第5章剛體、剛體運動

1、第5章 剛體的定軸轉動1第第5 5章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第5章 剛體的定軸轉動2 質點質點 剛體剛體回顧與對比回顧與對比質量質量m轉動慣量轉動慣量zJ速度速度v角速度角速度加速度加速度a角加速度角加速度力矩力矩力力FM牛頓運牛頓運動定律動定律amdtvmdF)(轉動定律轉動定律()zzzd JMJdt動能動能221mvEK動能動能221zKJE動能定理動能定理KbaEsdFA動能定理動能定理KbaEdMA第5章 剛體的定軸轉動3動量定理動量定理PdtFtt0動量動量vmP動量守恒動量守恒0, 0PF角動量角動量角動量定理角動量定理質量質量m轉動質量轉動質量zJzJL zttzLdt

2、M0角動量角動量守恒守恒0, 0LM 質點質點 剛體剛體回顧與對比回顧與對比第5章 剛體的定軸轉動41. 1. 剛體剛體特殊的質點系，特殊的質點系， 理想化模型理想化模型形狀和體積不變化形狀和體積不變化在力作用下，組成物體的所有質點間的距離始終保持不變在力作用下，組成物體的所有質點間的距離始終保持不變2.2.剛體運動的分類剛體運動的分類剛體上任何兩點的連線始終保持平行的運動。剛體上任何兩點的連線始終保持平行的運動。平動時所有質元的運動完全相同，可用剛體的質心的平動時所有質元的運動完全相同，可用剛體的質心的運動代替整個剛體的運動。質心服從運動代替整個剛體的運動。質心服從。平動的特點平動的特點AB

3、rrAB ABrr BAvvBAaaABABA B ABABA B 第5章 剛體的定軸轉動5平面平行運動平面平行運動 = 質心運動質心運動 +質心系中定軸轉動質心系中定軸轉動剛體上所有質元都限定在剛體上所有質元都限定在平面里運動。平面里運動。剛體上的只有一點始終保持不動。剛體上的只有一點始終保持不動。繞過質心垂直于平面的定軸繞過質心垂直于平面的定軸剛體上所有質元都繞同一條固定直線做圓周剛體上所有質元都繞同一條固定直線做圓周運動；且各質元的角速度相同。運動；且各質元的角速度相同。第5章 剛體的定軸轉動6二、剛體的定軸轉動二、剛體的定軸轉動1. 各點運動的特點各點運動的特點 在自己的轉動平面內作在

4、自己的轉動平面內作圓周運動圓周運動任一質點圓周運動的線量和角量的關系任一質點圓周運動的線量和角量的關系轉動平面轉動平面zr2ntrararrna tar減速減速加速加速z1m2m12xx1O2Oddt22dddtdt第5章 剛體的定軸轉動7 ( (質點系角動量定理微分形式的簡化質點系角動量定理微分形式的簡化) ) 質點系角動量定理微分形式：質點系角動量定理微分形式：LMtdd5.2 1. 力力 對對 點的力矩點的力矩FOFAxyroxyzMr FM x M y M z 對于過對于過O點點Z 軸，力矩可分解為兩個分量軸，力矩可分解為兩個分量()zzMMrFFOOMzzFFF第5章 剛體的定軸轉動

5、8()OzzMMMrFFziMrF對于轉軸對于轉軸z，sinziMrFF hzrFAxyrOzzFFFiOirnFFh()()()()iizzzizrrFFFrFrrFzF平行于平行于z z軸軸不產生對不產生對z z軸的力矩軸的力矩F在轉動平面內在轉動平面內產生對產生對z z軸的力矩軸的力矩力對軸的力矩等于力對軸的力矩等于力對軸上任一點的力矩，在軸上的投影力對軸上任一點的力矩，在軸上的投影第5章 剛體的定軸轉動9xyzLr Pr mL x L y L z v=質點對定點質點對定點o的角動量的角動量對對z軸的軸的角動量角動量iziiiLrm因為各質元角動量方向相同，因為各質元角動量方向相同，所以

6、合矢量的大小就是分矢量所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加大小的直接相加2. 任一質量元的定軸角動量大小為任一質量元的定軸角動量大小為iiLLii iirmimOLO rPSiir因為因為2()i iiLmr2i iiJmr定義定義剛體對定軸剛體對定軸的轉動慣量的轉動慣量LJ剛體對定軸的角動量剛體對定軸的角動量第5章 剛體的定軸轉動10LJ3. 剛體定軸轉動的轉動定律剛體定軸轉動的轉動定律dLdMJdtdtMJ定軸轉動定律在轉動問題中的地位相當于平動的牛頓第二定律定軸轉動定律在轉動問題中的地位相當于平動的牛頓第二定律應用轉動定律解題步驟與牛頓第二定律時完全相同。應用轉動定律解題步驟與牛頓第

7、二定律時完全相同。Fma2i iiJmr剛體對定軸的轉動慣量剛體對定軸的轉動慣量剛體對定軸的角動量剛體對定軸的角動量第5章 剛體的定軸轉動11第5章 剛體的定軸轉動125.3 一、定義一、定義二、二、J與哪些量有關與哪些量有關三、計算三、計算 平行軸定理平行軸定理第5章 剛體的定軸轉動13對于固定轉軸的對于固定轉軸的轉動慣量轉動慣量22()i imiJm rJr dm1m2m3m1r2r3rz321i iiJmr例例 如圖所示質點系如圖所示質點系2221 12 23 3mrm rm r J 的物理意義：的物理意義：轉動中物體慣性的量度。轉動中物體慣性的量度。一、定義一、定義第5章 剛體的定軸轉

8、動14(2) 質量一定，與質量分布有關。質量一定，與質量分布有關。二、二、J 與那些量有關與那些量有關(1)(1)與剛體總質量有關與剛體總質量有關，J分布一定，質量越大，分布一定，質量越大，轉動慣量大。轉動慣量大。(3) J 和轉軸有關和轉軸有關平行軸定理平行軸定理三、計算三、計算 1) 同軸可疊加同軸可疊加 2) 平行軸定理平行軸定理 (parallel axis theorem)3) 正交軸定理正交軸定理 2ocJJmdmcdo在一系列的平行軸中，對質心的轉動慣量最小在一系列的平行軸中，對質心的轉動慣量最小.iiJJ zxyJJJ第5章 剛體的定軸轉動15證證 C 為剛體的質心，為剛體的質

9、心，A為任意一點。以質心為任意一點。以質心C為為坐標原點，取坐標原點，取,iiimrhriirrh對通過對通過A 點的轉動慣量為點的轉動慣量為2i iiJmr0i iiCmrrm() ()iiiim rhrh22(2)iiiim rh rh222i ii iiiiimrhmrmh( )iiiim rr 0i iimr2CJJmh此定理可用于任何形狀的剛體，但必須是平行軸。此定理可用于任何形狀的剛體，但必須是平行軸。hirirC質質心心軸軸A任意軸任意軸im第5章 剛體的定軸轉動16J 和轉軸有關和轉軸有關 :同一個物體對不同轉軸的轉動慣量是不同的同一個物體對不同轉軸的轉動慣量是不同的 oo平行

10、軸平行軸2112Jml2221111243Jmlmlml214Jmroooo212Jmroo223JmR225JmR第5章 剛體的定軸轉動17解：（解：（1 1）對過質心的軸）對過質心的軸Oxxdx2 2221lldxxdmrJ23121121mll （2 2）對過端點的軸）對過端點的軸2212312mllmJJ利用平行軸定理：利用平行軸定理：2mdJJC) 1 ()2( 例例1 1 求質量均勻分布的細棒對（求質量均勻分布的細棒對（1 1）對通過質心垂直于）對通過質心垂直于細棒；（細棒；（2 2）通過端點的軸轉動慣量。設棒長為）通過端點的軸轉動慣量。設棒長為 ，質量為，質量為 。 ml第5章

11、剛體的定軸轉動18解：（解：（1 1）對對稱軸）對對稱軸dRdmldJ4421cos321212420 441418cos32mRRdRJ 例例2 2 求質量均勻分布的半圓形薄板對（求質量均勻分布的半圓形薄板對（1 1）它的對稱）它的對稱軸；（軸；（2 2）它的直邊；（）它的直邊；（3 3）通過質心平行于直邊的軸的轉動）通過質心平行于直邊的軸的轉動慣量。設圓弧直徑為慣量。設圓弧直徑為 ，質量為，質量為 。 mRmCR)3()2() 1 (Oxy取半圓上取半圓上 窄條窄條為為 。dyyydmdRRlddm22cos2 )sin(cos2sinRlRydy第5章 剛體的定軸轉動19（2 2）對直邊

12、）對直邊（同軸相加）（同軸相加）mCR)3()2() 1 (OxyDJ設設 為整圓為整圓對直徑的轉動慣量？對直徑的轉動慣量？DJJ211因因 和和 DJJ212故有故有 22118JJmR（3 3）對通過）對通過C且平行于直邊（且平行于直邊（2 2）232mdJJ應用平行軸定理：應用平行軸定理： ，先求質心位置：，先求質心位置：2232211649JJmdmR34322130RmRxdyymydRC22yRx第5章 剛體的定軸轉動20例例1 如圖，一質量為如圖，一質量為 m 半徑為半徑為 R 的實心球，求繞過球的實心球，求繞過球心的轉軸的轉動慣量。心的轉軸的轉動慣量。解解：343mRdmdV2

13、dVrdy2dmr dy 212dJdm r取有一定厚度的圓盤，圓盤對取有一定厚度的圓盤，圓盤對O 軸的轉動慣量軸的轉動慣量ryROdy41J2rdy222rRy變量代換變量代換2221()2RRJRydy42241(2)2RRRR yydy225JmR得得25GrR回旋半徑回旋半徑第5章 剛體的定軸轉動21 例例3 3 求質量均勻分布的球體對通過球心軸的轉動慣求質量均勻分布的球體對通過球心軸的轉動慣量。設球半徑為量。設球半徑為 ，質量為，質量為 。 mRhrdrhrdrdm2 )2(解：取底面半徑為解：取底面半徑為 ，高為高為 薄圓筒為薄圓筒為 。（內切）。（內切） drrrdmhdrrrR

14、drhrdmrdJ322324 2 2503252158 2 mRRdrhrdmrJR222rRhrrRhO第5章 剛體的定軸轉動22例例1 一大型回轉類一大型回轉類“觀覽圓盤觀覽圓盤”如圖所示。圓盤的半徑如圖所示。圓盤的半徑R=25 m，供人乘坐的吊箱高度，供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圓盤繞水平軸。若大圓盤繞水平軸均速轉動，轉速為均速轉動，轉速為0.1 rad/min。300601022T0cos()ABxxRt0sin()AByyLRtL222)(RLyxAA解解求求 吊箱底部吊箱底部A點的軌跡及點的軌跡及A點的速度和加速度的大小。點的速度和加速度的大小。吊箱平動吊箱平動/rad s

15、第5章 剛體的定軸轉動23)cos(dd02tRtaAxAxv2222322252.7 10 m/s300AAxAyaaaR)sin(dd02tRtaAyAyv2225300AAxAyRvvv)sin(dd0tRtxAAxv)cos(dd0tRtyAAyv0.26 m/s第5章 剛體的定軸轉動24剛體定軸轉動定律的應用剛體定軸轉動定律的應用第5章 剛體的定軸轉動253 ) 滑輪轉動的角加速度滑輪轉動的角加速度 。例例2 已知定滑輪已知定滑輪解解:受力圖受力圖RM、輕繩（不伸長）無相對滑動。、輕繩（不伸長）無相對滑動。求求：1）物體加速度）物體加速度a；2）繩子的張力）繩子的張力T；1T1m g

16、2Ta 213T RT RJ 2222m gTm a1m2m21mm設設2T2m ga 1111Tm gm a1TaR212JMR第5章 剛體的定軸轉動26解解：2dKdtJ 又00320tdKdtJ0031KtJ 2MKJ 02/(9 )KJ0(/3) 例例3 一飛輪的轉動慣量一飛輪的轉動慣量 ，在，在 時，角速度為時，角速度為 ，此，此后飛輪經歷制動過程，阻力矩后飛輪經歷制動過程，阻力矩 的大小與角速度的大小與角速度 的平方成的平方成正比，比例系數正比，比例系數 ，當，當 時，飛輪的角加速度時，飛輪的角加速度 ？從開始制動到從開始制動到 所經過的時間所經過的時間 ？J0t M0K 0/3t

17、0/302JtK第5章 剛體的定軸轉動27例例5 已知：細棒如圖。已知：細棒如圖。 oMl求：任意位置時，軸給細棒的作用力。求：任意位置時，軸給細棒的作用力。解解：設任意位置時，細棒角速度為：設任意位置時，細棒角速度為 。設軸給細棒的作用力為設軸給細棒的作用力為 Fn 和和Ft。作細棒受力圖。作細棒受力圖。nFtFMgco cos1ncnFMgMa sin2tctFMgMa22cnla2ctla 21sin423lMgMl(3)(3)聯立聯立得解得解第5章 剛體的定軸轉動28 例例4 已知：如圖一質量為已知：如圖一質量為 ，長為，長為 的勻質細桿，可的勻質細桿，可繞過端點繞過端點 與桿垂直的水

18、平軸轉動。與桿垂直的水平軸轉動。 桿水平放置，然桿水平放置，然后釋放。求：桿轉到和豎直方向成后釋放。求：桿轉到和豎直方向成 時，時，mlO0t ，030？解：研究對象解：研究對象桿。桿。0OGmgM重重力力矩矩受受力力，21cos23ldmgmldt030mgOcos2lMmg；MJ213dmldt轉動：轉動：O O點支持力矩點支持力矩cosg23dld23ddlddt003cos2gddl 23sin2gl0033360sin602ggll取取，代代入入，0390gl，。第5章 剛體的定軸轉動29動能定理動能定理 221122KiiiEmJ1）用轉動慣量表達剛體定軸轉動的動能）用轉動慣量表達

19、剛體定軸轉動的動能KAAE內外質點系動能定理質點系動能定理kE 222i iimr2212i iimrkiE212iiimiirJ、2i iJmr對同一轉軸對同一轉軸5.4 第5章 剛體的定軸轉動302） 用角量表示的用角量表示的力做功的形式力做功的形式AFsMddd3） 剛體定軸轉動的剛體定軸轉動的動能定理形式動能定理形式 0A 內rimddSF21zOdA dSrd0coscos(90)sin dA F dScosFdSsinFrdMd內力矩內力矩不做功不做功力矩的功和動能關系力矩的功和動能關系A 21J d 作用于剛體合（外）力矩的功等效于剛體動能的增量作用于剛體合（外）力矩的功等效于剛

20、體動能的增量剛體動能定理。剛體動能定理。MdJ d dJddt22211122JJ第5章 剛體的定軸轉動31212cEmghJ機械能守恒的條件仍為機械能守恒的條件仍為0AA外力非保力，E 恒恒量量4）機械能守恒）機械能守恒例例1 在阿特武德機中裝在光滑水平軸承的在阿特武德機中裝在光滑水平軸承的滑輪半徑為滑輪半徑為 ，一邊掛一，一邊掛一 個物個物體體 ，另一邊掛，另一邊掛 。當當 由靜止釋放后，在由靜止釋放后，在 內下降了內下降了 試用轉動定理與能量關系兩種試用轉動定理與能量關系兩種方法確定滑輪的轉動慣量。方法確定滑輪的轉動慣量。25 10Rm 10.46mkg20.5mkg2m0.5s0.75

21、hm1m2mhJiiipiiCimhEm ghmgmghm第5章 剛體的定軸轉動3212,R又又212hatat而而2,ht21()mm gh212222()JhmmRt222211 122111()0222mm ghJmm2212211()22JmmR解解 用能量守恒：以初始時位置的勢能為零用能量守恒：以初始時位置的勢能為零2221212()()(2 /)(2 /)Rmm gmmh tJh t1m2mhhJ第5章 剛體的定軸轉動33解解 分析棒受力：分析棒受力： ， 點的支撐點的支撐力力 （變力，大小方向均變），軸（變力，大小方向均變），軸與棒摩擦力略。與棒摩擦力略。mgON例例2 已知質量

22、為已知質量為 長為長為 細棒，繞過細棒，繞過 點的水平光滑軸在豎點的水平光滑軸在豎直面內轉動，直面內轉動， 點距點距 點點 ，棒由靜止位置開始釋放，求：，棒由靜止位置開始釋放，求：（1）棒在水平位置剛釋放時的角加速度。）棒在水平位置剛釋放時的角加速度。（2）桿轉到豎直位置時的角速度和角加速度。）桿轉到豎直位置時的角速度和角加速度。（3）棒在豎直位置時，棒的兩端和中點的速度和加速度。）棒在豎直位置時，棒的兩端和中點的速度和加速度。mlO3lOA/ 3lACCmgOB0PE 對對 點軸產生力矩的只有點軸產生力矩的只有 ， 對棒轉動不做功（對棒轉動不做功（ 對棒有作對棒有作用是變力用是變力,但但 ）

23、。）。0NMOmgNN1MJ（）求 ，2/6CJJm OCOCl由平行軸定理由平行軸定理第5章 剛體的定軸轉動34221/612Jmlml166lMmgmgl219mlMJ32gl62lmg（）機機械械能能守守恒恒，212J22118ml3gl過豎直位置瞬間，作用于剛體的力矩為零。此時過豎直位置瞬間，作用于剛體的力矩為零。此時03ACBACBaaa（ ）求垂直位置的，/12COCgl4/3bObgl/3AOAgl此時加速度為向心加速度。此時加速度為向心加速度。00ta，2/2CaOCg22 /32Balg2/3Aalg/ 3lACCmgOB0PE 第5章 剛體的定軸轉動35質點的角動量質點的角

24、動量剛體繞定軸轉動的角動量剛體繞定軸轉動的角動量質點的角動量守恒定律質點的角動量守恒定律質點的角動量定理質點的角動量定理剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律質點質點剛體剛體剛體繞定軸轉動的角動量定理剛體繞定軸轉動的角動量定理OLrmvdLMdt0 ML，常zzLJzzdLMdt外0 zzML，常量5.5 第5章 剛體的定軸轉動36一、剛體繞定軸轉動的角動量一、剛體繞定軸轉動的角動量zii iiLmr2()i imrzJ剛體上任一質點剛體上任一質點 ，它對，它對 軸的角動量為軸的角動量為 ，方向沿方向沿 軸，整個剛體對軸，整個剛體對 軸的角動量軸的角動量()ii iiimr rimzzLzz

25、imiriz()dLdd JMJdtdtdt00()()tztztztJJM dt0tztM dt稱為在時間稱為在時間 內的沖量矩，它表示了力矩內的沖量矩，它表示了力矩在一段時間間隔內的累積效應。在一段時間間隔內的累積效應。0tt角動量定理不僅適用于剛體，而且角動量定理不僅適用于剛體，而且適用于繞定軸轉動的可變形物體。適用于繞定軸轉動的可變形物體。微分形式微分形式積分形式積分形式第5章 剛體的定軸轉動372. 角動量守恒定律角動量守恒定律0const.vectorML00iiiiJJ由多個剛體組由多個剛體組成的剛體體系成的剛體體系當物體所受的合當物體所受的合外力矩為零時，外力矩為零時，這個結論

26、是普遍適用的，也可以不是剛體而是其他質點系。這個結論是普遍適用的，也可以不是剛體而是其他質點系。分以下幾種情況：分以下幾種情況：（1）對剛體，）對剛體， 不變不變 剛體作勻角速轉動，又叫剛體作勻角速轉動，又叫慣性轉動慣性轉動。這一結果與質點。這一結果與質點的慣性運動相對應。的慣性運動相對應。zJ，恒恒定定（2）在一孤立系統(tǒng)中，如果系統(tǒng)某一部分的角動量因內在）在一孤立系統(tǒng)中，如果系統(tǒng)某一部分的角動量因內在相互作用而有所改變時，系統(tǒng)的其余部分必須出現一等量相互作用而有所改變時，系統(tǒng)的其余部分必須出現一等量（但反向）角動量改變，使（但反向）角動量改變，使總角動量保持守恒總角動量保持守恒。（3） 同時

27、改變，但乘積保持不變。同時改變，但乘積保持不變。zJ、11ziizJJ第5章 剛體的定軸轉動38萬萬向向支支架架基基 座座回轉體回轉體（轉動慣量轉動慣量 I）AABBOO陀螺儀定向原理陀螺儀定向原理應用應用不受外力矩作用高速不受外力矩作用高速旋轉的陀螺，由于旋轉的陀螺，由于角角動量守恒動量守恒，因而其轉，因而其轉動軸的方向不變。動軸的方向不變。自由陀螺的定向特性自由陀螺的定向特性在航天、航空等領域在航天、航空等領域中具有重要的意義。中具有重要的意義。第5章 剛體的定軸轉動39第5章 剛體的定軸轉動40剛體力學小結剛體力學小結描寫剛體轉動的物理量描寫剛體轉動的物理量1. 角量：角量： 線量：線量

28、： rra微積分關系微積分關系2. 角量與線量的關系角量與線量的關系 rar2nar3. 方向：方向： 右手螺旋法右手螺旋法與與的關系：的關系：r4. 勻角加速轉動公式勻角加速轉動公式 2012tt0t22002 () 第5章 剛體的定軸轉動41二、動力學二、動力學1. 基本概念：基本概念： 力矩：力矩： MrF 轉動慣量：轉動慣量： 2i iJmr2Jr dm 轉動角動量：轉動角動量： Lrm定軸轉動：定軸轉動： LJ（定點、定軸）（定點、定軸） （定點）（定點） 2. 基本定理：基本定理： 轉動定律：轉動定律： MJ同軸同軸有正負有正負與牛頓力學類似與牛頓力學類似第5章 剛體的定軸轉動42

29、 轉動動能定理：轉動動能定理： 212201122MdJJ 角動量定理：角動量定理： 2100ttMdtJJ力矩的持續(xù)力矩的持續(xù)作用規(guī)律作用規(guī)律 功能原理：功能原理： 0AAEE外非 守恒定律：守恒定律： 0M外時，時， 守恒守恒 L0AA外非 時，時， 守恒守恒 E第5章 剛體的定軸轉動43例例1 人造地球衛(wèi)星繞地球作橢圓運動，地心在其一焦點人造地球衛(wèi)星繞地球作橢圓運動，地心在其一焦點O上，如圖所示。已知軌道的近地點上，如圖所示。已知軌道的近地點P 距地面距地面145km。遠地。遠地點點A距地面距地面151km，地球半徑，地球半徑R=6400km。試求衛(wèi)星在近地。試求衛(wèi)星在近地點點P的動能與

30、其在遠地點的動能與其在遠地點A的動能的比值。的動能的比值。解解 設人造地球衛(wèi)星質量為設人造地球衛(wèi)星質量為 ，人造衛(wèi)星對，人造衛(wèi)星對 點的角動點的角動量守恒。量守恒。mOP PA AmrmrPAAPrr而衛(wèi)星在而衛(wèi)星在P、A兩點兩點的動能之比為：的動能之比為：22PAKPKAEEPAPrArPAOKPKAEE22APrr2222()(6400 161)1.01()(6400 145)APRhRh第5章 剛體的定軸轉動44 守恒定律守恒定律 （判斷守恒條件）（判斷守恒條件）例例ABAB()AABBABJJJJ如此銜接，如此銜接，角動量守恒角動量守恒嗎？嗎？角動量守恒定理角動量守恒定理第5章 剛體的

31、定軸轉動45第5章 剛體的定軸轉動46第5章 剛體的定軸轉動47第5章 剛體的定軸轉動48例例2 質點與質量均勻的細棒相撞質點與質量均勻的細棒相撞(如圖如圖)。解解：過程過程1 質點與細棒相碰撞。質點與細棒相碰撞。 碰撞過程碰撞過程中系統(tǒng)對中系統(tǒng)對O 點的合力矩為點的合力矩為0M oM lm0設碰撞完全非彈性。設碰撞完全非彈性。求求：棒擺的最大角度。：棒擺的最大角度。所以，系統(tǒng)對所以，系統(tǒng)對O點的角動量守恒，即點的角動量守恒，即12LL 220113mlMlml 2221 111 cos1 cos22 32MlmlMglmgl細棒勢能細棒勢能過程過程2 質點、細棒上擺，系統(tǒng)中包括地球，質點、細

32、棒上擺，系統(tǒng)中包括地球， 只有保守內力作功，所以機械能守恒。只有保守內力作功，所以機械能守恒。 設初態(tài)為勢能零點設初態(tài)為勢能零點質點勢能質點勢能第5章 剛體的定軸轉動49例例3 有一細棒長為有一細棒長為 質量為質量為 均勻分布，靜止放在滑動摩擦系數為均勻分布，靜止放在滑動摩擦系數為 的水的水平桌面上，它可繞通過其端點平桌面上，它可繞通過其端點 ，且與桌面垂直的固定光滑軸轉動，另有，且與桌面垂直的固定光滑軸轉動，另有一水平運動的小滑塊，質量為一水平運動的小滑塊，質量為 ，以水平速度，以水平速度 從左側垂直與棒的另一端從左側垂直與棒的另一端 作完全彈性碰撞，碰撞時間極短（可忽略摩擦）。求從細棒在碰

33、撞后開始作完全彈性碰撞，碰撞時間極短（可忽略摩擦）。求從細棒在碰撞后開始轉動到停止轉動過程中所經歷的時間。轉動到停止轉動過程中所經歷的時間。lMOm解：合外力矩：解：合外力矩：0M合合外外力力設角動量向上的方向為正，碰撞瞬間：設角動量向上的方向為正，碰撞瞬間：m lmulJ 222111222mJmuo0L 機械能守恒機械能守恒63mMm在棒上取質量元在棒上取質量元 ，離軸，離軸 的距離為的距離為 dmOx0lfMgdm x12Mgl 0lgx dx又由角動量定理又由角動量定理0tfMdt fM t0J2/3JMl4(3 )m ltg Mm 第5章 剛體的定軸轉動50 如圖所示，質量為如圖所示

34、，質量為m的物體掛在勻質圓盤（的物體掛在勻質圓盤（M，R）邊）邊緣，盤可繞水平光滑軸轉動，起初在圓盤上加一恒力矩，使緣，盤可繞水平光滑軸轉動，起初在圓盤上加一恒力矩，使物體以物體以0勻速上升，如去掉所加恒力矩，經歷多少時間圓盤勻速上升，如去掉所加恒力矩，經歷多少時間圓盤開始作反向轉動？開始作反向轉動？例例5解法一：解法一： 轉動定理轉動定理mRMmgTM轉動：轉動：212TRMR m 平動：平動：TTmgmaaR22mgaMm 恒定加速度恒定加速度0at0022Mmtamg第5章 剛體的定軸轉動51mRMmgTT解法二：解法二： 角動量定理角動量定理21MdtLL(0)mgR t200102M

35、RmR022Mmtmg第5章 剛體的定軸轉動52二、基本特征二、基本特征回轉儀回轉儀 繞對稱軸高速旋轉繞對稱軸高速旋轉 陀螺陀螺 1)對稱軸對稱軸 高速高速 2)定點定點 外力對定點求力矩外力對定點求力矩 對稱軸繞定點旋轉對稱軸繞定點旋轉L三、解釋三、解釋 1）必須具有對稱軸必須具有對稱軸 2）高速旋轉高速旋轉 重力對定點重力對定點O 的力矩的力矩0cMrmg0ML0LMtdd每每瞬時瞬時外力矩只改變角動量的外力矩只改變角動量的方向方向不改變角動量的大小不改變角動量的大小ocrmg一、進動現象一、進動現象已經自轉的物體在外力矩的作用下，自已經自轉的物體在外力矩的作用下，自轉軸繞另一軸轉動的現象稱為進動。轉軸繞另一軸轉動的現象稱為進動。5.6 剛體的定點運動剛體的定點運動 進動進動第5章 剛體的