非線性有限元讀書報(bào)告

1、非線性有限元讀書報(bào)告 黃江益非線性有限元讀書報(bào)告姓名：黃江益日期：2016年6月6日11目錄非線性有限元讀書報(bào)告1目錄21. 線性有限元回顧32. 非線性有限元概括32.1. 定義32.2. 使用分類32.3. 單元選擇43. 非線性有限元求解方法63.1. 顯式求解63.2. 隱式求解73.3. 求解步驟73.4. 收斂性84. 引用資料91. 線性有限元回顧 本學(xué)期相關(guān)教程核心點(diǎn)：影響結(jié)構(gòu)材料性能有諸多因素（應(yīng)力、應(yīng)變、變形率、溫度、濕度、時(shí)效等），而通常建立本構(gòu)方程時(shí)僅考慮應(yīng)力、應(yīng)變兩個(gè)物理參數(shù)，認(rèn)為兩者成線性關(guān)系的經(jīng)典的彈性理論，即著名的虎克定律。在構(gòu)建線性幾何方程的時(shí)候，按照我們所學(xué)

2、的課本所述，最為簡(jiǎn)單的是下面三種：平面應(yīng)力（薄壁結(jié)構(gòu)），平面應(yīng)變（沿軸線的幾何形狀和外載無明顯變化的物體），軸對(duì)稱問題（廣義的平面應(yīng)變）。我們?cè)跇?gòu)建平衡方程的時(shí)候，用的原則是虛功原理，即一個(gè)處于平衡的物體當(dāng)發(fā)生滿足位移邊界條件的連續(xù)（微?。┨撐灰茣r(shí)，其外力虛功等于物體中應(yīng)力在虛應(yīng)變上產(chǎn)生的變形能。我們解線性有限元方程的時(shí)候，分為以下三個(gè)步驟：1. 離散化2. 單元分析（取位移插值函數(shù)，建立單元幾何關(guān)系，這里假定的線性函數(shù)可以不同）3. 總體分析（剛度疊加）我們還學(xué)了等參單元，尤其是基于坐標(biāo)值變化獲得的等參單元，最后利用大殺器高斯求積方法避免了復(fù)雜的積分函數(shù)的求解，極大降低了計(jì)算量。2. 非線性

3、有限元概括2.1. 定義在有限元分析中的線性假設(shè)包含下列含義： 西南交通大學(xué) 潘亦芳課件1. 結(jié)點(diǎn)位移為無限小量：應(yīng)變位移關(guān)系是線性的（幾何方程）2. 材料為線彈性：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的（物理方程）3. 加載時(shí)邊界條件的性質(zhì)保持不變：接觸狀態(tài)是已知且不隨時(shí)間變化的（邊界條件）而上述假設(shè)中的任何一條不能得到滿足，那么就屬于非線性有限元分析。結(jié)構(gòu)力學(xué)問題，從本質(zhì)上講都是非線性的，線性假設(shè)只是實(shí)際工程問題的一種簡(jiǎn)化。2.2. 使用分類在實(shí)際應(yīng)用中，如圖，主要遇到三類非線性問題：圖 1 材料非線性圖 2 幾何非線性圖 3 狀態(tài)變化2.3. 單元選擇可以選擇的有兩種單元：線性單元和二次單元。這里依據(jù)的是

4、ANSYS單元庫和相關(guān)文檔資料 ANSYS幫助文檔和相關(guān)論壇。圖 4 （a）線性單元 （b）特殊形狀的線性等參元 （c）二次單元選擇線性單元（不帶中間節(jié)點(diǎn)）的場(chǎng)合：在非線性分析中由于計(jì)算方程的復(fù)雜性，多采用線性單元。在對(duì)結(jié)構(gòu)分析中，帶有附加形函數(shù)的角點(diǎn)單元會(huì)在合理的計(jì)算時(shí)間內(nèi)通常能得到準(zhǔn)確的結(jié)果。當(dāng)使用這些單元時(shí)，要注意防止在關(guān)鍵區(qū)域的退化形式。即避免在結(jié)果梯度很大或其它關(guān)注的區(qū)域使用二維三角形單元和楔形或四面體形的三維線單元。還應(yīng)避免使用過于扭曲的線性單元，對(duì)于非線性結(jié)構(gòu)分析，如果使用線性單元細(xì)致地而不是用二次單元相對(duì)粗糙的進(jìn)行網(wǎng)格劃分，那么將以很少的花費(fèi)獲得很好的精度。對(duì)彎曲殼體建模時(shí)，必

5、須選用彎曲的（二次的）或平面（線性）的殼單元，每種選擇都有其優(yōu)缺點(diǎn)，對(duì)于多數(shù)的實(shí)際情況，主要問題利用平面單元以很少的計(jì)算時(shí)間，即可獲得很高精度的結(jié)果。但是，必須保證使用足夠多的平面單元來創(chuàng)建曲面。明顯地，單元越小，準(zhǔn)確性越好。推薦三維平面殼單元延伸不要超過 15 度的弧，圓錐殼（軸對(duì)稱線）單元應(yīng)限制在 10 度的弧以內(nèi)（或 5 度如果離 Y 軸較近）。對(duì)多數(shù)非結(jié)構(gòu)分析（熱、電磁等），線性單元幾乎與高次單元有同樣好的結(jié)果，而且求解費(fèi)用較低。退化單元（三角形和四面體）通常在非結(jié)構(gòu)分析中產(chǎn)生準(zhǔn)確結(jié)果。選擇二次單元（帶中間節(jié)點(diǎn)）的場(chǎng)合：在求解更高精度分析或者傳統(tǒng)線性單元偏差較大時(shí)選用二次單元。對(duì)于用退

6、化的單元形式進(jìn)行的線性結(jié)構(gòu)分析 （即二維三角形單元和楔形或三維四面體單元），二次單元通常會(huì)以比線性單元的求解費(fèi)用更低且產(chǎn)生良好的結(jié)果?？墒?，為正確地使用這些單元，需要注意它們的特殊的性質(zhì)。二次單元與常見的線性單元有諸多不同之處：1. 對(duì)于分布載荷和邊壓力不象線性單元按“一般意義上”分配到單元節(jié)點(diǎn)上（見圖5所示），單元的中間節(jié)點(diǎn)對(duì)反力也表現(xiàn)出相同的非直觀的解釋。2. 由于中間節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量也大于角節(jié)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)， 所以通常將中間節(jié)點(diǎn)選為主自由度 （對(duì)于減縮自由度分析）。3. 由于質(zhì)量分配不均勻，在動(dòng)力分析中，如果對(duì)波傳波感興趣，不推薦使用帶中間節(jié)點(diǎn)的單元4. 不要使用帶中間節(jié)點(diǎn)的面單元定義以節(jié)點(diǎn)為基礎(chǔ)的

7、接觸單元或連接間隙單元。5. 當(dāng)約束一個(gè)單元的邊緣（或表面）自由度，面上所有的節(jié)點(diǎn)包括中間節(jié)點(diǎn)在內(nèi)都要被約束。6. 單元的角點(diǎn)只能與單元的角點(diǎn)相連，而不能與相鄰單元的中間節(jié)點(diǎn)相連。相鄰的單元應(yīng)該有相連（或共同的）中間節(jié)點(diǎn)。圖 5 載荷分配3. 非線性有限元求解方法3.1. 顯式求解中心差分法是一種最為簡(jiǎn)單的求解方法，是用有限差分代替位移對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)（對(duì)位移一階求導(dǎo)得到速度，對(duì)位移二階求導(dǎo)得加速度）。 百科資料Runge-Kutta法，簡(jiǎn)稱R-K法，是一種應(yīng)用廣泛的高精度單步法。 高等數(shù)值分析，清華大學(xué)出版社，蔡大用 所謂單步法就是在計(jì)算yi時(shí)只用到前一步信息yi-1的方法。圖 6 一種R-K法

8、的求解結(jié)果比較優(yōu)點(diǎn)：方法簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，運(yùn)算失效的可能性較小缺點(diǎn)：條件穩(wěn)定性，如果時(shí)間步長(zhǎng)超過了一個(gè)臨界值就會(huì)引起計(jì)算結(jié)果發(fā)散注意點(diǎn)：在有限元計(jì)算時(shí)，最小的網(wǎng)格邊長(zhǎng)決定了臨界時(shí)間，所以網(wǎng)格劃分時(shí)應(yīng)盡量均勻，避免出現(xiàn)特別小的邊長(zhǎng)3.2. 隱式求解Newmark 法是一種逐步積分的方法，避免了任何疊加的應(yīng)用。其核心是對(duì)時(shí)間步距內(nèi)加速度反應(yīng)的分布做出適當(dāng)?shù)募俣ǎ缓笸ㄟ^積分獲得速度反應(yīng)和位移反應(yīng)的表達(dá)式，進(jìn)而求得步距末點(diǎn)的反應(yīng)值。 關(guān)于Newmark-法機(jī)理的一種解釋，李泓晶等 2011年4月圖 6 某問題newmark法求解質(zhì)點(diǎn)位移牛頓迭代法，又稱為牛頓-拉夫遜（拉弗森）方法（Newton-Rap

9、hson method），是一種最簡(jiǎn)單的迭代方法，方法是使用函數(shù)f(x）的泰勒級(jí)數(shù)的前面幾項(xiàng)來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優(yōu)點(diǎn)是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂。隱式優(yōu)于顯式是對(duì)于線性瞬態(tài)問題，隱式積分器是無條件穩(wěn)定的。盡管對(duì)于特殊情況的理論結(jié)果表明，至少對(duì)于一些非線性系統(tǒng)，無條件穩(wěn)定是適用的，經(jīng)驗(yàn)表明隱式積分器的時(shí)間步長(zhǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于顯式積分器的時(shí)間步長(zhǎng)，并沒有導(dǎo)致失穩(wěn)在隱式方法中，對(duì)于時(shí)間步長(zhǎng)的主要限制來自于對(duì)精度的要求，作為增強(qiáng)穩(wěn)定性的報(bào)答，隱式計(jì)算付出高昂的代價(jià)：需要在每一個(gè)時(shí)間步求解非線性代數(shù)方程，存儲(chǔ)這些方程需要大量的內(nèi)存。3.3. 求解步驟圖 7 求解步驟 非線性有限單元法，任青文，河海大學(xué)工程力學(xué)系3.4. 收斂性 有限元方法及CAE軟件ANSYS非線性有限元分析，孫巖樺，西安交通大學(xué)迭代法的收斂判據(jù)：位移/旋轉(zhuǎn)增量準(zhǔn)則，力/力矩平衡準(zhǔn)則，能量準(zhǔn)則（不推薦）。圖 8