高等數(shù)學(xué)的課件

1、2021-10-11高等數(shù)學(xué)的1高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 第七章第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)2021-10-11高等數(shù)學(xué)的2第五節(jié) 平面及其方程n平面的點(diǎn)法式方程n平面的一般方程n兩平面的夾角n例題 平面是最簡(jiǎn)單平面是最簡(jiǎn)單的曲面的曲面. . 平面和三平面和三元一次方程一一對(duì)元一次方程一一對(duì)應(yīng)。我們主要掌握應(yīng)。我們主要掌握平面方程的幾種表平面方程的幾種表達(dá)形式，以及平面達(dá)形式，以及平面與平面與平面. . 點(diǎn)與平面點(diǎn)與平面之間的位置關(guān)系之間的位置關(guān)系. .2021-10-11高等數(shù)學(xué)的3引例)()()()()()(zyxzyx|AM|=|BM|, |AM|=|BM|, 所以所以兩

2、邊平方并化簡(jiǎn)得兩邊平方并化簡(jiǎn)得2x-6y+2z-7=02x-6y+2z-7=0ABM這個(gè)垂直平分面的方程就是這個(gè)垂直平分面的方程就是一個(gè)平面方程一個(gè)平面方程. 設(shè)有點(diǎn)A（1，2，3）和B（2，-1，4），求AB的垂直平分面方程.解解 由題意知，由題意知，所求平面是與所求平面是與A A、B B等距等距離的點(diǎn)的幾何軌跡，離的點(diǎn)的幾何軌跡，設(shè)設(shè)M M（x,y,zx,y,z）為所求平）為所求平面上面上 的任一點(diǎn)，的任一點(diǎn)，由于由于高等數(shù)學(xué)的zyOx一.平面的點(diǎn)法式方程nMM00MMn 法線向量法線向量 n n垂直于一平面的非零向量稱垂直于一平面的非零向量稱作該平面的法線向量，簡(jiǎn)稱作該平面的法線向量，簡(jiǎn)

3、稱法向量，記作法向量，記作n n. .點(diǎn)法式方程的建立點(diǎn)法式方程的建立已知平面上一點(diǎn)已知平面上一點(diǎn)M M0 0及其法及其法向量向量n n ，則可以建立該，則可以建立該平面的方程平面的方程. .根據(jù)根據(jù) 2021-10-11高等數(shù)學(xué)的5一.平面的點(diǎn)法式方程 設(shè) M0是平面上一個(gè)已知點(diǎn)，M是平面上任意一點(diǎn)， n n 為平面的法向量. 因?yàn)橄蛄縈M0與法線向量n n垂直，則其數(shù)量積為零.即n=A,B,C,z,zy,yxxMM0000于是有于是有：如果已知：)()()(zzCyyBxxAMMn 這就是平面的點(diǎn)法式方程可將這個(gè)三元一次方程整理為 Ax+By+Cz+D=0的形式,其中 D=-(Ax0+By

4、0+Cz0)00MMn2021-10-11高等數(shù)學(xué)的6例1解.012573103平行的平面方程），且與平面，求過(guò)點(diǎn)（zyx，法向量為：平面，的法向量為設(shè)所求平面00012573nzyxn ），過(guò)點(diǎn)（又平面），（，可取，即有已知平面103573/00 nnn045730)1(5)(733zyxzoyx即）（故所求平面方程為2021-10-11高等數(shù)學(xué)的7例2解.0 , 1, 1,1 , 1 , 2101的平面方程的），且平行向量，求過(guò)點(diǎn)（ba.,banbnann，的法向量為設(shè)所求平面 0430)1(3)(111zyxzoyx即）（故所求平面方程為.3011112kjikjiban高等數(shù)學(xué)的二.平

5、面的一般方程n任意平面都可以用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0來(lái)表示；任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的圖形總是一個(gè)平面。n方程 Ax+By+Cz+D=0 （2）稱作平面的一般方程.n其中其中x,y,zx,y,z的系數(shù)的系數(shù)A,B,CA,B,C就是該平面一個(gè)法向量的坐標(biāo)就是該平面一個(gè)法向量的坐標(biāo). .n該平面法向量為該平面法向量為 n= n=A,B,C.n= A,B,CzyOx2021-10-11高等數(shù)學(xué)的9例3 2x-3y+z-6=0-2-10123-2-1012302040-2-10123zyOx3263x+8y+z-18=0可以改寫成可以改寫成zyx2021-10-11高等數(shù)

6、學(xué)的10zyOx二.平面的一般方程Ax+By=0,C=0,D=0.zyOxC z+D=0, A =B =0特殊三元一次方程表示圖形特點(diǎn)這個(gè)平面平行這個(gè)平面平行xOy坐標(biāo)面坐標(biāo)面 這個(gè)平面 經(jīng)過(guò)z軸.2021-10-11高等數(shù)學(xué)的11二. 平面的一般方程zyOx Ax+Cz+D=0,B=0特殊三元一次方程表示圖形特點(diǎn)Ax+By+Cz=0,D=0 xzyO這個(gè)平面平行y 軸. 這個(gè)平面過(guò)原點(diǎn)O. O高等數(shù)學(xué)的三. 平面的截距式方程n設(shè)一平面與x、y、z軸的交點(diǎn)為P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)其中a0、b0、c0zyOx1 1c cz zb by ya ax x叫做平面的截距式

7、方程叫做平面的截距式方程a、b、c 叫做平面在x、y、z 軸上的截距截距.PQRabcn則該平面方程為高等數(shù)學(xué)的四.平面的三點(diǎn)式方程n已知平面上三點(diǎn)：P=(a,b,c),Q =(a1,b1,c1 ),R =(a2,b2,c2), 并設(shè) M=(x,y,z)，ccbbaaccbbaaczbyaxQPRnQPQRnM則平面方程為：高等數(shù)學(xué)的五.兩平面的夾角 n兩平面的法向量的夾角稱為兩平面的夾角 如下圖中的角.n設(shè)平面1的法向量為n1=A1,B1,C1n設(shè)平面2的法向量為n2=A2,B2,C2n由cos =|cos(n1,n2)|則兩平面的夾角可由兩個(gè)向量夾角公式來(lái)確定.12n2n1高等數(shù)學(xué)的四.兩

8、平面的夾角其中平面1的法向量為n1=A1,B1,C1平面2的法向量為n2=A2,B2,C212n2n1CBACBACCBBAA|cos高等數(shù)學(xué)的兩個(gè)結(jié)論：n結(jié)論一 平面1與平面2互相垂直相當(dāng)于：CCBBAA12n2n1因?yàn)閮蓚€(gè)法向量相互垂直因?yàn)閮蓚€(gè)法向量相互垂直所以其數(shù)量積為零所以其數(shù)量積為零高等數(shù)學(xué)的兩個(gè)結(jié)論：n結(jié)論二 平面1與平面2互相平行或重合相當(dāng)于:12n2n1CCBBAA這時(shí)兩個(gè)平面的法向量這時(shí)兩個(gè)平面的法向量相互平行相互平行高等數(shù)學(xué)的六.點(diǎn)到平面的距離已知:平面1的法向量為n1=A,B,C平面1外一點(diǎn)P0=x0,y0,z0證明： P0到平面1的距離為1P0n1CBADCzByAxd

9、|P1N證明思路：:平面1上取點(diǎn)P1=x1,y1,z1則所求距離等于向量 在法向量上n1的投影.即PP,z-z ,y-y,x-x| |Pr|22222222201010100100101CBACCBABCBAAnPPnPPPPjdn其中：-DCzByAx,111且.|nPP|d,001即可推出結(jié)果代入學(xué)生自己推導(dǎo)CBADCzByAxd|高等數(shù)學(xué)的例4解解將三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入平面將三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入平面一般方程一般方程Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0, ,得得zyOxCABA+B-C+D=0 (1) -2A-2B+2C+D=0 (2)A-B+2C+D=0 (3)解此聯(lián)立方程組，得解此

10、聯(lián)立方程組，得 A=1,B=-3,C=-2, D=0.x-3y-2z=0 x-3y-2z=0 為所求平面方程.方法一方法一求過(guò)三點(diǎn)求過(guò)三點(diǎn)A A（1 1，1 1，-1-1）, ,B B（-2-2，-2-2，2 2），），C C（1 1，-1-1，2 2）的平面方程）的平面方程. .高等數(shù)學(xué)的例4解解 作向量并求其向量積作向量并求其向量積, ,得得zyOxCAB因?yàn)樵撓蛄看怪逼矫嬉驗(yàn)樵撓蛄看怪逼矫婵扇】扇?n=-3,9,6=-3,9,6不妨取點(diǎn)不妨取點(diǎn)A(1,1,-1),(1,1,-1),可得點(diǎn)法式可得點(diǎn)法式方程方程：x-3y-2z=0 為所求平面方程.方法二方法二kjikjiACABACAB6

11、93320333,3 , 2, 0,3 , 3, 3求過(guò)三點(diǎn)求過(guò)三點(diǎn)A A（1 1，1 1，-1-1）, ,B B（-2-2，-2-2，2 2），），C C（1 1，-1-1，2 2）的平面方程）的平面方程. .高等數(shù)學(xué)的例5指出下列各平面的特殊位置，并畫(huà)出各平面：（1）.x=0， y=0, z=0.zyOx即坐標(biāo)面即坐標(biāo)面yOz,zOx,xOy面面.高等數(shù)學(xué)的例5zyOx 該平面平行于坐標(biāo)面xOz也即垂直于y軸（2）指出下列各平面的特殊位置，并畫(huà)出各平面： x=-1, z=2, 3y-1=0z=2y=1/3x=-1高等數(shù)學(xué)的例52x-3y-6=0可以改寫為：xzOy y=-2 x=3指出平面

12、2x-3y-6=0的位置，并畫(huà)出平面：(3) 2x-3y-6=0 x123yx該平面平行于z軸.z高等數(shù)學(xué)的(4). x-y=0例5xzOy1(5).y+z=0 xzOy2021-10-11高等數(shù)學(xué)的25例6解.322:02:13:321zyxzyxzyx 知求三個(gè)平面的交點(diǎn)，已.311.3113220213）為所求交點(diǎn)，點(diǎn)（解方程組zyxzyxzyxzyx2021-10-11高等數(shù)學(xué)的26思考.練習(xí).討論1.1.求平面方程關(guān)鍵是什么？求平面方程關(guān)鍵是什么？平行三個(gè)坐標(biāo)面的方程是平行三個(gè)坐標(biāo)面的方程是什么？什么？尋找法向量尋找法向量n與平面上與平面上一點(diǎn)一點(diǎn)M0.x=k, y=k, z=kk為

13、任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)2.2.求過(guò)點(diǎn)（求過(guò)點(diǎn)（1 1，0 0，-1-1）且）且與平面與平面x-5y+3z-2=0 x-5y+3z-2=0平行的平行的平面平面. .x-5y+3z+2=02021-10-11高等數(shù)學(xué)的27思考思考.練習(xí)練習(xí).討論討論3.3.依條件求平面方程：依條件求平面方程：(1)(1)平行于平行于xOzxOz面且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（面且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2 2，-5-5，3 3）；）；(2)(2)通過(guò)通過(guò)z z軸和點(diǎn)軸和點(diǎn)(-3,1,-2)(-3,1,-2)；(3)(3)平行于平行于x x軸且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)軸且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(4,0,-2)(4,0,-2)和和 （5,1,7) .5,1,7) .(1).y+ 5=0

14、;(2).x+ 3y=0;(3).9y- z- 2=0.2021-10-11高等數(shù)學(xué)的28小結(jié)空間平面方程：（用三元一次方程表示）向量式向量式一般式一般式點(diǎn)法式點(diǎn)法式截距式截距式三點(diǎn)式三點(diǎn)式)(rrn,CBAnDCzByAx,)()()(CBAnzzCyyBxxA.,為截距cbaczbyax),(,iiiizyxMzzyyxxzzyyxxzzyyxx2021-10-11高等數(shù)學(xué)的29 附錄（知識(shí)擴(kuò)充）n平面束方程)(DzCyBxADzCyBxA這里為任意實(shí)數(shù)2021-10-11高等數(shù)學(xué)的30C平面作為特殊柱面可以看作母線L沿著準(zhǔn)線C平動(dòng)而成. 附錄（知識(shí)擴(kuò)充）xzyOL2021-10-11高等數(shù)學(xué)的31平面作為曲面在坐標(biāo)面上的投影投影平面投影平面附錄附錄 知識(shí)擴(kuò)充知識(shí)擴(kuò)充2021-10-11高等數(shù)學(xué)的321.求通過(guò)點(diǎn)M（3，1，-1）和N（4，-1，0）且垂直于xoy坐標(biāo)面的平面方程.2.求通過(guò)點(diǎn)M（7，2，-3）和N（5，6，-4