中南大學(xué)微積分上復(fù)習(xí)課習(xí)題課PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1中南大學(xué)微積分上復(fù)習(xí)課習(xí)題課中南大學(xué)微積分上復(fù)習(xí)課習(xí)題課1 1、羅爾中值定理、羅爾中值定理羅爾羅爾（R Rolleolle）定理）定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且在區(qū)間端且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即點(diǎn)的函數(shù)值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba , ,使得函數(shù)使得函數(shù))(xf在該在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零， 即即0)( f 第1頁(yè)/共46頁(yè)2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值

2、定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,那那末在末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .).10()(0 xxxfy.的精確表達(dá)式的精確表達(dá)式增量增量 y 有限增量公式有限增量公式.第2頁(yè)/共46頁(yè)3 3、柯西中值定理、柯西中值定理柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且)(xF在在),(ba內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末

3、在內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在),(ba內(nèi)至少內(nèi)至少有一點(diǎn)有一點(diǎn))(ba , ,使等式使等式)()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .推論推論.)(,)(上是一個(gè)常數(shù)上是一個(gè)常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf第3頁(yè)/共46頁(yè)4 4、洛必達(dá)法則、洛必達(dá)法則定義定義 這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.型未定式型未定式型及型及 00.10型未定式型未定式000,1 ,0 ,0.2 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它

4、類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型的類型 .),00()( 注意：注意：洛必達(dá)法則的使用條件洛必達(dá)法則的使用條件.第4頁(yè)/共46頁(yè)泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在含有在含有0 x的某個(gè)開(kāi)區(qū)間的某個(gè)開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù), ,則則當(dāng)當(dāng)x在在),(ba內(nèi)時(shí)內(nèi)時(shí), , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一的一個(gè)個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng))(xRn之和之和: :)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxf

5、xfxfnnn 5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之間之間與與在在其中其中xxxxnfxRnnn 第5頁(yè)/共46頁(yè) 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 第6頁(yè)/共46頁(yè)6 6、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(

6、),(1.),(,)(00上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在可導(dǎo)可導(dǎo)內(nèi)內(nèi)上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy (1) 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法第7頁(yè)/共46頁(yè).)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成

7、立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義(2) 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法第8頁(yè)/共46頁(yè) 設(shè)設(shè))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù),且且在在0 x處取得極值處取得極值,那末必定那末必定0)(0 xf.定理定理( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實(shí)根的實(shí)根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)xfxf 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與

8、極小值統(tǒng)稱為極值極值,使函數(shù)取得使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn).極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小極大值可能小于極小值值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn). .第9頁(yè)/共46頁(yè)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值.(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值.(3)如果當(dāng)如果當(dāng)

9、),(00 xxx 及及),(00 xxx時(shí)時(shí), )(xf符符 號(hào)相同號(hào)相同,則則)(xf在在0 x處無(wú)極值處無(wú)極值.定理定理( (第一充分條件第一充分條件) ) 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù),且且0)(0 xf, 0)(0 xf, 那末那末(1)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值;(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值.定理定理( (第二充分條件第二充分條件) )第10頁(yè)/共46頁(yè)求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù);0)()2(的根的根求駐點(diǎn)，即方程求駐點(diǎn)，即

10、方程 xf;,)()()3(判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)該點(diǎn)的符號(hào)該點(diǎn)的符號(hào)在在在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)或在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)或檢查檢查xfxf .)4(求極值求極值第11頁(yè)/共46頁(yè)步驟步驟: :1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比比較大小較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)那個(gè)小那個(gè)就是最小值就是最小值;注意注意: :如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就則這個(gè)極值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3) 最大值、最小值問(wèn)題最大值、最小值問(wèn)題第12頁(yè)/共46頁(yè)實(shí)際問(wèn)題求最

11、值應(yīng)注意實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意: :1)建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);2)求最值求最值;（或最?。┲担ɑ蜃钚。┲岛瘮?shù)值即為所求的最大函數(shù)值即為所求的最大點(diǎn)，則該點(diǎn)的點(diǎn)，則該點(diǎn)的若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐(4) 曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸與拐點(diǎn)定義定義;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121內(nèi)的圖形是凹的內(nèi)的圖形是凹的在在那末稱那末稱恒有恒有兩點(diǎn)兩點(diǎn)內(nèi)任意內(nèi)任意如果對(duì)如果對(duì)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在設(shè)設(shè)baxfxfxfxxfxxbabaxf 第13頁(yè)/共46頁(yè);),()(,2)()()2(,),(212121內(nèi)的圖形是凸的內(nèi)的圖形是凸的在在那末稱那末稱恒有恒有內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意

12、兩點(diǎn)如果對(duì)如果對(duì)baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹在在那末稱那末稱的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹且在且在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在如果如果baxfbabaxf第14頁(yè)/共46頁(yè)定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有二階內(nèi)具有二階在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)曲線的拐點(diǎn).定理定理 2 2 如果如果

13、)(xf在在),(00 xx內(nèi)存在二階導(dǎo)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)數(shù) , 則 點(diǎn)則 點(diǎn) )(,00 xfx是 拐 點(diǎn) 的 必 要 條 件 是是 拐 點(diǎn) 的 必 要 條 件 是0)(0 xf.第15頁(yè)/共46頁(yè)方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù);)(,(,)()1(000即為拐點(diǎn)即為拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變號(hào)變號(hào)兩近旁兩近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不變號(hào)不變號(hào)兩近旁兩近旁xfxxfx 方法方法2:2:.)()(,(, 0)(, 0)(,)(00000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)曲線曲線是是那末那末而而且且的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)三階可

14、導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 第16頁(yè)/共46頁(yè)利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第一步第二步第二步 確定函數(shù)確定函數(shù))(xfy 的定義域的定義域,對(duì)函數(shù)進(jìn)行對(duì)函數(shù)進(jìn)行奇偶性、周期性、曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等性態(tài)的討奇偶性、周期性、曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等性態(tài)的討論論,求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù))(xf和二階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù))(xf; 求出方程求出方程0)( xf和和0)( xf 在函數(shù)定義在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實(shí)根，用這些根同函數(shù)的間斷點(diǎn)或?qū)?shù)域內(nèi)的全部實(shí)根，用這些根同函數(shù)的間斷點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間不存在的點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分成幾

15、個(gè)部分區(qū)間.(5) 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪第17頁(yè)/共46頁(yè)第三步第三步 確定在這些部分區(qū)間內(nèi)確定在這些部分區(qū)間內(nèi))(xf和和)(xf的符的符號(hào)，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹號(hào)，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹凸與拐點(diǎn)凸與拐點(diǎn)（可列表進(jìn)行討論） ；可列表進(jìn)行討論） ；第四步第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢(shì)其他變化趨勢(shì);第五步第五步 描描出出與與方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的曲曲線線上上的的點(diǎn)點(diǎn)，有有時(shí)時(shí)還還需需要要補(bǔ)補(bǔ)充充一一些些點(diǎn)點(diǎn)，再再綜綜合合前前四四步步討討論論的的結(jié)結(jié)果果畫畫出出函函

16、數(shù)數(shù)的的圖圖形形.第18頁(yè)/共46頁(yè).1.120dxyds 弧微分弧微分.lim.200dsdKs 曲率曲率.)1(232yyk (6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圓曲率圓 曲率的計(jì)算公式曲率的計(jì)算公式第19頁(yè)/共46頁(yè).),(,.1,).0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點(diǎn)稱此圓為曲線在點(diǎn)如圖如圖圓圓為半徑作為半徑作為圓心為圓心以以使使取一點(diǎn)取一點(diǎn)在凹的一側(cè)在凹的一側(cè)處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點(diǎn)在點(diǎn)處的曲率為處的曲率為在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)曲線設(shè)曲線MDkDMDMkkyxMxfy 定義定義,是曲率中心是曲率中心D.是曲率半徑是曲率半徑 .1,1 kk曲率圓曲率圓.30第20頁(yè)/共

17、46頁(yè)例例1 1.65,6sinln的正確性的正確性上上在在驗(yàn)證羅爾定理對(duì)驗(yàn)證羅爾定理對(duì) xy解解), 1, 0(,22: kkxkD.65,6上連續(xù)上連續(xù)且在且在 內(nèi)處處存在內(nèi)處處存在在在又又)65,6(cot xy)65()6( ff并且并且2ln 二、典型例題第21頁(yè)/共46頁(yè).65,6sinln的條件的條件上滿足羅爾定理上滿足羅爾定理在在函數(shù)函數(shù) xy, 0cot xy由由內(nèi)顯然有解內(nèi)顯然有解在在)65,6( .2 x,2 取取. 0)( f則則這就驗(yàn)證了命題的正確性這就驗(yàn)證了命題的正確性.第22頁(yè)/共46頁(yè)例例2 2.)1(51lim520 xxxx 求極限求極限解解. 2的次數(shù)為的

18、次數(shù)為分子關(guān)于分子關(guān)于 x515)51(51xx )()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原式原式.21 第23頁(yè)/共46頁(yè)例例3 3.)()(,)1 , 0(,:, 1)1(, 0)0(,)1 , 0(,1 , 0)(bafbfabaffxf 使使內(nèi)存在不同的內(nèi)存在不同的在在對(duì)任意給定的正數(shù)對(duì)任意給定的正數(shù)試證試證且且內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)證證,均為正數(shù)均為正數(shù)與與 ba10 baa,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在又又xf由介值定理由介值定理,)(baaf 使得使得),1 , 0( 存在存在有

19、有上分別用拉氏中值定理上分別用拉氏中值定理在在,1 , 0)( xf第24頁(yè)/共46頁(yè)), 0(),()0()0()( fff)1 ,(),()1()()1( fff, 1)1(, 0)0( ff注意到注意到由由, 有有)()(1bafbbafa )( fbaa )()(11 ff )( fbab + ,得得)()( ff .)()(bafbfa 第25頁(yè)/共46頁(yè)例例4 4)., 0, 0( ,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx 證明不等式證明不等式證證),0(ln)( ttttf令令, 1ln)( ttf則則, 01)( ttf.0, 0),(),(ln)(是凹的是凹的或或在在 y

20、xxyyxtttf)2()()(21yxfyfxf 于是于是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即第26頁(yè)/共46頁(yè)例例5 5)1 , 0(21)(:, 1)(),1()0(,1 , 0)( xxfxfffxf證明證明且且上二階可微上二階可微在在若函數(shù)若函數(shù)證證,1 , 00 x設(shè)設(shè)有有展展成成一一階階泰泰勒勒公公式式處處把把在在,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 則有則有令令, 1, 0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxfxff 第27頁(yè)

21、/共46頁(yè)2022010)1)(21)(21)(xfxfxf ,),1()0(ff 注注意意到到則有則有, 1)( xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20 x, 1 , 00知知又由又由 x,21210 x21)(0 xf于是有于是有.,0可知命題成立可知命題成立的任意性的任意性由由 x第28頁(yè)/共46頁(yè)例例6 6.,)1 ,2(sin2程程兩曲線的公共曲率圓方兩曲線的公共曲率圓方點(diǎn)處點(diǎn)處并寫出并寫出向向點(diǎn)具有相同的曲率和凹點(diǎn)具有相同的曲率和凹在在使拋物線與正弦曲線使拋物線與正弦曲線一拋物線一拋物線求作求作處處上點(diǎn)上點(diǎn)過(guò)正弦曲線過(guò)正弦曲線MMcbxaxyMxy 解解為為曲率

22、圓的圓心坐標(biāo)分別曲率圓的圓心坐標(biāo)分別曲率半徑和曲率半徑和處的曲率處的曲率在點(diǎn)在點(diǎn)曲線曲線,),()(yxxfy ,)(1 232yyk ,1k yyyyyyyxx2020)(1)(1 第29頁(yè)/共46頁(yè),sin)(xxfy 對(duì)于曲線對(duì)于曲線, 1)2( f有有 )2(f. 1 ,2cbxaxy 對(duì)于曲線對(duì)于曲線 )2(f有有,242cba )2(f, ba )2(f.2a若兩曲線滿足題設(shè)條件若兩曲線滿足題設(shè)條件,必在該點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)必在該點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),于是有于是有, 1242 cba, 0 ba. 12 a )2(f, 0第30頁(yè)/共46頁(yè)解此方程組得解此

23、方程組得,21 a,2 b.812 c故所求作拋物線的方程為故所求作拋物線的方程為.8122122 xxy),0 ,2( , 1 曲率半徑曲率半徑曲率圓的方程為曲率圓的方程為. 1)2(22 yx兩曲線在點(diǎn)處的曲率圓的圓心為兩曲線在點(diǎn)處的曲率圓的圓心為第31頁(yè)/共46頁(yè)例例7 7.,12并作函數(shù)的圖形并作函數(shù)的圖形漸近線漸近線拐點(diǎn)拐點(diǎn)區(qū)間區(qū)間凹凸凹凸極值極值的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解:)1(定義域定義域, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函數(shù)奇函數(shù)y )2(222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3

24、, 0, 3 x得得第32頁(yè)/共46頁(yè)y 222)1()3(2 xxx,)1(1)1(133 xx, 0 y令令. 0 x得可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)得可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo),lim)3( yx;沒(méi)有水平漸近線沒(méi)有水平漸近線,lim01 yx又又,lim01 yx;1的鉛直漸近線的鉛直漸近線為曲線為曲線 yx ,lim01 yx,lim01 yx;1的鉛直漸近線的鉛直漸近線為曲線為曲線 yx 第33頁(yè)/共46頁(yè)xyax lim)1(1lim2 xxxxx, 1 )(limaxybx )(limxyx 1lim2 xxx, 0 .的斜漸近線的斜漸近線為曲線為曲線直線直線yxy ,)3, 0, 3(),1()4(

25、分點(diǎn)分點(diǎn)和可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)為和可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)為駐點(diǎn)駐點(diǎn)以函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)以函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn) xxxx列表如下列表如下:第34頁(yè)/共46頁(yè)x)3,( )1 , 0()1, 3( 3 )0 , 1( y y y 1 0 極大極大值值0拐點(diǎn)拐點(diǎn)00 x31y y y 極小極小值值0 )3, 1(), 3( 3xy極大值極大值, 323 3xy極小值極小值, 323).0 , 0(拐點(diǎn)為拐點(diǎn)為第35頁(yè)/共46頁(yè)xyoxy 1 1作圖作圖第36頁(yè)/共46頁(yè)一、一、 選擇題：選擇題：1 1、 一元函數(shù)微分學(xué)的三個(gè)中值定理的結(jié)論都有一個(gè)一元函數(shù)微分學(xué)的三個(gè)中值定理的結(jié)論都有一個(gè)共同點(diǎn)，即共同點(diǎn)，即（ ）（A

26、A） 它們都給出了點(diǎn)的求法它們都給出了點(diǎn)的求法 . .（B B） 它們都肯定了點(diǎn)一定存在，且給出了求的它們都肯定了點(diǎn)一定存在，且給出了求的方法。方法。（C C） 它們都先肯定了它們都先肯定了 點(diǎn)一定存在，而且如果滿足點(diǎn)一定存在，而且如果滿足定理?xiàng)l件，就都可以用定理給出的公式計(jì)算的定理?xiàng)l件，就都可以用定理給出的公式計(jì)算的值值 . .（D D） 它們只肯定了的存在，卻沒(méi)有說(shuō)出的值是它們只肯定了的存在，卻沒(méi)有說(shuō)出的值是什么，也沒(méi)有給出求的方法什么，也沒(méi)有給出求的方法 . .測(cè)測(cè) 驗(yàn)驗(yàn) 題題第37頁(yè)/共46頁(yè)2 2、 若若)(xf在在),(ba可導(dǎo)且可導(dǎo)且)()(bfaf , ,則則（ ）（A A）

27、至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)),(ba ，使，使0)( f；（B B） 一定不存在點(diǎn)一定不存在點(diǎn)),(ba ，使，使0)( f；（C C） 恰存在一點(diǎn)恰存在一點(diǎn)),(ba ，使，使0)( f；（D D） 對(duì)任意的對(duì)任意的),(ba ，不一定能使，不一定能使0)( f . . 3 3已知已知)(xf在在,ba可導(dǎo)，且方程可導(dǎo)，且方程 f(x)f(x)=0=0 在在),(ba有有 兩個(gè)不同的根兩個(gè)不同的根 與與 ，那么在，那么在),(ba（） 0)( xf. .（A A） 必有；必有；（B B） 可能有；可能有；（C C） 沒(méi)有；沒(méi)有；（D D） 無(wú)法確定無(wú)法確定. .第38頁(yè)/共46頁(yè) 4 4、如果

28、、如果)(xf在在,ba連續(xù)，在連續(xù)，在),(ba可導(dǎo)，可導(dǎo)，c為介于為介于 ba,之間的任一點(diǎn)，那么在之間的任一點(diǎn)，那么在),(ba（ ）找到兩點(diǎn)）找到兩點(diǎn) 12, xx，使，使)()()()(1212cfxxxfxf 成立成立. . （A A）必能；）必能； （B B）可能；）可能； （C C）不能；）不能； （D D）無(wú)法確定能）無(wú)法確定能 . . 5 5、若、若)(xf在在,ba上連續(xù)，在上連續(xù)，在),(ba內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 ),(bax 時(shí)，時(shí)，0)( xf，又，又0)( af, ,則則（ ）. .（A A） )(xf在在,ba上單調(diào)增加，且上單調(diào)增加，且0)( bf；（B B）

29、 )(xf在在,ba上單調(diào)增加，且上單調(diào)增加，且0)( bf；（C C） )(xf在在,ba上單調(diào)減少，且上單調(diào)減少，且0)( bf；（D D） )(xf在在,ba上單調(diào)增加，但上單調(diào)增加，但)(bf的的 正負(fù)號(hào)無(wú)法確定正負(fù)號(hào)無(wú)法確定. .第39頁(yè)/共46頁(yè) 6 6、0)(0 xf是可導(dǎo)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù))(xf在在0 x點(diǎn)點(diǎn)處有極值的處有極值的（ ）. .（A A） 充分條件；充分條件；（B B） 必要條件必要條件（C C） 充要條件；充要條件；（D D） 既非必要又非充既非必要又非充 分分 條件條件. . 7 7、若連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有唯一的極大值和極小、若連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有唯一的極大值和極

30、小 值，則值，則（ ）. . （A A）極大值一定是最大值，且極小值一定是最小值；）極大值一定是最大值，且極小值一定是最小值； （B B）極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值；）極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值； （C C）極大值不一定是最大值，極小值也不一定是）極大值不一定是最大值，極小值也不一定是 最小值；最小值； （D D）極大值必大于極小值）極大值必大于極小值 . .第40頁(yè)/共46頁(yè) 8 8、若在、若在),(ba內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù))(xf的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)0)( xf， 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)0)( xf, ,則函數(shù)則函數(shù))(xf在此區(qū)間內(nèi)在此區(qū)間內(nèi)( ( ). ).（A A） 單調(diào)減少，曲線是凹的；單調(diào)減少，曲線是凹的；（B B） 單調(diào)減少，曲線是凸的；單調(diào)減少，曲線是凸的；（C C） 單調(diào)增加，曲線是凹的；單調(diào)增加，曲線是凹的；（D D） 單調(diào)增加，曲線是凸的單調(diào)增加，曲線是凸的. . 9 9、設(shè)、設(shè)0)(lim)(lim xFxfaxax，且在點(diǎn)，且在點(diǎn)a的某的某 鄰域中鄰域中（點(diǎn)（點(diǎn)a可除外） ，可除外） ，)(xf及及)(xF都存在，都存在， 且且0)( xF, ,則