第六章習(xí)題答案-數(shù)值分析7頁(yè)

1、第六章習(xí)題解答2、利用梯形公式和Simpson公式求積分的近似值，并估計(jì)兩種方法計(jì)算值的最大誤差限。解：由梯形公式：最大誤差限其中，由梯形公式：最大誤差限，其中，。4、推導(dǎo)中點(diǎn)求積公式證明：構(gòu)造一次函數(shù)P（x），使則，易求得且，令現(xiàn)分析截?cái)嗾`差：令由易知為的二重零點(diǎn)，所以可令，構(gòu)造輔助函數(shù)，則易知：其中為二重根有三個(gè)零點(diǎn)由羅爾定理，存在從而可知截?cái)嗾`差在(a,b)區(qū)間上不變號(hào)，且連續(xù)可積，由第二積分中值定理綜上所述 證畢6、計(jì)算積分，若分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式，問(wèn)應(yīng)將積分區(qū)間至少剖分多少等分才能保證有六位有效數(shù)字？解：由復(fù)化梯形公式的誤差限可解得：即至少剖分213等分。由復(fù)化

2、梯形公式的誤差限可解得：即至少剖分4等分。7、以0，1，2為求積節(jié)點(diǎn)，建立求積分的一個(gè)插值型求積公式，并推導(dǎo)此求積公式的截?cái)嗾`差。解：在0，1，2節(jié)點(diǎn)構(gòu)造二次lagrange插值多項(xiàng)式，則有 則對(duì)上式在0，3上求積分，則有其中插值型求積公式 由于在0，3上不保持常號(hào)，故考慮構(gòu)造一個(gè)二次多項(xiàng)式滿足下列插值條件：由Hermite插值方法，有對(duì)上式在0，3上求積分，則有因?yàn)闉槎味囗?xiàng)式，所以 8、（1）試確定下列求積公式中的待定系數(shù)，指出其所具有的代數(shù)精度。解：分別將，x代入求積公式，易知求積公式精確成立。代入，令求積公式精確成立，于是有：可解得：代入，于是有左=右，求積公式成立。代入，于是有，求積

3、公式不精確成立。綜上可知，該求積公式具有三次代數(shù)精度。9、對(duì)積分，求構(gòu)造兩點(diǎn)Gauss求積公式，要求：（1）在0,1上構(gòu)造帶權(quán)的二次正交多項(xiàng)式；（2）用所構(gòu)造的正交多項(xiàng)式導(dǎo)出求積公式。解：（1）構(gòu)造在0,1上構(gòu)造帶權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式、，取、 ，其中，則。同理，求的零點(diǎn)得：，求積系數(shù)：（2）求（1）可導(dǎo)出求積公式：11、試用三點(diǎn)Gauss-Legendre公式計(jì)算并與精確值比較。解：設(shè)三點(diǎn)Gauss-Legendre求積節(jié)點(diǎn)為：，相應(yīng)求積系數(shù)為：，,，令則精確值為：ln3=1.09861229，二者誤差：R5.730710-4。13、對(duì)積分導(dǎo)出兩點(diǎn)Gauss求積公式解：在0，1上構(gòu)造帶權(quán)的正交多項(xiàng)式、=1，同理可得求的零點(diǎn)可得以、作為高斯點(diǎn)兩點(diǎn)高斯公式，應(yīng)有3次代數(shù)精度，求積公式形如將代入上式兩段，聯(lián)立解出：所以所求兩點(diǎn)Gauss求積公式15、利用三點(diǎn)Gauss-Laguerre求積公式計(jì)算積分解：原積分，其中由三點(diǎn)Gauss-Laguerre求積節(jié)點(diǎn)：相應(yīng)求積系數(shù)則16、設(shè)四階連續(xù)可導(dǎo)，。試推導(dǎo)如下數(shù)值微分公式的截?cái)嗾`差。解：設(shè)是的過(guò)點(diǎn)的2次插值多項(xiàng)