橋梁軟件應(yīng)用有限元簡(jiǎn)介

1、第二章第二章 結(jié)構(gòu)分析的有限元法結(jié)構(gòu)分析的有限元法 2.1 2.1 有限元法發(fā)展簡(jiǎn)況有限元法發(fā)展簡(jiǎn)況 利用定義在三角形區(qū)域上的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理St.Venant扭轉(zhuǎn)問題的近似解有限元法的研究現(xiàn)代有限元法1943Courant應(yīng)用數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、工程師1960Tumer、Clough第一次用三角形單元平面應(yīng)力問題解答提出了有限單元法的名稱各種非線性問題多物理場(chǎng)耦合問題多尺度問題商品化有限元軟件20世紀(jì)70年代國(guó)外幾何非線性：因幾何變形引起結(jié)構(gòu)剛度改變材料非線性：彈性（超彈和多線性彈性）、粘彈性、非彈性狀態(tài)非線性：接觸問題2.1 有限元法發(fā)展簡(jiǎn)況 固體力學(xué)流體力學(xué)傳熱學(xué)電磁學(xué)學(xué)科應(yīng)用力

2、學(xué)計(jì)算結(jié)構(gòu)優(yōu)化計(jì)算功能計(jì)算技術(shù)純粹數(shù)值技術(shù)前、后處理技術(shù)的高度智能化和與CAD的集成化2.2 2.2 有限元法的基本思路及其求解步驟有限元法的基本思路及其求解步驟 經(jīng)典的解析法 從連續(xù)體的微分方程入手，尋求滿足微分方程和定解條件的適合全域的解析解，一旦得到解析解，就可知道域內(nèi)任意點(diǎn)的解大多數(shù)問題，特別是實(shí)際問題 很難甚至無法用解析法得到問題的解析解在整個(gè)求解域上滿足控制方程在邊界上滿足邊界條件的場(chǎng)函數(shù)尋找很困難很困難有限元法有限元法單元節(jié)點(diǎn)有限元模型2.2 有限元法的基本思路及其求解步驟 有限元法基本思路拋棄尋找一個(gè)滿足整個(gè)求解域的場(chǎng)函數(shù)的思路把求解域劃分成有限個(gè)四邊形單元對(duì)每一個(gè)單元通過插值

3、的方法，用其節(jié)點(diǎn)上的位移建立該單元的位移函數(shù)123每個(gè)單元都有與其對(duì)應(yīng)的位移函數(shù)表達(dá)式用全部單元域之和代替整個(gè)求解域，用全部單元的位移函數(shù)之和代替滿足整個(gè)求解域的位移函數(shù)4對(duì)單元進(jìn)行力學(xué)特性分析，建立單元節(jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，并將結(jié)構(gòu)的外載荷等效移植到節(jié)點(diǎn)上，再在節(jié)點(diǎn)上建立力的平衡方程，求解后得到節(jié)點(diǎn)上的位移，繼而得到各個(gè)單元的應(yīng)力5以以節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移為未知量，通過為未知量，通過求解求解力的平衡方程力的平衡方程獲得節(jié)點(diǎn)獲得節(jié)點(diǎn)位移，然后按位移，然后按單元單元計(jì)算應(yīng)力計(jì)算應(yīng)力2.2 有限元法的基本思路及其求解步驟 有限元法求解步驟1 離散化離散化將結(jié)構(gòu)（求解域）劃分為有限個(gè)單元，讓全部單

4、元的集合與原結(jié)構(gòu)近似等價(jià)劃分單元時(shí)，二者在幾何形體上越逼近越好，特別是在位移和應(yīng)力急劇變化的地方2 選擇單元位移函數(shù)選擇單元位移函數(shù)在有限元法中，需要用單元節(jié)點(diǎn)位移通過插值方法建立單元位移函數(shù)（單元位移模式），即用單元節(jié)點(diǎn)位移來描述單元位移。單元位移函數(shù)的合理與否，直接關(guān)系到有限元分析的計(jì)算精度、效率和收斂性。通常取為多項(xiàng)式形式2.2 有限元法的基本思路及其求解步驟 3 單元特性分析單元特性分析（1）依照應(yīng)變與位移之間的幾何關(guān)系，根據(jù)所選擇的單元位移函數(shù)，建立單元應(yīng)變與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式。據(jù)此式，在求出節(jié)點(diǎn)位移后，可以求得單元應(yīng)變。（2）依照物理關(guān)系（胡克定律），建立單元應(yīng)力與單元節(jié)點(diǎn)位

5、移之間的關(guān)系式。據(jù)此式，在求出節(jié)點(diǎn)位移后，可以求得單元應(yīng)力。（3）根據(jù)虛位移原理或最小勢(shì)能原理，建立單元?jiǎng)偠确匠?，即單元?jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式。此步驟核心是計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚒? 外載荷處理外載荷處理將外載荷（體力、面力等）等效移植到節(jié)點(diǎn)上。2.2 有限元法的基本思路及其求解步驟 5 建立節(jié)點(diǎn)上的力平衡方程建立節(jié)點(diǎn)上的力平衡方程按照有限元法的統(tǒng)一格式，形成如下形式的以節(jié)點(diǎn)位移為未知量的代數(shù)方程組 KF K由各個(gè)單元的剛度矩陣組裝成的總體剛度矩陣 待求的節(jié)點(diǎn)位移列陣 F按節(jié)點(diǎn)編號(hào)順序形成的節(jié)點(diǎn)載荷列陣6 處理邊界條件、解算節(jié)點(diǎn)位移處理邊界條件、解算節(jié)點(diǎn)位移(2.1)按照實(shí)際位移邊界條件，

6、對(duì)式(2.1)進(jìn)行整理，解之，可得單元節(jié)點(diǎn)位移。有了節(jié)點(diǎn)位移，即可根據(jù)單元特性分析中建立的關(guān)系式，求應(yīng)力、應(yīng)變、內(nèi)力等。有了節(jié)點(diǎn)位移，即可根據(jù)單元特性分析中建立的關(guān)系式，求應(yīng)力、應(yīng)變、內(nèi)力等。后處理后處理：對(duì)所選應(yīng)力、應(yīng)變等，以：對(duì)所選應(yīng)力、應(yīng)變等，以彩色云圖彩色云圖或或圖表圖表的形式顯示的形式顯示計(jì)算結(jié)果。計(jì)算結(jié)果。2.3 2.3 有限元程序的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介有限元程序的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介 對(duì)一個(gè)題目或一個(gè)實(shí)際工程問題進(jìn)行有限元分析，大體上對(duì)一個(gè)題目或一個(gè)實(shí)際工程問題進(jìn)行有限元分析，大體上分分3個(gè)個(gè)主要步驟主要步驟有限元建模有限元求解計(jì)算結(jié)果分析與整理前處理求解器后處理程程序序結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)2.3 有限元程序的結(jié)構(gòu)

7、簡(jiǎn)介 前處理幾何模型的建立定義約束條件網(wǎng)格剖分確定材料參數(shù)和載荷有限元建模形成有限元分析所需用的有限元計(jì)算數(shù)據(jù)形成有限元分析所需用的有限元計(jì)算數(shù)據(jù)可視化可視化 有限元模型有限元模型前處理中，可以用圖形顯示所建立的幾何模型、單元網(wǎng)格、約束條件等求解器2.3 有限元程序的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介 有限元程序的核心部分主要完成有限元模型的力學(xué)計(jì)算，即根據(jù)前處理形成的有限元計(jì)算數(shù)據(jù)，完成以下工作：計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算節(jié)點(diǎn)載荷組裝總體剛度矩陣將載荷等效簡(jiǎn)化到節(jié)點(diǎn)上形成總體有限元平衡方程求解節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算應(yīng)力、應(yīng)變、內(nèi)力等2.3 有限元程序的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介 后處理根據(jù)計(jì)算者的要求對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行檢查、分析、整理、打印輸出等進(jìn)行數(shù)據(jù)

8、檢索響應(yīng)量合成繪制變形圖、應(yīng)力圖、應(yīng)變圖、曲線圖等可視化可視化的方式分析、觀察計(jì)算結(jié)果的方式分析、觀察計(jì)算結(jié)果計(jì)算者計(jì)算者進(jìn)行有限元分析的工作量主要體進(jìn)行有限元分析的工作量主要體現(xiàn)在現(xiàn)在前處理前處理和和后處理后處理方面方面2.4 2.4 算例算例 2.4.1 平面三角形常應(yīng)變單元任意區(qū)域三角形單元網(wǎng) 格剖分示意圖mvmujvjuiviuijm典型三角形單元yxo單元內(nèi)任意點(diǎn)(x,y)的位移uv、坐標(biāo)x和y的函數(shù)建立單元位移函數(shù)通過插值方法建立，即用單元的節(jié)點(diǎn)位移來表示單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移1. 單元位移函數(shù)2.4 算例 mvmujvjuiviuijm典型三角形單元yxo單元位移函數(shù)選用坐標(biāo)x和y的

9、一次多項(xiàng)式123456uxyvxy(1)123456、待定系數(shù)123123123iiijjjmmmuxyuxyuxy(2)未知量求解(2)(3)得到123456、123456、456456456iiijjjmmmvxyvxyvxy(3)2.4 算例 123123123iiijjjmmmuxyuxyuxy(2)1121iijjmmxyDxyAxy123112111121111121iiijjjiijjmmmmmiijjiijjmmmmiijjiijjmmmmuxyuxyaua ua uDAuxyuyuybub ub uDAuyxuxucuc uc uDAxu456456456iiijjjmmmv

10、xyvxyvxy(3)1121iijjmmxyDxyAxy456112111121111121iiijjjiijjmmmmmiijjiijjmmmmiijjiijjmmmmvxyvxyava va vDAvxyvyvybvb vb vDAvyxvxvcvc vc vDAxv2.4 算例 ijmmjjmiimmijjiax yx yax yx yax yx yijmjmimijbyybyybyyijmjmimijcxxcxxcxx 123456uxyvxy(1)代入123456、將求得的得到用單元的節(jié)點(diǎn)位移表示的單元位移函數(shù)iijjmmiijjmmuN uN uN uvN vN vN v(4)式

11、中是單元形狀函數(shù)，簡(jiǎn)稱形函數(shù)121212iiiijjjjmmmmNab xc yANab xc yANab xc yA（5）,ijmN NN是常數(shù)，取決于單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo), , ,iiima b cc，返回P242.4 算例 11211111.()( 1).() 1.()()222iijjmmjmmjimmiijjiijmxyDxyAxyADx yx yx yx yx yx yaaa 1.()( 1).()1.()()()()()()()0.jmmjimmiijjijmimijijmjjmmiijjjmjmmmiiimimjjmiimjmimjiijmijjix yx yx yx yx yx

12、 yxyyxyyx yyb xb xb xb xb xb xb xb xb xb xbxxb xxbbb xb cbcxbcb c 1()2ijjiAbcb c三角形單元的面積A單元位移函數(shù)表達(dá)式iijjmmiijjmmuN uN uN uvN vN vN v(4)2.4 算例 000000iijeijmijmjmmuvuNNNuuNNNvvuv eeuN寫成矩陣形式簡(jiǎn)寫為其中， eu表示單元內(nèi)任意點(diǎn)處位移的單元位移函數(shù)列陣 000000ijmijmNNNNNNN為形函數(shù)矩陣返回P282.4 算例 形函數(shù)的性質(zhì)在節(jié)點(diǎn)上形函數(shù)的值是式（6）表示形函數(shù)Ni在其自身節(jié)點(diǎn)上的值等于1，在其他節(jié)點(diǎn)上的值

13、等于0，即1(,)( , ,)0ijjijjiN xyi j mji（6）( ,)1(,)0(,)0iiiijjimmN x yN xyN xy，( ,)0(,)1(,)0jiijjjjmmNx yNxyNxy，( ,)0(,)0(,)1miimjjmmmNx yNxyNxy，1單元中任意一點(diǎn)上的各個(gè)形函數(shù)之和等于1，即22.4 算例 ( , )( , )( , )1ijmN x yNx yNx y由121212iiiijjjjmmmmNab xc yANab xc yANab xc yA（5） ( , )( , )( , )11122212ijmiiijjjmmmijmijmijmN x y

14、Nx yNx yab xc yab xc yab xc yAAAaaabbbxcccyAijmjmimijbyybyybyyijmjmimijcxxcxxcxx 1()2ijmAaaa120.0.21AxyA2.4 算例 小結(jié)小結(jié)（1 1）本節(jié)的三角形單元，形函數(shù)是）本節(jié)的三角形單元，形函數(shù)是線性線性的，為的，為x x、y y的一的一次函數(shù)；次函數(shù)；（2 2）在單元內(nèi)部和各條單元邊上，位移也是）在單元內(nèi)部和各條單元邊上，位移也是線性線性的，可的，可由兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移由兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移唯一唯一確定；確定；（3 3）相鄰單元的公共節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移是相等的，因此，）相鄰單元的公共節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移是相等的，因

15、此，能保證相鄰單元在公共邊界上以及單元內(nèi)部的能保證相鄰單元在公共邊界上以及單元內(nèi)部的位移連續(xù)位移連續(xù)性性。2.4 算例 單元位移函數(shù)確定后，根據(jù)幾何方程xyxyuxvyuvyx求得單元內(nèi)任意點(diǎn)處的應(yīng)變，即單元應(yīng)變 000000ijimixjejimyjxyjjiimmmmuNNNuvxxxxuNNNvvyyyyuvNNNNNNuyxyxyxyxv（7）iijjmmiijjmmuN uN uN uvN vN vN v(4)2. 單元應(yīng)變和單元應(yīng)力2.4 算例 由121212iiiijjjjmmmmNab xc yANab xc yANab xc yA（5）形函數(shù)對(duì)坐標(biāo)變量求偏導(dǎo)111222111

16、222jimijmjimijmNNNbbbxAxAxANNNcccyAyAyA，（8），式（8）代入式（7）中，得到 0001000(9)2iixijmjeeyijmjiijjmmxymmuvbbbucccBvAcbcbcbuv =返回P28由式（9）得到 0001000(10)2ijmijmijmiijjmmbbbBcccBBBAcbcbcb2.4 算例 單元應(yīng)變矩陣（幾何矩陣）000111000222ijmiijjmmiijjmmbbbBcBcBcAAAcbcbcb，（11）分塊矩陣參數(shù),; ,ijmijmb b bc c c由單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)確定，因此，它們?nèi)Q于單元形狀，當(dāng)單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

17、確定后，它們都是常量，所以，3節(jié)點(diǎn)三角形單元的應(yīng)變矩陣B是常數(shù)矩陣2.4 算例 根據(jù)物理方程 xeeeeyxyDDBS（12）其中 000200101011002ED為平面應(yīng)力（平面應(yīng)變）問題的彈性矩陣平面應(yīng)力問題00,EE平面應(yīng)變問題002,11EE 0000000200000002(1)111111222222iijjmmiijjmmiijjmmbcbcbcESDBbcbcbcAcbcbcb（13）應(yīng)力矩陣S也是常數(shù)矩陣單元應(yīng)力矩陣返回P28（1 1）3 3節(jié)點(diǎn)平面三角形單元，節(jié)點(diǎn)平面三角形單元，應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣和和應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣都為都為常數(shù)矩陣常數(shù)矩陣；（2 2） 3節(jié)點(diǎn)平面三角形單元

18、，各點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力都是相節(jié)點(diǎn)平面三角形單元，各點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力都是相同的，且是常數(shù)，所以同的，且是常數(shù)，所以3節(jié)點(diǎn)三角形單元是節(jié)點(diǎn)三角形單元是常應(yīng)變單元常應(yīng)變單元，也是也是常應(yīng)力單元常應(yīng)力單元；（3 3）采用）采用3 3節(jié)點(diǎn)三角形單元時(shí)，在應(yīng)力變化劇烈或應(yīng)力節(jié)點(diǎn)三角形單元時(shí)，在應(yīng)力變化劇烈或應(yīng)力梯度較大的部位，單元?jiǎng)澐謶?yīng)適當(dāng)加密。梯度較大的部位，單元?jiǎng)澐謶?yīng)適當(dāng)加密。2.4 算例 小結(jié)小結(jié)3. 單元?jiǎng)偠染仃?.4 算例 分析結(jié)構(gòu)在載荷作用下產(chǎn)生變形和應(yīng)力，于是在各單元之間就產(chǎn)生相互作用。實(shí)際上，各單元之間的相互作用是通過相鄰邊界上（即，單元的邊，實(shí)際是面）的分布力而產(chǎn)生的。按照有限元方法，結(jié)構(gòu)離散

19、化為一個(gè)個(gè)單元后，單元之間的相互作用就由單元的節(jié)點(diǎn)力來實(shí)現(xiàn)，即用單元節(jié)點(diǎn)力等效代替相鄰邊界上的相互作用力，這樣，節(jié)點(diǎn)力就與單元應(yīng)力相關(guān)，而單元應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移相關(guān)，因此，單元節(jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移相關(guān)。建立單元節(jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系 eR表示單元節(jié)點(diǎn)力mvmujvjuiviuijm (14)Teiijjmmuvuvuu (15)TeixiyjxjymxmyRRRRRRR單元節(jié)點(diǎn)位移由（9）式2.4 算例 (9)eeB= eeDB（12）由（12）式把一個(gè)單元作為分析對(duì)象時(shí)，可以把節(jié)點(diǎn)力看作外力。單元節(jié)點(diǎn)力和單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系可由虛位移原理導(dǎo)出在外力作用下，處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生約

20、束允許的任意微小的虛位移時(shí)，外力在虛位移上所做的虛功等于整個(gè)體積內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。推導(dǎo)1 令單元的節(jié)點(diǎn)虛位移為 *eTiijjmmuvuvuv eeuN由P18*(16)eeuN eeB由(9)式 *(17)eeB2.4 算例 (15)TeixiyjxjymxmyRRRRRRR *eTiijjmmuvuvuv2 節(jié)點(diǎn)力在虛位移上所做的虛功為 *(18)Teeiixiiyjjxjjymmxmmyu Rv Ru Rv Ru Rv RR3 單元應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功為 *(19)eTeeVdV單元體積 *(17)eeB將 eeDB（12）代入(19)式 *eeeTeeVTTeeTeeV

21、VdVBDBdVBDBdV由于節(jié)點(diǎn)虛位移是任意的 *eTeTeVBDB dV4 建立單元的虛功方程為 *(20)eTTeeTeeVRBDB dV由單元的虛功方程 *(20)eTTeeTeeVRBDB dV2.4 算例 任意性相等 (21)eTeeVRBD B dV節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式就建立起來了 (22)eeTVKBDB dV令 (23)eeeRK則(21)式變?yōu)閱卧獎(jiǎng)偠确匠套⒁猓哼@里，節(jié)點(diǎn)力不是結(jié)構(gòu)上的外載荷，而是按虛位移原理把單元邊界上的分布力近似等效到單元節(jié)點(diǎn)上的一種節(jié)點(diǎn)力。節(jié)點(diǎn)力在實(shí)際結(jié)構(gòu)中是不存在的總結(jié)：式（22）、（23）是由三角形常應(yīng)變單元推導(dǎo)得到的，但是，這兩式及其推導(dǎo)

22、過程所基于的原理和方法具有普遍性。原則上說（22）式是位移有限元分析中普遍適用的單元?jiǎng)偠染仃嚤磉_(dá)式，對(duì)于不同單元，只是其中的具體計(jì)算細(xì)節(jié)不同。三角形常應(yīng)變單元的剛度矩陣分析2.4 算例 0001000(10)2ijmijmiijjmmbbbBcccAcbcbcb一般情況，單元應(yīng)變矩陣B是坐標(biāo)的函數(shù)矩陣。 000200101011002ED這里，三角形常應(yīng)變單元，B是常數(shù)矩陣。如果材料是線性的、勻質(zhì)的，矩陣D也是常數(shù)矩陣。單元厚度t是常量,則dV=tdxdy,因此，三角形常應(yīng)變單元的剛度矩陣可以寫成： (24)eeTTTTVAAKBDB dVBDB tdxdyBDB tdxdyBDB tA=將單

23、元?jiǎng)偠染仃噷懗煞謮K形式： 222221111112222221111112222221124(1)eTiiiiiiijijijijimimimimiiiiiiijijijijimimimimjijijiKBDB tAbcbccbbbccbccbbbccbccbcbbccbcbbcccbbcbbcccbbb bc cb cEtA222221111222221111112222221111122222jijjjjjjjmjmjmjmjijijijijjjjjjjmjmjmjmm im im im imjmjmjmjmmc bbcb cc bb bc cb cc bc bb cc cb bb cc

24、bcbc bb cc cb bb bc cb cc bb bc cb cc bbc22212111111222222immmmm im im im imjmjmjmjmmmmmmiiijimjijjjmmimjmmcb cc bc bb cc cb bc bb cc cb bc bb ccbkkkkkkkkk（25）2.4 算例 21122, ,114(1)22rsrsrsrsrsrsrsrsrsb bc cb cc bEtkr si j mAc bb cc cb b2.4 算例 （1 1）對(duì)稱性對(duì)稱性單元?jiǎng)偠染仃囀菃卧獎(jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣；（2 2）奇異性奇異性單元?jiǎng)偠染仃囀菃卧獎(jiǎng)偠染?/p>

25、陣是奇異矩陣奇異矩陣，它不存在逆矩，它不存在逆矩陣陣；（3 3）主元恒正主元恒正單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)角元素的數(shù)值恒大于單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)角元素的數(shù)值恒大于0 0，可由（可由（2525）式看出；）式看出；（4 4）單元?jiǎng)偠染仃嚨脑鼐哂忻鞔_的物理意義，如圖所示）單元?jiǎng)偠染仃嚨脑鼐哂忻鞔_的物理意義，如圖所示單元，其剛度矩陣第一列的單元，其剛度矩陣第一列的6 6個(gè)元素個(gè)元素k ki1i1( (i i=1,2,3,4,5,6)=1,2,3,4,5,6)的物理意義是，當(dāng)單元的的物理意義是，當(dāng)單元的第第1 1個(gè)節(jié)點(diǎn)位移個(gè)節(jié)點(diǎn)位移( (節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)i i的的u ui i) )為為1 1，而而其他節(jié)點(diǎn)位移其他節(jié)點(diǎn)位移全為

26、全為0 0時(shí)，需要在時(shí)，需要在6 6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移方向上施加個(gè)節(jié)點(diǎn)位移方向上施加的的節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力的的大小大小。單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦詥卧獎(jiǎng)偠染仃嚨奶匦詍vmujvjuiviuijm2.4 算例 4. 單元等效節(jié)點(diǎn)載荷應(yīng)用虛位移原理進(jìn)行載荷等效移植：移植后的節(jié)點(diǎn)載荷和移植前的載荷在約束允許的任意虛位移上所做的功相等。單元的節(jié)點(diǎn)虛位移為 *eTiijjmmuvuvuv*(16)eeuN單元的虛位移為劃分單元時(shí)，一般都將作用有集中力的地方劃分為節(jié)點(diǎn)，集中力即可直接施加到節(jié)點(diǎn)上。以下說明體積力和表面力向節(jié)點(diǎn)移植：F2.4 算例 (1)體積力等效移植體積力等效移植 令單位體積的力為： (26)Txyggg單位體

27、積力在x軸和y軸方向的分量令單元體積力等效的移植到單元節(jié)點(diǎn)上的等效節(jié)點(diǎn)載荷為： (27)eTgigxigyjgxjgymgxmgyFFFFFFF由虛位移原理， egF g和在虛位移上所做的虛功相等，即 *(28)TTeeegAFug tdxdy單元面積單元厚度(16)式代入(28)式： *TTTTeeeeeTgAAAFug tdxdyNg tdxdyNg tdxdy2.4 算例 000000ixiyTeTjxTijmgxyAAAijmjymxmyN gN gN gNNNFNg tdxdytggdxdytdxdyNNNN gN gN g(29)特殊地，體積力是重力，且重力方向?yàn)樨?fù)y方向，單元的單

28、位體積力是 0TTxyggg= 00000000100113001TeTTijmgxyAAijmixiyijxAAjjymxmmyNNNFNg tdxdytggdxdyNNNN gN gNN gtdxdytdxdytANN gN gNN g (30)2.4 算例 (2)表面力等效移植表面力等效移植 2.4 算例 工程問題中，表面力一般都垂直于其作用面，所以，在有限元法中，要求定義的表面力垂直于其作用面，這樣，可以將表面力分解到沿坐標(biāo)軸方向。令q為表面力矢量，則它可以表示為： (31)Txyqqq表面力在x軸和y軸方向的分量令表面力等效的移植到單元節(jié)點(diǎn)上的等效節(jié)點(diǎn)載荷為： (32)eTqiqxi

29、qyjqxjqymqxmqyFFFFFFF由虛位移原理， eqF q和在虛位移上所做的虛功相等，即 *(33)eTTeeeqSFuq tds表面力作用的邊界*(16)eeuN單元的虛位移為代入(33)式得到： *eeeTTTTeeeeeTqSSSFuq tdsNq tdsNq tds 000000eeeixiyTeTjxTijmqxySSSijmjymxmyN qN qN qNNNFNq tdsqqtdstdsNNNN qN qN q(34)2.4 算例 2.4 算例 xy0ijmq沿單元邊界均勻分布的表面力mi邊上有垂直于邊界的均勻分布的表面力q,將分解為x和y方向的均布力qx和qy，這樣，

30、mi邊上的表面力可以表示為： 11sincos11mijxyimjyybqqllqqqqqxxcll邊的邊長(zhǎng)為mil 002eTTxqxyxylyqtlFNtdsqqqqq(35)2.4 算例 5. 總體平衡方程的建立厚度為t的正方形板，左邊固定，在其右上角分別作用有x、y方向的集中力F1x，F(xiàn)1y，建立其總體有限元平衡方程。(1)劃分單元，所有節(jié)點(diǎn)總體編號(hào)1xF1yF121234(2)對(duì)號(hào)入座12324123( ) i( ) i( ) j( )m( )m單元號(hào)局部編碼整體編碼i14j32m2312( ) j單元?jiǎng)偠染仃?，其分塊形式為2.4 算例 11111111112222222222iii

31、jimjijjjmmimjmmiiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk整體剛度矩陣，其分塊形式為 1111112131411212221222324112122313233342224142434400iiimijmimmjjmjjmjijijmmjjjmmmiijimiikkkKKKKkkkkkkKKKKKKKKKkkkkkkKKKKkkk單元號(hào)局部編碼整體編碼i14j32m23122.4 算例 (3)總體平衡方程 1111111212222112122332224400iiimijmimmjjmjjmjijijmmjjjmmmiijimiikkkUFkk

32、kkkkUFUFkkkkkkUFkkk 1xF1yF121234單元號(hào)局部編碼整體編碼i14j32m2312 KF總體平衡方程 K整體剛度矩陣 整體節(jié)點(diǎn)位移 F整體節(jié)點(diǎn)力2.4 算例 1111111212222112122332224400iiimijmimmjjmjjmjijijmmjjjmmmiijimiikkkUFkkkkkkUFUFkkkkkkUFkkk 11111121121222211212233222344400iiimijmimmjjmjjmjijijmmjjjmmmiijimiiuvkkkUukkkkkkUvKUuUkkkkkkvUkkkuv， 111222333444xyxyxyxyFFFFFFFFFFFFF，1xF1y