點到平面距離的若干典型求法

1、.點到平面距離的若干典型求法目錄1.12.13.33.133.253.373.483.593.6113.7131引言2預(yù)備知識(1):(1)PPPPPPP.圖 1(2) 點到平面距離定義 : 一點到它在一個平面上的正射影的距離叫作這點到這個平面的距離，也即點與平面間垂線段的長度。(3) 四面體的體積公式V 1 Sh3其中 V 表示四面體體積，S 、 h 分別表示四面體的一個底面的面積及該底面所對應(yīng)的高。(4) 直線與平面垂直的判定定理 : 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直， 則該直線與此平面垂直。(5) 三垂線定理 : 在平面內(nèi)的一條直線， 如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直， 那么它

2、和這條斜線也垂直。(6) 二面角及二面角大小 : 平面內(nèi)的一條直線 l 把平面分為兩部分， 其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面。圖2 所示為平面與平面所成的二面角，記作二面角l，其中 l 為二面角的棱。如圖在棱l 上任取一點 O ，過點 O 分別在平面及平面上作 l 的垂線 OA 、OB ，則把平面角AOB 叫作二面角l的平面角，AOB 的大小稱為二面角l的大小。在很多時候為了簡便敘述， 也把AOB 稱作與平面所成的二面角。圖 2(7) 空間向量內(nèi)積 :代數(shù)定義 : 設(shè)兩個向量 a ( x1 , y

3、1 , z1 ) ， b ( x2 , y2 , z2 ) ，則將兩個向量對應(yīng)分量的乘積之和定義為向量 a 與 b 的內(nèi)積，記作 a b ，依定義有 a b = x1 x2 y1 y2 z1 z2.幾何定義 :在歐幾里得空間中，將向量a 與 b 的內(nèi)積直觀地定義為a b| a | b | cosa, b，這里 | a |、| b |分別表示向量 a 、 b 的長度，a,b表示兩個向量之間的夾角。向量內(nèi)積的幾何意義為一個向量的模與另一個向量在這個向量正方向上投影向量模的乘積。當a,b900 ，即 ab 時， a b| a | b | cosa, b| a | b |cos90 00 。下面說明這

4、兩種定義是等價的。如圖 3 所示，設(shè) O 、 P 、 Q 為空間的三點，令 aOP ， bOQ ， cPQ圖 3由余弦定理| c |2| a |2| b |22 | a | b | cosa, b再設(shè) a( x1 , y1, z1 ) ， b(x2 , y2, z2 ) ，則 c ( x2x1, y2y1 , z2z1 )從而有( x2 x1 )2( y2y1 )2(z2 z1 )2 = x2y 2z2x2y2z22| a |b |cos a, b111222即x1x2y1 y2z1z2| a |b | cosa, b這就證得了兩個定義是等價的。3 求點到平面距離的若干求法3.1 定義法求點到

5、平面距離( 直接法 )定義法求點到平面距離是根據(jù)點到平面的定義直接作出或者尋找出點與平面間的垂線段，進而根據(jù)平面幾何的知識計算垂線段長度而求得點與平面距離的一種常用方法。定義法求點到平面距離的關(guān)鍵在于找出或作出垂線段，而垂線段是由所給點及其在平面射影間線段，應(yīng)而這種方法往往在很多時候需要找出或作出點在平面的射影。以下幾條結(jié)論常常作為尋找射影點的依據(jù):.(1) 兩平面垂直的性質(zhì)定理 : 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們交線的直線垂直于另一個平面。(2) 如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這個點在該平面內(nèi)的射影在這個角的角平分線所在的直線上。(3) 經(jīng)過一個角的頂點

6、引這個角所在平面的斜線。設(shè)斜線和已知兩邊的夾角為銳角且相等，則這條斜線在這個平面的射影是這個角的角平分線。(4) 若三棱錐的三條棱長相等，則頂點在底面上的射影是底面三角形的外心。例 如圖 4 所示，所示的正方體 ABCDA B C D棱長為 a ，求點 A 到平面 AB D 的距離。( 注:本文所有解法均使用本例)圖 4解法一 ( 定義法 ): 如圖 5 所示，連結(jié)交 B D 于點 E ，再連結(jié) AE ，過點 A 作 A H 垂直于AE ，垂足為 H ，下面證明 A H平面 AB D 。圖 5AA平面 ABCDBDAA又在正方形 ABCD 中，對角線 BDAC ，且 AAACAAA平面 AAE

7、,AC平面 AAE.由線面垂直的判定定理知道 B D平面 AAEA H平面 AAEA HB D又由 AH 的作法知道 AHAE，且有 BDAEE ，B D平面 ABD ， AE平面 ABD由線面垂直的判定定理知道A H平面 ABD根據(jù)點到平面距離定義，A H 的長度即為點 A 到平面 AB D 的距離，下面求 A H 的長度。AB D 中，容易得到 ABB DD A2a ，從而 AB D 為正三角形， AB D 600 。進而在 Rt AB E 中， AEAB sinAB D2a sin 6006 a 。2由SAAE 1AA AE1AE AH得到221 A C1AAA EAAa23A H22A

8、EAE6a32從而 A 到平面 ABD 的距離為3 a 。33.2 轉(zhuǎn)化法求點到平面距離有時候限于幾何體的形狀，不易直接尋找出點在平面的射影，或者由直接法作出的射影線段在所給幾何體中不易計算其長度，此時轉(zhuǎn)化法不失為一種有效的方法。轉(zhuǎn)化法即是將點到平面的距離轉(zhuǎn)化為另一點到平面間的距離的方法。轉(zhuǎn)化法依據(jù)主要有以下兩點：(1) 若直線 l / / 平面，則直線 l 上所有點到平面的距離均相等。(2) 若直線 AB 與平面 交于點 M ，則點 A 、 B 到平面 的距離之比為 AM : BM 。特別地，當 M 為 AB 中點時， A 、 B 到平面的距離相等。下面用轉(zhuǎn)化法重解上面例題解法二 ( 轉(zhuǎn)化法

9、 )如圖 6所示，連結(jié) AC、A C、AC 、AB、AB ，AC 交 BD 于點 E ，連結(jié) AE交 AC 于點 H，延長 AC 至點G使得CG 1AC ，連結(jié)CG。2.圖 6CB平面 AABB從而斜線 AC在平面 AABB 的射影為 ABAB、 AB 為正方形 AABB對角線ABA B ，由三垂線定理知道ABA C同理可以得到 ADA C又ABADA，AB平面 ABD ， AD平面 ABDAC平面 ABDAH平面 ABD ，即點 H 為 A 在平面 ABD 的射影， AH 的長度為所求AC/AC 即AC/EG，且EGECCG1AC 1AC ACAC22四邊形 ACGE 為平行四邊形AE /

10、/CG在A CG 由等比性質(zhì)有A HAE1A CEG31A CA H3而在正方體 ABCDABCD 中對角線 ACA A2AB2BC 23aA H3 a3在本例中，未直接計算垂線段 A H 的長度，而是找出了其與正方體ABCD ABCD 中對角線 A C 的數(shù)量關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為求正方體ABCDABCD 對角線 AC長度，而 AC長度.是極易計算的，故用這種轉(zhuǎn)化方法降低了運算量。本例運用的轉(zhuǎn)化方法與依據(jù)(2) 類似，都是尋求所要求的垂線段與某一已知或易求線段的數(shù)量關(guān)系，從而簡化計算。3.3 等體積法求點到平面距離用等體積法求點到平面的距離主要是一個轉(zhuǎn)換的思想，即要將所要求的垂線段置于一個四面體中

11、，其中四面體的一個頂點為所給點，另外三點位于所給點射影平面上，這里不妨將射影平面上的三點構(gòu)成的三角形稱為底面三角形。先用簡單的方法求出四面體的體積，然后計算出底面三角形的面積，再根據(jù)四面體體積公式V1 Sh 求出點到平面的距離 h 。在3常規(guī)方法不能輕松獲得結(jié)果的情況下， 如果能用到等體積法， 則可以很大程度上提高解題效率，達到事半功倍的效果。 特別是遇到四面體的有一條棱垂直于其所相對的底面時， 首選此方法。下面用等體積法求解上面例子 .解法三 ( 等體積法 ): 如圖 7 所示，作 A H 垂直于平面 AB D 于點 H ，則 AB D 長度為所求。對于四面體 A AB D ，易見底面 AB

12、 D 的高為 A H ，底面 A B D 的高為 AA 。對四面體 A AB D 的體積而言有：VAABDVA ABD圖7即有 :1AA SABD1AH SAB D33也即 :A HAA S ABDS ABD由 ABB DD A2a ，從而AB D 為正三角形，AB D 600 ，進而可求得S ABD1 ABAD sin AB D1 ( 2a)2 sin 6003 a2222.又易計算得到 Rt A B D 的面積為 S A B D1 a22a1 a23AA S ABD2所以 AH3aS ABD23a2我們在使用等體積法求點到平面距離時使用的點與平面間的垂線段只是概念上的，并不一定要知道點在平

13、面射影的具體位置，從而也就不需要使用幾何方法尋找或者求作垂線段，垂線段的長度在這種方法上只是作為幾何體高的意義而存在的。3.4 利用二面角求點到平面距離如圖 8 所示， l 為二面角l的的棱，AOB 為二面角l的一個平面角。下面考慮點 B 到平面的距離。作 BHOA ，垂足為 H ，下面證明 BH平面。圖 8AOB為二面角l的一個平面角OAl 、 OBl又OAOBOl 平面 AOB又 BH 平面 AOB BH l又BHOA ， OAl =O ， OA平面， l平面BH平面在 Rt OBH 中，有BHOB sinBOH.這個公式就建立點到平面距離與二面角的一個數(shù)量關(guān)系。從而如果能將點與平面置于一

14、個二.面角中，則可利用通過所給點關(guān)于平面的一條斜線及二面角計算點與平面間的距離。下面利用二面角法求解上面例子。解法四(二面角法 ): 如圖 9 所示，連結(jié) AB、 AB ， AB與 AB 相交于點 O，連結(jié) D O。 A B 與 AB 為正方形 ABB A 的對角線ABAB （即 AOAB ），O為AB 中點圖 9又ABD 中 ADBDDOABA OD 為二面角 AABD 的平面角設(shè) A 到平面 AB D 的距離為 d ， OA 是過點 A 的關(guān)于平面 AB D 的一條斜線，又上面得到的公式 有d OA sinA OD易見，DA平面 ABBA ，從而 DAOA . 在 Rt A OD 中有ta

15、n A ODA DaOA22 a2從而點 A 到平面 AB D 的距離為2223d OA sin A ODa sin(arctan 2)a3a2233.5 向量法求點到平面的距離向量法求點到平面的距離主要是依據(jù)如下結(jié)論:點到平面的距離等于這個與平面上任一點所連接的向量與該平面法向量方向上的單位向量數(shù)量積的絕對值。證明 : 如圖 10 所示， P 為平面外一點， Q 為平面上任意一點， PO平面于點 O ，n.為平面的單位法向量。PQ n| PQ | | n | cosPQ, n| PQ |cosPQ, n圖 10| PO | | PQ |cosQPO| PQ | | cosPQ, n| | P

16、Q |cosPQ, n| | PQ n |即| PO | | PQ n |.這個公式將點到平面的距離轉(zhuǎn)化為了過所給點的任意斜線上的起點和終點分別在所給點及所給平面上一點的向量與平面法單位法向量的內(nèi)積。下面用向量法從新求解上面例子解法五 ( 向量法 )如圖 11 所示以 D 點為原點， DA ，DC ，DD 所在的正方向分別x ，y ，z 軸的正方向建立空間直角坐標系。圖 11由所給條件知道坐標點A( a,0,0) 、 A (a,0, a) ， B (a, a, a) ， D (0,0, a) ，從而有 AB(0, a, a) ，AD(a,0, a) ， AA(0,0, a) 。設(shè)平面 AB D

17、 的任意一個法向量為n0(x, y, z) , 則有n0AB ， n0AD ， 即.n0AB0n0AD0代入已知得到ayaz0axaz0這是一個關(guān)于 x, y, z的不定方程，為了方便起見，不妨設(shè)z 1 ，這樣上式變?yōu)閍ya0axa0解該式得到 x 1, y1這樣就得到平面 AB D 的一個法向量為 n1(1,1,1)，將其單位化得到平面ABD 的一個單位法向量為 nn1(1,1,1) 。設(shè)點 A 到平面 AB D 的距離為 d ，結(jié)合式所給| n1 |333出的結(jié)論有d | AA n | | 0101a1 |33333即點 A 到平面 ABD 的距離為3 。3用向量法求解點到平面的距離比之前

18、面提供的幾種幾何方法而言，這種方法不需要大量的幾何證明， 而主要是較為機械地進行代數(shù)運算。因而在實際使用這種方法時， 第一步建立空間直角坐標系常常成為最為關(guān)鍵的步驟，如果所建立的坐標系不能確定所給幾何圖形中關(guān)鍵點（所給平面外點及所給平面上不共線的任意三個點）在建立的坐標系的坐標， 則無法進行后續(xù)步驟 ; 如果所建立的坐標系雖然能夠表示的關(guān)鍵點的坐標，但在所建立的坐標系中得到關(guān)鍵點坐標的計算過程復(fù)雜， 或者得到的關(guān)鍵點坐標表達式復(fù)雜，都將會導(dǎo)致繁瑣的的計算。因此，選擇恰當?shù)闹苯亲鴺讼祵τ谑褂帽痉椒昂喕嬎愣际窍喈斨匾摹?.6 利用最值求點到平面距離在介紹最值法之前， 先介紹一個簡單的知識，

19、即點到平面的距離是點與平面上任意點連線的最小值。以下對這點做簡要說明。如圖 12 所示，平面外一點 P 在平面的射影為點 P , Q 為平面上任意一點。.圖 12若Q不與 P 重合，則，構(gòu)成三角形。因 PP平面，平面 ,PP PQ，PQ 0 PPQP Q三角形 PP Q 為直角三角形，從而由勾股定理有PQPP2P Q2PP這樣就證得了結(jié)論。有了上面這個結(jié)論， 那么只要找到平面外一點到平面上任意一點的距離的函數(shù)表示， 再求出該函數(shù)的最小值， 則由上面結(jié)論即可知該最小值即為點到平面的距離。 一般構(gòu)造函數(shù)沒有確定的方法，不同的角度構(gòu)造出的函數(shù)表示很可能是不一樣的， 不過這并不影響最終結(jié)果。下面用常用

20、的向量構(gòu)造方法構(gòu)造函數(shù)求解上面例子中點到平面的距離.解法六（最值法）如圖 13 所示， E 為平面 AB D 上任意一點，以 D 點為原點， DA ，DC ，DD 所在的正方向分別 x ， y ， z 軸的正方向建立空間直角坐標系。圖 13由所給條件知道A( a,0,0) 、 A (a,0, a) ， B (a, a, a) ， D (0,0, a)從而有 AB(0, a, a) AD(a,0, a) ， A A(0,0,a) 。設(shè)點 E 在所建立的坐標系下的坐標為E( x, y, z) ，因 E 在平面 ABD 上，從而向量.AE( xa, y, z) 可由相交向量AB 、 AD 線性表示，

21、不妨設(shè) AEABAD（,R ）則A EA AAEA AABAD( a,a , aaa)因此|AE|( a ) 2(a )2( aa a)2a22222221a 2(1)22(1)22(1)(1)1333333a（當且僅當1 時取等號）33從而 A 到平面 AB D 上點的距離最小值為3 a ，也即點 A 到平面 AB D 的距離為3 a 。33最值方法提供了求解點到平面距離的一種較為新穎的方法，同時這種方法是建立在對點到平面距離的深入理解的基礎(chǔ)上的，也有助于加深理解點到平面距離的概念。不過這種方法對使用者的代數(shù)知識素養(yǎng)要求較高，要將幾何圖形中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，構(gòu)造出平面外點到平面上點的

22、函數(shù)關(guān)系，而且對函數(shù)最值的求法也需要較高的變形技巧，否則即使構(gòu)造出平面外點到平面上點的函數(shù)關(guān)系也難求出函數(shù)最值，故一般這種方法對水平較高的讀者比較適用。3.7 利用點到平面的距離公式求點到平面的距離點到平面的距離公式主要是利用解析幾何的知識，將所給點及平面均給予代數(shù)表式，從而用代數(shù)方法得到的點與平面距離的統(tǒng)一的代數(shù)表示。點到平面的距離公式的推導(dǎo)方法有相當多，如直接用兩點間距離公式推導(dǎo)、利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何性質(zhì)推導(dǎo)、利用球的切平面性質(zhì)推導(dǎo)、 利用極值法推導(dǎo)等等。 公式法的實質(zhì)是幾何量代數(shù)化的結(jié)果，因此絕大多數(shù)求解點到平面距離的幾何方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言都可以得到一般意義上的點到平面的距離公式

23、。限于本文篇幅， 就不對這些方法一一介紹了，下面僅從利用兩點間距離公式的角度給出點到平面的距離公式一種推導(dǎo)。如圖 14 所示，平面外一點 P 在平面的射影為點 P 。.圖 14在某空間直角坐標系下，設(shè)平面的代數(shù)方程為：AxByCzD0 ，點 P 的坐標為P( x0 , y0 , z0 ) 。將平面的方程改寫為A(xx0 ) B( y y0 ) C ( z z0 )( Ax0By0 Cz0 D ) .又由 PP平面及直線 PP 過點 P( x0 , y0 , z0 ) 知道直線 PP 的方程為x x0y y0z z0ABC下面不妨設(shè)x x0y y0z z0tABC.將代入中得到Ax0By0Cz0 DtA2B2C 2顯然 P 的坐標 P (x, y, z) 在直線 PP 上，從而滿足，即有xx0AtA(Ax0By0Cz0D )A2B2C 2yy0BtB( Ax0By0Cz0D )A2B2C 2zz0CtC ( Ax0By0Cz0D )A2B2C 2進而根據(jù)兩點間的距離公式d | PP | ( x x0 ) 2( y y0 ) 2( y y0 )2( A2B2C 2 )( Ax0By0Cz0D) 2( A2B2C2)2.| Ax0 By0Cz0 D |=B