雅克比迭代法和高斯-塞德爾迭代法PPT精選文檔

1、1第三節(jié)第三節(jié) 向量范數(shù)和矩陣范數(shù)向量范數(shù)和矩陣范數(shù)一、一、 向量范數(shù)向量范數(shù)非負性：非負性：齊次性：齊次性：三角不等性：三角不等性：x0,nxR 且且x00 x ,nxxxRR ,nxyxyx yR 則稱則稱 為為 中向量中向量 的的范數(shù)范數(shù)。xnRx非負實值非負實值函數(shù)函數(shù)存在唯一實數(shù)存在唯一實數(shù) 與之對應(yīng)，且滿足與之對應(yīng)，且滿足x定義：定義：設(shè)設(shè) 是是 的一個映射，若對的一個映射，若對nRRnxR ( )f x2 常用的幾種常用的幾種向量范數(shù)：向量范數(shù)： 設(shè)設(shè)12(,)Tnxx xx 1- -范數(shù)：范數(shù)： 2- -范數(shù)：范數(shù)： - -范數(shù)：范數(shù)： 11niixx 12221()( , )

2、niixxx x 1maxii nxx 上述上述3種向量范數(shù)統(tǒng)稱為種向量范數(shù)統(tǒng)稱為P- -范數(shù)范數(shù)111()nppipixxp 3二、二、 矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)非負性：非負性：齊次性：齊次性：三角不等性：三角不等性：A0,n nAR 且且A00A ,n nAAARR ,n nABABA BR ,n nABA BA BR 定義：定義：設(shè)設(shè) 是是 的一個映射，若對的一個映射，若對n nRR ( )f An nAR ，存在唯一實數(shù)存在唯一實數(shù) 與之對應(yīng)，且滿足與之對應(yīng)，且滿足A則稱則稱 為為 中矩陣中矩陣 的的范數(shù)范數(shù)。n nR AA4列范數(shù)：列范數(shù)：111maxnijj niAa 記記()ijn nA

3、a 行范數(shù)：行范數(shù)：11maxniji njAa 譜范數(shù)：譜范數(shù)：12A 其中其中 是是 的的最大最大特征值特征值1 TA A譜半徑譜半徑1()maxii nA 12()TA A 常用的幾種常用的幾種矩陣矩陣范數(shù)：范數(shù)：5 第第四節(jié)四節(jié) 解解線性方程組的迭代法線性方程組的迭代法求解求解,n nAxb AR 0det()A 迭代法迭代法從一個從一個初始向量初始向量出發(fā)出發(fā), ,按照一定的按照一定的遞推遞推格式格式, ,產(chǎn)生逼近方程組的產(chǎn)生逼近方程組的近似解序列近似解序列。迭代法迭代法是一種是一種逐次逼近逐次逼近的方法的方法, ,與直接法比較與直接法比較, , 具有具有: : 程序簡單程序簡單,

4、,存儲量小的存儲量小的優(yōu)點。優(yōu)點。特別適用于求解系數(shù)特別適用于求解系數(shù)矩陣為矩陣為大型稀疏矩陣大型稀疏矩陣 的方程組的方程組。思思路路與與不動點迭代相似不動點迭代相似 ， 將方程組將方程組 等價改寫等價改寫成成 形式，從而建立形式，從而建立迭代格式迭代格式A xb xBxf 1()( )kkxBxf ，從從 出發(fā)，生成迭代序列出發(fā)，生成迭代序列0( )x( )kx6一一、雅克比雅克比迭代法迭代法設(shè)方程組設(shè)方程組10;(),();det()ijn ninAxb AabbA 將系數(shù)矩陣將系數(shù)矩陣分裂分裂為為：ADLU其中其中1122(,)nnDdiag aaa 0L 21a31a1na0032a2

5、na1,n na 000U 12a13a1na0023a2na1,nna 007如果如果01 2(, , )iiain 原方程組可化為原方程組可化為11()xDL U xD b Bxf其中其中11();BDLUfD b 相應(yīng)的迭代格式相應(yīng)的迭代格式10 1 2()( );, , ,kkxBxf k 上述方法稱為上述方法稱為雅克比雅克比迭代法，簡稱迭代法，簡稱J法或法或簡單簡單迭代法迭代法分量形式：分量形式：11111 2( )( )();, ,inkkiijjijjjj ikiiiba xa xxina 8二二、高斯高斯- -塞德爾塞德爾迭代法迭代法高斯高斯- -塞德爾塞德爾迭代法是迭代法是雅

6、克比雅克比迭代法的一種改進迭代法的一種改進。在在雅克比雅克比迭代公式中，計算迭代公式中，計算 時，利用已經(jīng)算時，利用已經(jīng)算1()kix 高斯高斯- -塞德爾塞德爾迭代法迭代法的分量形式：的分量形式：111111 2()( )();, ,inkkiijjijjjj ikiiiba xa xxina 111121()()(),kkkixxx 出來的出來的新的新的 值，從而得到值，從而得到 高斯高斯- -塞德爾塞德爾迭代法。迭代法。9例例1 1：利用利用雅克比雅克比和和高斯高斯- -塞德爾塞德爾迭代法求解方程組迭代法求解方程組10311010 21331x2x3x 145 14解：解：123114310( )( )()()kkkxxx 113252310( )( )()()()kkkxxx 112314310( )( )()()kkkxxx 雅克比雅克比迭代格式迭代格式10123114310( )( )()()kkkxxx 1113252310()( )()()()kkkxxx 11112314310()()()()kkkxxx 高斯高斯- -塞德爾塞德爾迭代格式迭代格式計算結(jié)果計算結(jié)果000(