8--1 無(wú)窮級(jí)數(shù)

1、第八章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 第八章第八章 極限論極限論微微積積分學(xué)分學(xué)函數(shù)項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)論級(jí)數(shù)論數(shù)列極數(shù)列極限論限論函數(shù)展函數(shù)展開為多開為多項(xiàng)式項(xiàng)式 xfy 8.1 8.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)8.48.4* *冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)8.58.5* *函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開一元函數(shù)微積分學(xué)一元函數(shù)微積分學(xué)斂散性斂散性 1nnu8.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別8.3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別#一、問題的提出一、問題的提出 計(jì)算下列無(wú)窮和式計(jì)算下列無(wú)窮和式11 1 1 1 1 11n 11111242n1111 22 3(1)n n給定數(shù)列給定數(shù)列將

2、各項(xiàng)依次相加將各項(xiàng)依次相加:為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，稱稱 1nnu 1nnu nuuuu321級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和: nkknuS1即：即：稱為稱為級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和,nuuuu 321,S,Slimnn設(shè)設(shè)值值為為存存在在若若 稱稱 S 為級(jí)數(shù)的和為級(jí)數(shù)的和,記作記作 ：nu,u,u,u,un321一般項(xiàng)一般項(xiàng), 通項(xiàng)通項(xiàng)簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)。 nS為部分和數(shù)列為部分和數(shù)列. 1nnuS,Slimnn不存在不存在若若 nSSulimSlimnkknnn 1即即：則稱級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù) 1nnu收斂收斂 ,則稱級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散 。第八章 無(wú)窮級(jí)數(shù)#利用定義判斷級(jí)

3、數(shù)斂散性 1nnu級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nuuuu321nuuuu 321nS部部分分和和斂散性斂散性 1nnu存存在在性性nnSlim .nn是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nSn 321.)n(n21 nnSlim 1nn n32121)n(nlimn .nn是是發(fā)發(fā)散散的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1#解解1q 如果時(shí)12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q0lim nnqqasnn 1lim 收斂收斂,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nnqlim nnslim 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)如如果果1 q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散發(fā)散,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q aaaa級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)變變?yōu)闉椴徊淮娲嬖谠趎ns lim

4、 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上01,1,nnqaqq當(dāng)時(shí) 收斂當(dāng)時(shí) 發(fā)散解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn),1211(21 n)1211(21limlim nsnnn,21 .21, 和和為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂技巧技巧:利用利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求求和和例例3. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散判別下列級(jí)數(shù)的斂散性性:111 ( )ln; nnn 解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散發(fā)散 ;技巧

5、技巧:利用利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求求和和23ln34lnnn1ln的的斂斂散散性性。例例：判判斷斷調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnn13121111nSn131211 xy1 設(shè)設(shè),n,x321 當(dāng)當(dāng) )nln(1 發(fā)散發(fā)散 11nnxy1 oyx1234n1 n,n,y131211 nSn131211 1113112111n121曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 n解解如圖：如圖： nnSlim 111ndxx#收斂收斂 1nnu.ulimnn0 證證: : nnnuSS 1 nnulim0 SS若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 0 , 則級(jí)數(shù)必則級(jí)數(shù)必發(fā)散發(fā)散. .例：例： 1154

6、4332211nn)(n級(jí)數(shù)收斂的必要條件定理定理 SSlimnn 可可設(shè)設(shè)收斂收斂 1nnunnu.uS 11 nnnnSlimSlim 1 nnnSSlim發(fā)散發(fā)散 推論推論:111 nn)(limnn不存在，不存在， 發(fā)散發(fā)散但但 11nn01 nlimn解：解：#即即: : 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減，且結(jié)果仍收斂收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減，且結(jié)果仍收斂. .級(jí)數(shù)的性質(zhì)1，2 11nnnn,kuu斂斂散散性性一一致致和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)性質(zhì)性質(zhì)1 若收斂，則若收斂，則 11nnnnukku 123nn例：例：3 13nn性質(zhì)性質(zhì)2 ，若若TvSunnnn 11TS)vu(vunnnnn

7、nn 111則則的的斂斂散散性性。判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))(nnn31211 收收斂斂收收斂斂， 113121nnn收收斂斂。)(nnn31211 例：例： 解：解： # 111nnnnnnn)vu(v,u一一定定發(fā)發(fā)散散。發(fā)發(fā)散散，則則收收斂斂若若推推論論 nnnnn)(1131例例：11()nnnnnnvvuu 1nnn)vu(收收斂斂，假假設(shè)設(shè) 1nnu 收收斂斂，已已知知11() nnnnnvuu 收斂收斂 1nnv 發(fā)發(fā)散散，已已知知矛盾，矛盾， 1nnn)vu(發(fā)發(fā)散散證：證：級(jí)數(shù)的性質(zhì)2#注意注意： 111nnnnnnn)vu(v,u不不一一定定發(fā)發(fā)散散。發(fā)發(fā)散散，發(fā)發(fā)散散若若都都發(fā)發(fā)

8、散散，例例： 11111nnnn)(,)( 1111nnn)()( 1111nnn)()(發(fā)發(fā)收收 1112nn)( 10n級(jí)數(shù)的性質(zhì)2#性質(zhì)性質(zhì)3 級(jí)數(shù)去掉或增加有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的斂級(jí)數(shù)去掉或增加有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的斂 散性，但是若收斂，收斂值改變散性，但是若收斂，收斂值改變.51nn例： nnn221211 性質(zhì)性質(zhì)4 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和. 87654321uuu)uuu()uu( 1nnu nuuuu321S S 例例級(jí)數(shù)的性質(zhì)3#注注收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂. . )

9、11()11(例例如如 1111 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散推論推論 如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原來(lái)級(jí)也發(fā)散則原來(lái)級(jí)也發(fā)散.判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù)將原級(jí)數(shù)先加括號(hào)將原級(jí)數(shù)先加括號(hào)原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散. . nn101212014110121的斂散性的斂散性. . 1)10121(nnn 121nn 1101nn收斂收斂, ,發(fā)散發(fā)散. .例例解解: 1)10121(nnn發(fā)散發(fā)散. .級(jí)數(shù)的性質(zhì)4#二、比值判別法二、比值判別法三、根值判別法三、根值判別法第二節(jié)第二節(jié)一、比較判別法一、比較判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別 ,0nu1nnu1nnu定義：定義： 若若則

10、稱則稱為為正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) .注：注：正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 部分和數(shù)列部分和數(shù)列 nS為單調(diào)遞增。為單調(diào)遞增。引理引理1：收斂數(shù)列必有界。收斂數(shù)列必有界。引理引理2：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必收斂。單調(diào)有界數(shù)列必收斂。若若0,nu 1nnu 定理定理 1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂收斂部分和部分和 數(shù)數(shù)列列nS),2, 1(n有界有界 .若若1nnu收斂收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列部分和數(shù)列nSnS有界有界, 故故nS1nnu從而從而又已知又已知故有界故有界.則稱則稱為為正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) .單調(diào)遞增單調(diào)遞增, 收斂收斂 , 也收斂也收斂.證證: “ ”“ ”收斂原理的應(yīng)用例.nn斂斂散散性性討

11、討論論 1121 nS解解：1211211212 n.n.2121212 21121211 nn211 1 收收斂斂正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1121nn 的的部部分分和和121nn 為為參參考考對(duì)對(duì)象象以以121nn#1,nnu 1nnv滿足滿足(1) 1nnv1nnu(2)1nnu 1nnv收斂收斂收斂收斂 ;發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散 . 1,2,nnucvn 設(shè)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) (常數(shù)常數(shù) c 0)比較判別法則則大通項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂大通項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂小通項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂小通項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂大通項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散大通項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散小通項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散小通項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散nn21121 121nn(參考級(jí)數(shù)參考級(jí)數(shù)收斂收斂)收收斂斂，且且 121nn

12、.nn收收斂斂 1121.nn斂斂散散性性討討論論 1121參考級(jí)數(shù)參考級(jí)數(shù)目標(biāo)級(jí)數(shù)目標(biāo)級(jí)數(shù)#11212nn （ ）nn21121 發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散 1112121nnnnnnuuuS 21ncvcvcv 2111nnnnnnuSvT設(shè)部分和為，部分和為ncT (1) 1nnv收收 有有上上界界，ncT 有上界有上界nS收收(2)1nnu發(fā)發(fā)nS1nnv發(fā)散發(fā)散1,nnu 1nnv滿足滿足(1) 1nnv1nnu(2)1nnu 1nnv收斂收斂收斂收斂 ;發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散 . 1,2,nnucvn 設(shè)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) (常數(shù)常數(shù) c 0)比較判別法-證明則則.nN也可以從某 項(xiàng)開始 nT1n

13、nunnT,cT#比較判別法的應(yīng)用大通項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂大通項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂小通項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂小通項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂大通項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散大通項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散小通項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散小通項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散已知斂散性的參考級(jí)數(shù)已知斂散性的參考級(jí)數(shù)目標(biāo)級(jí)數(shù)斂散性目標(biāo)級(jí)數(shù)斂散性例：例：.討討論論下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)斂斂散散性性nnsin22 收收斂斂，且且 12nn .原原式式收收斂斂 1121nnnn21121 原式發(fā)散原式發(fā)散發(fā)散發(fā)散 11nnnnnln11 nnlnn11 原式發(fā)散原式發(fā)散 3 n 12nnsin #P-級(jí)數(shù) 例例的的斂斂散散性性。討討論論 11npn解解,p1 當(dāng)當(dāng),nnp11 發(fā)散，發(fā)散， 11nn的發(fā)散。的發(fā)散。 11npn當(dāng)當(dāng) p

14、 1 時(shí)，時(shí)，.131211pppnnS 111311211pppnpxy1 oyx1231 nn1p21 npxdx11nppx1111 )n(pp 111111 111 p 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),p,pnnp1111收斂收斂 11npn#121. 1nn例如：例如：判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性11. 2nn證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù)111()nn n 發(fā)散發(fā)散 .證證: 因?yàn)橐驗(yàn)?1111()()n nn ),2, 1(11nn而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù)111nn 21kk發(fā)散發(fā)散根據(jù)比較判別法可知根據(jù)比較判別法可知, 所給級(jí)數(shù)發(fā)散所給級(jí)數(shù)發(fā)散 .例例3.3.定理定理3. (比較判別法的極

15、限形式比較判別法的極限形式)1,nnu1nnvlim,nnnuAv 則有則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng)當(dāng) A = 0 ,1收斂時(shí)且nnv1;nnu也收斂(3) 當(dāng)當(dāng) A= ,1發(fā)散時(shí)且nnv1.nnu也發(fā)散設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足滿足(1) 當(dāng)當(dāng) 0 A 1 時(shí)時(shí), 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 ;0 p 1 時(shí)時(shí), 條件收斂條件收斂 ;p0 時(shí)時(shí), 發(fā)散發(fā)散 .(2) 因各項(xiàng)取絕對(duì)值后所得強(qiáng)級(jí)數(shù)因各項(xiàng)取絕對(duì)值后所得強(qiáng)級(jí)數(shù) 原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .故故 ,111收斂nn11ln) 1()3(nnnn)(lnlnnnnun111因因單調(diào)遞減單調(diào)遞減, 且且但但nn

16、n1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原級(jí)數(shù)僅所以原級(jí)數(shù)僅條件收斂條件收斂 .kknk1ln1nlim由由Leibniz判別法知級(jí)數(shù)判別法知級(jí)數(shù)收斂收斂 ;0limnnu11! ) 1() 1()4(nnnnn因因nnuu1212nnn)(! )(1)111 (12nnnn1! ) 1(nnnn11e所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x解解,1單單調(diào)調(diào)遞遞減減故故函函數(shù)數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級(jí)數(shù)條件收斂原級(jí)數(shù)條件收斂.。所以原級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂所以原級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂發(fā)散，發(fā)散，而而

17、nnnnn1111,lim練習(xí)練習(xí) 試證明試證明21112)1( nnnn 交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) .條條件件收收斂斂證證012lim,12112222nnnnnnn而而1nu. 收斂收斂所以所以12121nnnn因?yàn)橐驗(yàn)?,12 1211212)1( nnnnnnn2112,1222nnnnnun 其其通通項(xiàng)項(xiàng)所以級(jí)數(shù)發(fā)散所以級(jí)數(shù)發(fā)散.綜上所述，綜上所述， .12)1( 211收斂收斂條件條件交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)nnnn 發(fā)發(fā)散散，而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1nn1例例6 的斂散性的斂散性討論討論nx 1n-1nn(-1) nnxxn1n1-1n）（解解：考考慮慮xxnnxxnn 1limn11n1limn1n 絕

18、對(duì)收斂絕對(duì)收斂收斂。故收斂。故nnnnxnxnx11)1()1(, 1)1(發(fā)散。發(fā)散。）（ nnxnx1)1(, 12 ）可能收斂，也可能發(fā)散可能收斂，也可能發(fā)散（但（但nnxn1)1(，原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散。一一般般項(xiàng)項(xiàng)不不趨趨于于此此時(shí)時(shí)0,)1(lim1n nnxn.n1-1x;)(,)(發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)，條條件件收收斂斂時(shí)時(shí)nxxn 11113結(jié)論結(jié)論.nn發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散，則則但但若若根根據(jù)據(jù)比比值值判判別別法法：，可可能能收收斂斂，也也可可能能發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)， nn練習(xí)練習(xí)的斂散性的斂散性利用上述結(jié)論判別利用上述結(jié)論判別1nnxn,nxn 解：考慮級(jí)數(shù)解：考慮級(jí)數(shù)xxnn1nn1nnlimnx1nxlim絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂收斂，收斂， nxnx, 1)1(nnx發(fā)散發(fā)散發(fā)散，發(fā)散，）（ nxnx, 12nnx條件收斂條件收斂）（發(fā)散發(fā)散，）（ n1, 1;n11,x13nxx發(fā)發(fā)散散, 0lim:10 n nn00lim2