第三章點、線、面

1、第三章第三章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影第一節(jié)第一節(jié) 點的投影點的投影點在投影面體系中的投影HB B2 2B B1 1A Aba構成：立體構成：立體面面邊邊點點講解順序：點講解順序：點線線面面體體點的單面投影：點的單面投影： 不能唯一確定空間點不能唯一確定空間點 一一 兩面投影體系兩面投影體系OXH HV VH與與V 相交相交OX投影投影軸軸水平投影面水平投影面 H 正立投影面正立投影面 V垂垂直直相相交交3一、 點的兩面投影點的兩面投影二二 點的兩面投影點的兩面投影VHO OAaaX正面投影正面投影水平投影水平投影aX aoxax a點的投影特性點的投影特性：1. a a 的連

2、線的連線 OX OX 軸軸 2.2. a aX =Aa a aX =Aa 4（1）點的兩投影連線垂直于投影軸，即 aaox；（2）點的投影到投影軸的距離，等于該 點到相鄰投影面的距離，即： aax=Aa aax=Aa用兩面投影是否均能用兩面投影是否均能唯一確定唯一確定空間形體？空間形體？ 不能不能OXHVXO5VHOAa,aX正面投影正面投影水平投影水平投影一一 三面投影體系三面投影體系WYZa側面投影側面投影二、 點的三面投影點的三面投影水平投影面水平投影面 H 正立投影面正立投影面 V側立投影面?zhèn)攘⑼队懊鎃垂垂直直相相交交H與V 相交OX投影軸H與W相交OY投影軸V與W相交OZ投影軸67

3、aaa二二 點的三面投影點的三面投影oxzyHyW45 垂直關系垂直關系,a aOXa,a,OZ 相等關系相等關系axaz aaxa,azayay投影特性：投影特性：1. aaz = aay = x aaz = aax = y aax =aa y = z 三投影面體系中點的投影規(guī)律2. aa ox aa ozHVXZYWOayaxazxyzaaaHa aa VWXOZYWYHaxayazay點在三投影面體系中的投影XYHYWZOaaa規(guī)定：空間點A用大寫字母表示，在H面的投影a，在V面的投影用a，在W面的投影用a表示。aVHWXYHYW ZaaO例題例題 已知點已知點A的正面與側面投影，求點的

4、正面與側面投影，求點A的水平投影。的水平投影。XZYWYHOa a aOAaaXYZa9三、 點的投影與直角坐標的關系點的投影與直角坐標的關系投影面投影面坐標面坐標面投影軸投影軸坐標軸坐標軸軸的交點軸的交點O坐標原點坐標原點xzy Aa=Xa Aa =Ya Aa =Za距離的關系：距離的關系：投影投影坐標坐標立體圖立體圖yWyHzxoa10已知已知 A（35，10，25），作出其三面投影圖。），作出其三面投影圖。10mm351025aa注注:一個投影點反映兩個坐標。一個投影點反映兩個坐標。兩個投影點確定一個空間點。兩個投影點確定一個空間點。例題例題特殊點的投影HVOXb bc cHVOXCcc

5、a bBb Aaa aYZOX13四、四、 兩點相對位置兩點相對位置VWHA左左右右上上下下前前后后一一 兩點的相對位置關系兩點的相對位置關系XOZY 兩點的相對位置兩點中兩點中X 值大值大的點的點 在左在左兩點中兩點中Y 值大值大的點的點 在前在前 兩點中兩點中Z 值大值大的點的點 在上在上a a ab b bXZYWYHOaa ab bb BA14二二 重影點的概念重影點的概念A與與B 對對H面重影面重影由由V投影投影判斷高低判斷高低不可見投影點不可見投影點的標記加括號的標記加括號HAB a(b)baXO a(b)XOababa(b)c(d)dcacbd重影點的可見性判斷左遮右左遮右3、若

6、兩點的側面投影重合，可從正投影或水平投影判別，x坐標值大的點為可見。 前遮后前遮后2、若兩點的正面投影重合，可從水平投影判別其可見性，y坐標值大的點為可見（點C在前）。上遮下上遮下1、若兩點的水平投影重合，可從正面投影判別其可見性，z坐標值大的點為可見（點A在上）。例題例題 已知點的坐標值為：A（20，10，15）和 B（0，15，20）求它們的三面投影圖。解：（1）量取坐標值；XOYHYWZaaabbb（2）作點的投影。bbc cxyHywoaaz例題例題 已知各點的兩面投影，求作其第三投影，并判斷點對投影面的相對位置。點A的三個坐標值均不為0，A為一般位置。點B的Z坐標為0，故點B為H面上

7、的點。點C的x、y坐標為0，故點C為z軸上的點。abc例題例題 已知點D 的三面投影，點C在點D的正前方15mm， 求作點C的三面投影，并判別其投影的可見性。解：由已知條件知：XC=XDZC=ZD YC-YD=15mm因為點C、D在V面上的投影重影。c cc又因為YC YD所以C的V面投影為可見點，則D的V面投影為不可見點。 dYWYHOXZdd( )例題例題 已知A點在B點之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A點的投影。a a aXZYWYHOb bb 985直線的投影直線的投影直線上的點直線上的點各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性線段的實長及傾角線段的實長及傾角第二節(jié)第二節(jié) 直

8、線的投影直線的投影2 一 、 直線的投影直線的投影直線的投影特性直線的投影特性顯實顯實積聚積聚類似類似1.1.直線平行于投影面，其投影反映實長。2.2.直線垂直于投影面，其投影積聚成點。3.3.直線傾斜于投影面，其投影長度縮短。 3直線的投影圖直線的投影圖b,a,abb,a,xzOyWyH作圖：1. 1. 作出直線上兩作出直線上兩點的投影點的投影2. 2. 用直線分別連用直線分別連接其各同面投影。接其各同面投影。直線上的點具有兩個特性： 1 從屬性 若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。 2 定比性 屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。 利用這一特性，在不作側面投影的情況下

9、，可以在側平線上找點或判斷已知點是否在側平線上。 例題2 例題3 例題4 二二 、 直線上的點直線上的點ABbbaaXOccCc10b,aefbf,e,a,例例E點點在在AB直線上直線上F點不點不在在AB直線上直線上判斷判斷 E、F點是不是在直線點是不是在直線AB上。上。試判斷試判斷K點是否在直線點是否在直線EF上。f eefkkXOYZVfef eefEFKkkk例例XO直接判斷直接判斷例例K點不點不在直線上在直線上1,k,2,1,1k22,k,k判斷判斷K點是否在直線上。點是否在直線上。OXb Xa abcc 例題 已知線段AB的投影圖，試將AB分成 2 ：1 兩段，求分點C 的投影。例題

10、 已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。bXabaccaccbXOABbbaacCcHV4三、直線與投影面的相對位置三、直線與投影面的相對位置1. 特殊位置直線特殊位置直線投影面的平行線：平行于投影面的平行線：平行于一個一個投影面的直線投影面的直線投影面的垂直線：垂直于投影面的垂直線：垂直于一個一個投影面的直線投影面的直線2. 一般位置直線一般位置直線 一般位置直線一般位置直線與各個投影面均傾斜：其投影與各個投影面均傾斜：其投影均小于實長。均小于實長。 H ：水平線：水平線 V ：正平線：正平線 W：側平線：側平線H: 鉛垂線鉛垂線V: 正垂線正垂線W: 側垂線側垂線三、三、 各種位置直線的

11、投影特性各種位置直線的投影特性 投影面平行線投影面平行線 正平線正平線/面面水平線水平線/面面?zhèn)绕骄€側平線/面面平行于一個投影面 傾斜于另外兩個投影面。平行線分三種： 水平線水平線 （ / 面、傾斜和面）面、傾斜和面）XZYOaababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：1、正面和側面投影比實長短，正面和側面投影比實長短，a b OX ; a b OYW 2、ab=AB 反映實長，傾斜于反映實長，傾斜于OXOX軸，軸，反映反映 、 角。角。XZYO正平線（ / 面、傾斜和面）aababbXabab baOZYHYWAB 投影特性： 1 1、水平和側面投影比實長短，、水平和側面投影

12、比實長短，ab ab OX OX ; ; a a b b OZOZ 2 2、a a b b = =AB AB 反映實長反映實長, ,傾斜于傾斜于OXOX軸，軸，反映反映 、 角角XZYO面?zhèn)绕骄€（面?zhèn)绕骄€（ / 面、傾斜和）面、傾斜和）XZa b bbaOYHYWaaa b a bbAB投影特性： 1、正面和水平投影比實長短，正面和水平投影比實長短，a b OZ ; ab OYH 2、a b =AB 反映實長反映實長,傾斜于傾斜于OZ軸，軸，反映反映 、 角角投影面垂直線投影面垂直線側垂線側垂線面面 正垂線正垂線面面鉛垂線鉛垂線面面垂直于一個投影面垂直于一個投影面 平行于另外兩個投影面。平行于

13、另外兩個投影面。 垂直線分垂直線分三種：三種：OXZYb a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：1、水平投影、水平投影 a b 積聚積聚 成一點成一點 2、 a b / OZ ; a b / OZ； a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB 反映實長反映實長鉛垂線（鉛垂線（ 面、面、/面、面、/面）面）AB正垂線（正垂線（ 面、面、/ 面、面、/ 面）面）OXZYb(a)baba投影特性： 1、正面投影正面投影a b 積聚積聚 成一點。成一點。 2 、 ab / OY ; a b / OY； ab OX ; a b OZ 3 、 ab = a b

14、=AB 反映實長反映實長。ABzX(a)b baOYHYWab側垂線（側垂線（ 面、面、/ 面、面、/ 面）面）OXZYAB投影特性：1、側面投影、側面投影 a b 積聚積聚 成一點成一點 2 、 ab / OX ; a b / OX； ab OYH ; a b OZ 3 、 ab = a b =AB 反映實長反映實長。baa(b)abZXa(b)baOYHYWab 一般位置直線傾斜于三個投影面傾斜于三個投影面的直線。的直線。 直線與它的水平投直線與它的水平投影、正面投影、側面投影、正面投影、側面投影的夾角，分別稱為該影的夾角，分別稱為該直線對直線對投影面投影面、的傾角，用的傾角，用 、 、

15、表表示。示。OXZY一般位置直線的投影特性ABbbabaa投影特性：1、a b、 a b 、a b 均小于實長均小于實長 2 、a b、a b 、a b 均傾斜于投影軸均傾斜于投影軸 3 、不反映、不反映 、 、 實角實角與三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。ZXaaaOYYbbb 直角三角形法求解實長、傾角。1 求直線的實長及對水平投影面的夾角角2 求直線的實長及對正面投影面的夾角角3 求直線的實長及對側面投影面的夾角角 四、一般位置線段的實長及其與投影面的夾角|zB-zA |ABABbbaaboXO1 、 求直線的實長及對水平投影面的夾角角XaabbABab|zB-zA|AB|zB-z

16、A|ab|Z直角三角形法：直角三角形法：距距離離差差實長實長投影投影 : H 投影投影 , Z，實長實長 : V 投影投影 , Y，實長，實長 : W 投影投影 , X，實長，實長基本作圖：基本作圖：傾角傾角XOababAB b0ABbbaaCXO2、 求直線的實長及對正面投影面的夾角 角|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|XZYO3、 求直線的實長及對側面投影面的夾角 角ABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB|XA-XB|試用直角三角形法確定直線試用直角三角形法確定直線AB的實長及對的實長及對投影面投影面V的傾角的傾角 。例題例

17、題ababXO AB投影長度ab投影長度ab例題例題 已知線段已知線段AB30毫米及其投影毫米及其投影ab和和a，試求出，試求出ab 。baab例題 已知 線段的實長AB，求它的水平投影。a|zB-zA| ab a b |yA-yB|ABABab|zB-zA|b Xa bABa第三節(jié)第三節(jié) 兩直線的相對位置兩直線的相對位置一、兩直線平行一、兩直線平行二、兩直線相交二、兩直線相交三、兩直線交叉三、兩直線交叉四、兩直線垂直四、兩直線垂直兩直線的相對位置Vabdcaabbdcce(f)AAABBBDCCCDEF平行平行兩直線兩直線相交相交兩直線兩直線交叉交叉兩直線兩直線XOV一、一、 兩直線平行兩直

18、線平行5 規(guī)則：若空間兩直線平行，則它們的各同名投影平行。規(guī)則：若空間兩直線平行，則它們的各同名投影平行。abcdb b a a c c d d ABDCb b a a d d c c bacda a b b c c d d 同向、同比例同向、同比例6不平行不平行判斷空間兩直線是否平行。判斷空間兩直線是否平行。b b a a d d c c bacdXO平行平行c c d d c cd dg g h h h hg gXOYZVfef eefCDdccddc7EF 基本作圖基本作圖8過已知點過已知點A作直線作直線AB平行于已知直線平行于已知直線CD。b b a a c c d d cdabbXa

19、abkcddckXBDACKbbaaccddkk二、 相交兩直線交點K的三面投影符合點的投影規(guī)律。10投影圖投影圖利用投影判兩斷利用投影判兩斷直線是否相交？直線是否相交？ 基本作圖基本作圖過已知點作直線與已知直線相交。過已知點作直線與已知直線相交。1112 如圖所示，作一條與如圖所示，作一條與V面相距面相距20mm并與已知直線并與已知直線 CD相交的相交的直線直線AB。ddkkaabbcc例：過C點作水平線CD與AB相交。先作CD的正面投影三、三、 交叉兩直線交叉兩直線空間既不平行又不相交的二直線為交叉直線空間既不平行又不相交的二直線為交叉直線。 b b X Xa a a ab bc c d

20、d d dc c1 11 1 (2(2 ) )2 2X XO OB BD DA AC Cb bb b a aa a c c c cd dd d 2 21 11 1 (2(2 ) )2 21 1交叉兩直線的同面投影可能相交，但不符合空間點的投影規(guī)律。aabbccddc c d d c cd dg g h h h hg gXOYZVfef eefCDdccddc7EF判斷交叉兩直線重影點的可見性 X XO OB BD DA AC Cb bb b a aa a c c c cd dd d (3(3 )4)4 1(2)1(2)4 43 33 34 41 1 2 2 1 12 2 判斷重影點的可見性時，

21、需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。 前遮后、上遮前遮后、上遮下、左遮右下、左遮右上遮下前遮后aabbccdd 交叉兩直線投影的交點并不是空間兩直線真正的交點，而是兩直線上相應點投影的重影點。11223344( )( )基本作圖基本作圖過已知點作直線與已知直線交叉。過已知點作直線與已知直線交叉。15能否過A點隨意作線呢？答案有多少個？無數(shù)個。例題 判斷兩直線的相對位置dacboYWYHzXaacddcbb例題 判斷兩直線的相對位置baacddcbX11d1c1例：判斷兩直線的相對位置。交點的連線垂直于OX，且兩直線為一般位置直線，由兩面

22、投影可判斷為相交兩線。ab與cd在一直線上，而abcd ，兩直線平行。CD為側平線，利用點分割線段成比例進行判斷。為交叉兩直線。OXaabbccddOXaabbccddOXaabbccddEmk 例：已知：兩直線AB、CD的投影及點M的水平投影m，試作一直線MNCD并與直線AB相交于N點。nnm作圖：過m作mncd，并與ab交于n；由n求出n；過n作作nmcd，求得m。aabbccddmOX例題 判斷兩直線重影點的可見性bbcddcXaa3(4)34121(2) 直角投影定理直角投影定理一、垂直相交的兩直線的投影一、垂直相交的兩直線的投影定理一：垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投定理一：

23、垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二：定理二： 相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。直角。二、交叉垂直的兩直線的投影二、交叉垂直的兩直線的投影定理三：相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投定理三：相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四：兩直線在同

24、一投影面上的投影反映直角，且有定理四：兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。一、垂直相交的兩直線的投影AHBCacbcXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H面,則有ab ac二、交叉垂直的兩直線的投影BHACcbaMNnmXbabamnnmAB垂直于AC,且AB平行于H面,則有ab ac17 兩垂直直線的判斷兩垂直直線的判斷 關鍵是：關鍵是：兩垂直直線中必須有一條直線是投影面的平行直線兩垂直直線中必須有一條直線是投影面的平行直線。18 基本作圖基本作圖 過已知點，作直線垂直于已知直線。

25、過已知點，作直線垂直于已知直線。答案有答案有多少個？多少個？ox例題 過點作線段的垂線。bbaaOfeefXffcXcddee垂直相交垂直相交f例題 過點E 作線段AB、CD 的公垂線EF。fOcbaabXcddee19求作點到直線的距離。求作點到直線的距離。 兩平行直線的距離兩平行直線的距離8投影面垂直線投影面垂直線b b a a d d c c a(b)c(d)e e f f efabcda (b )c (d )ef9投影面平行線投影面平行線 兩平行直線的距離兩平行直線的距離實距實距 例：已知：直線EF平行CD并與直線AB相交，F(xiàn)點在H面上。.求所缺的投影 aabbccddOXeeffKK

26、ABab|yA-yB|bc=BCb例題 作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BCAB =23。bcnmaaXmnc 掌握點與直線的投影特性，掌握點與直線的投影特性，尤其是尤其是特殊位置直線的投影特性。特殊位置直線的投影特性。 點與直線及兩直線相對位置的判斷點與直線及兩直線相對位置的判斷方法及投影特性。方法及投影特性。 點分割直線成定比點分割直線成定比定比定理定比定理。 小結：小結：第四節(jié)第四節(jié) 平面的投影平面的投影 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法 用幾何元素表示平面不在同一直線上的三點。aabbccaabbcc一直線和線外一點。ccaabb相交兩直線。bbaa

27、ccdd平行兩直線。bbaacc任意平面形。平面的跡線表示法VHPPVPHPVPHVHQHQVQQW4二二 、 平面的投影特性平面的投影特性顯實性顯實性積聚性積聚性類似性類似性1.1.平面平行于投影面，其投影反映實形。2.2.平面垂直于投影面，其投影積聚成直線。3.3.平面傾斜于投影面，其投影為其類似形。 5四四平面與投影面的相對位置平面與投影面的相對位置1. 特殊位置平面特殊位置平面投影面的平行面：平行于投影面的平行面：平行于一個一個投影面的平面投影面的平面投影面的垂直面：垂直于投影面的垂直面：垂直于一個一個投影面的平面投影面的平面2. 一般位置平面一般位置平面 一般位置平面一般位置平面與各

28、個投影面均傾斜：其投影與各個投影面均傾斜：其投影均小于實形，為平面的類似形。均小于實形，為平面的類似形。 H ：水平面：水平面 V ：正平面：正平面 W：側平面：側平面H: 鉛垂面鉛垂面V: 正垂面正垂面W: 側垂面?zhèn)却姑嫱队懊娲怪泵?垂直于一個投影面，與另兩個投影面傾斜的平垂直于一個投影面，與另兩個投影面傾斜的平面。投影面垂直面可分為三種：面。投影面垂直面可分為三種： 垂直于垂直于面的平面叫面的平面叫正垂面正垂面 垂直于垂直于面的平面叫面的平面叫鉛垂面鉛垂面 垂直于垂直于面的平面叫面的平面叫側垂面?zhèn)却姑鎂XHYOZWPppp立立 體體 圖圖投投 影影 圖圖傾角 和投投 影影特特 性性（1 1

29、）水平投影積聚成直線，并反映傾角）水平投影積聚成直線，并反映傾角和和（2 2）正面投影和側面投影不反映實形）正面投影和側面投影不反映實形, ,縮小的類似形縮小的類似形. .ZXOpppwY鉛垂面（面，傾斜、面）VWHPPH 鉛垂面. ABCacbababbacccVWH鉛垂面跡線表示法PHPPH投投 影影特特 性性立立 體體 圖圖投投 影影 圖圖（1 1）正面投影積聚成直線，并反映傾角）正面投影積聚成直線，并反映傾角和和。（2 2）水平和側面投影不反映實形，是縮小了的類似形。）水平和側面投影不反映實形，是縮小了的類似形。XVZWYHOPppppXOZHYwYpp正垂面（面，傾斜、面）VWHQQ

30、V 正垂面 . ababbacccAcCabBVWH正垂面的跡線表示法 QQVQVVWHSWS側垂面（面，傾斜、面）.CabABcabbbaaccc投投 影影特特 性性（1 1）側面透影積聚成直線，并反映傾角）側面透影積聚成直線，并反映傾角和和。（2 2）水平和正面投影不反映實形，是縮小了的類似形。）水平和正面投影不反映實形，是縮小了的類似形。側垂面的跡線表示法VWHSHSZXOYSwY投影面垂直面的投影特性： 平面在所垂直的投影面上的投影積聚為直線； 其余兩投影面的投影為原形的類似形，但比實 形??； 平面具有積聚性的投影與投影軸的夾角，分別 反映平面與相應投影面的傾角。投影面的平行面 平行于

31、一個投影面，與另兩個投影面垂直的平平行于一個投影面，與另兩個投影面垂直的平面。投影面平行面可分為三種：面。投影面平行面可分為三種： 平行于平行于面的平面叫面的平面叫正平面正平面 平行于平行于面的平面叫面的平面叫水平面水平面平行于平行于面的平面叫面的平面叫側平面?zhèn)绕矫鎄VZWOP PHp pYp pp pZXpHYOppwY立立 體體 圖圖投投 影影 圖圖（1 1）水平投影反映實形）水平投影反映實形（2 2）正面投影積聚為直線，且）正面投影積聚為直線，且/軸；側面投影積軸；側面投影積聚為直線，且聚為直線，且/OYw/OYw軸。軸。投投 影影特特 性性水平面（/ 面 V W面 ）VWH水平面CAB

32、abcbacabccabbbaaccVWH水平面的跡線表示法Pv正平面（/ 面 H W面）VWH. cabbacbcabacabcbcaCBA投投 影影特特 性性（1 1）正面投影反映真形。）正面投影反映真形。（2 2）水平投影）水平投影/OX/OX，側面投影，側面投影/OZ/OZ，分別積聚成直線。，分別積聚成直線。VWHpHp側平面（/ 面 V H 面 ）VWHabbbacccabcbacabcCABa（1 1）側平面投影反映真形。）側平面投影反映真形。（2 2）正面投影）正面投影/OZ/OZ，水平投影，水平投影/OY/OYH H，分別積聚成直線。，分別積聚成直線。VWHRRHRV投影面平行

33、面的投影特性： 平面在所平行的投影面上的投影反映 實形； 其余兩投影積聚為直線，并分別平 行于相應的投影軸。一般位置平面的投影特性：平面在三個投影面上的投影均不反一般位置平面的投影特性：平面在三個投影面上的投影均不反映實形，但為類似形。面積均比實形小。映實形，但為類似形。面積均比實形小。H HXV Va ab bc cY Yb ba ac cA AB BC CO OW Wa ac cb bZ直觀圖直觀圖a aa aX Xc cHYb bb bc cOabZYwc投影圖投影圖一般位置平面a aa aX Xc cb bb bc cOwbacbcaabbaccabbbaaccc一框兩線平行面，線框顯

34、實形一框兩線平行面，線框顯實形, ,直線豎或橫。直線豎或橫。兩框一線垂直面，兩框類似形兩框一線垂直面，兩框類似形, ,斜線積聚成。斜線積聚成。三框無線一般面，位置最分明。三框無線一般面，位置最分明。特點記憶三、平面上的點和直線三、平面上的點和直線幾何條件2：若直線過平面上的兩點，則此 直線必在該平面內。幾何條件3：若一直線過平面內的一點，且平行于 該平面上另一直線，則此直線在該平面內。 幾何條件1：若點在平面內，它必在平面內的一 條直線上。平面上的點和直線若點在平面的一若點在平面的一直線上，則此點直線上，則此點必在該平面上。必在該平面上。若直線通過平面若直線通過平面上兩個已知點，上兩個已知點，則此直線必在該則此直線必在該平面上；平面上；或者直線通