高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分 二重積分的計算法 第十章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算Oy)(1yx)(2yxxdc且在D上連續(xù)時, 0),(yxf當(dāng)被積函數(shù)bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲頂柱體體積的計算可知, 若D為 X - 型區(qū)域 則O)(1xy)(2xyxbyDax若D為Y - 型區(qū)域dycyxyD)()(:21yxyxfyyd),()()(21dc

2、ydDyxyxfdd),(則一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算當(dāng)被積函數(shù)),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負均非負DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上變號變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算xyOxyDO說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是 X - 型區(qū)域又是Y - 型區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計算方便,可選擇積分序選擇積分

3、序, 必要時還可以交換積分序交換積分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干2D1D3DX - 型域或Y - 型域 , 321DDDD則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算121221d y例例1. 計算,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. 解法解法1. 將D看作X - 型區(qū)域, 則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將D看作Y - 型區(qū)域, 則:D

4、Ixyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算例例2. 計算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算例例3. 計算,ddsinDyxxx其中D 是直線

5、,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.OxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X - 型域 :00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對 x 積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算2例例4. 交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD將:D視為Y - 型區(qū)域 , 則282yxy20 yDyxyxfI

6、dd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算例例5. 計算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算二、利用極坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分Oxkkkrrkkkkkkrrsin,cos對應(yīng)

7、有在極坐標(biāo)系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221內(nèi)取點kkkrr221)(及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為kkrkrkrkO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrdO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算)(rDOxD)(1r)(2rOx)()(21d)sin,cos(rrrrf設(shè),)()

8、(:21rD則Drrrrfdd)sin,cos(d特別特別, 對20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(1r)(2rOxD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算此時若 f 1 則可求得D 的面積d)(21202Dd思考思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點,試答答: ;0) 1 (問 的變化范圍是什么?(1)(2)22)2()(rDyxO)(rDyxO)(rDOx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算例例6. 計算,dde22Dyxyx其中.:222ayxD解解: 在極坐標(biāo)系

9、下,200:arD原式Drrarde02ar02e212)e1(2a2ex的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無法用直角2erddrr20d由于故坐標(biāo)計算.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算注注:利用上題可得一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式2de02xx事實上, 222Rddeyxyxyxyxdede2220de42xxxayxxadelim2222故式成立 .)e1 (lim2aa222Rddeyxyx又目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算例例7. 求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的

10、)立體的體積. 解解: 設(shè)由對稱性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DOcos2rxyza2O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxD則)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)D102二重積分的計算)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且則DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J極坐標(biāo)系情形極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域為ddrr在