導數(shù)研究函數(shù)零點問題.

1、利用導數(shù)研究方程的根函數(shù)與x軸即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步：畫岀兩個圖像即“穿線圖(即解導數(shù)不等式)和“趨勢圖即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增還是“先減后增再減；第二步：由趨勢圖結合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式(組)；主要看極大值和極小值與0的關系；第三步：解不等式(組)即可；1 函數(shù) f(X)=ex,x. R .(I)求f (x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(1,0)處的切線方程；(n )證明：曲線y=f(x)與曲線y = 1 x2 x 1有唯一公共點.2【答案】解：(I )f(x)的反函數(shù)g(x) =1 nx,那么y=g(x)過點(1,0)的切線斜率k=g(1).1g(x) =: k 二

2、 g(1) =1.過點(1,0)的切線方程為:y=x+1x1 2(n )證明曲線y=f(x)與曲線y x x 1有唯一公共點，過程如下.2h(x) =ex -x -1,h(x)的導數(shù) h(x)二 ex -1,且h(0) = 0, h(0) = 0,h(0) = 0 因此，1 2所以，曲線y=f(x)與曲線y= x2x 1只有唯一公共點(0,1).(證畢)2a2、函數(shù)f (x) =x-x ( a R , e為自然對數(shù)的底數(shù)).e(1) 求函數(shù)f (x)的極值;(2) 當a =1的值時，假設直線丨：y =kx -1與曲線y = f (x)沒有公共點，求k的最大值.(1) f x =1- ：，e 當

3、aO時，x戶0, f x為，亠j上的增函數(shù)，所以函數(shù)f x無極值. 當 a 0時,令X = 0,得ex=a,x=lna.x 三,ln a , f x ： 0； x 三In a,二，f x 0.所以f x在-:：，l na上單調遞減，在In a,= 上單調遞增，故f x在x = I na處取得極小值，且極小值為f Ina = In a,無極大值.綜上，當a乞0時，函數(shù)f x無極小值；當a 0, f x在x=l na處取得極小值In a,無極大值., 1(2) 當 a =1 時，f x = x T x.e直線I: y =kx1與曲線y = f x沒有公共點，1等價于關于x的方程kx _1 =x -

4、1 X在R上沒有實數(shù)解，即關于x的方程:e(*)1k -1 x = xe在R上沒有實數(shù)解.當k = 1時，方程(*)當k =1時,方程(*)1可化為1xe化為1k -1=0,在R上沒有實數(shù)解.x二 xe .令 g xi； = xex,那么有 g x = 1 x ex.令 g x =0,得x - -1當x變化時，g x的變化情況如下表：e從而g x的取值范圍為所以當1k 一1,方程(*)無實數(shù)解,解得k的取值范圍是1 - e，1 .1.3_(k+1) 2，綜上,得k的最大值為g(x)二丄-kx，且f(x)在區(qū)間(2, ：)上為增函數(shù).313、函數(shù) f (x) x32(1) 求實數(shù)k的取值范圍；(

5、2) 假設函數(shù)f (x)與g(x)的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍.解：(1)由題意f (x) =x2 - (k T)x / f(x)在區(qū)間(2, ：)上為增函數(shù)， 二f (x)=x2 -(k 1)x0在區(qū)間(2,=)上恒成立即k 1 ： x恒成立，又x 2，二k 1 一 2，故k 一 1 k的取值范圍為 k -13x3(k +1) 21(2)設 h(x)二 f (x) - g(x)x kx -323令 h(x) = 0 得 x=k 或 x=1 由(1)知 k 二1， 當k =1時，h (xH(x -1)2 -0，h(x)在R上遞增，顯然不合題意 當k : 1時，h(x)，h (x)

6、隨x的變化情況如下表：/k 3 k 21極大值_ _-1623極小值k12/k _1由于0,欲使f (x)與g(x)的圖象有三個不同的交點，即方程h(x)=0有三個不同的實根，故需232丄0,即(k 1)(k2 2k 2) 0 .丿623X：1，解得 k0綜上，所求k的取值范圍為k ：d -34、函數(shù)f x =1 n ex a (a為常數(shù))是實數(shù)集 R上的奇函數(shù)，函數(shù) g(x)= k f (x)+sinx是區(qū)間一 1, 1上的減函數(shù).(I)求a的值;2(II)假設g x t - .t1在x 一 1,1上恒成立，求t的取值范圍.I門w(皿)討論關于x的方程X2 - 2ex m的根的個數(shù)。f(x)

7、解：(I)f (x) = In(exa)是奇函數(shù)，那么 f(0) = 0恒成立.In(e a) = 0. . e a = 1, a = 0. ( ii)又, 2g(x)在1, 1上單調遞減，.g (x)max = g(-1) - - - sin1,.只需- - sin 1 _ t/4 - 1,.(t 1) t2 sini 1 _0(其中 乞 -1)恒成立.令 hC ) = (t 1)， t2Sin1 1(乞-1),仁-1t2 t +si n1 K0-t -1 t2 sin1 1 _0,2而t2 t +sin1 K0恒成立,ln x(ill )由(1 )知 f (x) = x,.方程為x2 -

8、2ex m,人In x 上2,1 一 In x令 f1(x),f2(x)=x - 2ex m,f1(x)二x當(0,e)時，f,(x) 一0,. f1(x)在(0,e上為增函數(shù);xeJ時，怙&)_0,. fjx)在0,e)上為減函數(shù),當x =e時,122f,x)max = f1(e).而 f2(x)=(x-e) m_e ,e函數(shù)f1(x)、 f2(x)在同一坐標系的大致圖象如下圖,2 1 2 1 2 1二當m-e ,即me時，方程無解.當m-e ，即ee21時，方程有一個根.e2 1 2 1當m-e ，即m ： e 時，方程有兩個根.ee3_5、.函數(shù) f (x)二axsi nx(a，R),且

9、在，0,-2丄2ji3上的最大值為3(1)求函數(shù)f(x)的解析式;判斷函數(shù)f(x)在(0 , n)內的零點個數(shù)，并加以證明。)fg+W在0，上恒成立，且能取到等號g(x) = xsin x 在0,上恒成立，且能取到等號兀兀3Tg (x) =sin x xcosx 0= y=g(x)在0,上單調遞增(II) f(x) =xsin3x h(x)二 f (x) = sinx xcosx 當0,二時，2兀 3 f(o)f(2)-2r31 當X ：=，二時,2： :2f (二)f(2)一孑TTf (x) _0= y = f (x)在(0,上單調遞增r：-322 c On y = f (x)在(0冷上有唯

10、一零點h(X)= 2cos x - xsi n x ： 0二 f (x)當 x ?，二上單調遞減 :0=存在唯一 X0 (?，二)使 f(x)=0得：f (x)在-, x0)上單調遞增，(x0，二上單調遞減en,得：X 尹時，f(x) 0，x x,二時，f(x) f (二)：0， y = f (x)在x。,二上有唯一零點由得：函數(shù) f (x)在(0,二)內有兩個零點。326、函數(shù)f(x)二ax bxcx在點x0處取得極小值4，使其導數(shù)f(x)0的x的取值范圍為(1,3)，求：(1) f (x)的解析式；(2) 假設過點P(-1,m)可作曲線y = f (x)的三條切線，求實數(shù) m的取值范圍.2

11、解：(1)由題意得：f(x)=3ax 2bx c = 3a(x T)(x3),( a ： 0)在(-：,1)上 f (x) 0-23+12 + 9-m0(m16需：lg(2)01612 24+9 m11故：_11：m：16 ；因此所求實數(shù) m的范圍為：(-11,16)327、f (x) =x -ax -4x ( a為常數(shù))在x = 2時取得一個極值，(1) 確定實數(shù)t的取值范圍，使函數(shù) f (x)在區(qū)間t,2上是單調函數(shù)；(2) 假設經過點 A( 2，c)( c = -8 )可作曲線y = f (x)的三條切線，求 c的取值范圍.解：(1)v函數(shù)f (x)在x =2時取得一個極值，且f (x)

12、 =3x2 _2ax_4，.f =12 4a -4 =0，a = 2. f (x) = 3x2 4x 一4 = (3x 2)(x 一 2).2 22.x 或 x =2時，f (x) =0,x 或 x 2時，f(x)0, x ： 2時， 3332 2f(x)：0，. f (x)在(-二，,2, ：)上都是增函數(shù)，在,2上是減函數(shù). 使f (x)在區(qū)間3 3t,2上是單調函數(shù)的t的取值范圍是-2,2)3322(2)由(D 知 f (x) = x -2x -4x 設切點為 P(x), y)，那么切線的斜率 k = f(X。)= 3x0 - 4x - 4，3 2 2所以切線方程為：y (怡2x)Vx) =(3x0 4x 4)(x怡). 將點A(2, c)代人上述方程，整理得：322x()-8x0 8x08 c = 0 .32t經過點 A(2, c)(c=