高等數(shù)學(xué)第五節(jié)函數(shù)的微分課件

1、高等數(shù)學(xué)第五節(jié)函數(shù)的微分1第五節(jié) 函數(shù)的微分112P.limlim000 xxxx 則記可導(dǎo)設(shè)函數(shù), )()(,)(xfxxfyxfy , )(limxfxyx 0,)( xfxy )()(1xxxfy :,)(由兩部分構(gòu)成式表明y 1xxf )( ,的線性函數(shù)x .)(,(無關(guān)與系數(shù)的倍數(shù)xxfx .lim00 x 其中x ,的高階無窮小x .)(,的主要部分成了很小時(shí)當(dāng)yxxfx 微分的定義一高等數(shù)學(xué)第五節(jié)函數(shù)的微分2,.,.cmrcmr2030 半徑增加的圓盤受熱膨脹半徑例.s 分析圓面積的增量:圓面積公式:圓面積的增量22rrrs )( .22rrr ,2rs ,.212203022c

2、mrr 其中.22204020cmr .的主要組成部分是的線性函數(shù)srrr 2高等數(shù)學(xué)第五節(jié)函數(shù)的微分3.定義)()()(00 xfxxfyxfy 的增量設(shè)函數(shù)可表示為)(xoxAy .無關(guān)的常數(shù)是與其中xA ,)(可微在點(diǎn)則稱函數(shù)0 xxfy xA .)(的微分在點(diǎn)為0 xxfy :記作xAydxx 0或.)(xAxfd 0.的線性主部叫做函數(shù)增量微分yyd .)()(.點(diǎn)可導(dǎo)在點(diǎn)可微在定理00 xxfyxxfy可導(dǎo)可微:.見本節(jié)開頭的分析證xxxfy )(高等數(shù)學(xué)第五節(jié)函數(shù)的微分, )()()(xoxAxfxxfy 00,)(xxoAxy .lim,Axyxx 00則令.)(,)(點(diǎn)可導(dǎo)在

3、即00 xxfyAxf.)(,)(xxfydxxfy 00點(diǎn)可微時(shí)在當(dāng),)(可微時(shí)當(dāng)xfy .)(:xxxxdx 的微分自變量.)(xdxfyd.)(:導(dǎo)數(shù)又叫微商得兩端同除xfxdydxd#.)(xxfyd 可微)(xf高等數(shù)學(xué)第五節(jié)函數(shù)的微分5)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 二二 微分的幾何意義微分的幾何意義 ( (如圖如圖) )xx0 P ,是曲線的縱坐標(biāo)增量y .是切線的縱坐標(biāo)增量yd,很小時(shí)當(dāng)x .ydy 1.,.MNMPM可近似代替曲線段切線段的附近在點(diǎn)2115P tan)(xxxfyd 高等數(shù)學(xué)第五節(jié)函數(shù)的微分.,shtanarccosln.ydxy求例1

4、:,.yxdyyd先求由解xyshtanarccos1)shtanarcsin(xx211shxchxshtanarctanxxchch21xxchsh1.th x.thxdxxdyyd#,.,時(shí)當(dāng)0301xdx030(1)0301.ydxdxth.,0228003011.eeee115P式與微分運(yùn)算法則基本初等函數(shù)的微分公三高等數(shù)學(xué)第五節(jié)函數(shù)的微分7)(:)(116115P式及導(dǎo)數(shù)公式可得微分公由xdxfyd,cossin,)(,xdxxdxdxxdcd10 ,)tan(arc,lnlog21xxdxdaxxdxda,shch,chshxdxxdxdxxd.thar,char,shar222

5、111xxdxdxxdxdxxdxd:四則運(yùn)算法則)(vud.數(shù)和可推廣到多個(gè)函數(shù)的代xdvxduxdvu)(vdud:)(條基本公式23716)(雙曲高等數(shù)學(xué)第五節(jié)函數(shù)的微分8,)(udvvduvud:退化udwvvdwuwdvuwvud)(udcucd)(:推廣,2vvduudvvud:退化.21vvdvd:復(fù)合函數(shù)微分法)(, )(xuufy ,)(xfy ydxdxuf)()( xdxuf)()( uduf)( 都有還是中間變量是自變量不管,u,)(udufyd.變性稱為一階微分的形式不:算復(fù)合函數(shù)的微分提倡使用下面的方法計(jì).)()()(xdxufudufyd 高等數(shù)學(xué)第五節(jié)函數(shù)的微分

6、xyshtanarccosln.例)shtanarc(cosshtanarccosxdxdy1xshtanarccos1)shtanarc()shtanarcsin(xdxxshtanarctan)(shshxdx211xdxxxchchsh21.thxdx.th xxdyd 用逐步微分的方法達(dá)到求導(dǎo)的目的，此方法常被采用。 求導(dǎo)和求微分的方法統(tǒng)稱微分法。 但導(dǎo)數(shù)和微分是兩個(gè)不同的概念。高等數(shù)學(xué)第五節(jié)函數(shù)的微分10. )(xfy )()()()(xoxxfxfxxfy ,|很小時(shí)當(dāng)x .)()()(xxfxfxxf 000 xxfxfxxf )()()(000. )()()()(000 xxx

7、fxfxf或hxfxfhxf)()()(或)(1.)(即得式中取在xxx 01幾個(gè)近似公式附.)xex14:|1x.)()xx 111.sin)xx 2.tan)xx 3.)(ln)xx 15 )()(. )xxf 11證 0110 xxf)()()()()()(000 xffxf.)(xx 11118P用微分在近似計(jì)算中的應(yīng)四高等數(shù)學(xué)第五節(jié)函數(shù)的微分11,.,.cmr1501為截面半徑擴(kuò)音器插頭為圓柱體例,為了提高它的導(dǎo)電性能cm4的純銅為上一層厚cmh0010.為長(zhǎng)度必須在這圓柱的側(cè)面鍍, )/.(398cm克密度為?問約需多少克銅,.2rV 圓柱體插頭體積解,.cmrr0010 增加鍍銅使半徑., 即為純銅體積體積相應(yīng)增加V rrdVV 2001041502. V 3003770cm.Vm 98.克033550高等數(shù)學(xué)第五節(jié)函數(shù)的微分129638.的近似值求例37202339729720.解xx 11372991972993119高等數(shù)學(xué)第五節(jié)函數(shù)的微分13:小結(jié))()()(.xoxAxfxxf 1,)(可微xf.)(的