離散化、組成滿足邊值條件的差分方程組,求解此方程組,得到邊值問題在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)的近似值. ( )20. 在求解非線性方程組時(shí),在一定條件下映內(nèi)性可保證不動(dòng)點(diǎn)存在,因而也能保證唯一性. ( )四、 線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法1. 用高斯消去法求解方程組，即 （1） 列出用增廣矩陣表示的計(jì)算過程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；（3） 由計(jì)算。P65 例3.2.12. 用高斯消去法求解方程組，即 （1） 列出用

12、增廣矩陣表示的計(jì)算過程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；（3） 由計(jì)算。解：方程組的增廣矩陣第一次消元：消元因子，進(jìn)行消元，得第二次消元：消元因子，進(jìn)行消元，得回代得，易知，3. 用高斯消去法求解方程組，即 （1） 列出用增廣矩陣表示的計(jì)算過程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；（3） 由計(jì)算。解：方程組增廣矩陣第一次消元：消元因子，進(jìn)行消元，得第二次消元：消元因子，進(jìn)行消元，得回代得，易知，4. 用高斯消去法求解方程組，即 （1） 列出用增廣矩陣表示的計(jì)算過程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中

13、的三角陣和；（3） 由計(jì)算。解：方程組增廣矩陣第一次消元：消元因子，進(jìn)行消元，得第二次消元：消元因子，進(jìn)行消元，得回代得，易知，5. 用高斯消去法求解方程組，即 （1） 列出用增廣矩陣表示的計(jì)算過程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；（3） 由計(jì)算。解：方程組增廣矩陣第一次消元：消元因子，進(jìn)行消元，得第二次消元：消元因子，進(jìn)行消元，得第三次消元：消元因子，進(jìn)行消元，得回代得，易知， 6. 用高斯消去法求解方程組，即 （1） 列出用增廣矩陣表示的計(jì)算過程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；（3） 由計(jì)算。解：方程組增廣矩陣第

14、一次消元：消元因子，進(jìn)行消元，得第二次消元：消元因子，進(jìn)行消元，得第三次消元：消元因子，進(jìn)行消元，得回代得，易知， 7. 用追趕法求解三對角方程組,其中解：，得，解得，得， 8. 用追趕法求解三對角方程組,其中，得，解得，得，Page77 例3.3.1 9. 用追趕法求解三對角方程組,其中解：，得， 解得，得， 五、 插值與擬合1. 已知函數(shù)的三個(gè)點(diǎn)，寫出Lagrange插值基函數(shù),并求2次插值多項(xiàng)式.Page117 例4.2.12. 已知,求函數(shù)過這三點(diǎn)的二項(xiàng)Lagrange插值多項(xiàng)式.解：這里n=23. 求不超過3次的多項(xiàng)式，使它滿足插值條件： Page 121 例4.2.44. 求不超過

15、4次的多項(xiàng)式，使它滿足插值條件： 解：構(gòu)造其中的插值基函數(shù)，為三次多項(xiàng)式，為待定常數(shù)。計(jì)算得， 由于，得=，所以=5. 給定數(shù)據(jù)如下:11.5021.252.501.005.50(1) 作函數(shù)的均差表;(2) 用牛頓插值公式求三次插值多項(xiàng)式.解：均差表1階均差2階均差3階段均差11.251.52.5001.0025.502）=1.25+2.5+1.5+6. 求不超過3次的多項(xiàng)式，使它滿足插值條件:解：構(gòu)造其中的插值基函數(shù)，為三次多項(xiàng)式，為待定常數(shù)。計(jì)算得， 7. 己知函數(shù)的三個(gè)點(diǎn)處的值為：在區(qū)間-1, 1上,求在自然邊界條件下的三次樣條插值多項(xiàng)式.P129 例4.4.18. 已知為定義在區(qū)間上

16、的函數(shù),且有試求區(qū)間上滿足上述條件的三次樣條插值函數(shù).解：，；，均差表1階均差2階均差0010.522.031.5，利用固支條件，得矩陣用追趕法求解方程組：，得， 解得，得，所以，i=0,1,29. 己知點(diǎn)列和權(quán)數(shù),試用三項(xiàng)遞推公式構(gòu)造對應(yīng)的正交多項(xiàng)式.解：，=2于是，=22=，于是=10. 觀察物體的直線運(yùn)動(dòng),得出如下數(shù)據(jù)：時(shí)間t /s0.00.91.93.03.95.0距離s /m010305080110求運(yùn)動(dòng)方程,并作圖.解：選擇多項(xiàng)式子空間的基函數(shù)為,它們在自變量序列處的函數(shù)值向量為，數(shù)據(jù)中沒有給出權(quán)數(shù)，表示默認(rèn)它們都是1，即。格蘭姆矩陣G=右端向量d=解正規(guī)方程組，得到得圖形如下：1

17、1. 試用二次多項(xiàng)式擬合下表中的離散數(shù)據(jù):012340.000.250.500.751.000.100.350.811.091.96Page151 例4.6.112. 試用二次多項(xiàng)式擬合下表中的離散數(shù)據(jù):012340.000.250.500.751.001.00001.28401.64872.11702.7183解：n=2，子空間的基函數(shù)為，。數(shù)據(jù)中沒有給出權(quán)數(shù)，表示默認(rèn)它們都是1，即。解正規(guī)方程組，得到13. 用自己的語言敘述最小二乘原理，并求參數(shù)和，使積分值最小.解：最小二乘原理：Page146 定義4.6.1，對于連續(xù)函數(shù)的情況可以用函數(shù)范數(shù)代替向量范數(shù)。令，選擇多項(xiàng)式子空間的基函數(shù)為,

18、權(quán)函數(shù)。格蘭姆矩陣G=右端向量d=解正規(guī)方程組，得到，六、 數(shù)值積分和數(shù)值微分1. 求積公式已知其余項(xiàng)的表達(dá)式為,試確定系數(shù)使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精確度,并給出該求積公式的余項(xiàng)和代數(shù)精確度的次數(shù).解：P165 例5.2.12. 確定下列求積公式的待定參數(shù),使該求積公式的代數(shù)精確度盡量高,并指出其代數(shù)精確度的次數(shù).(1) 解：題中有4個(gè)待定參數(shù)，至少要建立4個(gè)方程。按代數(shù)精確度，分別令，帶入上式，有，由第一式可知，代入第三式可得， 4乘以第四式減去第二式得，由題目和上面的結(jié)論知，得0，于是得求積公式它至少有3次代數(shù)精度。(2) 解：題中有4個(gè)待定參數(shù)，至少要建立4個(gè)方程。按代數(shù)精確度，分

19、別令，帶入上式，有，由和第二式可知，再由第三式可知，再由第一式知,于是得求積公式它至少有3次代數(shù)精度。(3) 解：P165 例5.2.1，本題有三個(gè)未知量，至少有2次代數(shù)精度，和例5.2.1類似。3. 確定下列求積公式的待定參數(shù), 使該求積公式的代數(shù)精確度盡量高,指出其代數(shù)精確度的次數(shù), 并求出余項(xiàng)中的常數(shù).(1) 解：余項(xiàng)為三階導(dǎo)數(shù)，可知求積公式至少有2次代數(shù)精度題中有3個(gè)待定參數(shù)，至少要建立3個(gè)方程。按代數(shù)精確度，分別令，帶入上式，有，解得，則有令，分別代入求積公式的左右兩邊，左邊=，右邊=，左邊不等于右邊，不能使求積公式準(zhǔn)確成立，所以該求積公式只有2次代數(shù)精度?？紤]余項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，代入求積公

20、式，得，所以余項(xiàng)為：(2) 解：余項(xiàng)為三階導(dǎo)數(shù)，可知求積公式至少有2次代數(shù)精度題中有3個(gè)待定參數(shù)，至少要建立3個(gè)方程。按代數(shù)精確度，分別令，帶入上式，有，解得，則有令，分別代入求積公式的左右兩邊，左邊=0，右邊=，左邊不等于右邊，不能使求積公式準(zhǔn)確成立，所以該求積公式只有2次代數(shù)精度?？紤]余項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，代入求積公式，得，所以余項(xiàng)為：4. 給定數(shù)據(jù)表:1.82.02.22.42.63.120144.425696.042418.0301410.46675分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算的近似值.解：，復(fù)化梯形公式：， =5.058337，復(fù)化Simpson公式:=5.0330025.

21、分別用4段梯形公式和2段Simpson公式計(jì)算下列積分,運(yùn)算時(shí)取5位有效數(shù)字。(1) (2) 解：（1）n=4,h=(9-1)/4=2數(shù)據(jù)表：1357911.73212.23612.64583復(fù)化梯形公式：， =17.228，復(fù)化Simpson公式:=17.322精確解：17.333，復(fù)化Simpson精確度更高些。*（2）（1）n=4,h=(3-2)/4=數(shù)據(jù)表：22.252.52.7534.47215.54006.73158.04709.4868復(fù)化梯形公式：， =6.8245，復(fù)化Simpson公式:=6.81416. 己知求積公式:試?yán)么斯綄?dǎo)出計(jì)算的2段復(fù)化求積公式.解：作變量置換，時(shí)，則=7. 用兩種不同的方法確定，使下面公式為Gauss求積公式:解：（1）作變量置換，時(shí)，則有（2）題中有4個(gè)待定參數(shù)，至少要建立4個(gè)方程。按代數(shù)精確度，分別令，帶入上式，有，解得， 于是得求積公式它至少有3次代數(shù)精度。七、 常微分方程的數(shù)值解法1. 取步長，試用顯式Euler法求解初值問題： 并將計(jì)算解和精確解(要求求出)比較.解：原方程等價(jià)于 令，得，解得，利用初始條件，解得，得，方程精確解