2019年B題露天礦生產(chǎn)的車(chē)輛安排南昌大學(xué)全國(guó)一等獎(jiǎng).doc

1、C題 SARS的傳播摘要本文首先采用抽樣檢測(cè)法對(duì)SARS早期的模型的合理性及實(shí)用性進(jìn)行了評(píng) 價(jià)，然后我們通過(guò)對(duì)傳染病的共性及SARS的特性的分析。得出三個(gè)基本假設(shè)并 且把人群理想化為三類(lèi)(S類(lèi)，I類(lèi)，R類(lèi))，建立起基本的SIR模型，再對(duì)SIR 模型中三類(lèi)人群間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的分析，結(jié)合馬氏鏈得岀三種人群間變化率的 矩陣T,由于SARS的特性,可知,SIR模型中的兩個(gè)參數(shù)a(t),b(t)是以時(shí)間為 變量的函數(shù)。我們根據(jù)北京疫情的數(shù)據(jù)，通過(guò)多項(xiàng)式的數(shù)據(jù)擬合法分別得 a(t),b(t)的表達(dá)式，我們把a(bǔ)(t),b(t)及T結(jié)合，從而建立出模型。由于醫(yī)療 條件的逐步改善，必會(huì)硏制出其疫苗。于是我們?cè)?/p>

2、不改變?nèi)巳悍诸?lèi)的情況下，增 加了一個(gè)系數(shù)c, (c表示疫苗日成功接種率，曲于在疫情期間，疫苗未能及時(shí)改 良，故c為常數(shù)。)進(jìn)一步完善了我們的模型。本文利用數(shù)學(xué)軟件(Mathematica, Matlab)很好的實(shí)現(xiàn)了模型運(yùn)算，并結(jié)合 實(shí)際數(shù)據(jù)得岀了各類(lèi)人群與時(shí)間的關(guān)系圖。從圖中可以很好的反映出各類(lèi)人群的 變化規(guī)律，它們的變化規(guī)律與實(shí)際變化相吻合，從而證明了我們的模型基本符合 要求。1一問(wèn)題的提出嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥，簡(jiǎn)稱(chēng)SARS,是21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的 傳染病。它對(duì)全球的經(jīng)濟(jì)和生活造成巨大的破壞，盡管H前疫情已得到控制，但 對(duì)這種新冠狀病毒及其流行規(guī)律的研究還剛剛開(kāi)始，因此，有必要

3、根據(jù)SARS流 行的特點(diǎn)，建立數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)其傳染，從而釆取措施預(yù)防和控制其發(fā)展。而建立 該模型我們要綜合各方面的因素才能使模型合理化。二問(wèn)題的分析通過(guò)分析北京，香港和廣東三地的受感染人數(shù)的變化規(guī)律，我們就可以對(duì)不 同地區(qū)預(yù)測(cè)流行病的變化趨勢(shì)提出以下模型假設(shè)。模型的假設(shè)：1 將人群分為三類(lèi)易感染者人數(shù)（疑似病例人用s表示；病人數(shù)（已受感染者，即確疹者）：用I表示；移出者人數(shù)（包括“被治愈者”和“死亡者”）：用R表示2 該地區(qū)人口不流動(dòng)，疫情階段無(wú)病原的輸入和輸出，設(shè)最初易感染者人 數(shù)為N,此時(shí)I, R均為0。3 被隔離人群完全斷絕與外界接觸，不再具有傳染性。三模型的分析與建立問(wèn)題一：對(duì)于附件1所

4、提供的早期模型即X （t）二N。（1+K）在疾病初期應(yīng)該有它的 可參性。因?yàn)槟Ｐ蚇 （t）二門(mén)（1+K）是符合指數(shù)增長(zhǎng)規(guī)律的。而對(duì)于這種傳播 疾病，由于社會(huì)來(lái)不急防備以及群眾的不重視，使得SARS疫情基本上呈自然規(guī) 律增長(zhǎng)，這與香港的實(shí)際疫情擬合圖基本一致。通過(guò)對(duì)香港和北京高峰前期的病 例與天數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系計(jì)算出的數(shù)據(jù)與實(shí)際基本吻合。見(jiàn)下圖表：香港(K=0 16204)病例數(shù)42080320實(shí)際天數(shù)10203040計(jì)算天數(shù)9.2319. 9529. 1838.41實(shí)際天數(shù)-計(jì)算天數(shù)0. 770. 050. 821.59北京（K二0. 13913）病例數(shù)13441 10470實(shí)際天數(shù)2030405

5、0計(jì)算天數(shù)19. 6929. 0537. 9347. 23實(shí)際天數(shù)-計(jì) 算天數(shù)0.310. 952.072. 77山上圖可知在高峰期前即疾病早期基本符合指數(shù)增長(zhǎng)規(guī)律，同時(shí)，我們也可以看到天數(shù)越接近高峰期，實(shí)際天數(shù)與計(jì)算天數(shù)就相差越大，這說(shuō)明這個(gè)模型特 別適用于早期初，但從上表中的數(shù)據(jù)差來(lái)看，它們相差并不大，對(duì)整個(gè)早期階段 也有較好的預(yù)測(cè)性。因此，該模型具有一定的合理性和實(shí)用性。問(wèn)題二:模型的建立建立SIR模型川易感染者，感染者，移出者之和是個(gè)恒量即N二S+I+R。由于病人康復(fù)后具有 終生免疫力，人與人之間有相同的接觸率。最終山如下兩種假設(shè)決定狀態(tài)之間的 轉(zhuǎn)變率：(1)感染者的增長(zhǎng)率是和感染者I

6、與易受感染者S的乘積成正比的；(2) 感染者I到移出者R的變化率是與感染者I成正比?；谝陨霞僭O(shè)得出模型的微 分方程：cIS “=aSIdt = aSIbI dtdR=bldt其中a, b都是以時(shí)間為變量的參數(shù)，a(t)為日感染率，b(t)為日移出率，于是 我們可以得出三類(lèi)人的轉(zhuǎn)換狀態(tài)圖：1SaXI.根據(jù)Markov Chain2理論，我們得出一個(gè)矩陣T:1 一 ，00T 二at1一$00b.1其中J就是當(dāng)天易感染者S變?yōu)楦腥菊逫的日感染率,b就是當(dāng)天感染者I轉(zhuǎn)變?yōu)橐瞥稣逺的移出率.(af, b分別為a(t), b(t)某一天的值)設(shè)初始值X產(chǎn)N, 0, 0,于是我們可以由X與T的轉(zhuǎn)置矩陣相乘

7、，相乘一次得 到笫一天的易感染者，確診病人及排除者的人數(shù)，再由該人數(shù)與T的轉(zhuǎn)置矩陣相 乘一次得到笫二天各類(lèi)人群的數(shù)H,依此類(lèi)推，我們可以得到第t天的各類(lèi)人群 的數(shù)目，于是我們可以得出任何一天各類(lèi)人群的數(shù)目的初步模型即：X/X 嚴(yán) T由于T是由a, b確定的，所以要建立模型還必須求出a(t),b(t).于是我們參照附件2中的數(shù)據(jù)，利用Matlab的多項(xiàng)式數(shù)據(jù)擬合，可以得到 它們相應(yīng)的多項(xiàng)式。下面進(jìn)一步講擬合過(guò)程：笫一步：對(duì)附件2中的疑似病例進(jìn)行20次數(shù)據(jù)擬合，得出每天的疑似病例 數(shù)的多項(xiàng)式：f s (t)二238. 2523-80. 1594t+480. 6525t 2 -325. 9497t3

8、+110. 1561t4 -22. 3320t5 +2. 9772t6-0. 275t7 +0. 0181ts-0. 0009t9 (1)笫二步：對(duì)附件2中已確疹的病例數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，新確診的病例數(shù)m(t)就 是把當(dāng)天已確診病例數(shù)的累積n(t)減去前一天確診病例數(shù)的累積n(t-l)即： m(t)=n(t)-n(t-l)對(duì)m(t)進(jìn)行20次數(shù)據(jù)擬合，得出關(guān)于新增病例與時(shí)間的多項(xiàng)式：f / (t) =407. 5716-569. 7285t+476. 2872t2-227. 1678t3 +67. 6374t4-13. 3813t5+1. 8488t6-0.10854t7+0. 0139 t8-0.

9、 0008 t9 (2)由第二步對(duì)f, (t)求導(dǎo)得出f；(t), f；(t)表示為每天已確診病例的變化情況, 因?yàn)閒5(o是當(dāng)天疑似病例數(shù)，所以得出笫三步：我們把死亡病例和治愈者都?xì)w為同一組r類(lèi)，于是把他們相加得到 每天的R類(lèi)人群K (t)，再由笫二步的計(jì)算方法我們得到每天死亡和治愈的人數(shù) 1 (t)即1(t)=K (t) -K (t-1)然后對(duì)l(t)進(jìn)行二次數(shù)據(jù)擬合，得岀關(guān)于每天死亡和治愈人數(shù)與時(shí)間的多項(xiàng)式: fK (t)=-0. 0323t2+2. 95235t-13. 1284(3)第四步：按照第二步的方法對(duì)第二步中的m(t)再進(jìn)行一次二次擬合，得到 f7 (t)的一個(gè)二次多項(xiàng)式：f

10、, (t) =0. 056112-5. 7216t+141. 7628同理，由(3), (4)式可得 b(t)二以(t)/f/ (t)B|J：(前面(1), (2), (3) , (4)式的Mat lab擬合圖及程序見(jiàn)附錄I)通過(guò)上面的分析我們可以得到一個(gè)完整的模型:(D/(O四模型的改進(jìn)由于我們逐步對(duì)SARS的研究和認(rèn)識(shí)，那么在不久的將來(lái)預(yù)防它的疫苗也將 出現(xiàn)顯然醫(yī)療衛(wèi)生部門(mén)就會(huì)對(duì)群眾進(jìn)行疫苗接種,于是我們的模型能夠通過(guò)接 種疫苗而進(jìn)行改進(jìn)，但是沒(méi)有必要增加其他人群種類(lèi)，我們可以簡(jiǎn)單而直接的把 接種疫苗的人群從S中分離到R中，所以我們假定一個(gè)系數(shù)c,它表示每天有c的 人成功接種疫苗.(例,c

11、=8%,表示每天有8%的人成功接種疫苗)，我們前面的T矩 陣可以改為：1 一 終 一 c 00T= at 1一0cht1X/X/T上面的模型就可以改進(jìn)為：(II)(/)=b=(其中C為常數(shù))五 模型的求解與結(jié)果分析對(duì)于上面所建立的模型可以通過(guò)mathemdtica編程實(shí)現(xiàn)（程序見(jiàn)附錄II）。 現(xiàn)已山北京市疫情的數(shù)據(jù)，通過(guò)模型求得的各類(lèi)人群的變化規(guī)律圖如下：（說(shuō)明: 山于現(xiàn)階段SARS的疫苗還沒(méi)正式用于預(yù)防，所以只用模型（I）求解）I感染人數(shù)與時(shí)間的變化圖2治愈和死亡人數(shù)與時(shí)間的變化圖3通過(guò)分析上圖我們可知：對(duì)于圖1中疑似病例是隨時(shí)間的增加而逐漸下降， 這與附件2中的疑似病例的變化規(guī)律基本一致；

12、圖2中感染人數(shù)先隨時(shí)間的增加 達(dá)到高峰之后平緩下降，這于附件1中北京日增病例走勢(shì)相吻合；圖3中治愈和 死亡人數(shù)隨時(shí)間的變化而遞增，這顯然與實(shí)際相符。下面我們給出衛(wèi)生部們提前或者延后五天采取嚴(yán)格的隔離措施后疫情傳播 的變化圖如下：山下圖容易看出，圖4中提前五天采取隔離措施，疑似病例下降速度比延后 五天的速度快；圖5中提前五天感染人數(shù)遠(yuǎn)小于延后五天，而且提前五天時(shí)疫情 時(shí)間持續(xù)更短；圖6中提前五天變化速度比延后五天來(lái)得更快。疑似病例與時(shí)間的關(guān)系圖4感染人數(shù)與時(shí)間的關(guān)系圖5治愈和死亡人數(shù)與時(shí)間關(guān)系圖6綜上所述，提前采取嚴(yán)格隔離措施比延后效果更好，也使得對(duì)社會(huì)的影響更低。四 模型的優(yōu)點(diǎn)及發(fā)展方向1優(yōu)點(diǎn)

13、：（1）我們的模型可以對(duì)SARS的所有階段進(jìn)行預(yù)測(cè)，而附件1的模 型只適用于早期；（2）我們的模型操作性強(qiáng)，結(jié)果精確，計(jì)算完全可由相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟 件mathematics,mntlab的編程來(lái)實(shí)現(xiàn)。它可以根據(jù)疫情a,b的值會(huì)按設(shè)定 的函數(shù)自行修正，這也符合疾病隨地域的變化而改變；（3）在我們的改進(jìn)模型中加了一個(gè)系數(shù)c,它使得模型更精確，也 符合傳染病的發(fā)展規(guī)律；（4）此模型可以直觀的反映疾病發(fā)展規(guī)律。我們只要通過(guò)數(shù)學(xué)軟件 畫(huà)出圖形，在圖形上就可以顯示出SARS在每天各類(lèi)人群的分布情況。2模型的發(fā)展方向：要建立一個(gè)真正能夠預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠，足夠的信息 的模型。要考慮以下兒點(diǎn)因素：（1

14、）必須準(zhǔn)確掌握疾病的傳播規(guī)律，獲得更多的直觀信息，例如傳染率, 死亡率，治愈率，傳染期限，潛伏期等：（2）考慮各種社會(huì)因素，包括醫(yī)療機(jī)構(gòu)的醫(yī)療程度，人的免疫程度，群 眾對(duì)SARS的認(rèn)識(shí)，以及政府機(jī)構(gòu)對(duì)SARS的宣傳等以上條件可用參數(shù)P 來(lái)反映；（3）還要考慮城市間人口的流動(dòng)，此因素用B表示。解決以上因素的困難：a）III于SARS突然性發(fā)生以及它的傳播速度快的特性，這就使得在初期 很難預(yù)防；b）要對(duì)因素P, B考慮是一個(gè)非常復(fù)雜的過(guò)程。而要達(dá)到控制疾病的程 度，困難就在于社會(huì)經(jīng)濟(jì)的落后，技術(shù)的不先進(jìn)，人們素質(zhì)的不高，顯然 要想改變這一現(xiàn)象不是一朝一夕的過(guò)程，也是一個(gè)變數(shù)很大的因素。問(wèn)題三建立傳

15、染病數(shù)學(xué)模型的重要性2002年末開(kāi)始，全國(guó)部分地區(qū)遭受了非典型性肺炎的襲擊，全國(guó)經(jīng)濟(jì)出現(xiàn) 了前所未有的滑坡，使人們的生命受到威脅。2003年初我國(guó)在毫無(wú)準(zhǔn)備的情況 下受到“非典”的突擊，當(dāng)時(shí)全民上下在一片迷茫之中，不知道病原體的來(lái)歷， 醫(yī)務(wù)人員也無(wú)從下手，致使非典病原體不斷擴(kuò)散，使得感染人數(shù)不斷增加。此時(shí) 我們才意識(shí)到要對(duì)這個(gè)新的傳染病去做深入研究。研究發(fā)現(xiàn)SARS是一種獨(dú)特性傳染病，它具有傳播速度快，傳播途徑廣等特 點(diǎn)，正因?yàn)槿绱耍谌藗冞€沒(méi)有認(rèn)清SARS時(shí)，人們不知道如何采取措施對(duì)它進(jìn) 行控制，至使在SARS疫情前期，人們損失慘重。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的傳播，人們對(duì) 這種病原體有了一定的研究，基本

16、掌握了它的傳播途徑。但是這時(shí)沒(méi)有找到任何 一種疫苗，沒(méi)有能力完全消除它，只能釆取適當(dāng)可行的措施減少它的發(fā)病率。我 國(guó)在弄清情況后就采取了嚴(yán)格的防預(yù)措施。例如，在有發(fā)現(xiàn)疫情的地區(qū)，封鎖各 出現(xiàn)疫情點(diǎn)，封鎖學(xué)校等；在沒(méi)有發(fā)現(xiàn)疫情的地區(qū)也采取了封閉措施，例如，切 斷外來(lái)人員，部分大學(xué)也實(shí)施封校。全國(guó)上下掀起了一場(chǎng)抗擊非典的戰(zhàn)爭(zhēng)，上至 政府下至平明口姓無(wú)一不重視SARS的傳播。但對(duì)于SARS的傳播規(guī)律還沒(méi)正確的 了解，這些做法只是治標(biāo)而不能治本。關(guān)鍵是我們還不能夠通過(guò)某種途徑來(lái)找岀 它的發(fā)展規(guī)律。對(duì)上所述我們知道，SARS之初之所以那么肆虐是因?yàn)槿藗儗?duì)它還沒(méi)有很好 的認(rèn)識(shí)，更沒(méi)有有效的預(yù)防和控制措施。

17、那么如何去研究解決這個(gè)難題就變得迫 在眉睫，而這個(gè)關(guān)鍵就在于能否建立起合理的傳染病模型。假若一個(gè)好的傳染病模型出來(lái)后，就可以利用它對(duì)傳染病進(jìn)行及時(shí)的預(yù)測(cè)， 并對(duì)該疾病提供有效的信息，也可以給相關(guān)衛(wèi)生部門(mén)研究接種疫苗提供可靠的數(shù) 據(jù)，從而可以達(dá)到控制傳染病高病發(fā)率的發(fā)生。除此之外，它還使得政府能夠根 據(jù)預(yù)測(cè)的信息做好足夠的人力，物力準(zhǔn)備，做到從容以對(duì)。從而就給人民的社會(huì) 生活和經(jīng)濟(jì)生活提供了強(qiáng)力的保障，也給社會(huì)穩(wěn)定增加了祛碼。所以無(wú)論是從自 身利益出發(fā),還是從國(guó)家的穩(wěn)定發(fā)展考慮，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型是至關(guān)重要的, 也是擺在我們面前的一個(gè)迫切的任務(wù)。所以，建立合理的數(shù)學(xué)模型是預(yù)防和控制傳染病至關(guān)重要的一步，也是不可 缺少的環(huán)節(jié)。參考文獻(xiàn)1 姜啟源，數(shù)學(xué)模型第三版，北京，高等教育出版社，2003年7月2 http:/pespmcl. vub. ac. be/ASC/MARKOV_CHAIN. html 2003 年 9 月 23 日論文點(diǎn)評(píng)：本文首先根據(jù)題LI給出的條件和要求，用抽樣檢驗(yàn)法對(duì)早期模型的合理性和 實(shí)用性進(jìn)行了評(píng)價(jià)，其合理性在于符合指數(shù)增長(zhǎng)規(guī)律，實(shí)用性在于對(duì)早期階段的 疫悄