運(yùn)用勾股定理證明與計(jì)算

1、勾股定理學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握勾股定理，會(huì)用面積法證明勾股定理。導(dǎo)學(xué)過(guò)程一、憶一憶1、直角 ABC勺主要性質(zhì)是：/ C=90 (用幾何語(yǔ)言表示)(1) 兩銳角之間的關(guān)系：(2) 假設(shè)D為斜邊中點(diǎn)，貝U斜邊中線是(3) 假設(shè)/ B=30,那么/ B的對(duì)邊和斜邊的關(guān)系是： 二、學(xué)一學(xué)1、(1)、畫一個(gè)直角邊為3cm和4cm的直角 ABC用刻度尺量出AB的長(zhǎng)。(2)、再畫一個(gè)兩直角邊為5和12的直角 ABC用刻度尺量AB的長(zhǎng)冋題：你是否發(fā)現(xiàn)3 +42與5,5+122和13的關(guān)系，即3+42 5,5?+122 13,命題1 :如果直角三角形的兩直角邊分別為a、b ,斜邊為c ,那 么。三、合作探究：方法1、：在

2、厶ABC中，/ C=90，/ A、/ B、/ C的對(duì)邊為a、b、c。求證：a2 b2 c2證明：4SA +S小正=S大正根據(jù)的等量關(guān)系：由此我們得出 勾股定理的內(nèi)容是 方法 2、：在厶 ABC中,/ C=90 , / A、/ B、/ C的對(duì)邊為a、b、c。求證：a2 + b2=c2。根據(jù)如下列圖，利用面積法證明勾股定理四、練一練：1、在 Rt ABC / C=90(1) a=b=5,求 c。(2) a=1,c=2,求 b。(3) c=17,b=8,求 a。 a： b=1: 2,c=5,求 a。 b=15,Z A=30,求 a, c2、一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為 3cm和4cm,那么第三邊的長(zhǎng)

3、為 。3如圖，三個(gè)正方形中的兩個(gè)的面積 S = 25,144,貝U另一個(gè)的面積 S為4. 直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,那么它斜邊上的高為 。5. 等腰三角形底邊上的高為 8，周長(zhǎng)為32，那么三角形的面積為A 、56B 48C 40D 326. ，如圖在厶ABC中, AB=BC=CA=2qmAD是邊BC上的高. 求 AD的長(zhǎng)；厶ABC的面積.7如圖，小李準(zhǔn)備建一個(gè)蔬菜大棚，棚寬4m高3m,長(zhǎng)20m,棚的斜面用塑料薄膜遮蓋,不計(jì)墻的厚度，請(qǐng)計(jì)算陽(yáng)光透過(guò)的最大面積.勾股定理二學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。學(xué)習(xí)過(guò)程：一憶一憶1. 勾股定理的內(nèi)容2. 在直角三角形 ABC中，/ C

4、=90，如果a=3,c=6,求b二、解決實(shí)際問題1. 在長(zhǎng)方形ABCD中，寬AB為1m,長(zhǎng)BC為2m，求AC長(zhǎng).問題1在長(zhǎng)方形ABCD中 AB BC AC大小關(guān)系2一個(gè)門框的尺寸如圖1所示. 假設(shè)有一塊長(zhǎng)3米，寬米的薄木板，問怎樣從門框通過(guò) 假設(shè)薄木板長(zhǎng)3米，寬米呢 假設(shè)薄木板長(zhǎng)3米，寬米呢為什么2、如圖2, 個(gè)3米長(zhǎng)的梯子AB,斜著靠在豎直的墻 A0上，這時(shí)A0的距離為 米. 求梯子的底端B距墻角0多少米 如果梯的頂端A沿墻下滑米至C算一算，底端滑動(dòng)的距離近似值結(jié)果保存兩位小數(shù).O B D OD如圖，某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高 5m,長(zhǎng)13m寬2m的樓道上鋪地毯， 地毯每平方米18元，請(qǐng)你

5、幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要多少元錢四、學(xué)習(xí)檢測(cè)：1. 有一個(gè)邊長(zhǎng)為1米正方形的洞口，想用一個(gè)圓形蓋去蓋住這個(gè)洞口，那么圓形蓋半徑至少為米。2. 山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4米，那么這兩株樹之間的垂直距離是 米，水平距離是米。3. 如圖1所示，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)5米，頂端A靠在墻ACh，這時(shí)梯子下端B與墻角C間的距離為3米，梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，測(cè)得DB勺長(zhǎng)為1米，那么梯子頂端A下落了米.6 kmr*A(1)(2)4、 如圖2所示12米高的電線桿兩側(cè)各用15米的鐵絲固定，兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離是。5、 如圖3,在海上觀察所 A,我邊防海警發(fā)現(xiàn)正北 6km的B處有一可疑船只正在向東方

6、向8km的C處行駛.我邊防海警即刻派船前往 C處攔截.假設(shè)可疑船只的行駛速度為 40km/h，那么我邊防海警船的速度為多少時(shí)，才能恰好在C處將可疑船只截住勾股定理(三)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、能利用勾股定理，根據(jù)直角三角形的兩邊長(zhǎng)求第三條邊長(zhǎng)；2、能在在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)。學(xué)習(xí)導(dǎo)學(xué)過(guò)程一、憶一憶1. 勾股定理：。2. 在直角三角形中，(,5)2 =( )2 +( )2( . 10)2=( )2 +( )2，(.13)2=( )2 +( )2( .17)2=( )2 +( )2(注意括號(hào)里要填正整數(shù)哦)二、探究.三邊長(zhǎng)度分別為3 cm、4 cm、5 cm的三角形與以3 cm、4 cm為直角邊的直角 三角形之

7、間有什么關(guān)系你是怎樣得到的三、學(xué)一學(xué)如圖，OA=O，(1) 說(shuō)出數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)(2) 在數(shù)軸上作出8對(duì)應(yīng)的點(diǎn)四、試一試?yán)贸咭?guī)，在數(shù)軸上做出-.17五、學(xué)習(xí)檢測(cè)：1、如圖，數(shù)軸上的點(diǎn) A所表示的數(shù)為x，那么x2-10的立方根為A -10 B -10 C 8 D -122.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么網(wǎng)格上的三角形 ABC中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是)D. b v av cA. 0 B. 1 C. 2 D. 3CB示，在 ABC中，三邊a,b,c的大小關(guān)系是(v bv c B. c v av bC. c v bv a4.等邊 ABC的高為3cm,以AB為邊的正方形面積為 _

8、.5如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm,那么正方形 A, B, C, D的面積之和為 6. A ABC中，AB=AC=25cm 高 AD=20cm那么 BC= , SAABC=。7. A ABC 中，假設(shè)/ A=Z B=Z C, AC=10 cm,那么/ A=度，/ B=度,Z C=度, BC= , SA ABC=。&在 ABC中，Z C=900, BC=60cm,CA=80cm一只蝸牛從 C點(diǎn)出發(fā)，以每分 20cm的速度沿CA-AB-BC的路徑再回到 C點(diǎn)，需要 分的時(shí)間9有一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，它的長(zhǎng)是70cm,寬和高都是50cm.在A點(diǎn)處有

9、一只螞蟻，它想吃到B點(diǎn)處的食物，那么它爬行的最短路程是多少勾股定理的逆定理一學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 體會(huì)勾股定理的逆定理得出過(guò)程，掌握勾股定理的逆定理。2. 探究勾股定理的逆定理的證明方法。3 理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。導(dǎo)學(xué)過(guò)程一憶一憶勾股定理：二、學(xué)一學(xué)閱讀教材31頁(yè)-32頁(yè)內(nèi)容，結(jié)合教材完成下面問題，十分鐘后看哪組能借助 例子給大家講得清楚明白1、畫出6cm 8cm 10cm為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形嗎2、如圖，假設(shè) ABC的三邊長(zhǎng)、滿足，試證明厶ABC是直角三角形，請(qǐng)簡(jiǎn)要地寫 出證明過(guò)程.3、三角形三邊滿足什么條件是直角三角形 4、 .此定理與勾股定理之間有怎樣的關(guān)系圖(1) 什么

10、叫互為逆命題(2) 什么叫互為逆定理(3) 任何一個(gè)命題都有 ，但任何一個(gè)定理未必都有 5、說(shuō)出以下命題的逆命題。這些命題的逆命題成立嗎(1) 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(2) 如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等；(3) 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；(4) 角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。三、練一練：1：判斷由線段、組成的三角形是不是直角三角形：(1) ；(2).(3) ；(4)；2. 如果三條線段長(zhǎng)a,b,c滿足，這三條線段組成的三角形是不是直角三角形為什 么,B,C三地的兩兩距離如下列圖，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向4. 思考：我們知道3、4、5是一組勾股數(shù)，那么

11、3k、4k、5k k是正整數(shù)也是 一組勾股數(shù)嗎一般地，如果a、b、c是一組勾股數(shù)，那么ak、bk、ck k是正整 數(shù)也是一組勾股數(shù)嗎四. 學(xué)習(xí)檢測(cè)1. 假設(shè)厶ABC的三邊 a，b，c 滿足條件 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c 試判定 ABC 的形狀.此三翳的形狀為，折成三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的三角形，那么三邊長(zhǎng)分別為多少米3. ：如圖，在 ABC中, CD是AB邊上的高，且 CD=ADBD 求證： ABC是直角三角形。五、反思：勾股定理逆定理2學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、會(huì)應(yīng)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，2、能夠理解勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題。導(dǎo)學(xué)過(guò)程一、憶一憶用字母表

12、示勾股定理及逆定理二、試一試結(jié)合提示試著完成下面兩題看誰(shuí)完成得好：如圖，四邊形 ABCD AD/ BC，AB=4 BC=6 CD=5 AD=3 求：四邊形ABCD勺面積。解析：求不規(guī)那么圖形的面積時(shí)，要把不規(guī)那么圖形 如圖所化輔助線2 “遠(yuǎn)航號(hào)、“海天號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天號(hào)每小時(shí)航行12海里，它們離開港口一個(gè)半小 時(shí)后相距30海里如果知道“遠(yuǎn)航號(hào)沿東北方向航行，能 知道“海天號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎3如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計(jì) 算一下土地的面積，以便計(jì)算一下產(chǎn)量。小明找了一卷米尺，測(cè)得AB=4米，BC=

13、3 米, CD=13米, DA=12米，又/ B=90 。三、練一練1 一個(gè)三角形三邊之比為3: 4: 5,那么這個(gè)三角形三邊上的高值比為D 10:8:2A 3:4:5 B 5:4:3 C 20:15:122. 如果 ABC的三邊a,b,c滿足關(guān)系式a是三角形。3. 假設(shè)厶ABC的三邊a、b、c,滿足(a b)A.等腰三角形；BC.等腰三角形或直角三角形；4. 假設(shè)厶ABC的三邊a、b、c,滿足a：2b 18 + (b-18 )(a2+ b2 c2) =0, 直角三角形； 等腰直角三角形。30 =0 那么厶 ABC那么厶ABC()Db: c=1: 1:2，試判斷厶ABC的形狀。3 135. ：

14、如圖，四邊形 ABCD AB=1, BC,CD3 , AD=3且AB丄BG 求：四4 4邊形ABCD勺面積。6. 小強(qiáng)在操場(chǎng)上向東走80m后，又走了 60m,再走100m回到原地。小強(qiáng)在操場(chǎng) 上向東走了 80m后，又走60m的方向是。5. 一根30米長(zhǎng)的細(xì)繩折成3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長(zhǎng)度比較短邊 長(zhǎng)7米，比較長(zhǎng)邊短1米，請(qǐng)你試判斷這個(gè)三角形的形狀。7. ABC勺三邊為a、b、c,且a+b=4, ab=1, c= . 14 ,試判定 ABC的形狀18. 如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上 一點(diǎn)且EC= 丄E4 C,求證：/EFA= 90。.五、教學(xué)反思：勾股定理復(fù)習(xí)

15、(1)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解勾股定理的內(nèi)容，直角三角形的兩邊，會(huì)運(yùn)用勾股定理求第三邊.2. 勾股定理的應(yīng)用.3. 會(huì)運(yùn)用勾股定理的逆定理，判斷直角三角形.一、知識(shí)回憶在本章中，我們探索了直角三角形的三邊關(guān)系，并在此根底上得到了勾股定理， 并學(xué)習(xí)了如何利用拼圖驗(yàn)證勾股定理， 介紹了勾股定理的用途；本章后半局部學(xué) 習(xí)了勾股定理的逆定理以及它的應(yīng)用.其知識(shí)結(jié)構(gòu)如下：1. 勾股定理：(1) 直角三角形兩直角邊的 和等于的平方.就是說(shuō)，對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為 a、b,斜邊為c,那么一定有：這就是勾股定理.(2) 勾股定理揭示了直角三角形之間的數(shù)量關(guān)系，是解決有關(guān)線段計(jì)算問題的 重要依

16、據(jù).勾股定理的探索與驗(yàn)證，一般采用“構(gòu)造法.通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，并計(jì)算圖形 面積得出一個(gè)等式，從而得出或驗(yàn)證勾股定理.2. 勾股定理逆定理“假設(shè)三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形為 . 這一命題是勾股定理的逆定理.它可以幫助我們判斷三角形的形狀.為根據(jù)邊的 關(guān)系解決角的有關(guān)問題提供了新的方法 .定理的證明采用了構(gòu)造法.利用三 角形的邊a,b,c(a 2+b2=c2)，先構(gòu)造一個(gè)直角邊為a,b的直角三角形，由勾股定理 證明第三邊為c,進(jìn)而通過(guò)“ SSS證明兩個(gè)三角形全等，證明定理成立.3. 勾股定理的作用：(1 )直角三角形的兩邊，求第三邊；(2 )在數(shù)軸上作出表示(n為正整數(shù)

17、)的點(diǎn).勾股定理的逆定理是用來(lái)判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定 理也可用來(lái)證明兩直線是否垂直，勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定 理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不僅可以判定三角形是否為直角三角 形，還可以判定哪一個(gè)角是直角，從而產(chǎn)生了證明兩直線互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通過(guò)計(jì)算來(lái)證明，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想.3三角形的三邊分別為a、b、c，其中c為最大邊，假設(shè)，那么三角形是直角三角 形；假設(shè)，那么三角形是銳角三角形；假設(shè)，那么三角形是鈍角三角形所以使用勾股定 理的逆定理時(shí)首先要確定三角形的最大邊.二、合作交流：例1:如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是 6

18、cm和8cm那么這個(gè)三角形的周 長(zhǎng)和面積分別是多少三、質(zhì)疑導(dǎo)學(xué)：例 2:如圖，在四邊形 ABCD中，/ C=90，AB=13 BC=4 CD=3 AD=12 求證: AD丄 BD四、學(xué)習(xí)檢測(cè):1. 如果以下各組數(shù)是三角形的三邊，那么不能組成直角三角形的一組數(shù)是111 1 1A. 7，24，25 B . 31，4-，5- C . 3，4，5 D . 4，7-，8-2 2 2 2 22. 如果把直角三角形的兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的A . 1倍 B . 2倍3.直角三角形的兩直角邊分別為5cm,A. 6cmB. 8. 5cm C4.在厶ABC中，三條邊的長(zhǎng)分別為a，且n為

19、整數(shù)，這個(gè)三角形是直角三角形嗎C . 3倍 12cm其中斜邊上的高為3060cm D . cm1313b，c，a= n2 1，b = 2n，c= n2+1n 1， 假設(shè)是，哪個(gè)角是直角5.兩只小鼴鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分鐘挖8cm,另一只朝左挖，每分鐘挖6cm 10分鐘之后兩只小鼴鼠相距A. 50cmB . 100cm C . 140cm D . 80cm6. 等腰 ABC的面積為12亦，底上的高AD= 3cm,那么它的周長(zhǎng)為7. 等邊 ABC的高為3cm,以AB為邊的正方形面積為.8. 個(gè)三角形的三邊的比為 5 ： 12 ： 13，它的周長(zhǎng)為60cm,那么它的面積是.勾股定理復(fù)習(xí)2學(xué)

20、習(xí)目標(biāo)1. 掌握直角三角形的邊、角之間所存在的關(guān)系，熟練應(yīng)用直角三角形的勾股 定理和逆定理來(lái)解決實(shí)際問題.2. 經(jīng)歷反思本單元知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程，理解和領(lǐng)會(huì)勾股定理和逆定理. 考點(diǎn)一、兩邊求第三邊1 .在直角三角形中,假設(shè)兩直角邊的長(zhǎng)分別為1cm 2cm，那么斜邊長(zhǎng)為.2直角三角形的兩邊長(zhǎng)為 3、2,那么另一條邊長(zhǎng)是 .3. 在數(shù)軸上作出表示,10的點(diǎn).4. ，如圖在厶ABC中，AB=BC=CA=2，AD是邊BC上的高. 求 AD的長(zhǎng)；厶ABC的面積.考點(diǎn)二、利用列方程求線段的長(zhǎng)1.如圖，鐵路上 A，B兩點(diǎn)相距25km C, D為兩村莊，DAIAB于A，CBL AB于 B,DA=15km CB=10km現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E,使 得C, D兩村到E站的距離相等，那么E站應(yīng)建在離A站多少km處2. 如圖，某學(xué)校A點(diǎn)與公路直線L的距離為300米，又與公路車站D 點(diǎn)的距離為500米，現(xiàn)要在