正弦定理和余弦定理知識點及典型例題

1、正弦定理和余弦定理要點梳理1正弦定理其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為:a : b : c= sin A : sin B : sin C ;(2)a= 2Rsin A , b= 2Rsin B , c= 2Rsin C ;abc2R(3)sin A = 2R, sin B =樂，sin C = 2R等形式，以解決不同的三角形問題.2 三角形面積公式111abc 1SAABC -absin C=$bcsin A=acsin B=-(a + b+ c) r(r 是三角形內切圓的半徑)，并可由此計算 R、2224R 2r.3. 余弦定理：2 2 2 2 2 2 2 2 2a = b +

2、c 2bccos A, b =a + c 2accos B, c =a + b 2abcos C.余弦定理可以變形為：222 2 2 2 2 2 2b2 c2 a2_ a c babccos A =, cos B =, cos C =.2bc2ac2ab4. 在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2) 已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角.情況(2)中結果可能有一解、二解、無解，應注意區(qū)分.余弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題；(2) 已知三邊問題.基礎自測1 .在 ABC 中，若 b= 1， c = 3， C= -，貝V a

3、 =.32. 已知 ABC的內角A, B，C的對邊分別為 a，b，c，若c=在，b = 6，B= 120，貝U a=.93. 在 ABC 中，若 AB=5, AC= 5, 且 cos C =和，貝BC=亠4. 已知圓的半徑為 4, a、b、c為該圓的內接三角形的三邊，若abc = 16叮2,則三角形的面積為()A. 2 2 B . 8 2題型分類深度剖析題型一 利用正弦定理求解三角形 例 1 在厶 ABC中, a= 3, b=. 2, B= 45 .求角 A C和邊 c.變式訓練1已知a, b, c分別是 ABC勺三個內角 A, B, C所對的邊，若a= 1, b=3, A+ C= 2B,則A

4、=題型二利用余弦定理求解三角形例2 在厶ABC中, a、b、c分別是角 A B、C的對邊，且cos B cos Cb2a c(1)求角A的大?。?2) 若a= 1，求 ABC的周長I的取值范圍.(1)求角B的大小； (2)若b= 13, a+ c = 4，求 ABC的面積.變式訓練2已知A、B。為厶ABC的三個內角，其所對的邊分別為a、b、c 且 2cos2 A +cos A=02(1)求角A的值； (2) 若a= 2 3, b+ c = 4，求 ABC的面積.題型三正、余弦定理的綜合應用例 3.在厶ABC中, a、b、c 分別是角 A B、C 的對邊 已知 2. 2(sin2 A sin2C) (a b)sin B , ABC外接圓半徑為.2 .(1)求角C的大??；(2)求厶ABC面積的最大值.變式訓練3在厶ABC中，內角A, B, C所對的邊長分別是 a, b, c.(1) 若c = 2, C= nn，且 ABC的面積為.3,求a, b的值；(2) 若 sin C+ sin( B