數(shù)學(xué)分析講解數(shù)列極限課件

1、1x2x3x4xnx一、數(shù)列定義1 函數(shù) f : NR稱(chēng)為數(shù)列，記為xn. 即xnf (n), nN,或x1, x2,xn, xn稱(chēng)為數(shù)列第n項(xiàng)，其表達(dá)式稱(chēng)為數(shù)列的通項(xiàng)通項(xiàng)。 幾何意義：數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列， 可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取12,nx xx定義2 設(shè)有數(shù)列xn. 若存在常數(shù)A，使得0, NN, 當(dāng)nN時(shí)，|xnA|，則稱(chēng)xn的極限極限為A，或稱(chēng)xn收斂收斂于A，記為limnnxA()nxAn 或若A不存在，則稱(chēng)數(shù)列xn無(wú)極限，或稱(chēng)為發(fā)散發(fā)散(不收斂不收斂) 是用來(lái)刻劃xn與A的接近程度。首先，具有任意性任意性， 說(shuō)明xn與A的接近程度可以任意??；其次，具有相對(duì) 固定性固定性，一

2、旦給出，就固定這個(gè)再去找N。 N的存在性存在性說(shuō)明無(wú)論怎么小，第N項(xiàng)后的所有xn都滿(mǎn)足 |xnA|N成為 的充分條件即可. 這就是所謂的“適當(dāng)放大法”.|nxA適當(dāng)放大法：1|( )()nxAG nnN( )(1) lim( )0;(2)nG nG n其中適合形式簡(jiǎn)單，即由2( ).G nnN容易解出12max,|.nNN NnNxA最后取則時(shí)，239lim0.79nnnn 例6證明lim1(0);(2) lim1.nnnnaan兩個(gè)結(jié)果：(1) 例7 設(shè)數(shù)列xn對(duì)常數(shù)A和0 q 0, 使得nN有|.nxM推論1 無(wú)界數(shù)列必發(fā)散。推論2 若數(shù)列,lim,lim.nnnnnnnxxyxAyBAB

3、滿(mǎn)足且則定理3 （不等式性）若lim,lim,nnnnxAyBAB且，nnNnNxy則，當(dāng)時(shí),有N Nu 即使將“xn yn”換為“xn yn”, 結(jié)論也不能改為“A B”.推論4 若lim0,nnxANnN則當(dāng)時(shí),有N N|0.2nAx 推論3 （保號(hào)性）若lim0,NnnxANnN則，當(dāng)時(shí),有0.2nAx u 若將“A0”換為“A 0, 且 , 則有l(wèi)imnnaa12limnnna aaa推論推論3 若an 0, 且 , 則有1limnnnaaalimnnnaa例14 求極限22223312233limnnnnn13Ex. 求極限12limnnn n231單調(diào)有界定理單調(diào)有界定理 設(shè)數(shù)列xn單調(diào)增加. 則當(dāng)xn有上界時(shí), xn收斂，當(dāng)xn 上無(wú)界時(shí), xn為正無(wú)窮大，且均成立limsup;nknkxxN Nu 若xn為單調(diào)數(shù)列. 則xn收斂 xn有界.u 想一想 數(shù)列xn單調(diào)減少時(shí)的情形？例15 證明數(shù)列.11收斂nnnxu